유의 산술

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유의 산술은 과학적 또는 통계적 계산에서 불확실성의 전파를 근사하게 하기 위한 규칙 집합(중요한 그림 규칙이라고도 함)이다. 이 규칙은 계산 결과를 나타내기 위해 사용할 적절한 수의 유의한 숫자를 찾는 데 사용할 수 있다. 관련된 불확실성을 분석하지 않고 계산을 수행한다면, 너무 많은 유의미한 숫자로 작성된 결과는 알려진 것보다 더 높은 정밀도를 의미하며, 유의한 수치가 너무 적은 결과는 피할 수 있는 정밀도를 잃게 된다. 이러한 규칙들을 이해하려면 유의하고 하찮은 인물의 개념을 잘 이해해야 한다.

유의 산술 규칙은 확률 분포를 다루기 위한 통계적 규칙에 기초한 근사값이다. 이러한 보다 고급스럽고 정확한 규칙에 대한 불확실성 전파에 대한 기사를 참조하십시오. 유의성 산술 규칙은 피연산자의 유의미한 숫자의 수가 피연산자의 불확실성과 그에 따른 결과의 불확실성에 대한 정확한 정보를 제공한다는 가정에 의존한다. 대안은 구간 산술 및 부동 소수점 오류 완화를 참조하십시오.

중요한 주의사항은 중요한 수치는 측정된 값에만 적용된다는 것이다. 정확하다고 알려진 값은 결과에 속하는 유의한 숫자의 수를 결정하기 위해 무시되어야 한다. 그러한 값의 예는 다음과 같다.

• 정수 카운트(예: 가방에 들어 있는 오렌지 수)
• 한 단위의 정의(예: 분 단위: 60초)
• 요구되거나 제시된 실제 가격 및 요구 사양에 제시된 수량
• 국제통화교환과 같이 법적으로 규정된 전환.
• "트리플링" 또는 "할빙"과 같은 스칼라 작업
• π이나 e와 같은 수학 상수

그러나 중력 상수와 같은 물리적 상수는 오직 측정에 의해서만 우리에게 알려지기 때문에 한정된 수의 유의한 숫자를 가진다. 반면 c(빛의 속도)는 정의상 정확히 299,792,458m/s이다.

유의 산수를 이용한 곱셈과 나누기

숫자를 곱하거나 나눌 때, 그 결과는 가장 유의하지 않은 숫자로 요인에서 유의한 숫자의 수로 반올림된다. 여기서 각 요인에서 유의한 수치의 양은 중요하며 유의한 수치의 위치가 아니다. 예를 들어 유의한 산술 규칙을 사용하는 경우:

• 8 × 8 ≈ 6 × 10¹
• 8 × 8.0 ≈ 6 × 10¹
• 8.0 × 8.0 ≈ 64
• 8.02 × 8.02 ≈ 64.3
• 8 / 2.0 ≈ 4
• 8.6 / 2.0012 ≈ 4.3
• 2 × 0.8 ≈ 2

위의 숫자들이 측정치(따라서 아마도 부정확할 것임)로 가정된다면 위의 "8"은 하나의 유의한 자리만 가진 부정확한 측정을 나타낸다. 따라서, "8 × 8"의 결과는 단지 하나의 유의한 자리, 즉, 예상할 수 있는 비원형 "64" 대신에 "6 × 10¹"의 결과로 반올림된다. 많은 경우에 반올림된 결과는 비원형 결과보다 정확도가 낮다. "8"의 측정치는 실제 기초 수량을 7.5에서 8.5 사이에 가진다. 실제 제곱은 56.25와 72.25 사이의 범위에 있을 것이다. 그래서 6 × 10은¹ 다른 가능한 답변들이 잘못된 정확성을 주기 때문에 한 사람이 줄 수 있는 최선의 답이다. 또한 6 × 10은¹ 그 자체로 혼란스럽다(과다한 최적화인 60 ± 5를 암시하는 것으로 간주될 수 있기 때문에 더 정확한 값은 64 ± 8이다).

유의 산수를 사용한 덧셈 및 뺄셈

유의미한 수치 규칙을 사용하여 더하거나 빼는 경우, 결과는 더하거나 빼는 숫자 중 가장 불확실한 숫자(또는 빼는 숫자)의 위치로 반올림된다.^{[citation needed]} 즉, 결과는 합계에서 유의미한 마지막 자리까지 반올림된다. 여기서 중요한 숫자의 위치는 중요하지만, 중요한 숫자의 수량은 상관없다. 이러한 규칙을 사용하는 몇 가지 예는 다음과 같다.

			1
+			1.1
			2

• 1은 1위, 1.1은 10분의 1위. 둘 중 가장 정밀하지 않은 곳이 바로 그 장소다. 그 답은 어떤 중요한 수치도 그 자리를 지나갈 수 없다.

			1.0
+			1.1
			2.1

• 1.0과 1.1은 10분의 1의 장소에도 의미가 있으므로 10분의 1의 장소에도 숫자가 있을 것이다.

			9.9
			9.9
			9.9
			9.9
			3.3
+			1.1
			40.0

• 십분의 일 자리에는 모든 덧셈이 중요하므로 십분의 일에 대한 답은 십분의 일 자리에는 의의가 있다. 각 항은 두 자릿수의 유의성을 가지지만, 이 합계는 열로 전달되므로 답은 세 자릿수의 유의성을 가진다.

  100 + 110 ≈ 200

• 우리는 100의 수백의 장소에 대한 중요성을 감안할 때 200의 답을 볼 수 있다. 해답은 산술의 첫말과 마찬가지로 수백 자리에서도 한 자릿수의 의의를 유지하고 있다.

  100. + 110. = 210.

• 100.와 110.는 둘 다 한 자리(소수로 표시됨)에 유의하기 때문에 한 자리에도 유의미하다.

  1 × 10² + 1.1 × 10² ≈ 2 × 10²

• 100은 수백 자리까지 의미가 있고, 110은 십여 자리까지 의미가 있다. 둘 중 가장 정확하지 않은 곳은 수백곳이다. 답은 수백 자리를 지나서는 안 된다.

  1.0 × 10² + 111 = 2.1 × 10²

• 1.0 × 10은² 10 자리까지 의미 있는 반면 111은 1 자리까지 숫자를 가지고 있다. 그 해답은 십여 곳을 지나도 이렇다 할 수치는 없을 것이다.

  123.25 + 46.0 + 86.26 ≈ 255.5

• 123.25와 86.26은 100위까지가 중요한 반면 46.0은 10분의 1위까지만 중요하다. 그 대답은 10분의 1까지 의미가 있을 것이다.

  100 − 1 ≈ 100

• 100분의 100에 대한 의의에 비추어 볼 때, 우리는 100에 대한 답을 본다. 그것은 직관에 반하는 것처럼 보일 수도 있지만, 정밀도를 지시하는 중요한 숫자의 특성을 부여하면, 우리는 표준 규칙에서 이것이 어떻게 따르는지를 알 수 있다.

초월함수

초월함수는 함수 출력의 중요성을 판단하는 복잡한 방법을 가지고 있다. 여기에는 로그 함수, 지수 함수 및 삼각 함수가 포함된다. 출력의 중요성은 조건 번호에 따라 달라진다. 일반적으로 출력의 유의미한 숫자의 수는 함수 입력의 유의한 숫자(함수 인수)에서 조건 번호의 크기 순서를 뺀 값과 같다.

지점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 서로 다른 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 조건 번호는 x ${\displaystyle \frac{{}^{}\prime (}{}}$ ${\displaystyle \frac{)}{}}$ f ${\displaystyle \frac{(x}{});\frac{}{}}$ ${\displaystyle \left {\frac {xf'(x)}{f(x)}}}\right ;}$을(으)를 참조하십시오. 자세한 내용은 변수 하나를 참조하십시오. 함수가 한 점에 0을 갖는 경우 입력의 극소수 변경으로 출력이 0에서 0으로 변경되어 분모에 0이 있는 비율이 생성될 수 있으므로 해당 지점의 조건 번호는 무한하다는 점에 유의하십시오. 가장 많이 사용되는 함수의 조건 번호는 다음과 같다.^[1] 모든 기본 함수에 대한 유의한 수치를 계산하는 데 사용할 수 있다.

이름	기호	조건번호
덧셈 / 뺄셈	$(\displaystyle x+a}$	${\displaystyle \왼쪽 {\frac {x}{x+a}\오른쪽 }$
스칼라 곱하기	$(\displaystyle acx)$	${\displaystyle 1}$
나누기	${\displaystyle 1/x}$	${\displaystyle 1}$
다항식	${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystylen }$
지수함수	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle x }$
베이스 b가 있는 로그	${\displaystyle \log _{b}(x)}$	${\displaystyle \왼쪽 {\frac {1}{\log _{b}(x)\ln(b)}\오른쪽 }$
자연 로그 함수	${\displaystyle \ln(x)}$	${\displaystyle \왼쪽 {\frac {1}{\ln(x)}}\오른쪽 }$
사인 함수	$\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle x\property(x) }$
코사인 함수	$\displaystyle \cos(x)}$	$} {\displaystyle x\tan(x)$
접선 함수	$\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle x(\tan(x)+\display(x) }$
역사인함수	${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle {\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arcsin(x)}}}$
역코사인함수	$\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle {\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}\arccos(x)}}}$
역 탄젠트 함수	$\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle {\frac}{x}{(1+x^{2})\arctan(x)}}}$

함수 출력의 유의미한 숫자의 수가 함수 입력의 유의한 숫자(함수 인수)에서 조건 번호의 베이스-10 로그(대략적으로 크기 순서/상태 번호의 자릿수)를 뺀 값과 같다는 사실은 첫 번째 원칙에서 쉽게 도출할 수 있다.${\displaystyle \stackrel{}{x}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ $및$ f$^$ ) {\$displaystyle$ f$\\hat${$x$$}}$이(가) 참 값이 되며$$ x${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\$$displaystyle$ x$}$ $및{\displaystyle }$ f$$$$${\displaystyle (x}$) ${\$$displaysty$ $f$$($$x{\displaystyle }$$)$가 각각 Δ$$ x {\$displaystystytype$${\displaystyle }$$\$${\displaystyle x}$} 오류와 함께 근사정 f}이$$ $되도록{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 한다.${\displaystyle {\hat {x}}=x+\delta x}$ and ${\displaystyle f({\hat {x}})=f(x)+\delta f}$. Then ${\displaystyle \delta f=f({\hat {x}})-f(x)=f(x+{\delta x})-f(x)={$$\frac {f(x+\delta x)-f(x)}{\delta x}}\cdot {\delta x}\approx {\frac {df(x)}{dx}}{\delta x}}$, and hence ${\displaystyle \delta f \approx \left {\frac {df(x)}{dx}}{\delta x}\right }$.

The significant figures of a number is related to the uncertain error of the number by ${\displaystyle \left\vert {\delta x}\right\vert \approx \left\vert {x\cdot 10^{-({\rm {significant~figures~of~}}x)}}\right\vert }$ where "significant figures of x" here means the number of significant figures of x. Substituting this into the above equation gives ${\displaystyle \left\vert {f(x)\cdot 10^{-({\rm {signifi$$캔트~~~오후~}f(x)$$}}\right\vert \approx \left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}x\cdot 10^{-({\rm {significant~figures~of~}}x)}}\right\vert }$, and thus ${\displaystyle \left\vert {$$f(x)}\right\vert \cdot 10^{-({\rm {significant~figures~figures~of~}f(x))$$}}\cHBFF(x)}{dx}}{dx}}\오른쪽\vert$ \$cdot$ 10$^{-({\rm {significant~figures~오후~}x$ 그러므로

${\displayst$$yle -{{\rm {significant~figures~figures~}f(x)$$}\approx \log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert \cdot 10^{-{({\rm {significant~figures~of~}}x)}}\right)={-({\rm {significant~figures~of~}}x)}+\log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert \right)}$, giving

$rm {figures~$$}\cHB$({\$rm$ {${~~~오후~}x)}-\log_{10}\좌측(\왼쪽\vert {{\$frac {$df(x)}{dx$}}{\$frac {f(x)}}\우측\vert \right$

반올림 규칙

유의 산술은 반올림을 수반하기 때문에 과학적인 계산을 할 때 자주 사용되는 특정한 반올림 규칙, 즉 반올림 규칙(은행가의 반올림이라고도 한다)을 이해하는 것이 유용하다. 특히 대용량 데이터 세트를 처리할 때 유용하다.

이 규칙은 전통적인 반올림 규칙을 사용할 때 데이터의 위쪽으로 치우치는 현상을 제거하는 데 도움이 된다. 전통적인 라운딩은 다음의 숫자가 5일 때 항상 반올림하는 반면, 은행가들은 때때로 이러한 상향 편향을 제거하기 위해 반올림한다. 반올림 규칙에 대한 자세한 내용과 반올림 규칙에 대한 자세한 설명은 반올림 기사를 참조하십시오.

중요성에 대한 의견 불일치

중요한 수치는 측정이 알려진 정밀도를 위한 속기로서 고등학교 및 학부 과정에 광범위하게 사용된다. 그러나 유의미한 수치는 불확실성의 완벽한 표현은 아니며, 그럴 의도가 아니다. 대신 실험자가 실제로 알고 있는 것보다 더 많은 정보를 표현하는 것을 피하고, 정밀도를 떨어뜨리는 방식으로 반올림 숫자를 피하는 데 유용한 도구가 된다.

예를 들어, 여기에는 유의미한 수치 규칙과 불확실성 사이의 몇 가지 중요한 차이점이 있다.

• 불확실성은 실수와 같지 않다. 특정 실험의 결과가 1.234 ± 0.056으로 보고된 경우, 관찰자가 실수를 한 것은 아니다. 이는 결과가 본질적으로 통계적일 수 있으며, 이 경우 알려진 숫자에 불확실한 한 자리만 더하여 나타내는 값(예: 1.23 ± 0)으로 가장 잘 설명된다.06. 그러한 결과를 1.234로 기술하는 것은 불확실성을 덜 나타내더라도 이러한 상황에서 부정확할 것이다.
• 불확실성은 보잘것없는 것과 같지 않고, 그 반대도 마찬가지다. 불확실한 숫자는 매우 중요할 수 있다(예: 신호 평균화). 반대로, 완전히 일정한 숫자는 미미할 수도 있다.
• 유의점은 유의한 숫자와 같지 않다. 수치 카운팅은 불확실성을 별도로 명시적으로 지정하는 것만큼(예: 1.234 ± 0.056)의 엄격한 방법은 아니다.
• 불확실성의 수동 대수적 전파(이 글의 명목상의 주제)는 가능하지만 도전적이다. 대체 방법으로는 크랭크 3회 방식과 몬테카를로 방식이 있다. 또 다른 옵션은 구간 산술인데, 이것은 불확실성에 대해 엄격한 상한선을 제공할 수 있지만, 일반적으로 엄격한 상한이 아니다(즉, 불확실성에 대한 최선의 추정치를 제공하지 않는다). 대부분의 목적에서, 몬테카를로는 인터벌 산술보다 더 유용하다.^{[citation needed]} Kahan은 자동화된 오류 분석의 한 형태로 유의 산술을 신뢰할 수 없다고 생각한다.^[2]

불확실한 결과에 불확실성을 명시적으로 표현하기 위해서는 불확도 구간과 신뢰 구간을 별도로 제시해야 한다. 1.23 U95 = 0.06이라는 표현은 변수의 참(알 수 없는) 값이 최소 95% 신뢰도로 1.17 ~ 1.29 사이의 간격에 있을 것으로 예상됨을 의미한다. 신뢰 구간이 지정되지 않은 경우, 일반적으로 평균으로부터 두 표준 편차에 해당하는 95%로 가정되어 왔다. 하나의 표준 편차(68%)와 세 가지 표준 편차(99%)에서의 신뢰 구간도 일반적으로 사용된다.

참고 항목

• 반올림
• 불확도 전파
• 유효숫자
• 정확도 및 정밀도
• 매니악 3세
• 유의성 상실

참조

추가 읽기

• Delury, D. B. (1958). "Computations with approximate numbers". The Mathematics Teacher. 51 (7): 521–30. JSTOR 27955748.
• Bond, E. A. (1931). "Significant Digits in Computation with Approximate Numbers". The Mathematics Teacher. 24 (4): 208–12. JSTOR 27951340.
• ASTM E29-06b, 규격 준수를 결정하기 위해 테스트 데이터에 유의한 숫자를 사용하는 표준 사례

외부 링크

• 10진수 산술 FAQ — 10진수 산술은 '신호' 산술인가?
• 불확실성 처리를 위한 고급 방법 및 유의 산술과 유의한 수치의 단점에 대한 일부 설명.
• 유의미한 숫자 계산기 – 원하는 수의 유의한 숫자를 표시한다.
• 측정 및 불확실성 대 유의한 숫자 또는 유의한 숫자 – 유의한 숫자의 개념으로 문제에 대한 자세한 논의를 포함하여 불확실성을 표현하는 적절한 방법.