유한집단의 대표이론

집단의 대표이론은 집단이 주어진 구조에 어떻게 작용하는지 연구하는 수학의 한 부분이다.

여기서는 특히 벡터 공간에 대한 그룹의 운영에 초점을 맞추고 있다. 그럼에도 불구하고, 다른 그룹이나 세트에서 활동하는 그룹도 고려된다. 자세한 내용은 순열 표현 섹션을 참조하십시오.

몇 가지 두드러진 예외를 제외하고, 이 글에서는 유한 집단만 고려된다. 우리는 또한 특성 0의 영역 위에 있는 공간을 벡터링하도록 제한할 것이다. 특성 0의 대수적으로 닫힌 장 이론이 완성되었기 때문에 특성 0의 특수 대수학적으로 닫힌 장에 유효한 이론은 특성 0의 다른 모든 대수학적으로 닫힌 장에도 유효하다. 따라서 일반성의 손실 없이 $C{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb {C}$에 대한 벡터 공간을 연구할 수 있다$.$

표현 이론은 양자 화학이나 물리학뿐만 아니라 수학의 많은 부분에서 사용된다. 무엇보다도 집단의 구조를 조사하기 위해 대수학에서 사용된다. 조화 분석과 숫자 이론에도 응용이 있다. 예를 들어, 표현 이론은 자동 형태에 대한 새로운 결과를 얻기 위해 현대 접근법에 사용된다.

정의

선형 표현

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$\}-$벡터 공간으로 하고 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 유한 그룹으로 한다$$. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 선형 표현은 그룹 동형상 $\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle V}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{자동}}$. ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}={\text$}{\text}}{\text}{\text}{\text$}}$$자동}(V).$$}$ 여기서$$ ${\displaystyle \mathrm{GL}}$(V ) {\$displaystyle {\text{$GL$}($V)}은(는) 일반$$ 선형 그룹에 대한 표기법이고, ${\displaystyle \text{자동}}$ ${\displaystyle (V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\text}$자동형성 그룹에 대한$$ $자동}(V)}$ This means that a linear representation is a map ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ which satisfies ${\displaystyle \rho (st)=\rho (s)\rho (t)}$ for all ${\displaystyle s,t\in G.}$ The vector space ${\displaystyle V}$ is called representation space of $$${\displaystyle G}$. ${\displaystyle G.}$ 종종$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 표현 용어도 표현 공간 $V{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ V$.}$에 사용된다$$.

벡터 공간 대신 모듈에서 그룹을 나타내는 것을 선형 표현이라고도 한다.

We write ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ for the representation ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })}$ of ${\displaystyle G.}$ Sometimes we use the notation ${\displaystyle (\rho ,V)}$ if it is clear to which representation the space ${\displaysty$$Le$ V$}$이(가) 소속이다.

이 글에서 우리는 마지막 장을 제외하고 유한 차원 표현 공간에 대한 연구에 우리 자신을 제한할 것이다. $대부분$의 경우 V ${\displaystyle V}$에서 벡터의 유한한 수만이 관심이 있는 것처럼$$, 이러한 벡터에 의해 생성된 하위 표현을 연구하기에 충분하다. 이 하위표현의 표현공간은 유한차원이 된다.

표현 정도는 표현 공간의 $치수{\displaystyle }$ V${\displaystyle .}$ ${\displaystyle V.}$ 표기법 ${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \rho }$ ) ${\displaystyle \dim(\rho )}$을(를) 사용하여 표현 $.$ {\$displaystyle \rho .}$을(를) 표시하기도 한다$$.

예

사소한 표현은 $\rho {\displaystyle (s}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle \text{Id}}$ ${\$$ID}}:$ 모든$$ $s{\displaystyle }$∈ ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle s\in$ G$.}$

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 $도{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1}$을(를) 나타내는 것은$$ 승수 그룹 ${\displaystyle \rho }$: G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\text{GL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( C${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \setminus }${ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text${\text$}$$GL}_{1}(\mathb {C} )=\mathb {C}^{\time }=\mathb {C} \setminus \{0\}}.$$}$ ${\displaystyle G}$의 모든 요소가 순서가 유한하므로$$ order${\displaystyle (\mathrm{s<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash rho\; :G\backslash to\; \{\backslash text\{"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/aa1a1eb7960c6630c09c8c7332123c00894ddc05"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:33.791ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="111">}}$) ${\displaystyle \rho(s)}$의 값은 통일의 뿌리다. 예를 들어 $\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle G\mathbb{}}$= Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4\mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$은(는) 비교 선형 표현으로$$ 한다. $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle$$$\$rho}$은(는) 집단 동형이기 때문에 $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle 0\mathrm{}}$)${\displaystyle }$= 1. ${\displaystyle \rho({0})=1.}$을 충족시켜야 한다. $왜냐하면$ 1 ${\displaystystyle 1}$은 $G{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{\rho }}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystystyle$ G$,\rho$$}$에 대한 값에 의해 결정되기$$ 때문이다$.$ .${\displaystyle }$. . . ${\rho$.$}$ ${\displaystyle \rho}$이(가$$) $비경쟁적$임, ,${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1\mathrm{}}$) {${\displaystyle i,}$- 1, -${\displaystyle i\}.}$ ${\displaystyle \rho({1})\in \{i,-1,-i\}}}$$$ 따라서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$에 따른$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 이미지는 통일의 네 번째 뿌리로 구성된 그룹의 비경쟁적인 하위 그룹이어야 한다는$$ 결과를 얻는다. 즉, $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) 다음 세 가지 맵 중 하나여야 한다$$.

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}({0})=1\\\rho _{1}({1})=i\\\rho _{1}({2})=-1\\\rho _{1}({3})=-i\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{2}({0})=1\\\rho _{2}({1})=-1\\\rho _{2}({2})=1\\\rho _{2}({3})=-1\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{3}({0})=1\\\rho _{3}({1})=-i\\\rho _{3}({2})=-1\\\rho _{3}({3})=i\end{cases}}}$

$G{\displaystyle }$= ${\displaystyle Z\mathbb{}}$= 2 ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z\mathrm{}}$ ${\$ G$=\mathb {Z} /2\mathb {Z} \time$\mathb {Z$}$\mathb {Z} \time \$mathb$ \times \mathb \to {\$text}$하고$$ $\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ G → $GL2$(${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty.$$GL}_{2}(\mathb {C} )}$은(는) 다음에 의해 정의된 그룹 동형상이다.

${\displaystyle \rho ({0},{0})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{0})={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho ({0},{1})={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{1})={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

이 경우 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$은(는) 도 $2$의 G {\$displaystyle$ $G$$}$을(를$)$ 선형 표현함${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle$ 2$.}$

순열 표현

$X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$X}$을(를) 유한 집합으로 하고$$ $G{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $G$$}$을(를) $X$에 작용하는 그룹이$$ 되도록$$ 하십시오$.$$Aut}}(X)}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 순열 그룹을$$ 그룹 곱으로 구성$$

유한 집합에 따라 작용하는 그룹은 순열 표현의 정의에 충분한 것으로 간주되기도 한다. 그러나, 우리는 선형 표현에 대한 예를 만들고자 하기 때문에 - 집단이 임의의 유한 집합 대신 벡터 공간에 작용하는 - 우리는 다른 방식으로 진행해야 한다. In order to construct the permutation representation, we need a vector space ${\displaystyle V}$ with ${\displaystyle \dim(V)= X .}$ A basis of ${\displaystyle V}$ can be indexed by the elements of ${\displaystyle X.}$ The permutation representation is the group homomorphism ${\displaystyle \rho :G\to \text{GL}}$${\displaystyle (}$${\displaystyle V}$${\displaystyle }$)$$$e{\displaystyle x_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ = e${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle x_{}}$ ${\$$displaystyle \rho :G\to {\text{GL}(V)}$이(가$)$ 부여한 {\$displaystyle \rho (s)e_{x}=e_{s$.$모든$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$$,$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle s\in G,x\in$ X$.}$ 모든$$ 선형 맵 $\rho {\displaystyle }$( $){\displaystyle \rho (s)$는 이 속성에 의해 고유하게 정의된다$$.

예. $X{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle X=\{1,2,3\},$ $G$ = ${\displaystyle \text{Sym}}$( ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$.${\displaystyle G={\text{Sym}(3).$$}$ 그러면$$ $G{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle G}$이(가$)$ ${\displaystyle \mathrm{자동<img\; alt="x"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.98ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="175">}(}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= G${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\text{$$Aut}}(X)=G.}$ 관련$$ 선형 $표현$은 ${\displaystyle :}$ :${\displaystyle G}$ → ${\displaystyle \text{GL}(V}$ )${\displaystyle }$≅ ${\displaystyle {}_{}}$3 (${\displaystyle C\mathbb{}}$)$${\$displaystyle \rho :G\to${\$text{\gl}(V)\cong {\text${\text$}.$$GL{\displaystyle }$$}_{$$3$${\displaystyle \}(\backslash }$$mathb${$C$$} )},$ ${\displaystyle {\mathrm{with<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash rho\; :G\backslash to\; \{\backslash text\{GL\}(V)\backslash cong\; \{\backslash text\{\backslash text\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/bd6765315e42470b539fba6bf0e58aa4e76d6fcb"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:26.371ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="177">}}_{}}$ ${\displaystyle (}$ ) ${\displaystyle e_{}}$x = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ = e$$ ($$x ) {\$displaystyle \rho$(\$sigma )e_{x}=e_{\sigma$ (x$$$)}}}},$${\displaystyle }$g $x$ X . ${\displaystylease \sigma \in G,$\sigma.

Let ${\displaystyle G}$ be a group and ${\displaystyle V}$ be a vector space of dimension ${\displaystyle G }$ with a basis ${\displaystyle (e_{t})_{t\in G}}$ indexed by the elements of ${\displaystyle G.}$ The left-regular representation is a special case of the permutation representation by choosing ${\displaystyle X=G.}$ This means ${\displaystyle \rho (s)e_{t}=e_{st}}$ for all ${\displaystyle s,t\in G.}$ Thus, the family ${\displaystyle (\rho (s)e_{1})_{s\in G}}$ of images of ${\displaystyle e_{1}}$ are $V{\displaystyle .}$ ${\displaystyle V.}$좌정표현의 정도는$$ 집단의 순서와 같다.

The right-regular representation is defined on the same vector space with a similar homomorphism: ${\displaystyle \rho (s)e_{t}=e_{ts^{-1}}.}$ In the same way as before ${\displaystyle (\rho (s)e_{1})_{s\in G}}$ is a basis of ${\displaystyle V.}$ Just as in th좌-정기표현의 경우, 우-정기표현의 정도는 $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ G$.}$의 순서와 같다.

두 가지 표현 ${\displaystyle {모두}_{}}$ e s${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ e${\displaystyle {{}^{}s{}^{}}_{}}$ -${\displaystyle {{}^{}}_{}{1^{}}_{}}$. {\$displaystyle e_{$s}\$mapsto e_{s$^{-1$}}}$을(를) 통해 이형성이며, 이러한 이유로$$ 항상 따로 정해져 있지 않으며, 종종 "the" 정규 표현이라고 한다.

A closer look provides the following result: A given linear representation ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(W)}$ is isomorphic to the left-regular representation if and only if there exists a ${\displaystyle w\in W,}$ such that ${\displaystyle (\rho (s)w)_{s\in G}}$ is a bas$W$ ${\displaystyle$ W$.}$의 경우

예. Let $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle 5\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z\mathrm{}}$ ${\$ 및$$ $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ V$=\\mathb$ {$R}{5}}},$ 기본${\displaystyle }${$e_$0$$$}. {\displaystystyledes \e_{4}.$$$ 그러면 좌정표현 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle L_{\rho }:$$G\to {\text{GL}}(V)}$ is defined by ${\displaystyle L_{\rho }(k)e_{l}=e_{l+k}}$ for ${\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .}$ The right-regular representation is defined analogously by ${\displaystyle R_{\rho }(k)e_{l}=e_{l-k$${\displaystyle \}\},}$ ${\displaystyle \mathrm{l<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; R\_\{\backslash rho\; \}(k)e\_\{l\}=e\_\{l-k\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/600527148579abdb6c8d2769df098c9a8ec2e711"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:14.712ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="238">}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle 5\mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$. ${\displaystyle k,l\in \mathb {Z} /5\mathb {Z} .}$

표현, 모듈 및 콘볼루션 대수

Let ${\displaystyle G}$ be a finite group, let ${\displaystyle K}$ be a commutative ring and let ${\displaystyle K[G]}$ be the group algebra of ${\displaystyle G}$ over ${\displaystyle K.}$ This algebra is free and a basis can be indexed by the elements of ${\displaystyle G.}$ Most often the 기본은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과(와) 동일하다$.$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 요소 $f{\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ [ G ${\displaystyle ]}${\$displaystyle f\in$K[G$]}$은(는) 다음과 같이 고유하게 표현될 수 있다$$.

${\displaystyle f}$=${\displaystyle \underset{s}{}}$ s ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ G ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ f$=\sum _{s\in G}a_{s}s}$$s$(${\displaystyle s_{}}$에 ${\displaystyle s}$ $\$ K {\$displaystyle a_{s}\in K$

$K{\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle K[G]}$의 곱셈은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 곱셈을 분포적으로 확장한다$$.

Now let ${\displaystyle V}$ be a ${\displaystyle K}$–module and let ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ be a linear representation of ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle V.}$ We define ${\displaystyle sv=\rho (s)v}$ for all ${\displaystyle s\in G}$$$ ${\displaystyle 및}$ $\$ V {\$displaystyle v\$in$$V}. 선형 $확장$에$$${\displaystyle \mathrm{의해}}$ V {\$displaystyle$ V$}$은(는) ${\displaystyle }$ K${\displaystyle }$[ G ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle K[G]}$–모듈의 구조를 부여받는다$$. 반대로 $우리$는 $K{\displaystyle }$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle K[G]}$–$모듈{\displaystyle }$ V ${\displaystyle$ V$}$로부터 G ${\displaystyle G}$의 선형 표현을 얻는다$.$ 또한, 동형 표현은 집단 대수 동형성과의 주관적 대응이다. 따라서 이러한 용어는 서로 교환하여 사용할 수 있다.^[1][2] 이것은 범주의 이형화의 한 예다.

$K{\displaystyle }$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$. ${\displaystyle K=\mathb {C}.}$ 이 경우$$ $왼쪽{\displaystyle \mathbb{}}$ C [${\displaystyle G}$${\displaystyle }$${\displaystyle ]}$$$${\$$displaystyle \mathb {C}[G$$]$–모듈이 C${\displaystyle }$[$]$에 의해 주어진 $자체$가 왼쪽 정규 표현에 해당한다고 가정하자. $같은{\displaystyle \mathbb{}}$ 방법으로${\displaystyle C}$ [${\displaystyle }$G $]$ {\$displaystyle \mathb$ {$C}$ [$G]}$을(를) 오른쪽$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {C}[G]$–모듈은 오른쪽 정규 표현에 해당한다.

다음에서 콘볼루션 대수학을 정의한다: $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$을(를) 그룹, 집합$$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle :=}${${\displaystyle f}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ L$^{1}(G):$$=\{f:G\to \mathbb {C} \}}$ is a ${\displaystyle \mathbb {C} }$–vector space with the operations addition and scalar multiplication then this vector space is isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{ G }.}$ The convolution of two elements ${\displaystyle f,h\in L^{1}(G)}$ defined by

$(\displaystyle f*h):=\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1}s)}$

$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle$ L$^{1}(G)}$을(를) 대수학으로 만든다. 대수 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1{}^{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ L$^{1}(G)}$을(를) 콘볼루션 대수라고 한다$$.

콘볼루션 대수학은 자유롭고 그룹$$ 요소에 의해 색인화된 기초를 가지고 있다:${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}{}_{}}$) s${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$, ${\displaystyle (\delta _{s}_{s\in G}).$

${\displaystyle \property_{s}t(t)={\base}1&t=s\0&{\text{data.}}}\end{case}}$

우리가 얻는 콘볼루션의 속성을 사용해서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}{\Delta }_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ s ${\displaystyle t_{}}$. ${\displaystyle \delta _{s}*\delta _{t}=\delta _{st}.$$}$

We define a map between ${\displaystyle L^{1}(G)}$ and ${\displaystyle \mathbb {C} [G],}$ by defining ${\displaystyle \delta _{s}\mapsto e_{s}}$ on the basis ${\displaystyle (\delta _{s})_{s\in G}}$ and extending it linearly. 분명히 이전 지도는 비굴하다. 위의 방정식에 나타낸 것과 같은 두 가지 기본 원소의 콘볼루션에 대한 면밀한 검사를 통해 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle L^{1}(G)}$의 곱셈이 $C{\displaystyle \mathbb{}}$[ G ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle \mathb {C}[G]$의 곱셈과 일치한다는$$ 것을 알 수 있다.$}$ 따라서$$ 콘볼루션 대수와 그룹 대수는 알헤브라와 같은 이형성이다.

무의식

${\displaystyle f^{*}={\overline {f^{-1}}}}$

$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle L^{1}(G)}$을(를) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$–algebra로 변환한다$$. ${\displaystyle {\Delta }_{}^{}}$ s${\displaystyle {}_{}^{}}$Δ =${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {s{}^{}}_{}}$- ${\displaystyle {1^{}}_{}}$. ${\displaystyle \delta _{s}^{*=\delta _{s$^{s$^-1}.$$}$

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 대표(${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$) ${\displaystyle (\pi ,V_{\pi }}})$는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$–algebra 동형동형성 $\pi {\displaystyle }$: L ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{End}}$(${\displaystyle {}_{}{\pi }_{}}$ )${\displaysty stypi$:$L^{1}(G)\to {\text{End}($${\displaystyle {}_{}}$${\pi }})($$by$ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$s )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \pi (\delta _{s}=\pi (s)).$$}}$ 곱셈은 대수동형성의 특징적 속성이기 때문에$$ $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는${\displaystyle )}$ $\pi {\displaystyle }$(${\displaystyle f=}$ ${\displaystyle h}$ ) =${\displaystyle )}$ ( f ) ${\displaystyle \pi .}$ ${\displaystyle \pi (f*h)=\pi$ ($h)\pi$(h)를 만족한다$.$$}$ ${\displaystyle \pi }$이(가) 단일병합이라면$$ $also$(f )${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \pi ({}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle \pi(f)^{*}=\pi(f^{*})$도 얻는다.$}$ 단일 표현에 대한 정의는$$ 속성 장을 참조하십시오. 그 장에서 우리는 (일반성의 손실 없이) 모든 선형 표현은 단일체라고 가정할 수 있다는 것을 알게 될 것이다.

콘볼루션 대수학을 사용하여 그룹 $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle G.}$에 푸리에 변환을 구현할 수 있다. 조화 분석 영역에서 다음 정의는 $R{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb$ {$R}$에 대한 푸리에 변환의 정의와 일치한다는 것을 보여준다$.$

Let ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })}$ be a representation and let ${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$ be a ${\displaystyle \mathbb {C} }$-valued function on ${\displaystyle G}$. The Fourier transform ${\displaystyle {\hat$${f}(\rho )\in {\text{End}(V_{\rho })$의 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle {\f}(\rho )=\sum _{s\in G}f\rho(s).}$

이 변환은 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\ast }}$ ${\displaystyle \stackrel{}{g}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ (${\displaystyle \rho }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle f\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ (${\displaystyle }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle ^}$ ${\displaystyle g\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ (${\displaystyle \rho }$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\widehat {f*g}(\rho )={\hat{f}(\rho )\cdot{\g}(\rho$ )를 만족한다$.$$}$

표현 간 지도

같은 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 두 표현$({\displaystyle }$ (${\displaystyle }$, V ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, V$$)${\displaystyle }${\$displaystyle (\rho ,V_{\rho }}),\(\tau ,V_{\tau }}}})$ 사이의 지도는 선형$$ 지도 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ $τ$,${\displaystylean$ T$:$$V_{\rho }\to V_{\tau },}$ with the property that ${\displaystyle \tau (s)\circ T=T\circ \rho (s)}$ holds for all ${\displaystyle s\in G.}$ In other words, the following diagram commutes for all ${\displaystyle s\in G}$:

이러한 지도를 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$–선형 또는 등변형 지도라고도 한다. $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 커널, 이미지 및 코커넬은 기본적으로 정의되어$$ 있다. 등가 지도 구성은 다시 등가 지도다. 그 형태로서 등가 지도의 표시 범주가 있다. 그것들은 $다시{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$– modules이다. 따라서 이전 섹션에서 설명한 상관 관계 때문에$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$을(를) 나타낸다.

설명할 수 없는 표현과 슈르의 보조정리

Let ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V)}$ be a linear representation of ${\displaystyle G.}$ Let ${\displaystyle W}$ be a ${\displaystyle G}$-invariant subspace of ${\displaystyle V,}$ that is, ${\displaystyle \rho (s)w\in W}$ for all ${\displaystyle s$$\in G}$과 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ W ${\displaystyle$ w$\\in$ W$\}.$ 제한 $\rho {\displaystyle }$ (${\displaystyle s}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 $W{\displaystyle }$ ${\displaysty W}$의 이소모르프리즘이다. Because ${\displaystyle \rho (s) _{W}\circ \rho (t) _{W}=\rho (st) _{W}}$ holds for all ${\displaystyle s,t\in G,}$ this construction is a representation of ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle W.}$ It is called subrepresentation of ${\$$displaystyle V.}$ 임의의$$ 표현 V에는 적어도 두 개의 하위 표현, 즉 0으로만 구성된 하위 표현과 V 자체로 구성된 하위 표현들이 있다. 만약 이 두 가지가 유일한 하위 표현이라면, 그 표현은 취소할 수 없는 표현이라고 불린다. 일부 저자들은 이러한 표현이 그룹 대수 $C{\displaystyle \mathbb{}[}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {C}[G]}$에 대한 단순한 모듈이라는 점에서 이러한 표현을 단순하다고 부르기도 한다$.$

슈르의 보조정리기는 돌이킬 수 없는 표현들 사이의 지도에 강한 제약을 가한다. $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \rho _{$1}일 경우$:$$G\to {\text{GL}(V_{1})$ 및$$ $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \rho_{2}:$$G\to {\text{GL}(V_{2})$는 모두 수정할 수 없으며, $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$V_{1}\to V_{2}}$ is a linear map such that ${\displaystyle \rho _{2}(s)\circ F=F\circ \rho _{1}(s)}$ for all ${\displaystyle s\in G.}$, there is the following dichotomy:

• $V$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$2 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \rho_{1}=\rho_{2$}}F {\displaystystyle $F}$는 동음이의어($예{\displaystyle :}$ F = ${\displaystyle \text{λ}}$ = ${\$=\lambdaidda {\$lamda$ {\$lamdata.$$\lambda {\displaystyle }$} ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$에 대한$$ ID$}}}.$ 보다 일반적으로 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 및 ${\displaystyle {and}_{}}$ 2 ${\$}}이 이형이라면$$ G-선형 지도의 공간은 1차원이다.
• 그렇지 않으면 두 개의 표현이 이형성이 아닌 경우 F는 0이어야 한다.

^[3]

특성.

두 개의 표현$({\displaystyle \rho }$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$)${\displaystyle }$, (${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$) ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho$ }), $(\pi ,V_{\pi }}})$을 등가 또는 이형이라고 하며, 표현$$ 공간 사이에 $G{\displaystyle }$ ${\displaysty$ G$}$–선형 벡터 $공간$ 이형성이라고 한다. 즉, 이분법적 선형지도 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$, ${\displaystyle T:$$V\_{\displaystyle }$${\rho$ ${\displaystyle \}\backslash \mathrm{to}}$ $V_$${\displaystyle \{\backslash }$$pi$${\displaystyle \}\},}$ 모든 s${\displaystyle }s{\displaystyle }$${\displaystyle }$$. {\displaystyle$T\$circle$ $\rho(s)=\pi($$s)\$$circle T}$와 같이 특히 $동등$한 표현은 같은 정도를 갖는다.

표현$($ ${\displaystyle \{,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ) {\$displaystyle(\pi ,V_{\pi }}})$은 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$이(가) 주입식일$$ 때 충실한 것으로 불린다$$. 이 경우 $\pi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \pi$ $}$은$($는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과(는) 이미지 $\pi {\displaystyle }$(${\displaystyle G}$ ${\displaystyle )}$ 사이에 이형성을 유도한다$.$$}}$ 후자는 ${\displaystyle \text{GL}(V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\text{GL}(V_{\$$pi$ })의 하위 그룹이므로$$, $}$ ${\displaystyle \pi }$을(를${\displaystyle {}_{}}$ 통한 $G{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ $G}$을(를$)$의 하위 그룹이라고$$ 볼 수$$있다$.$$자동}(V_{\pi }).$$}$

범위와 도메인을 제한할 수 있다.

Let ${\displaystyle H}$ be a subgroup of ${\displaystyle G.}$ Let ${\displaystyle \rho }$ be a linear representation of ${\displaystyle G.}$ We denote by ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}(\rho )}$ the restriction of ${\displaystyle \rho }$ to the subgroup ${\displaystyle H.$$}$

혼동 위험이 없는 경우 ${\displaystyle \text{Res}}$ (${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle {\text{Res}(\rho )}$ 또는$$ 짧은 ${\displaystyle \text{Res}}$ ${\displaystyle \rho .}$ ${\displaystyle {\text{Res}\rho .}$에서만 사용할 수 있다.

$Res{\displaystyle }$ H (${\displaystyle V{}_{}}$)${\displaystyle {\textyle {\Res}_{H}(V)}$ 또는 짧은$$ Res (${\displaystyle {\text{Res}(V)}$라는 표기법은 ${\displaystyle$ $G}$의 $표현{\displaystyle }$ V${\displaystytyled$ $H}$에 대한 제한을 나타내는 데 사용되기도 한다$$.

${\displaystyle$ $f$$}$을(를) $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ G${\displaystyle .\}}$ {\$displaystyle {\res}_{H}($$f)$ 또는$$$$ ${\displaystyle \text{res}(f}$)$${\$displaystyle{\displaystyle }$ ${\displaystysty H.}$에 대한 제한으로$$ 설정한다$$.

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}($또는 그에 상응하는 $단순{\displaystyle \mathbb{}}$ C${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {C$$G]]$ –modules)의 수정 불가능한 표현 수가 G${\displaystyle }$. ${\displaystyle G}$의 결합성 클래스 수와 같다는 것을 증명할 수 있다.

표현은 수정 불가능한 표현들의 직접적인 합으로 쓰여질 수 있다면 반실행 또는 완전히 축소할 수 있다고 불린다. 이것은 반실행 대수학의 해당 정의와 유사하다.

표현의 직접 합계에 대한 정의는 직접 합계에 대한 절을 참조하십시오.

표현은 쌍방향 이형성 이형성 불환산성 표현들의 직접적인 합계라면 이형성이라고 불린다.

Let ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ be a given representation of a group ${\displaystyle G.}$ Let ${\displaystyle \tau }$ be an irreducible representation of ${\displaystyle G.}$ The ${\displaystyle \tau }$–isotype ${\displaystyle V_{\rho }(\tau )}$ of ${\displ$$aystyle G}$은(는) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 이형체에서$$ $\tau {\displaystyle .}$ ${\displaystyle \tau.}$까지의 모든 수정 불가능한 하위 표현들의 합으로 정의된다$$.

$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 통한 모든 벡터 공간에는 내부 제품이 제공될 수 있다$$. A representation ${\displaystyle \rho }$ of a group ${\displaystyle G}$ in a vector space endowed with an inner product is called unitary if ${\displaystyle \rho (s)}$ is unitary for every ${\displaystyle s\in G.}$ This means that in particular every ${\displaystyle \rho (s)}$ is diagonaliz가능하다. 자세한 내용은 단일 표현에 대한 기사를 참조하십시오.

A representation is unitary with respect to a given inner product if and only if the inner product is invariant with regard to the induced operation of ${\displaystyle G,}$ i.e. if and only if ${\displaystyle (v u)=(\rho (s)v \rho (s)u)}$ holds for all ${\displ$$aystyle v,u\in V_{\rho }s\s\in G.}$

지정된 내부 제품$({\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle(\cdot \cdot )}$은$({\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$) ${\displaystyle(v u)}$과(v u)을(를) 교환하여 불변 내부 제품으로 대체할 수 있다$$.

${\displaystyle \sum _{t\in G}(\rho (t)v \rho (t)u.}$

따라서 일반성의 상실 없이 우리는 더 이상 고려되는 모든 대표성이 단일하다고 가정할 수 있다.

예. Let ${\displaystyle G=D_{6}=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2},\nu ,\mu \nu ,\mu ^{2}\nu \}}$ be the dihedral group of order ${\displaystyle 6}$ generated by ${\displaystyle \mu ,\nu }$ which fulfil the properties ${\displaystyle {\$$텍스트{ord}}(\nu )=2,{\$$text{ord$$}}}(\mu )=3$$}$ 및 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ =${\displaystyle {\mu 2\mathrm{}}^{}}$. ${\displaystyle \nu \nu$\nu =\$mu ^{2}}}}$ ${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle {}_{}{6\mathrm{}}_{}}$ → ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle C}$ )$${\$displaystylease \rho$:$D_D_{{{{{{{{}}}}}}$$GL}_{3}(\mathb {C} )}$은(는) 생성기에 정의된$$ ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ 6 ${\$의 선형 표현이다$$.

${\displaystyle \rho (\mu )=\left({\begin{array}{ccc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&0&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\0&1&0\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&0&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,\,\,\rho (\nu )=\left({\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}}\right).}$

이 표현은 충실하다. 서브스페이스 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle e{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$2{\displaystyle {}_{}}$}}: ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$6 {\$displaystyle$D_${6$invariant 하위공간이다$$. 따라서 비종교적 하위표현 represent $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{\mathbb{}}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$: ${\displaystyle {D\mathrm{}}_{}}$ 6${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$D\_{\displaystyle }$${6}\to$ ${\displaystyle \backslash }$$mathb {C}$${\displaystyle }$$^{\time$ ${\displaystyle \mathrm{\}\},}}$ ${\displaystyle \mathrm{1<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash rho\; |\_\{\backslash mathbb\; \{C\}\; e\_\{2\}\}:D\_\{6\}\backslash to\; \backslash mathbb\; \{C\}\; ^\{\backslash times\; \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f964a1e6adb4c98ae81f3951657b031e40d90d66"\; style="vertical-align:\; -1.171ex;\; width:16.584ex;\; height:3.176ex;"\; papago-attr-id="430">}}$,${\displaystyle \mu \mapsto }$ 1. ${\displaystyle \nu \mapsto -1,\mu \mapsto 1.}$ 따라서$$ 표현은 되돌릴 수 없다. 언급된 하위 표현은 정도 1이고 다시 설명할 수 없다. $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle e{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 보완적 하위 공간도$$ $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$invariant이다. 따라서 with$$ ${\displaystyle {}_{\mathbb{}}}$ e ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ C ${\displaystyle {{e\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {3{}_{}}_{}}$ ${\$을(를) 와 함께 구한다.

${\displaystyle \nu \mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,\,\,\mu \mapsto {\begin{pmatrix}\cos({\frac {2\pi }{3}})&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{pmatrix}}.}$

이 하위 표현은 또한 수정할 수 없다. 즉, 원래 표현은 완전히 축소할 수 있다.

${\displaystyle \rho =\rho _{\mathb {C} e_{2}}\oplus \rho _{\mathb {C} e_{1}\oplus \mathb {C}e_{3}}}}.}$

두 하위 표현은 모두 등형이며, two.의 $0$이 아닌 두 개의 등형이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \rho.}$

$\rho {\displaystyle }$(${\displaystyle \mu }$) ${\$$displaystyle \rho }$과${\displaystyle (}와{\displaystyle }$) ${\$$displaystyle \$$mathb {C} ^3}$의 표준 내제품과 관련하여 $\rho {\displaystyle }$ (${\displaystyle \mu }$ ) {\$displaysty$ \$rho (\nu$)가 단일하기 때문에$$$$ 표현은 $단일$하다.

$T{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ T$:\mathb {C} ^{3}\to \mathb {C} ^3}$을(를) 벡터 공간 이형성이 되도록$$ 하라. $그{\displaystyle }$ 다음 :${\displaystyle }$D ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle GL\mathbb{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( C${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\디스플레이$ 스타일 $\eta$:$D_{6}\to {\text{$$GL$$}_{3}(\$${\displaystyle \mathrm{mathb}}$ ${C}),$ 식 $equation{\displaystyle }$( ) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle T\circ }$ ( ${\displaystyle s}$ )${\displaystyle ){}^{}}$ - ${\$ ($s):$$=T\circle \rho (s)\circle$ T$^{-1}$ 모든 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle s\in D_{6}}}$에 대한$$ 표현 이형이다${\displaystyle .}${\$displaystyle \rho .}$

By restricting the domain of the representation to a subgroup, e.g. ${\displaystyle H=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2}\},}$ we obtain the representation ${\displaystyle {\text{Res}}_{H}(\rho ).}$ This representation is defined by the image ${\displaystyle \rho (\mu ),}$ whose expript 형식은 위와 같다.

시공

이중표현상

$\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$ ${\displaystyle (V}$) ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}(V)}$을(를) 지정된 표현으로$$ 두십시오. 이중표현 또는 역순표현 $\rho {\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle \rho ^{*:$$G\to {\text{GL}(V^{*})$은 V${\displaystyle }$. ${\displaystyle V}$의 이중 벡터 $공간$에 있는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$을(를) 표현한 것으로$$$$ 속성에 의해 정의된다.

$\displaystyle \forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \left(\rho ^{*})(v)=\alpha \left(\rho \{-1}\right)v\right.}$

$α$ , v$$${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle :=}$α$$(${\displaystyle v}$)${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ $\langle$\langle \$langle \alpha$ ,$v\$$rangele :=\$alpha ($v$$)}$와 관련하여 위의 정의는$$ 다음과 같은 방정식을 제공한다.

${\displaystyle \forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \langle \rho ^{*(s)(\alpha ),\rho(s)\langle \alpha,v\langle .}$

예를 들어 이 항목의 기본 페이지를 참조하십시오. 이중 표현.

표현 직접합계

Let (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 1$$) {\$displaystyle$(\$rho _${1$},$$V_$${1}}$ 및$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\rho \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$, V ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (\rho _{2},$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ $2$${\displaystyle {}_{}}$, ${\$$displaysty G_{1},$ ${\$$displaystysty G_{2$}을$$ $각각{\displaystyle {}_{}}$$$ 나타내도록$$ 한다$.$ 이러한 표현들의 직접적인 합은 선형 표현이며 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \forall s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{1},v_{1},v_{1},v_{2}\in V_{2}:\qquad {\begin}\rho _{1}, \o \lus \rho_{2}:G_{1}\time G_{2}\text{GL}(V_{1}\oplus V_{2})\\[4pt](\rho_{1}\oplus \rho _{1}\rho_{2})(s_{1},s_{2})(v_{1},v_{2}):=\rho _{1}v_{1}v_{1}\oplus \rho_{2}(s_{2})v_{2}v_{2}\case}}}}}$

Let ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$ be representations of the same group ${\displaystyle G.}$ For the sake of simplicity, the direct sum of these representations is defined as a representation of ${\displaystyle G,}$ i.e. it is given as ${\di$$splaystyle \rho _{1}\oplus \rho _{2}:$$G$$$${\$$text{GL$}($V_{1}\oplus$ V_${2})$을(를${\displaystyle )}$ G × $.$ {\$displaystyle$ G$.}$의 대각선 부분군으로 보고$$ 있음

예. Let ($여기$서 i ${\displaystyle i}$ 및$$ $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$은(는) 각각 가상의 단위와 단일성의 원시 큐브 루트:

${\displaystyle {\begin}\rho _{1}:\mathb {Z} /2\mathb {Z} \to {\text}GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathb {C} )\\[6pt]\rho_{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\0&\nomega ^{2}\end{pmatrix}}\case{pmatrix}}}}}}}}$

그러면

${\displaystyle {\begin}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:\mathb {Z}\times \mathb {Z} /3\mathb {Z}\text{\text{\text}}GL}}\왼쪽(\mathb {C} ^{2}\oplus \mathb {C} ^{3}\오른쪽)\\[6pt]\left(\rho _{1}\oplus \rho _{2}\right)(k,l)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(k)&0\\0&\rho _{2}(l)\end{pmatrix}}&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}}$

생성 요소의 이미지를 충분히 고려할 수 있기 때문에, 우리는 다음과 같은 것을 발견한다.

${\displaystyle (\rho _{1}\oplus \rho _{2})(1,1)={\begin{pmatrix}0&-i&0&0&0\\i&0&0&0&0\\0&0&1&0&\omega \\0&0&0&\omega &0\\0&0&0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}}$

표현 텐서 제품

$\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}{G\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \rho _{1}:$$G_{1}\to {\text{GL}(V_{1}),\rho _{2}:$$G_{2}\to {\text{GL}(V_{2})$는 선형$$ 표현이다. 선형 표현 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ) $displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{$$2$}:$G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})}$ into the tensor product of ${\displaystyle V_{1}}$ and ${\displaystyle V_{2}}$ by ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}(s_{1},s_{2})=\rho _{1}(s_{1})\otimes \rho _{2}(s_{$$2}),}$ in which ${\displaystyle s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2}.}$ This representation is called outer tensor product of the representations ${\displaystyle \rho _{1}}$ and ${\displaystyle \rho _{2}.}$ The existence and uniqueness is a consequence of the properties of the tensor 제품

예. 우리는 직접 합계에 대해 제공된 예를 재검토한다.

${\displaystyle {\begin}\rho _{1}:\mathb {Z} /2\mathb {Z} \to {\text}GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathb {C} )\\[6pt]\rho_{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\0&\nomega ^{2}\end{pmatrix}}\case{pmatrix}}}}}}}}$

외측 텐서 제품

${\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}\otimes \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3})\\(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(k,l)=\rho _{1}(k)\otimes \rho _{2}(l)&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}}$

$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ C 3 ≅ C ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 표준 기준을 사용하여 생성 요소에 대해 다음을$$ 제공한다.

${\displaystyle \rho_{1}\otimes, 0&, 0&, -i&, 0&,-i\omega \\0&, 0&, 0&, 0&,-i\omega&0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&0&,i\omega&0&, 0&, 0\\0&,i\omega&0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&,i\omega ^{2}&, 0&, 0&, 0\end _ᆬ(1,1)=\rho _ᆭ(1)\otimes \rho _ᆮ(1)={\begin{pmatrix}0&-i\omega ^{2}\\i& \rho.{pmatrix}}}$

비고. 직접 합과 텐서 제품은 각도가 다르므로 표현 방법이 다르다는 점에 유의하십시오.

$\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{GL}}$ ${\displaystyle ({V\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$) ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \rho _{1}:$$G\to {\text{GL}(V_{1}),\rho _{2}:$$G\to {\text{GL}(V_{2})$는 동일한 그룹의 두 개의 선형 표현이다$$. Let ${\displaystyle s}$ be an element of ${\displaystyle G.}$ Then ${\displaystyle \rho (s)\in {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})}$ is defined by ${\displaystyle \rho (s)(v_{1}\otimes v_{2})=\rho _{1}(s)v_{$$1}\otimes \rho _{2}(s)v_{2},}$ for ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},}$ and we write ${\displaystyle \rho (s)=\rho _{1}(s)\otimes \rho _{2}(s).$$}$ ${\$$displaystyle s\mapsto \rho(s)}$ $지도$는 ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ G$,}$의 선형 표현을 정의하는데$$, 이 $표현$을 tensor product라고도 한다.

이 두 사건은 엄격히 구분해야 한다. 첫 번째 경우는 그룹 제품을 해당 표현 공간의 텐서 제품으로 표현한 것이다. 두 번째 사례는 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 이 한 그룹의 두 개의 표현 공간의 텐서 제품으로 표현한$$ 것이다. 그러나 이 마지막 경우는 대각선 부분군 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \times }$ G${\displaystyle }$. ${\displaystyle G\times$ G$.}$에 초점을 맞추면 첫 번째 경우의 특수한 사례로 볼 수 있다. 이$$ 정의는 한정된 횟수로 반복될 수 있다.

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ $및{\displaystyle }$ W$$ ${\$$displaystyle W}$을(를) G${\displaystyle }$. {\$displaystyle G.}$ 그룹의 표시로 설정한$$ 다음$$ ${\displaystyle \text{Hom}(V}$, ${\displaystyle W)}$ ${\displaystyle {\text{$$홈}(V,W)}$은(는) 다음과 같은 정체성에 의한 표현이다. ${\displaystyle {\text{$$홈}}(V,W)=V^{*}\otimes W$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{Hom}(V,}$ W${\displaystyle }$) ${\displaystyle B\in {\text{$$홈$$}(V,W)}$ 및 ${\displaystyle \rho}$을(를) 홈${\displaystyle (V}$, ${\displaystyle W}$)에 대한 표현으로$$ 두십시오${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\text{$$홈}(V,W).$$}$ ${\displaystyle$ $\rho_{V}$을(를${\displaystyle )}$ V {\$displaystyle V}$ 및 ${\displaystyle {\rho }_{}}$ W {\$displaystyle$$\rho_{W$$}$에 표시하도록 한다. 그러면$$$$ 위의 ID는 다음과$$ 같은 결과를 초래한다.

${\displaystyle \rho (s)(B)v=\rho _{W}(s)\circ B\circ \rho _{V}(s)v}$ for all ${\displaystyle s\in G,v\in V.}$

정리. The irreducible representations of ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ up to isomorphism are exactly the representations ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{2}}$ in which ${\displaystyle \rho _{1}}$ and ${\displaystyle \rho _{2}}$ are irreducible representations of $$${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ G ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle G_{2$}} 각각$$$.$

대칭 및 교대 사각형

Let ${\displaystyle \rho :G\to V\otimes V}$ be a linear representation of ${\displaystyle G.}$ Let ${\displaystyle (e_{k})}$ be a basis of ${\displaystyle V.}$ Define ${\displaystyle \vartheta :V\otimes V\to V\otimes V}$ by extending ${\displaystyle \vartheta (e_k\otimes e_j)=e_{}}$${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 선형적으로$$. It then holds that ${\displaystyle \vartheta ^{2}=1}$ and therefore ${\displaystyle V\otimes V}$ splits up into ${\displaystyle V\otimes V={\text{Sym}}^{2}(V)\oplus {\text{$$Alt}^{2}(V),$ 이 경우$$

${\displaystyle {\text{Sym}^{2}(V)=\{z\in V\otimes V:\vartheta(z)=z\}}}$

${\displaystyle {\text{Alt}}^{2}(V)=\bigwedge ^{2}V=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=-z\}.}$

이러한 하위 공간은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$–상변하며, 이에 의해 각각 대칭 제곱과 교대 제곱이라고 하는 하위 표현을 정의한다. 이러한 하위 표현은 쐐기 제품인 $V{\displaystyle {}^{}{\otimes m}^{}}$, {\$displaystyle$ V$^{\otimes m}$에도 정의되어 있지만$$, 이 경우에는${\displaystyle \stackrel{}{}}$쐐기 제품인 ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ V$${\$displaystyle \bigwedge ^{m}V$${\displaystyle \}}$와 대칭 제품인 ${\displaystyle {\text{Sym}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$($V$) .$${\$displaystym}{\sym}}}}}}$에 정의되어 있다$.$$}$ > 2 , {\$displaystyle m>2}$의 경우, ${\displaystyle {\mathrm{벡터}}^{}}$ $공간{\displaystyle {}^{}}$ V$m$ {\$displaystyle V$^{\$otimes$ m$}}$은 일반적으로 이 두 제품의 직접 합과 같지 않다.

분해

표현을 보다 쉽게 이해하기 위해서는 표현 공간을 보다 간단한 하위 표현들의 직접적인 합으로 분해하는 것이 바람직할 것이다. 이것은 우리가 다음 결과에서 보게 될 것처럼 유한 집단에 대해 달성될 수 있다. 자세한 설명과 증거는 [1]과 [2]에서 찾을 수 있다.

정리. (마스크)${\displaystyle }$) : $G{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}(V)}$는 선형 표현이며$$, 여기서 V ${\displaystyle V}$은 특성 0의 영역에 걸친 벡터 공간이다$$. $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $W$$}$을(를$)$ $V{\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle V.}$의 Invariant$$ 하위공간으로$$ 두십시오. 그러면$$ $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W$$}$의 $보완{\displaystyle {}^{}}$ W ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$ W$^{0}$이($가{\displaystyle }$) $V{\displaystyle }$${\displaystystyle$V}에 존재하며$$ G$}$ -invariant가$$ 된다.

하위표현과 그것의 보완이 표상을 고유하게 결정한다.

다음과 같은 정리는 콤팩트(compact)의 표현에 대해 매우 아름다운 결과를 제공하므로, 보다 일반적인 방법으로 제시될 것이다. 따라서 유한 – 그룹의 표현에도 매우 아름다운 결과를 제공한다.

정리. 특징 0의 영역에 걸친 콤팩트 집단의 모든 선형 표현은 되돌릴 수 없는 표현들의 직접적인 합계다.

$또는{\displaystyle }$ K${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle K[G]}$ -modules$$: ${\displaystyle \text{char}(K}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\text{char}(K)=0,}$ 그룹$$ 대수학 $K{\displaystyle }$[${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle K[G]}$이(가) 반실행된 경우$$, 즉 단순한 알헤브라의 직접 합이다.

이 분해는 고유하지 않다는 점에 유의하십시오. 그러나 이 분해에서 주어진 불가해한 표현에 대한 하위표현 이형성(submorphisation)이 얼마나 많이 발생하는지는 분해의 선택과 무관하다.

표준 분해

독특한 부패를 이루려면 서로 이형성인 불가해한 부전사를 모두 결합해야 한다. 즉, 표현 공간이 이등형의 직접적인 합으로 분해된다는 것이다. 이 분해는 독특하게 결정된다. 그것은 표준 분해라고 불린다.

Let (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ) ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ I ${\$ I$}}}}$은(는) 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 이소모르프리즘에 이르는$$ 모든 불가해한 표현들의 집합이다$$. Let ${\displaystyle V}$ be a representation of ${\displaystyle G}$ and let ${\displaystyle \{V(\tau _{j}) j\in I\}}$ be the set of all isotypes of ${\displaystyle V.}$ The projection ${\displaystyle p_{j}:$표준 분해에 해당하는$$ $V\to V(\tau _{j})$는

${\displaystyle p_{j}={\frac {n_{j}}}}\sum _{t\in G}{\cHI_{\tau_{j}}}}\rho(t),}$

where ${\displaystyle n_{j}=\dim(\tau _{j}),}$ ${\displaystyle g={\text{ord}}(G)}$ and ${\displaystyle \chi _{\tau _{j}}}$ is the character belonging to ${\displaystyle \tau _{j}.$$}$

다음에서는 사소한 표현에 대한 이등형을 결정하는 방법을 보여 준다.

정의(투영 공식). 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 표현$({\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle(\rho ,V)$에 대해 정의한다$$.

${\displaystyle V^{G}=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\,\,\forall \,s\s\in G\}}$

${\displaystyle \mathrm{일반적}}$으로 $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$: V${\displaystyle }$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho(s):$$V\to V}$이(가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ -선형이$$ 아님$$. 우리는 정의한다.

${\displaystyle P:={\frac {1}{G}}\sum _{s\in G}\rho(s)\in {\text{End}(V).}$

그 $다음{\displaystyle }$ P$${\$displaystyle P$}은(는) G$${\$displaystyle$G} -선형$$ 맵이며$$, 다음과 같은 이유로

${\displaystyle \forall t\in G:\qquad \sum _{s\in G}\rho(s)=\sum _{s\in G}\rho(tst^{-1})}$

제안. 맵 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle G^{}}$. ${\displaystyle$ V$^{G}($으)로$$ 투영된 것이다$$.

이 명제는 우리에게 주어진 표현에 대한 사소한 하위 표현에 대한 이등형을 명시적으로 결정할 수 있게 해준다.

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 사소한 표현이 얼마나 자주 발생하는지는 ${\displaystyle \text{Tr}}$( ${\displaystyle P}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\text{Tr}(P$)가 알려준다$$$.$$}}$ 이$$ 결과는 투영의 $고유값$이 0 ${\displaystyle 0}$ $또는$ 1 ${\displaystyle 1}$에 불과하고$$ $고유값{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1$}에 해당하는 아이겐스페이스가 투영의 이미지라는 사실에$$ 따른 결과다. 투영의 궤적이 모든 고유값의 합이기 때문에, 우리는 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\dim 스타일 \dim(V(1)=\dim(V^{G})=Tr(P)={\frac {1}{{{1}}}\sum _{s\in G}\chi _{V},}}$

여기서 $V{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle V($1)는$$사소한 표현에 대한 등형형을 나타낸다$$.

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) G${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ G$.}$을(를) 비교할 수 없는 비독점적 표현으로 하자$$. 그러면$$$then{\displaystyle }$ {\$displaystyle \pi}$의 사소한 표현에 대한 이등형이 null 공간이다$$. 즉, 다음 방정식이

${\displaystyle P={\frac {1}{ G}}\sum _{s\in G}\pi=0.}$

$e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . . . . ${\displaystyle e_{}}$ ${\$1}, $..., e_{n}}$을(를) V ${\displaystyle {\pi }_{}}${\$displaystyle V_{\pi$}}의 정형근거가 되게$$ 하라. 그러면 다음이$$ 있다.

${\displaystyle \sum _{s\in G}{\text}}(\pi(s))=\sum _{s\in G}\sum _{j=1}^{n}\langle \pi (s)e_{j}\langle \pi (s){s}\in G}pi_{j}e}\j}\rigle =0.}$

따라서 다음 사항은 비교 불가 표현 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 유효하다$.$

${\displaystyle \sum _{s\in G}\chi _{V}=0.}$

예. Let $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Per}}$ (${\displaystyle }$3${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ G$={\text{Per}(3)}$을(를) 세 가지 요소로 이루어진 순열 그룹으로 한다$$. Let $\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle \text{Per}}$ (${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 5${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \rho :{\text}}(3)\to {\text}$$GL}}_{5}(\mathb {C} )}$은(는) 생성 요소에 정의된$$ ${\displaystyle \text{Per}(3}$ )${\displaystyle {\text{Per}(3)$의 선형 표현이다.

${\displaystyle\rho(1,2)={\begin{pmatrix}-1&, 2&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 1\end{pmatrix}},\quad\rho(1,3)={\begin{pmatrix}{\frac{1}{2}}&{\frac{1}{2}}&0&, 0&, 0\\{\frac{1}{2}}&-1&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 1\\0&.;0&, 0&, 1&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0\end{pmatrix}},\quad\rho(하루에 2,3)={\begin{pmatrix}0&, -2&, 0&, 0&, 0\\-{\frac{1}{2}}&0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0&.1&0\end{pmatrix}.}$

이 표현은 다음 $\pi$${\displaystyle \pi }$이(가) 나타내는$$ ${\displaystyle \text{Per}}$( ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle${\$text{Per}}(3)$의 왼쪽 정규 표현과${\displaystyle }\eta {\displaystyle }$ : ${\displaystyle \mathrm{Per}}$(${\displaystyle }$3${\displaystyle }$) → ${\displaystyle GL\mathbb{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( C$){\displaystystyle \eta :{\$$text{{Per}(3$)}}}{{\text$}}}\text$}\$text$}\text}\\text$}\\\\\\\$text}을 처음 살펴볼 때 분해할 수 있다.$GL}_{2}(\mathb {C} )}$과(와)

${\displaystyle \eta (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}},\quad \eta (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-1\end{pmatrix}},\quad \eta (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2\\-{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}.}$

다음 장에서 가져온 무효화 기준의 도움으로 we ${\displaystyle \eta }$은(는) 재확정할 수 없지만 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}은$$(는) 재확정할 수 없다는 것을 알 수 있었다. 그 이유는 (아래 "내부 제품 및 문자"의 내부 제품 측면에서)${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\eta }\eta }$ )${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$(${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$)${\displaystyle }$= 2${\displaystyle (\eta \eta )=1$, $(\pi \pi )=2$가 있기 때문이다$.$$}$

$C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\${${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$$} ^3}$의 하위 공간 C(e 1${\displaystyle {}_{}}$+ e 2 + e 3 ) {\$displaystyle \mathb {C}{2}+e_{3}}}$는 왼쪽 $정규$ 표현과 관련하여 불변한다$$. 이 하위 공간에 국한되어 우리는 사소한 표현을 얻는다.

The orthogonal complement of ${\displaystyle \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})}$ is ${\displaystyle \mathbb {C} (e_{1}-e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}-2e_{3}).$$}$ 위에서 살펴본 $바$와 같이 G ${\displaystyle G$불변량인 이 하위 공간에 제한되어$$ 다음이 $제공$하는 표현$$ $\$ {\$displaystyle \tau$}을$($를) 얻음

${\displaystyle \tau (1,2)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \tau (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\quad \tau (2,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.}$

다시 한 번, 다음 장의 비확정성 기준을 사용하여 $use{\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$이(가) 무효임을 증명할 수 있다. 현재 $\eta {\displaystyle (s}$ ${\displaystyle )}$= B${\displaystyle }$τ(s ) = ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau (s}$) ${\displaystyle \circ }$ -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$$eta$($s)=$ because ${\displaystyle$ \eta}과$$ $=$ ${\$displaystyle \$eta($s$)}$은 이형성이므로$$ 이형성이 있다.${\displaystyle \text{모든}}$ $s{\displaystyle }$$irc$ Per ( 3 ) , {\displaystyle $s\$$in {\text{Per}}(3)$에 대해 B\circle $\tau($${\displaystyle \mathrm{s}}$$)\circle$ B$^{$1}-$1}{$1}:{1}:{1$}:{$2}}: $B$ : ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}{}^{}}$→ $:\displaystyleb {C} ^$2}}: $매트릭스에 주어진다$.

${\displaystyle M_{B}={\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle (\rho ,\mathb {C} ^{5}}$을(를) 변경할 수 없는 하위 표현으로$$ 분해하면 다음과 같다:${\displaystyle }$$\rho {\displaystyle }$=${\displaystyle \tau }$ η$$ 1 {\$displaystyle$ $\rho =\ta$ \$oplus$ \$oplus$ 1$}$ 여기서$$ $1$은 사소한 표현과(으)을 나타낸다$$.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5})}$

표현 공간의 해당 분해.

우리는 모든 이소모르픽 unreducable 하위 표현들을 조합하여 표준 분해물을 얻는다: ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1 :${\displaystyle \eta }$ {${\displaystyle }${ { \$\$ \$rho _{1$}: $\eta$$$\$oplus \tau }}}}}}$는$$\ {\$displaystyle$ \$tau$\$rho }$ -isotype$$}이며$$, 따라서$$ 표준 분해는 주어진다.

${\displaystyle \rho =\rho _{1}\oplus 1,\qquad \mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2},e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5}).}$

위의 이론들은 일반적으로 무한대의 그룹에는 유효하지 않다. 이는 다음 예에 의해 입증될 것이다.

${\displaystyle G=\{A\in {\text}GL}_{2}(\mathb {C} ) \,A\,\,{\text{는 위쪽 삼각 행렬}}\}.}$

매트릭스 곱셈 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과(와) 함께 무한 그룹이다$$. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은(는) 매트릭스 벡터 곱셈에$$ $의해{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle \mathb{C} ^2}}$에 작용한다$$. 우리는 표현 ${\displaystyle \rho }$(${\displaystyle }$A )${\displaystyle }$= A ${\displaystyle \rho (A)=$를 고려한다.$모든{\displaystyle }$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle A\in G.}$ 하위$$$$ 공간 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ e ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {C} e_${1}$는 G$${\$displaystyle G}$ - invariant$$ 하위 공간이다$$. 그러나 이 하위 공간에는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}-$invariant$$ 보완물이 존재하지 않는다. 그러한 보수가 존재한다는 가정은 모든 행렬이 $C{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb {C}$에 걸쳐 대각선으로 처리될 수 있다는 것을 수반할 것이다$.$ 이는$$ 잘못된 것으로 알려져 모순을 낳는다.

이 이야기의 교훈은 우리가 무한한 집단을 고려한다면, 어떤 대표성, 즉 되돌릴 수 없는 하나의 대표성조차도, 되돌릴 수 없는 하위 대표성의 직접적인 합으로 분해될 수 없다는 것이다.

특성 이론

정의들

표현 ${\displaystyle \rho }$ :${\displaystyle }$G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{GL}}$ ${\displaystyle (V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}(V)}$의 문자는 지도로 정의된다$$.

${\displaystyle \chi _{\rho }:$$G\to \mathb {C},\chi _{\rho }s:$$={\text}{Tr}(\rho(s)},$ ${\displaystyle \text{여기}}$서 Tr${\displaystyle }$( ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle }$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle {\Tr}(\rho)}$은 선형 지도 $\rho {\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \rho(s$)의 추적을 나타낸다$$$.$$}$^[4]

비록 등장인물이 두 집단 사이의 지도라 할지라도, 그것은 다음 예에서 알 수 있듯이 일반적으로 집단 동형성이 아니다.

$\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ 2 ${\displaystyle Z\mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$→ ${\displaystyle GL\mathbb{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( C${\displaystyle }$) ${\displaystyle \rho :\mathb {Z} /2\mathb {Z} \times \mathb {Z} /2\mathb {Z} \text{\text}$$GL}_{2}(\mathb {C} )}$은(는) 다음에 의해 정의된 표현이다$$.

${\displaystyle \rho (0,0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,0)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho (0,1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho (1,1)={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

문자 ${\$은(는) 다음과 같이 주어진다$$.

${\displaystyle \chi _{\rho }(0,0)=2,\displaystyle \chi _{\rho }}=2,\display \chi _{\rho }(1,1)=0.}$

순열 표현 문자는 특히 계산하기 쉽다. V가 유한 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 왼쪽 동작에 해당하는 G-표현인 경우$,$

$\displaystyle \chi _{V}= \{x\in X\cdot x=x\} .}$

예를$$ 들어 ^[5]$정규{\displaystyle }$ 표현 R ${\displaystyle R}$의 문자는

${\displaystyle \chi _{R}={\begin}0&s\neq e\\\G&s=e\end},}$

여기서 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$은(는) $G{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ G$.}$의 중립 요소를 나타낸다$$.

속성

문자의 중요한 속성은 공식이다.

$\displaystyle \chi(tst^{-1}=\chi)(s),\,\,\forall \,s,t\in G.}$

이 공식은 두 개의 정사각형 행렬의 제품 AB의 흔적이 BA의 흔적과 동일하다는 사실에서 따온 것이다. 그러한$$ $공식$을${\displaystyle 만족}$하는$$함수 G → C {\$displaystyle G\to$\mathb {$C}을($를) 클래스 함수라고 한다. Put differently, class functions and in particular characters are constant on each conjugacy class ${\displaystyle C_{s}=\{tst^{-1} t\in G\}.}$ It also follows from elementary properties of the trace that ${\displaystyle \chi (s)}$ is the sum of the eigenvalues of ${\displays$$\rho(s)}$을(를) 여러 가지 방법으로$$ 구분하십시오. 표현 정도가 n이면 합은 n이다. s에 순서 m이 있으면 이러한 고유값은 모두 통일의 m-th 뿌리다. This fact can be used to show that ${\displaystyle \chi (s^{-1})={\overline {\chi (s)}},\,\,\,\forall \,s\in G}$ and it also implies ${\displaystyle \chi (s) \leqslant n.}$

ID 매트릭스의 추적은 행의 수이기 $때문$에 ${\displaystyle ((e}$) = ${\displaystyle n,}${\$displaystyle \chi(e)=n,},$ $여기$서 e$${\$displaystyle$e}은 G ${\displaystyle$G}의 중립 요소이고 n은 표현의 차원이다. In general, ${\displaystyle \{s\in G \chi (s)=n\}}$ is a normal subgroup in ${\displaystyle G.}$ The following table shows how the characters ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2}}$ of two given representations ${\d$$isplaystyle \rho _{1}:$$G\to {\text{GL}(V_{1}),\rho _{2}:$$G\to {\text{GL}(V_{2})$는 관련 표현 문자를 생성한다.

몇 가지 표준 구성의 문자

표현	캐릭터
이중 대표. ${\displaystyle V_{1}^{*}}}$	${\displaystyle \chi _{1}^{*}={\overline {\chi _{1}}.}$
직합 ${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}:$	$\displaystyle \chi _{1}+\chi _{2}.}$
그 표현의 제약. ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}$	$\displaystyle \chi _{1}\chi _{2}.}$
대칭 제곱 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle Sym^{2}(V)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\chi(s)^{2}+\chi(s^{2})\오른쪽)}$
교대 제곱 $\bigwedge {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{2\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{2}V}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽(\chi(s)^{2}-\chi(s^{2})\오른쪽)}$

By construction, there is a direct sum decomposition of ${\displaystyle V\otimes V=Sym^{2}(V)\oplus \bigwedge ^{2}V}$. On characters, this corresponds to the fact that the sum of the last two expressions in the table is ${\displaystyle \chi (s)^{2}}$, the character of ${\dis$플레이 $스타일 V\times V$

내부 제품 및 캐릭터

등장인물에 대해 특히 흥미로운 결과를 보여주기 위해, 그룹에 더 일반적인 유형의 함수를 고려하는 것이 보람 있다.

정의(클래스 함수) 함수 ${\displaystyle \phi }$: G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$의$$결합성 클래스에서 일정하면 클래스 함수라고 부른다$$.

$\displaystyle \forall s,t\in G:\quad \varphi \left(sts^{-1}\right)=\varphi (t)}$

매트릭스의 추적이 결합 아래에 보존되기 때문에 모든 문자는 클래스 함수라는 점에 유의하십시오.

모든 클래스 함수의 $집합$은 C 클래스$($${\displaystyle G}$) {\$displaystyle \mathb{C}$} –algebra이며 ${\displaystyle {\text{C}}_{}}$ 클래스${\displaystyle {}_{}}$G$$) {\$displaystyle \mathb{C} _{\text{class}(G)})$로 표시되며$,$ $치수$는${\displaystyle }$G$$. {\$displaystyledaysty G.$

이 장의 다음 결과에 대한 증거는 [1], [2] 및 [3]에서 찾을 수 있다.

내부 제품은 유한 그룹의 모든 클래스 기능 집합에서 정의될 수 있다.

${\displaystyle (f h)_{G}={\frac {1}{G}}}{{G}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}}}}}}$

정형외과적 특성. χ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\chi$ $_$${1},\ldots ,\chi _{k$$}}$의 구별할 수 없는 문자인$$ 경우$,$ 위에서 정의한 내부 제품과 관련하여 모든 클래스 기능의 벡터 공간에 대한 직교적 기준을 형성한다$.$

• ${\displaystyle(\chi _{i} \chi _{j}={\case}1{\text{{}i=j\\0}\text{}이(가) 아니면 }\end{case}}.}$
• 모든 클래스 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\chi \mathrm{}}_{}}$ 1 , …,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 고유한 선형 조합으로 표현될 수 있다$$$.$

모든 비영역 문자와 직교하는 비영역 클래스 함수가 존재하지 않음을 보여줌으로써$$ 비영역 문자가${\displaystyle {}_{}}$C ${\displaystyle {\text{클래스}}_{}}$ ($){\displaystyle \mathb {C} _{\text{class}(G)}$를 생성하는지 확인할 수 있다. $【\displaystyle \rho }$표현$$ 및 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 클래스$$ 함수의 경우, 【${\displaystyle f_{}}$ =$)】.】\displaystyle \rho _{f}=\sum _{g}f(g)\rho(g$)】를 나타낸다$.$$}$ Then for ${\displaystyle \rho }$ irreducible, we have ${\displaystyle \rho _{f}={\frac { G }{n}}\langle f,\chi _{V}^{*}\rangle \in End(V)}$ from Schur's lemma. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 모든 문자와 직교하는 클래스 함수라고 가정하십시오. 그 다음 위에 따라 $\rho {\displaystyle }$f${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\$$displaystyle \rho$ $_{f}=0}$이$($가) rereducable될$$ 때마다$$ $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ = ${\displaystyle 0}$이(가) 있다. 그러나 모든$$by {\displaystyle $\rho _{f}=0}$에 대한$$ 분해능에 따라 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle f_{}}$ =${\displaystyle {}_{}0}$ ${\$$displaystyle \rho$ $\}$을(를) 따른다. $representation{\displaystyle }$ {\$displaystyle \rho }$을(를) 정규 표현으로 삼으십시오$$$.$ 특정 기본 요소 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$에$$$to$ f ${\$g} {\displaystyle g}을(를) 적용하면 ${\displaystyle \mathrm{f}}$( g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ f$(g)=0}$이(${\displaystyle 가}$) 된다$.$ 이는 모든 $g{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyleg$ $g}$에 해당되기 때문에 $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\$displaysty $f=0.$$}$

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 비이성적 비이성적 비이성적 표현 수가 $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle G}$의 결합성 클래스 수와 같다는$$ 것은 정형 속성에서 따온 것이다.

또한, $G{\displaystyle }${\$displaystyle G$}의 클래스 함수는 음수가 아닌 정수 계수를 가진$$ 구별할 수 없는 문자 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 선형 조합으로 쓸 수 있는 경우에만$$ G ${\displaystyle G}$의 문자다$$. 만약 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystylease \varphi}$이 클래스$$ 함수인 경우${\displaystyle G}$ such that ${\displaystyle \varphi =c_{1}\chi _{1}+\cdots +c_{k}\chi _{k}}$ where ${\displaystyle c_{j}}$ non-negative integers, then ${\displaystyle \varphi }$ is the character of the direct sum ${\displaystyle c_$${$$1{\displaystyle {}_{}}$$}\tau _{1}\oplus \cdots$\oplus \cdots \$oplus c_{k}\$$tau _$${k}}}}$에 해당하는$$ represent ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle \chi _{j}.$$}}$ 반대로$$ 어떤 문자는 언제나 해독할 수 없는 문자의 합으로 쓸 수 있다.

위에서 정의한 내부 제품은 유한 그룹의 $모든{\displaystyle \mathbb{}}$$$ C ${\${${\displaystyle C}$$}$값 함수$$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle L^{1}(G)}$ 집합에서 확장할 수 있다.

${\displaystyle (f h)_{G}={\frac {1}{G}}}{{G}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}}}}}}$

대칭 ${\displaystyle \mathrm{이선형}}$도 L ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( G )${\displaystyle }$:${\displaystyle$ L$^{1}(G):}$에 정의될 수 있다.

${\displaystyle \langle f,h\langle _{G}={\frac {1}{G}}}}}\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1}}}}}}$

이 두 형태는 문자 집합에서 일치한다. 혼동의 위험이 없는 ${\displaystyle {경우}_{}}({\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ) G ${\$(\$cdot \cdot )_{G}$와 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\$ \$cdot \rangele _{G})$의 지수는 생략된다$$.

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개를 2 $C{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {C} [G]$- module로 한다$$. $C{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {C} [G]}$–모듈은 $단순히{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$을(를) 나타내는 것이라는 점에 유의하십시오$.$ 정형 속성은 $G{\displaystyle }$ ${\displaysty G}$의 반복 가능한 표현 수를 산출하므로$$, 그 결합 등급의 수만큼 단순 C${\displaystyle }$[${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ {$displays$$}$이 정확히 많다.$스타일 \mathb {C} [G]}$– $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle G.}$의 결합 클래스가 있으므로 modules(이형성까지)

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_g}$ G${\displaystyle }$:= ${\displaystyle \dim (}$ (${\displaystyle {}^{}{G\mathrm{}}_{}}$ ( ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$2${\displaystyle }$) ,$${\$displaystyle \langle V_{1}, V_{2}\rangele$ _${G}=\dim({\text${\text{\text${\$cH00})을 정의한다.$홈}^{G}(V_{1},V_{2$})이$($가) ${\displaystyle {\text{있는}}^{}}$ 홈 ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{V\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\text}$$홈}^{G}(V_{1},V_{2})$는 $모든{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$–선형 맵의 벡터 공간이다$$. 이 형태는 직접 합계에 관해서 이선형으로 되어 있다.

다음에서, 이러한 이선형 형태는 우리가 표현의 분해와 재확정성에 관한 중요한 결과를 얻을 수 있게 해 줄 것이다.

예를 들어 ${\displaystyle {\chi \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$${1$}, $\chi {\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$}}자를$$ $각각$$$ ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ $V_{$1}의 문자로$한다$. Then${\displaystyle \langle \chi _{1},\chi _{2}\rangle _{G}=(\chi _{1} \chi _{2})_{G}=\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}.$$}$

슈르의 보조정리, 표현의 완전 축소성과 함께 위의 결과로부터 다음과 같은 정리를 도출할 수 있다.

정리. Let ${\displaystyle V}$ be a linear representation of ${\displaystyle G}$ with character ${\displaystyle \xi .}$ Let ${\displaystyle V=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{k},}$ where ${\displaystyle W_{j}}$ are irreducible. Let (${\displaystyle \tau }$, ${\displaystyle W}$) ${\displaystyle (\tau ,W)}$은(는) 문자 ${\displaystyle {\chi }_{}}$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \$$chi$ $.}$을(를) 사용하여 $G{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $G}$을(를) 수정할 수 없는 표현으로$$, W ${\displaystystyle W}$에 이형인 하위$$ 표현 $수$는 주어진 분해와 독립적이며$$ $T$와 동일하다.his inner product$({\displaystyle \xi }$) ,$${\$displaystyle$(\$xi \chi ),}.$ 즉$$, ${\$$displaystyle \tau }$–isotype $V{\displaystyle }$(${\displaystyle \tau }$) ${\$$displaystyle V$$(\tau )$는 분해 선택과 무관하다$$. 또한 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle (\xi \chi )={\frac {\dim(V(\tau )}}{\dim(\tau )}}=\langle V,W\rangle }}$

따라서

$\dim(V(\tau )=\dim(\tau )(\xi \chi).}$

코롤러리. 같은 성격을 가진 두 개의 표현은 이형이다. 모든 대표성은 그 성격에 따라 결정된다는 뜻이다.

이를 통해 우리는 다음과 같은 표현을 분석하는 데 매우 유용한 결과를 얻는다.

불가해성 기준. $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi }$을${\displaystyle (}$를)${\displaystyle }$V ,$${\$displaystyle V,}$ 그러면 ( let$$$$${\displaystyle }$)${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle (\chi \chi )\in \mathb {N} _{0}}}}}}}}}}$을(를) 나타내는 문자가 되도록 합시다.$$ ${\displaystyle \mathrm{사례}}({\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi =}$ ) =$$1 {\$displaystyle$(\$chi$\chi $)=1}$은(는)$$V {\$displaystyle V}$을(를) 수정할 수 없는 경우에만$$ 보류된다$$.

따라서 첫 번째 정리를 사용하여 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 수정 불가능한 표현 문자는 이 내부 제품에 대해$$ C ${\displaystyle {\text{클래스}}_{}G}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathb{C} _{\text{class}(G)$에 정형 세트를 형성한다$$.

코롤러리. $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) ${\displaystyle 딤(V}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle n}$. .$${\$displaystyle \dim(V)=n.}$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$}의$$$$ 주어진 불가역 표현 $V{\displaystyle }$ ${\\displaystyle V}$이(가) 정규 표현에 $n{\displaystyle }$ ${\displaysty n}$-time에 포함되어$$ 있다. In other words, if ${\displaystyle R}$ denotes the regular representation of ${\displaystyle G}$ then we have: ${\displaystyle R\cong \oplus (W_{j})^{\oplus \dim(W_{j})},}$ in which ${\displaystyle \{W_{j} j\in I\}}$ is the set of all irreducible represen쌍으로 된 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 서로 이형화되지 않는 조합$$.

그룹 대수학적으로 보면, $이$는 C${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$≅ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle \text{End}}$ ${\displaystyle (W_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mathb$ {$C}[G]\cong \oplus _{j}{\text{End}}(W_{j})}$를 알헤브라스어로 의미한다$$.

그 결과 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle G =\chi _{R}(e)=\dim(R)=\sum _{j}\dim \left((W_{j})^{\oplus (\chi _{W_{j}} \chi _{R})}\right)=\sum _{j}(\chi _{W_{j}} \chi _{R})\cdot \dim(W_{j})=\sum _{j}\dim(W_{j})^{2},}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은(는) 정규 표현이고 ${\displaystyle {\chi {}_{}}_{}}$W j {\$displaystyle \chi$ $_{$$W_{j},$ $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$_$$$${$R{\displaystyle {}_{}}$$$}은$$각각 W j {\$displaystystyle W_${$j$$}$ 및${\displaystyle }$R$$$}$에 $해당$하는 문자다. $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$이(가) 그룹의 중립 요소를 나타내고$$ 있음을 상기하십시오.

이 공식은 집단의 설명할 수 없는 표현을 이형성까지 분류하는 문제에 있어서 "필요하고 충분한" 조건이다. 그것은 우리가 집단의 되돌릴 수 없는 표현들의 모든 이형성 계층을 발견했는지를 확인할 수 있는 수단을 제공한다.

마찬가지로, $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle s\neq e,}$에서 평가된 정규 표현 문자의 사용으로 다음과$$ 같은 방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle 0=\chi _{R}=\sum _{j}\jim(W_{j})\cdot \chi _{W_{j}}s.}$

콘볼루션 대수학을 통한 표현에 대한 설명을 사용하여 우리는 다음과 같은 방정식의 등가 공식화를 달성한다.

푸리에 반전 공식:

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{{{1}{G}}\dim(V_{\rho }}}\cdot{Tr})(\rho(s^{-1})\cdot{\f}(\rho )의 대표.}$

또한 Planchrel 공식은 다음을 포함한다.

${\displaystyle \sum _{s}f(s^{-1}s)={\frac {1}{{1}}}}\sum _{\rho \,\,{\text{ orreded.}}{\text{rep.}}{{{}}}\dim(V_{\rho }})\cdot{\text{Tr}}{\hat{f}(\rho ){\hot{h}(\rho ).}$

두 공식에서 ${\displaystyle \mathrm{모두}}({\displaystyle {\rho }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$V {$$) {\$displaystyle (\rho$ ,V_${\rho$}})은${\displaystyle }$그룹 G, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}${\$displaystyle$$G,$s$\$$s\in$ G}${\displaystyle }및{\displaystyle }$ f ,${\displaystyle h}$ $1$ L1$(G$ ${\displaystyle )}$의 선형 표현이다$.$$}$

위의 각막은 추가적인 결과를 가진다.

보조정리. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 하나의 그룹으로 삼아라$$. 그러면 다음과 같다.

• ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은(는) 아벨리안이다.
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 기능은 클래스 기능이다$$.
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 취소할 수 없는 표현에는 $등급$ 1.${\displaystyle$ 1$.}$이(가) 있다$$.

유도 표현

선형 표현 속성에 관한 섹션에서 보여졌듯이, 우리는 그룹의 표현으로부터 부분군의 표현을 제한에 의해 얻을 수 있다. 당연히 우리는 역방향 과정에 관심이 있다. 부분군의 표현에서 출발하는 집단의 표현을 얻을 수 있는가? 우리는 아래에 정의한 유도표현이 우리에게 필요한 개념을 제공한다는 것을 알게 될 것이다. 물론, 이 구조는 반비례적인 것이 아니라 오히려 제한에 부수적인 것이다.

정의들

$\rho {\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$ ${\displaystyle ({}_{}}$ $){\displaystyle \rho :G\to {\text{\gl}}}$을(를$)$ $G{\displaystyle }$. ${\displaystyle$G}의 선형 표현으로 한다$$$.}$Let$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ H$}$은 부분군이고$$ $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$_{{rh$}$은 제한이다$$. $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$을(를) $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$. ${\displaystyle \rho _{H}$의 하위 표현으로 합시다$$. $\theta {\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$ ${\displaystyle (W}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaysty \theta$:$이$ 표현을$나타내기$ 위해 H\$to${\text{$GL}(W)}$ Let ${\displaystyle s\in G.}$ The vector space ${\displaystyle \rho (s)(W)}$ depends only on the left coset ${\displaystyle sH}$ of ${\displaystyle s.}$ Let ${\displaystyle R}$ be a representative system of ${\displaystyle G/H,}$ then

${\displaystyle \sum _{r\in R}\rho(r)(W)}$

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ ${\displaystyle V_{\rho }}$의 하위 표현임

$V$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ ${\$에서$$G {\$displaystyle$ G$}$의 $display$ {\displaystyle \$rho }$이(가$$)${\displaystyle }W{\displaystyle }$ ,$${\$displaystystyle W}$에서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystystyle H$}의 표현 { ${\ta }$에 의해 유도된다$$.

${\displaystyle V_{\rho }=\bigoplus _{r\in R}W_{r}}$

Here ${\displaystyle R}$ denotes a representative system of ${\displaystyle G/H}$ and ${\displaystyle W_{r}=\rho (s)(W)}$ for all ${\displaystyle s\in rH}$ and for all ${\displaystyle r\in R.}$ In other words: the representation ${\displaystyle (\rh$$o ,V_{\rho }}$은(는${\displaystyle )}{\displaystyle }$V$$${\displaystyle {\rho }_{}}$ ${\$$displaystyle (\theta ,W)$에 의해 유도되며$$, 만약 모든 $V{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle v\in V_{\rho }}}}}}}$이(가) 고유하게 작성될$$ 수 있는 경우$$

${\displaystyle \sum _{r\in R}w_{r}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle {모든}_{}}$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ W ${\$에 대해$$ w ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle r\in$ R$.}$

$우리$는 $G{\displaystyle }$$${\$displaystyle G$}의$${$${\$displaystyle \rho$$}$을(를) $\rho$ = ${\displaystyle {\text{Ind}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ G${\displaystyle }$( \ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle \rho ={\text}$의 표현에 의해 유도되는$$ $\rho {\displaystyle }$${\displaystystystyled$}를$$ 나타낸다.$Ind}_{H}^{G}(\theta ),}$ 또는$$ $짧은{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ = Ind(${\displaystyle \mathrm{Ind})}$, ${\displaystyle \rho ={\text{$혼동의 위험이 없다면$$ $Ind}(\theta ),}$ 표현 공간 자체는 표현 맵 대신 자주 사용된다. 즉, $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\text{Ind}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle W}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ V$={\text{$$Ind}_{H}^{G}(W),}$ 또는$$ $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{Ind}(W}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ V$={\text{$표현 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) $W{\displaystyle .}$ ${\displaystyle W.}$에 의해 유도된$$ 경우$$ $Ind}(W),}$

유도 표현에 대한 대체 설명

그룹 대수학을 사용하여 유도 표현에 대한 대체 설명을 얻는다.

Let ${\displaystyle G}$ be a group, ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$–module and ${\displaystyle W}$ a ${\displaystyle \mathbb {C} [H]}$–submodule of ${\displaystyle V}$ corresponding to the subgroup ${\displaystyle H}$ of ${\displaystyle G.}$ We say that ${\displaystyle V}$ is induced by ${\displaystyle W}$ if ${\displaystyle V=\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,}$ in which ${\displaystyle G}$ acts on the first factor: ${\displaystyle s\cdot (e_{t}\otimes w)=e_{st}\otimes w}$ 모든${\displaystyle }s$에 ${\displaystyle \mathrm{대해},}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle G}$,${\displaystyle }$w ${\displaystyle .}$ $.$ {\$displaystyle s,$t$\in G, w.}$

특성.

이 절에 소개된 결과는 증거 없이 제시될 것이다. 이러한 내용은 [1] 및 [2]에서 확인할 수 있다.

유도된 표현의 고유성 및 존재. Let ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ be a linear representation of a subgroup ${\displaystyle H}$ of ${\displaystyle G.}$ Then there exists a linear representation ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ of ${\displaystyle G,}$ which is induced by ${\$$디스플레이 스타일(\theta ,W_{\theta }).$$}}$ 이 표현은 이소모르퍼리즘에 따라 독특하다는 점에 유의한다$$.

유도의 전이성. $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$을(를) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) 표현하고$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H\leq G\leq K}$을(를) 오름차순으로 배열하도록$$ 한다. 그러면 우리는

${\displaystyle {\text{Ind}}_{G}^{K}({\text{Ind}}_{H}^{G}(W)\cong {\text{Ind}}_{H}^{K}(W)}$

Lemma. ${\displaystyle \mathrm{Let}}$ (${\displaystyle {\rho }_{}}$, V$display$ ) {\$displaystyle$ ${\displaystyle (\backslash {rho}_{}}$$,V_${\rho$$}})$${\$displaystyle$ ,$W_{\theta$이(가) 유도하고$$$$ $\rho {\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$($\displaystylease \rho ':$$G\to {\text{GL}(V')$은 $G{\displaystyle }$. ${\displaystyle G.}$ 이제$$ $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\theta }_{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$W_{\theta }\to V'}$ be a linear map satisfying the property that ${\displaystyle F\circ \theta (t)=\rho '(t)\circ F}$ for all ${\displaystyle t\in G.}$ Then there exists a uniquely determined linear map ${\displaystyle F':$$V_{\rho }\to V',}$ which extends ${\displaystyle F}$ and for which ${\displaystyle F'\circ \rho (s)=\rho '(s)\circ F'}$ is valid for all ${\displaystyle s\in G.}$

즉, $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ V$'}$을(를) C${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$] ${\displaystyle \mathb {C}[G]$-module로 해석하면 ${\displaystyle {\text{Hom}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\theta }_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ,$$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$)${\displaystyle }$, {\$displaystystyle {\text}$이 있다는 뜻이다.$홈}^{H}(W_{\theta }}V')\cong {\text{$$홈}^{G}(V_{\rho },V'),}$ 여기서$$ ${\displaystyle {}^{}}$ G${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle {\text{$$Hom}}^{G}(V_{\rho },V')}$ is the vector space of all ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$–homomorphisms of ${\displaystyle V_{\rho }}$ to ${\displaystyle V'.}$ The same is valid for ${\displaystyle {\text{$$홈}^{H}(W_{\theta }},V').$$}$

클래스 기능에 대한 유도. 표현을 사용한 것과 같은 방법으로, 우리는 유도를 통해 하위 그룹의 클래스 함수로부터 그룹상의 클래스 함수를 얻을 수 있다. $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$을(를) $H{\displaystyle }$${\displaystyle {.}^{}}$ ${\displaystyle$ $H$$.}$에 대한 클래스 함수가 되게$$ 함 $define{\displaystyle }$ {\$displaystyle$$$$\$$varphi '}$을(를$)$ 정의함

${\displaystyle \varphi 's(s)={\frac {1}{{{}}}\sum _{t\in G \atop t^{-1}st\in H}^{}\varphi(t^{-1}st)}$

우리는 $\phi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 의해 유도되고$$$$ ${\displaystyle {\text{Ind}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}{}^{}}$)${\displaystyle }$= = ${$ {\$displaystystyle {\text{$$Ind}_{H}^{G}(\varphi )=\varphi '}$ 또는$$ ${\displaystyle \text{Ind}(}$ ${\displaystyle \phi }$)${\displaystyle }$= $′.$ {\$displaystyle${\$text}$$Ind}(\varphi )=\varphi '.}$

제안. ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ Ind (${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle${\$text{$$Ind}(\varphi )}$은(는) $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle G.}$의 클래스 함수인$$ 경우, $\phi$ ${\displaystyle \varphi }$이(${\displaystyle 가}$) $H{\displaystyle }$ ,${\displaystyle H,}$의 $표현{\displaystyle }$ W ${\displaystystyle W}$의 문자인 경우$,$ ${\displaystyle \text{Ind}}$( ) ) ${\d$$Ind}(\varphi$ $)}$은 유도 표현 ${\displaystyle \text{Ind}(W}$ $displaystyle {\text{$$G{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ G$.}$의 $Ind}(W)}$

Lemma. 만일 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi$$}$이(가) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 클래스 $함수$이고${$${\displaystyle G}$의 클래스 함수라면$$: ${\displaystyle \text{Ind}}$( ${\displaystyle \mathrm{res}\text{res}}$ ${\displaystyle Reses)}$= (${\displaystyle Ind}$ ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle \cdot .}${\$displaystystyle.$${\class$.$Ind}}(\psi \cdot {\text{Res}\varphi )=({\text}$$Ind}\psi )\cdot \varphi .}$

정리. Let ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ be the representation of ${\displaystyle G}$ induced by the representation ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ of the subgroup ${\displaystyle H.}$ Let ${\displaystyle \chi _{\rho }}$ and ${\displaystyle \chi _{\thet$$a }}$은(는) 해당 문자임$$. $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) $G{\displaystyle }$/ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle G/H.}$의 대표적인 시스템이 되도록$$ 한다. 유도$$ 문자는 다음과 같다.

${\displaystyle \forall t\in G:\qquad \chi _{\rho }(t)=\sum _{r\in R, \atop r^{-1}tr\in H}^{}\chi _{\theta }(r^{-1}tr)={\frac {1}{ H }}\sum _{s\in G, \atop s^{-1}ts\in H}^{}\chi _{\theta }(s^{-1}ts).}$

프로베니우스 상호주의

선제적 요약으로 프로베니우스 상호주의로부터 배워야 할 교훈은 맵 ${\displaystyle \text{Res}}$ ${\$와 ${\displaystyle \text{Ind}}$ ${\$이(가)라는 것이다.$Ind}}$은(는) 서로 붙는다.

Let ${\displaystyle W}$ be an irreducible representation of ${\displaystyle H}$ and let ${\displaystyle V}$ be an irreducible representation of ${\displaystyle G,}$ then the Frobenius reciprocity tells us that ${\displaystyle W}$ is contained in ${\displaystyle {\text{Res}}(V)}$ as often as ${\displaystyle \mathrm{Ind}}$( W${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\text{$$Ind}(W)}$은(는) $V{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ V$.}$에 포함되어 있음

프로베니우스 상호주의. If ${\displaystyle \psi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(H)}$ and ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ we have ${\displaystyle \langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}=\langle {\text{$$Ind}}(\psi ),\varphi \rangele _{G}.$$}$

이 문장은 내부 제품에도 유효하다.

맥키의 불가해성 기준

George Mackey는 유도된 표현들의 재확인이 불가능하다는 것을 증명하기 위한 기준을 세웠다. 이를 위해 우리는 먼저 표기법과 관련된 몇 가지 정의와 규격이 필요할 것이다.

Two representations ${\displaystyle V_{1}}$ and ${\displaystyle V_{2}}$ of a group ${\displaystyle G}$ are called disjoint, if they have no irreducible component in common, i.e. if ${\displaystyle \langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}=0.$$}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 그룹으로$$ 하고 H ${\displaystyle H}$을(를) 하위 그룹으로$$ 한다. We define ${\displaystyle H_{s}=sHs^{-1}\cap H}$ for ${\displaystyle s\in G.}$ Let ${\displaystyle (\rho ,W)}$ be a representation of the subgroup ${\displaystyle H.}$ This defines by restriction a representation ${\displaystyle {\text{Res}}_{$H ${\displaystyle s_{}}$. ${\displaystyle H_{s}$의 $H_{s$}}{{s$}}$ 중 {s}(\$rho )}$을(를) ${\displaystyle {\text{Res}}_{}}$ ${\displaystyle {H_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {{}_{}}_{}\rho }$)${\$$displaystyle$${\res}}{$$s}(\$$displaysty})$에 대해 ${\displaystyle {\text{기록}}_{}}$한다.$H_{s}}(\rho )}$ 또$$ 다른$$ 표현 ${\displaystyle {\rho s}^{}}$${\$${$$s},$ by$$ $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s{}^{}}$(${\displaystyle t}$) = ${\displaystyle (}$ ($s$- ${\displaystyle 1}$t )${\displaystyle }$.$${\$displaystyle \rho ^{-1}ts.$}}이 두 가지 표현은 혼동해서는 안 된다.

맥키의 불가해성 기준. 유도 표현 $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Ind}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( W${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ V$={\text{$$Ind}_{H}^{G}(W)}$은(는) 다음 조건이 충족되는 경우에만 수정할 수 없다$$.

• ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$을(를) 복구할 수 없음
• $각$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$ s$\in G\setminus H$$}$에 대해 ${\displaystyle H_{}}$ s ${\$ $\rho ^{$${\displaystyle s\}\}}$ 및 ${\displaystyle {\text{Res<img alt="rho ^s" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0f2221decce939827d122d01ee7ab24a1e41b3e7" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.205ex; height:2.843ex;" papago-attr-id="1429">}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Res}_$${s$$}(\rho )}$의 두 표현은 분리된다$$.^[6]

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ normal의$$ ${\displaystyle {경우}_{}}$ H$$s${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle H}$ {\$displaystyle H_{s}=$H} 및 ${\displaystyle {\text{Res<img alt="{displaystyle H\_s=H}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/fc292aa4dd7cadbd8c8e3fc52d4d1e3ef362090d" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.097ex; height:2.509ex;" papago-attr-id="1435">}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\rho }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\text{Res}}}(\rho )=\rho$ $\}.$ 따라서 다음과 같은 결과를 얻는다.

코롤러리. $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $H$$}$을(를) $G{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ G$.}$의 정규 부분군으로 설정한$$ 다음$$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ G (${\displaystyle {}_{}^{}\rho }$) ${\displaystyle {\text{$$Ind}_{H}^{G}(\rho )}$은(는) $s{\displaystyle }$H. {\$displaystyle \rho }}$이(가) $\rho {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle$ $\rho ^{s}$에 대해 is$$${\$displaystystyle \$notin H.}$에 대해 이형성이 아닌$$ 경우에만 수정할 수 없다$$.

특수 그룹에 응용 프로그램

이 절에서는 지금까지 제시된 이론의 몇 가지 용도를 정상 서브그룹과 특별한 그룹, 아벨 정상 서브그룹을 가진 서브그룹의 반간접적 산출물에 제시한다.

제안. ${\displaystyle A}$을(를) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 그룹의 일반 하위 그룹으로 하고$$ $and$ : G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{GL}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}(V)}$을(를) $G{\displaystyle .}$ ${\displaystystystyledylease G.$ {\G.}을$$(으)로 되돌릴 수 없는 표현$$ 중 하나가 유효해야 한다.

• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을$($를) 포함하는$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 적절한$$ $부분군{\displaystyle }$ H ${\displaystyle$ $H}$과$($와) $\rho {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\rho}$을(를) 유도하는 수정$$ 불가능한 표현 representation {\$displaystylease$ \$eta$}이 있다$.$
• 또는 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) 등형 ${\displaystyle C}$ A ${\displaystyle \mathb {C}$ A$}$ - module이다$$.

증명. $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) ${\displaystyle C}$ $A{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \mathb {C}A}$ -module로$$ 간주하고 $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{J}}$ V ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 이 분해가 사소한 것이라면 우리는 두 번째 경우에 해당된다. $그렇지{\displaystyle }$ 않으면, 더 $큰{\displaystyle }$ G ${\displaystyle$G} -action이$$ 이러한 등각형 모듈을 허용한다. V ${\displaystyle V}$은(는) ${\displaystyle C}$ G ${\displaystyle \mathb {C}$G} -module로$$ 변경할 수 없기 때문에 순열 작업은 transitive(사실상 원시)이다. 모든 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$을(를) 수리하십시오$.$ V ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 G ${\displaystyle G}$에 있는 스태빌라이저는 청구된 속성을 표시하는 데 기본적으로$$ 표시되며, ${\displaystyle \Box }$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 아벨리안인 경우 A ${\displaystyle A$}의 이소형 모듈들은 1도 및 모든 동음이의 모듈이다$$.

우리는 또한 다음을 얻는다.

코롤러리. Let ${\displaystyle A}$ be an abelian normal subgroup of ${\displaystyle G}$ and let ${\displaystyle \tau }$ be any irreducible representation of ${\displaystyle G.}$ We denote with ${\displaystyle (G:A)}$ the index of ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle G.}$ Then ${\displaystyle \mathrm{deg}(\tau }$${\displaystyle \deg(\tau$$}$[1]

If ${\displaystyle A}$ is an abelian subgroup of ${\displaystyle G}$ (not necessarily normal), generally ${\displaystyle \deg(\tau ) (G:A)}$ is not satisfied, but nevertheless ${\displaystyle \deg(\tau )\leq (G:A)}$ is still valid.

반간접제품의 표현 분류

다음에서 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⋊}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G=A\rtimes H}$을(를) 일반 반간접적 $요인{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle A$이(가) 아벨리안인 것처럼 두십시오. 그러한 그룹 $G{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle G}$의 불가해한 표현은 $모두{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 모든 불가해한 표현은 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 특정 부분군에서 구성될 수 있다는$$ 것을 보여줌으로써 분류할$$ 수 있다$.$ 이것은 위그너와 맥키의 소위 "작은 그룹"의 방법이다.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 아벨형이기 때문에 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 수정 불가능한 문자는 학위 1을$$ 가지며 $그룹{\displaystyle \mathrm{}}$X = ${\displaystyle \text{Hom}(A}$, ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)을 형성한다${\displaystyle .}$ ${\displaysty \mathrm {X} ={\text${\text$}$$홈}}(A,\mathb {C}^{\time }).$$}$ The group ${\displaystyle G}$ acts on ${\displaystyle \mathrm {X} }$ by ${\displaystyle (s\chi )(a)=\chi (s^{-1}as)}$ for ${\displaystyle s\in G,\chi \in \mathrm {X} ,a\in A.}$

Let ${\displaystyle (\chi _{j})_{j\in \mathrm {X} /H}}$ be a representative system of the orbit of ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle \mathrm {X} .}$ For every ${\displaystyle j\in \mathrm {X} /H}$ let ${\displaystyle H_{$$j}=\{t\in H:t\chi _{j}=\chi _{j}\}.$$}$ This is a subgroup of ${\displaystyle H.}$ Let ${\displaystyle G_{j}=A\cdot H_{j}}$ be the corresponding subgroup of ${\displaystyle G.}$ We now extend the function ${\displaystyle \chi _{j}}$ onto ${\displaystyle G_{j}}$ by ${\displ$$aystyle \chi$ \{$j}=\chi _{j}(a)$는 ${\displaystyle \in }$ A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \in }$ H ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle a\in A,t\in H_{j}}}$에 대한$$ ystyle \chi $_{$j}.$$ Thus, ${\displaystyle \chi _{j}}$ is a class function on ${\displaystyle G_{j}.}$ Moreover, since ${\displaystyle t\chi _{j}=\chi _{j}}$ for all ${\displaystyle t\in H_{j},}$ it can be shown that ${\displaystyle \chi _{j}}$ is a group homomorphism from ${\displaystyle }$${\displaystyle G_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$부터 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle \mathb {C}^{\time }}}$ 그러므로$$ 우리는 그 자체의 성격과 동일한 도 $1$의 G ${\displaystyle j_{}}$ ${\$를 표현하고 있다.

Let now ${\displaystyle \rho }$ be an irreducible representation of ${\displaystyle H_{j}.}$ Then we obtain an irreducible representation ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ of ${\displaystyle G_{j},}$ by combining ${\displaystyle \rho }$ with the canonical projection ${\displaystyle G_j\to H_{}}$${\displaystyle G_{j}\to H_{j}.}$ Finally, we construct the tensor product of ${\displaystyle \chi _{j}}$ and ${\displaystyle {\tilde {\rho }}.}$ Thus, we obtain an irreducible representation ${\displaystyle \chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}}$ of ${\displaystyle G_{j}.$$}$

To finally obtain the classification of the irreducible representations of ${\displaystyle G}$ we use the representation ${\displaystyle \theta _{j,\rho }}$ of ${\displaystyle G,}$ which is induced by the tensor product ${\displaystyle \chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}.}$ Thus, we achi다음과 같은 결과를 초래하다.

제안.

• ${\displaystyle {\theta }_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}${ ${\$}}}}은$$(는) 수정할 수 없다.
• If ${\displaystyle \theta _{j,\rho }}$ and ${\displaystyle \theta _{j',\rho '}}$ are isomorphic, then ${\displaystyle j=j'}$ and additionally ${\displaystyle \rho }$ is isomorphic to ${\displaystyle \rho '.}$
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 수정할 수 없는 모든$$ ${\displaystyle {표현}_{}}$은 ${\displaystyle {,}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\rho }_{}}$. {\$displaystyle \theta _{j$,\rho $}}$ 중 하나에 대해 이형적이다.

그 중에서도 이 명제의 증명에는 맥키의 기준과 프로베니우스 상호주의에 기초한 결론이 필요하다. 자세한 내용은 [1]에서 확인할 수 있다.

즉, $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle ⋊}$ ${\displaystyle H}$. ${\displaystyle$ G$=A\rtime$ H$.}$의 모든 수정 불가능한 $표현$을 분류했다.

표현 링

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 표현 링은 아벨 그룹으로 정의된다$$.

$R(G)=\좌측\{\좌측.\sum _{j=1}^{m}a_{j}}\tau _{j}\tau_{1}\ldots,\tau_{m}{\text}{{\text}{{{{wo }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

텐서 제품이 제공하는 곱셈으로 $R{\displaystyle (G}$) ${\디스플레이$ 스타일 $R(G)}$이(가) 링이 된다$$. $R{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle R(G)}$의 요소를 가상 표현이라고 한다$$.

문자는 값이 복잡한$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 클래스 함수 집합에서 링 동형성을 정의한다.

${\displaystyle {\begin}\chi :R(G)\to \mathb {C} _{\text{class}\\\\\sum a_{j}\tau _{j}\mapsto \sum a_{j}\chi _{j}\case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$. ${\displaystyle \tau _{$j}에 해당하는 복구할 수 없는 문자다$$.$}$

표현은 그 성격에 따라 결정되기 때문에 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$은 주입식이다. $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$의 이미지를 가상 문자라고 한다$$.

${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathb{C} _{\text{class},\chi}$은(는) 이형성을 유도한다${\displaystyle {}_{}}$

${\displaystyle \chi _{\mathb {C}:R(G)\otimes \mathb {C} \mathb {C} _{\text{class}(G).}$

This isomorphism is defined on a basis out of elementary tensors ${\displaystyle (\tau _{j}\otimes 1)_{j=1,\ldots ,m}}$ by ${\displaystyle \chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes 1)=\chi _{j}}$ respectively ${\displaystyle \c$$안녕 _{\mathb {C}}(\tau _{j}\otimes z)=z\chi _{j}},$ 그리고$$ 이선형으로 확장했다.

We write ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{+}(G)}$ for the set of all characters of ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ to denote the group generated by ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{+}(G),}$ i.e. the set of all differences of two characters. It then holds that ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)=\mathbb {Z} \chi _{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \chi _{m}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )=\chi (R(G)).}$$$ 따라서 $R{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \cong }$ R${\displaystyle }$( ${\displaystyle G\mathcal{}}$) ${\displaystyle R(G)\cong {\mathcal{R}(G)}$을(를) 가지고 있으며$$ 가상 문자는 가상 표현에 최적으로 대응된다.

$R{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$= 임 (${\displaystyle \chi }$ )${\displaystyle {\mathcal {\r}(G)={\text{Im}(\chi )}$이(가) 유지되므로 R ($G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle{\mathcal${R$}(G)}$은 모든 가상 문자의 집합이다$$. As the product of two characters provides another character, ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ is a subring of the ring ${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ of all class functions on ${\displaystyle G.}$ Because the ${\displaystyle \chi _{i}}$ form a basis of ${\displaystyle {\mathbb{C}}_{}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{\text{class}}(G)}$ we obtain, just as in the case of ${\displaystyle R(G),}$ an isomorphism ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes {\mathcal {R}}(G)\cong \mathbb {C} _{\text{class}}(G).$$}$

Let ${\displaystyle H}$ be a subgroup of ${\displaystyle G.}$ The restriction thus defines a ring homomorphism ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)\to {\mathcal {R}}(H),\phi \mapsto \phi _{H},}$ which will be denoted by ${\displaystyle {\text{Res}}_{$$H}^{G}}$ or ${\displaystyle {\text{Res}}.}$ Likewise, the induction on class functions defines a homomorphism of abelian groups ${\displaystyle {\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G),}$ which will be written as ${\displaystyle {\text{$$Ind}_{H}^{G}}$ 또는$$ 짧은 ${\displaystyle \text{Ind}}$. ${\displaystyle {\text{$$Ind}}.}$

According to the Frobenius reciprocity, these two homomorphisms are adjoint with respect to the bilinear forms ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}}$ and ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}.}$ Furthermore, the formula ${\display$$스타일 {\text{$$Ind}(\varphi \cdot {\text{Res})(\psi )={\text{$$Ind}(\varphi )\cdot \psi }$의 이미지에 ${\displaystyle \text{Ind}}$ :${\displaystyle R}$(${\displaystyle }$H${\displaystyle }$) →${\displaystyle R}$ ( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle${\$text{$$Ind}}}}\mathcal{R}(H)\to {\mathcal{R}}(G)$는 링 $R{\displaystyle \mathcal{}(G}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle{\mathcal{R}(G$)의 이상이다$.$$}$

표현의 제한에 의해, 맵 ${\displaystyle \text{Res}}$ ${\$은(는) R ${\displaystyle (}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle R(G)}$에 대해 유사하게 정의될 수 있으며$$$$, 유도하여 지도 ${\displaystyle \text{Ind}}$ ${\$을(는)를 얻을 수 있다.$R{\displaystyle (G}$)용$$ $Ind}.$ ${\displaystyle R(G)$용 Ind}.$}}$ 프로베니우스 상호주의 때문에$$ 이 지도들이 서로 인접해 있고 이미지 ${\displaystyle \text{임}(\text{Ind}}$)${\displaystyle }$= $){\displaystyle{\text{{\$text$}}}{\text$}{\text$}}$$Ind})={\text{$$Ind}(R(H)})$은 링 ${\displaystyle R}$($G{\displaystyle }$ ${\displaystyle )}$.${\$디스플레이 $스타일$ R$(G$)의 이상이다$.$$}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 정류 링인 경우 동형체 ${\displaystyle \text{Res}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle \text{Ind<img alt="{displaystyle {text{Res}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/338b51cf6fd7acf21227d3277eb74e1aed6bfab0" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.659ex; height:2.176ex;" papago-attr-id="1763">}}$ ${\$$Ind}}$을(를) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$–선형 맵으로 확장할 수 있음$$:

${\displaystyle {\displaysty}A\time {\text{Res}:A\otimes R(G)\to A\otimes R(H)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\tau _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Res}}(\tau _{j})\right)\end{cases}},\qquad {\begin{cases}A\time {\text{Ind}:A\otimes R(H)\to A\otimes R(G)\\\\\put(A\otimes \sum a_{j}\eta _{j}\right)\mapsto \reft(A\otimes \otime \sum a_{j}{j}{\text}}{\text}}{\text}}}}}}}\text}Ind}(\eta _{j}\오른쪽)\end{case}}}$

${\displaystyle {\eta }_{}}$ ${\$는 모두 $H{\displaystyle }${\$displaystyle H}$을(를) 이형화까지 수정할$$ 수 없는 표현이다$$.

$A{\displaystyle }$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$을(를$)$ 사용하면 특히 ${\displaystyle \text{Ind}}$ ${\${$Ind}}$과(와) ${\displaystyle \text{Res}}$ ${\$$displaystyle$ ${\text{Res}}$은(는) $C{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{클래스}}_{}G}$)$${\displaystyle$$$\mathb$${C$$} _{\text}(G)$와 C$$ $(H$) 사이의 동음질($동음질)$을 제공한다$.$$}$

$G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$$ 2 ${\$}}개의 표현$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{V\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (\rho _{1},$ ${\displaystyle {V\_\mathrm{}}_{}}$${1}})$과 $({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$V 2$$) . {\$displaystystyle$ (\$rho _{2$},{2}, V_, V_})가$$ 되도록 한다$.$$}}$ ρ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$2}}은 이전$$ 절에서 보듯이$$ 직접 제품 G ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}을 나타낸다. Another result of that section was that all irreducible representations of ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}$ are exactly the representations ${\displaystyle \eta _{1}\otimes \eta _{2},}$ where ${\displaystyle \eta _{1}}$ and ${\displaystyle \eta _{2}}$ are irreducible 각각$$ $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ G ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle G_{2}}$의 표현. This passes over to the representation ring as the identity ${\displaystyle R(G_{1}\times G_{2})=R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2}),}$ in which ${\displaystyle R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})}$ is the tensor product of t그는 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$– modules로 표현된다.

유도 이론

유도 이론은 G의 일부 하위 집합 H로 구성된 가족 X의 표시 링에 주어진 유한 그룹 G의 표현 링과 관련된다. 보다 정확하게는 그러한 하위 집합의 경우 유도 펑터가 지도를 산출한다.

${\displaystyle \varphi :{\text{$$Ind}:\bigoplus _{H\in$ X$}{\mathcal {R}(H)\to {\mathcal{R}(G$ 유도 이론은 이 지도 또는 밀접하게 연관된 지도에 대한 굴절성에 대한 기준을 제공한다.

아르틴의 유도 정리는 이 결과군에서 가장 기본적인 정리다. 그것은 다음과 같다고 주장한다.

• $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$의 코커넬은 유한하다$$.
• ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은(는) $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$에 속하는 부분군의 결합체다. ${\displaystyle G=\bigcup _{H\in$$}$

$R{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle {\mathcal{R}(G)}$이(가) 그룹으로 미세하게 생성되므로$$ 첫 번째 점은 다음과 같이 다시 인쇄할 수 있다.

• For each character ${\displaystyle \chi }$ of ${\displaystyle G,}$ there exist virtual characters ${\displaystyle \chi _{H}\in {\mathcal {R}}(H),\,H\in X}$ and an integer ${\displaystyle d\geq 1,}$ such that ${\displaystyle d\$$cdot \chi =\sum _{H\in X}{\text{$$Ind}}_{H}^{G}(\chi _{H}).$$}$

세레(1977)는 이 정리에 대한 두 가지 증거를 제시한다. 예를 들어, G는 주기적인 부분군의 조합이므로, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$G}의 모든 $문자$는${\displaystyle }$G$.$ {\$displaystyle$G}의 주기적 부분군의 문자에 의해 유도된 문자의 합리적인 계수를 갖는 선형 결합이다$$. 왜냐하면 주기적인 그룹의 표현은 잘 이해되기 때문에$$, 특히 불가역적인 대표자가 잘 이해되기 때문이다.1차원적 표현으로 G의 표현을 일정하게 통제할 수 있다.

$위$의 상황에서 circumstances ${\displaystyle \varphi }$이(가) 허탈하다는 것은 일반적으로 사실이 아니다. Brauer의 유도 정리는 X가 모든 기본 하위 그룹의 가족이라면 provided ${\displaystyle \varphi }$은(는) 허탈하다고 단언한다. 여기서 H 그룹은 P ${\displaystyle p}$과(와) $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$– 그룹에 대한 주기적 주문 프라임 그룹의 직접 산물인 prime p가 있는 경우 초등적이다. 즉, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$}의 모든 문자는 기초 부분군 문자에 의해 유도된 문자의 정수 계수를 갖는 선형 결합이다$$. 브라워의 정리에서 발생하는 기초 부분군 H는 주기적인 그룹보다 풍부한 표현 이론을 가지고 있으며, 적어도 그러한 H에 대한 어떤 수정 불가능한 표현은 (필요하게도 초등적인) 부분군 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$ K$\subset$ H$}$의 1차원 표현에 의해 유도되는 속성을 가지고 있다$.($이 후자의 속성은 그럴 수 있다. Nilpotent 그룹 및 특히, 초등 그룹을 포함하는 모든 확장 가능한 그룹을 보유하도록 보여진다.) 정도 1의 표현으로부터 표현을 유도하는 이러한 능력은 유한집단의 표현 이론에 몇 가지 더 큰 결과를 가져온다.

실제 표현

$C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 일반 하위 필드에 대한 증거 및 표현에 대한 자세한 내용은 [2]를 참조하십시오$$.

If a group ${\displaystyle G}$ acts on a real vector space ${\displaystyle V_{0},}$ the corresponding representation on the complex vector space ${\displaystyle V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ is called real (${\displaystyle V}$ is called the complexification of ${\displaystyle V_0}$${\displaystyle V_{0}}.$ The corresponding representation mentioned above is given by ${\displaystyle s\cdot (v_{0}\otimes z)=(s\cdot v_{0})\otimes z}$ for all ${\displaystyle s\in G,v_{0}\in V_{0},z\in \mathbb {C} .}$

$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$을(를) 실제 표현으로 합시다$$. 선형 지도 $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\$$displaystyle \$$rho (s)}$은(는$)$ $모든{\displaystyle \mathbb{}}$ $s$에${\displaystyle }$대해 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathb$$${$R$$} }$ 값이므로$$ 실제$$ 표현 문자는 항상 실제 값이라고 결론을 내릴 수 있다. 그러나 실제 가치 있는 성격을 가진 모든 표현이 진짜인 것은 아니다. 이를 명확히 하기 위해 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 그룹의 유한하고 비-아벨리안 하위 그룹으로$$ 두십시오.

${\displaystyle {\text{SU}}(2)=\좌측\{\\begin{pmatrix}a&b\-{\\\overline{b}{b}&{\n1}\overline{a}\end{pmatrix}}\\\\\\\ ^{2}+ b ^{2}=1\right\}.}$

그런 다음 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \mathrm{SU}}$( 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle G\subset {\text{$$SU}}(2)$은${\displaystyle }$V = C${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ .$${\$displaystyle V=\mathb {C}$^{2}에$$ 작용함$.$ ${\displaystyle \text{SU}}$(${\displaystyle 2}$ )$${\$displaystyle${\$text}$에 있는 모든 행렬의 추적 이후부터$$$SU}(2)}$은 실제, 표현 문자는 실제 값이다. $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$이(${\displaystyle 가}$) 실제 표현이라고$$ 가정하면 $then{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \rho (G)}$은(는) 실제 값 매트릭스로만 구성된다$$. 따라서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \text{SU}}$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( R${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{SO}}$( ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle G\subset {\text{$$SU}(2)\cap {\text{$$GL}_{2}(\mathb {R} )={\text{$$SO}}(2)=$$S^{1}.}$ 그러나$$ $원{\displaystyle }$ 그룹은 아벨리안이지만 G ${\displaystyle G}$는 비아벨리안 그룹으로 선택되었다$$. 이제 우리는 오직 비아벨리안적이고 ${\displaystyle \mathrm{유한}}$한 ${\displaystyle \text{SU}}$( 2 ) .${\displaystyle {\text{$$SU}}(2)$$}$ 이러한 그룹을 찾으려면$$ ${\displaystyle \text{SU}(2}$) ${\displaystyle {\text{$$SU}(2)}$은 쿼터니온의 단위로 식별할 수 있다. 이제 $G{\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle }$± 1,${\displaystyle }$± ${\displaystyle i,}$± ${\displaystyle j,}$± ${\displaystyle i}$ j, ± i ${\displaystyle j\}}$. {\$displaystyle$ G$=\\\pm 1,\pm$ i$,\pm j,\pm ij\}$을(를) 두십시오.$$ $다음$과 같은 G ${\displaystyle G}$의 2차원 표현은 실제 값이 아니라$$ 실제 값이 있는 문자를 가지고 있다.

${\displaystyle {\begin{case}\rho :G\to {\text}GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho (\pm 1)={\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm i)={\begin{pmatrix}\pm i&0\\0&\mp i\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm j)={\begin{pmatrix}0&\pm i\\\pm i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}}$

그러면 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$의 이미지는 실제$$ 값은 아니지만 그럼에도 불구하고 ${\displaystyle \text{SU}(2}$ ${\displaystyle )}$의 부분 집합이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\text{$$SU}}(2)$$}$그러므로$$ 표현의 성격은 실재한다.

보조정리. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 수정 불가능한 표현 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle G.}$에 의해 보존된$$ V ${\displaystyle V}$에 비분열 대칭 $이선형{\displaystyle }$ B ${\displaystytyle$ B$}$이 존재하는 경우에만 진짜다$$.

실제 벡터 공간에 $G$ ${\displaystyle G}$을(를) 수정할 수 없는 표현은 필드를 $C{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb {C}.}($으)로 확장하면 축소할 수 있다. 예를$$ 들어 다음과 같은 순환 그룹의 실제 표현은 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 고려할 때 축소할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{case}\rho :\mathb {Z} /m\mathb {Z} \to {\text}GL}}_{2}(\mathbb {R} )\\[4pt]\rho (k)={\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\\-\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\end{pmatrix}}\end{cases}}}$

따라서,${\displaystyle }C{\displaystyle \mathbb{}}$ ,$${\$displaystyle \mathb {C}$에 걸쳐 실제 존재하는 모든 수정 불가능한 표현을 분류함으로써, 우리는$$ 여전히 모든 수정 불가능한 실제 표현을 분류하지 않았다. 그러나 우리는 다음 사항을 달성한다.

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를) 실제 벡터 공간이 되게$$ 한다. Let ${\displaystyle G}$ act irreducibly on ${\displaystyle V_{0}}$ and let ${\displaystyle V=V_{0}\otimes \mathbb {C} .}$ If ${\displaystyle V}$ is not irreducible, there are exactly two irreducible factors which are complex conjugate representations of ${\displaystyle G.}$

정의. A quaternionic representation is a (complex) representation ${\displaystyle V,}$ which possesses a ${\displaystyle G}$–invariant anti-linear homomorphism ${\displaystyle J:V\to V}$ satisfying ${\displaystyle J^{2}=-{\text{Id}}.$$}$ 따라서$$, $스큐-대칭{\displaystyle }$, 비디제너레이션 G ${\displaystyle G}$–invariant 이선형 형태는 $V{\displaystyle }$. {\$displaystyle$ V$.}$에 쿼터니온 구조를 정의한다.

정리. 취소할 수 없는 $표현{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$은(는) 다음 중 하나일 뿐이다.

(i) 복합체: $\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\$은(는) 실제 값이 아니며 $V{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ V$.}$에 G$${\$displaystyle G}$– 비변위 이선형(invariant) 형식이 $없음$

(ii) real: $V{\displaystyle }$= V ${\displaystyle 0\mathbb{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ C${\displaystyle }$, ${\displaystyle V=V_{0}\otimes \mathb {C},}$ 실제$$ 표현, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$invariant 대칭 이선 형태를 가지고$$ 있다.

(iii) quaternionic: ${\displaystyle {\chi }_{}}$ V ${\$은(는) 실재하지만 V ${\displaystyle V}$은$($는) 실재하지 않으며, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$invariant sque-대칭 비대칭 이린어 형식을 가지고 있다.

특정 그룹의 표현

대칭군

대칭 그룹 ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$의 표현이 집중적으로 연구되었다$$. ${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$따라서 위에서 설명한 바와 같이)의 결합 등급은 n의 분할에 해당한다. 예를 들어, ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$에는 파티션에 해당하는 세 가지 수정 불가능한 표현이 있다$$.

3; 2+1; 1+1+1

이러한 파티션의 경우, Young tableau는 파티션을 묘사하는 그래픽 장치다. 그러한 칸막이(또는 Young tableau)에 해당하는 불가해한 표현을 Specht 모듈이라고 한다.

서로 다른 대칭 그룹의 표현은 관련된다: ${\displaystyle {Sn}_{}}$× ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}${\$displaystyle S_{n}\time S_{m}}}$의 표현은$$ 유도에 $의해$ ${\displaystyle {Sn}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$m$${\$displaystyle S_{n+m}$의 표현을 나타내며, 그 반대는 제한에 ${\displaystyle {\mathrm{의해}}_{}}$ 표현된다. 이 모든 표현들의 직접적인 합은

${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}R(S_{n}})}$

이러한 구조로부터 물려받으며, 대칭함수와 밀접한 관계가 있는 것으로 판명된 Hopf 대수학의 구조는 대칭함수와 밀접한 관련이 있다.

유한군 Lie형

$어느{\displaystyle }$ 정도는 n이 다르듯이 G L ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q}})$의 $표현$은 S ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle S_{n}}$과 비슷한 풍미를 가지고 있다$.$ 위에서 언급한 유도 과정은 소위 포물 유도법으로 대체된다. 그러나 사소한 표현을 유도하여 모든 표현을 얻을 수 있는$$${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$와는 달리, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle {Ln}_{}}$(${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$에는 해당되지 않는다$.$ 대신, 중단표현이라고 알려진 새로운 건물 블록이 필요하다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$의 표현과 더 일반적으로 Lie 유형의 유한집단에 대한 표현은 철저히 연구되었다. Bonnafé (2011) harvtxt error: no target: CITEREFBonnafé2011 (help) describes the representations of ${\displaystyle SL_{2}(\mathbf {F} _{q})}$. A geometric description of irreducible representations of such groups, including the above-mentioned cuspidal representations, is obtained by Deligne-Lusztig theory, which conDeligne-Lusztig 품종의 l-adic cohomology에서 그러한 표현을 구조화한다.

${\displaystyle {Sn}_{}}$ ${\$와 G $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$의 표현 이론의 유사성은 유한 집단을 넘어선다$$. 서류의 철학은 Q와_p 같은 지역 분야의 일반 선형 그룹과 아델 링과 같은 유형의 집단에서 표현 이론적 측면의 동족관계를 강조한다. 범프(2004)를 참조한다.

Outlook—컴팩트 그룹 표시

콤팩트 그룹의 표현 이론은 어느 정도 지역 콤팩트 그룹까지 확장될 수 있다. 표현 이론은 조화 분석과 자동 형태 연구에 매우 중요한 이 맥락에서 전개된다. 증거, 추가 정보 및 이 장의 범위를 벗어난 보다 자세한 통찰력은 [4] 및 [5]를 참조하십시오.

정의 및 속성

위상학 그룹은 그룹 구성과 역전이 지속되는 토폴로지와 함께 있는 그룹이다. 위상에 열려 있는 $G$${\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$의 커버가 유한 서브커버를 갖는 경우, 그러한 그룹을 콤팩트라고 한다. 컴팩트 그룹의 닫힌 하위 그룹이 다시 컴팩트하다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 소형 그룹으로 하고 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $V{\displaystyle \mathbb{}}$$}$을(를) 유한 차원 C ${\$ {$C}$ –$$벡터 공간으로 한다. A linear representation of ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle V}$ is a continuous group homomorphism ${\displaystyle \rho :G\to {\text{GL}}(V),}$ i.e. ${\displaystyle \rho (s)v}$ is a continuous function in the two variables ${\displaystyle s\in G}$ and ${\disp$$레이스타일 v\in V.}$

Banach 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 $대한{\displaystyle }$ G ${\$displaystyle $G}$의 선형 표현은 연속 역행으로$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 모든 생체적 경계 선형 연산자 집합에 $대한$ G ${\displaystyle G}$의 연속적인 그룹 동형성으로 정의된다$$. $\pi {\displaystyle }$( ${\displaystyle g{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$( g${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \pi (g)^{-1}=\pi (g^{-1}),}$ 마지막 요구 사항 없이 할$$ 수 있다. 다음에서, 우리는 특히 힐버트 공간의 콤팩트 그룹의 표현을 고려할 것이다.

유한집단과 마찬가지로 집단대수와 콘볼루션대수를 정의할 수 있다. 그러나, 그룹 대수학에서는 시공 중에 연속성 조건이 상실되기 때문에 무한 그룹의 경우 도움이 되는 정보를 제공하지 않는다. 대신 콘볼루션 대수 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle L^{1}(G)}$이 그 자리를 대신한다$$.

유한집단의 표현의 대부분의 특성은 소형집단에 대한 적절한 변경과 함께 이전될 수 있다. 이를 위해서는 유한집단에 대한 합계에 대한 대안이 필요하다.

하르 측정의 존재와 고유성

컴팩트 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에는 다음과 같은$$ 측정값 ${\displaystyle d}$ t${\displaystyle }$, ${\displaystyle dt}$이(가) 정확히 한 개 존재한다$$.

• 좌번역불변량법이다.

${\displaystyle \forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(st)dt.}$

• 전체 그룹에는 다음과 같은 단위가 있다.

${\displaystyle \int _{G}dt=1,}$

이와 같은 좌변환성 규범적 측정은 $그룹{\displaystyle }$G$.$ {\$displaystyle$ G$.}$의 Haar 측정이라고 한다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 소형이기 때문에 이 측정치가 우측 번역-변환성(reight-translation-invariant), 즉 이 측정치가 적용됨을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(ts)dt.}$

유한 그룹의 Haar 측정치 위의 스케일링에 의해 모든 s${\displaystyle s}$ G${\displaystyle }$. ${\displaystyle dt$$={\tfrac{1}{$$G$}}에 $대해$ d ${\displaystyle t}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ G $displaystyle$ dt} = 1 G {\tfrac {1}{ G$}}}}}}}}$이 제공된다.

"속성" 절에 언급된 유한집단의 표현에 대한 모든 정의는 소형집단의 표현에도 적용된다. 그러나 몇 가지 수정 사항이 필요하다.

하위 표현을 정의하려면 이제 닫힌 하위 공간이 필요하다. 유한 차원 표현 공간에는 이것이 필요하지 않았는데, 이 경우 모든 하위 공간은 이미 닫혀 있기 때문이다. 또한, 콤팩트 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 두 가지 표현 $\rho {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \pi }$ ,${\displaystyle }$π {\$displaystyle \rho ,\pi }$이(${\displaystyle 가}$) 등가, 역이 연속적이고 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$(${\displaystyle }$) =${\displaystyle \pi }$ (${\displaystyle }$)을 만족하는 표현 공간 사이에$$ 비주사적 연속 선형 연산자 $T{\displaystyle }$ ${\displaystytytytype T}$이 있는 경우, 등가 있다고$$ 한다$.$$\displaystyle T\circle \rho(s)=\pi(s)\circ T}$ 모든 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle s\in G.}$에 대한$$ \displaystyle t}

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) 단일체일$$ 경우 두 표현을 단일체 등가라고 한다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$invariant 내부 제품을 G ${\displaystyle G$invariant에서 얻으려면 총량 $대신$ G ${\displaysty G}$에 통합 제품을 사용해야 한다. (${\displaystyle \cdot \cdot }$ ) ${\displaystyle$(\$cdot \cdot )}$이(가) Hilbert $공간{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$, ${\displaystyle V의$내부 제품이라면$$, 이 제품은$$$$ $G{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ G의 $of$ ${\rho$ $}$에 대해 불변하지 않는다.

${\displaystyle (v u)_{\rho }=\int _{G}(\rho (t)v \rho (t)dt}$

Har 측정 ${\displaystyle d}$ .${\displaystyle }$. ${\displaystyle dt.}$의 속성으로$$ $인해{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle$ V$}$에서 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$– invariant 내부 제품임$$ 따라서, 우리는 힐버트 공간의 모든 대표성을 단일한 것으로 가정할 수 있다.

Let ${\displaystyle G}$ be a compact group and let ${\displaystyle s\in G.}$ Let ${\displaystyle L^{2}(G)}$ be the Hilbert space of the square integrable functions on ${\displaystyle G.}$ We define the operator ${\displaystyle L_{s}}$ on this space by ${\displaystyle L_s\mathrm{\Phi }(t)=\mathrm{\Phi }(s^{-}}$${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle L_{s}\Phi(t)=\Phi(s^{-1}t),$ 여기서$$ $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \in }$ $L2$( G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaysty \Phi \in$ L$^{2}(G),t\in G.}$

지도 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$는 $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ G$.}$의 단일 표현으로$$$$ 좌정표현이라고 한다. 오른쪽 정규 표현도 비슷하게 정의된다. As the Haar measure of ${\displaystyle G}$ is also right-translation-invariant, the operator ${\displaystyle R_{s}}$ on ${\displaystyle L^{2}(G)}$ is given by ${\displaystyle R_{s}\Phi (t)=\Phi (ts).}$$$ 그 다음 오른쪽 정규 표현은 s ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$. .$${\$displaystyle$ s$\mapsto R_{s}}}$s$$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ s$${\$displaystyle$s\$mapsto L_{s}$와 s${\displaystyle }$↦ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}${\$displaystystele s\mapsto R_{s}$가 제공하는 단일$$ 표현이다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 무한인 경우 이러한 표현은 유한도가 없다. 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 유한할 경우, 처음에 정의한 좌·우 정규 표현과 위에서 정의한 좌·우 정규 표현에 대해 이형화된다. 이는 이 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1{}^{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle L^{2}(G)\cong$ L$^{1}(G)\congmathb {C}[$G]가 [G$]$이기 때문이다.$}$

시공 및 분해

주어진 것과 새로운 표현을 구성하는 다른 방법들은 우리가 나중에 다룰 이중 표현을 제외하고 콤팩트 그룹에도 사용될 수 있다. 한정된 수의 합계/요인을 갖는 직접 합계 및 텐서 산출물은 유한집단에 대한 것과 정확히 동일한 방식으로 정의된다. 대칭과 교대 사각형의 경우도 이와 같다. 그러나 두 집단의 곱에 대한 불가역적 표현은 정확히 (이소모르프까지) 요인 집단의 불가역적 표현에 대한 텐서적 산물이라고 하는 정리를 확장하기 위해서는 콤팩트 집단의 직접 생산물에 대한 하어 측정이 필요하다. 첫째, 제품 토폴로지와 함께 제공되는 경우 두 개의 컴팩트 그룹 중 직접$$ 제품 G ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}개가 다시 컴팩트 그룹이라는 점에 주목한다. 직접 생산물에 대한 Har 측정값은 인자 그룹에 대한 Har 측정값의 곱에 의해 주어진다.

콤팩트 그룹에 대한 이중 표현을 위해서는 벡터 공간 $V{\displaystyle .}$ {\$displaystyle V.}$의 위상학적 $이중{\displaystyle {}^{}}$ V ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ V$'}$이(가) 필요하다. 이것은$$ 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 기본 필드로 이어지는$$ 모든 연속 선형 함수들의 벡터 공간이다. $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$을(를) V${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ V$.}$의 컴팩트 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $G$$}$을(를) 나타내도록$$ 하십시오.

이중표현 $\pi {\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle \text{GL}}$ ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle \pi ':$$G\to {\text{GL}(V')$은 속성에 의해 정의됨$$

$\displaystyle \forall v\in V,\forall v'\in V', \forall s:\qquad \left\langle \pi 's'),\v\langle :=v'(v)}$

Thus, we can conclude that the dual representation is given by ${\displaystyle \pi '(s)v'=v'\circ \pi (s^{-1})}$ for all ${\displaystyle v'\in V',s\in G.}$ The map ${\displaystyle \pi '}$ is again a continuous group homomorphism and thus a representation.

Hilbert 공간의 경우: $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$은(는)${\displaystyle {}^{}}\pi {\displaystyle {}^{}}$ ${\$이(가) rereducable인 경우에만 rereducable된다.

섹션 분해 결과를 콤팩트 그룹으로 전송함으로써 다음과 같은 정리를 얻는다.

정리. 힐버트 공간에 대한 콤팩트 그룹의 모든$$ 불가해한 표현$({\displaystyle \tau }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$) ${\displaystyle (\tau ,V_{\tau }}}}$은(는) 유한한 차원이며, ${\displaystyle V_{}}$ { ${\$에 내부 제품이 존재하여 $\tau {\displaystyle }${\$displaysty$\tauise \taulean \tauit \taulease \tauit \$taule$\tauledo}이(으)이(으 하르 측정이 정상화됐기 때문에 이 내부 제품은 독보적이다.

컴팩트한 집단의 모든 표현은 힐베르트의 직접 합계에 이형화되지 않는다.

Let ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ be a unitary representation of the compact group ${\displaystyle G.}$ Just as for finite groups we define for an irreducible representation ${\displaystyle (\tau ,V_{\tau })}$ the isotype or isotypic component in ${\displaystyle \rho }$ to be the s우브스페이스

${\displaystyle V_{\rho }(\tau )=\sum _{V_{\tau }\cong U\subset V_{\rho }}U.}$

이것은 모든 불변 폐쇄 서브 스페이스 $U{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ U$,}$의 합으로, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$– $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$에 대한 이형성${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{\tau }}}}.$

동등하지 않은 수정 불가능한 표현들의 이등형은 쌍방향 직교라는 점에 유의한다.

정리.

(i) $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ (${\displaystyle \tau }$ ) ${\displaystyle V_{\rho }(\tau )}$은(는) V ${\displaystyle {\rho }_{}}$ ${\displaystyle V_{\rho }}$의 폐쇄 불변 하위 공간이다$$.

(ii) $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ (${\displaystyle \tau }$ ) ${\displaystyle V_{\rho }(\tau )}$은$($는) $V{\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle {\tau }_{}}$의 직접 사본 합계에 대한 이형성이다${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{\tau }.}$

(iii) 표준 분해: ${\displaystyle V_{}}$ ${\$은(는) $이등형{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle )}$) ,$${\$displaystyle$ $V_{\rho }(\$$tau$ $})$의 힐베르트의 직접 합으로$,$ 이등형 $종류$는 $\$ {\disomorphismismisclassesclassesclassesclassesclassesclassesclassesclassesclassesignation$$.

표준 분해 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$ :${\displaystyle {}_{}V}$→ ${\displaystyle V}$ (${\displaystyle \tau }$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle p_{\tau }:$$V\to V(\tau$ })에서 V${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle V(\tau )}$은(는) $V{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle V,}$은(는)에 의해 제공된 컴팩트 그룹용입니다$$.

${\displaystyle p_{\tau }(v)=n_{\tau }\int_{G}{\overline {\chi _{\tau }(t)}\rho(v)dt,}$

여기서 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$= ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle (V}$(${\displaystyle \tau }$ )$$) {\$displaystyle$n_{\$tau$}=\$dim(V$(\$tau$ $)}$ ${\displaystyle {및}_{}}$ $\$ {\$displaystyle \chi$_{\$tau$}}}은$$(는) 수정 $불가능$한 표현에 해당하는 문자다${\displaystyle .}$ ${\displaystystylease$ \type $\time$\taughtautylease.

투영식

컴팩트 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 표현$({\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle V}$) ${\displaystyle(\rho ,V)$에 대해 정의한다$$.

${\displaystyle V^{G}=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\forall s\in G\}}$

일반적으로 $\rho {\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho (s):$$V\to V}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$–선형이 아니다$$. 내버려두다

${\displaystyle Pv:=\int _{G}\rho(s)vds.}$

맵 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는) 속성을 가지면$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 내형성으로 정의된다.

$왼쪽.\left(\int _{G}\rho(s)vds\right w\right)=\int _{G}(\rho(s)v w)ds,}$

힐버트 공간 $V{\displaystyle .}$ ${\displaystyle V.}$의 내부 제품에 유효함

그러면 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ P$}$이(가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$–선형이며$$, 그 이유는

$왼쪽.\left(\int _{G}\rho(s)(\rho(t)v)ds\right w\int _{G}\left.\left(\rho \rho \reft(tst^{-1}\right)\rho(t)v\ds\&=\int_{G}(\rho(t)v w)\ds\&=int (\rho(s)v w)\&=왼쪽.\left(\rho(t)\int _{G}\rho(s)vds\right w\right),\ended{arged}}}$

하르 측도의 불변성을 이용한 곳이지

제안. 맵 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle G^{}}$. ${\displaystyle$ V$^{G}($으)로$$ 투영된 것이다$$.

대표성이 유한차원이면 유한집단의 경우와 마찬가지로 사소한 하위표현의 직접합계를 결정할 수 있다.

캐릭터, 슈르의 보조정리, 그리고 내부 제품

일반적으로 콤팩트 그룹의 표현은 힐버트-와 바나흐 공간에서 조사된다. 대부분의 경우 그것들은 유한한 차원이 아니다. 따라서, 콤팩트 그룹의 표현에 대해 말할 때 문자를 참조하는 것은 유용하지 않다. 그럼에도 불구하고 대부분의 경우 유한한 치수의 경우로 연구를 제한할 수 있다.

컴팩트 그룹의 불가해한 표현은 유한한 차원이고 단일하기 때문에(첫 번째 하위섹션의 결과 참조), 유한한 그룹에 대해 한 것과 동일한 방식으로 불가해한 문자를 정의할 수 있다.

구성된 표현들이 유한한 차원에 머무르는 한, 새로 구성된 표현들의 문자는 유한집단에 대해서와 같은 방법으로 얻을 수 있다.

슈르의 보조정리기는 콤팩트 그룹에도 유효하다.

Let (${\displaystyle \pi }$, V${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\pi ,V)}$은(는) 컴팩트 $그룹{\displaystyle }$ G${\displaystyle .}${\$displaystyle$ G$.}$ 그러면$$ 모든 경계 연산자 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ V ${\displaystytle T:$$V\to V}$ satisfying the property ${\displaystyle T\circ \pi (s)=\pi (s)\circ T}$ for all ${\displaystyle s\in G,}$ is a scalar multiple of the identity, i.e. there exists ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ such that ${\displaystyle T=\lambda {\text{Id}}.$$}$

정의. 공식

${\displaystyle(\Phi \PSi )=\int _{G}\Phi(t){\overline {\PSi(t)}dt.}$

컴팩트 그룹 $G{\displaystyle }$. ${\displaystyle G.}$의 모든 사각 통합 기능 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle L^{2}(G)}$ 집합에 내부 제품을 정의하십시오. 마찬가지로$$

${\displaystyle \langle \Phi ,\psi \rangle =\int_{G}\Phi(t)\psi(t^{-1)dt.}$

컴팩트 그룹 $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle G.}$의 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle G}$) ${\displaystyle L^{2}(G)}$에 이선형 형식을 정의한다.

표현공간의 이선형태는 유한집단에 대한 것과 정확히 동일하게 정의되며, 유한집단과 유사하므로 다음과 같은 결과가 유효하다.

정리. $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi$ ${\displaystyle {\}}^{}}$과(와) $\chi {\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 각각$$ 두 개의 비이형적 비이성적 표현 $V{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle V}$과$($를)의 문자가 되게$$ 한다. 그렇다면 다음과 같은 것이 유효하다.

• $(\displaystyle (\chi \chi ')=0.}$
• ${\displaystyle }$(${\displaystyle \chi =}$ ) = ${\displaystyle 1}$,$${\$displaystyle$(\$chi$\chi )=$1,}$ 예$$. ${\displaystyle }$▼ ${\displaystyle \chi}$에 "norm" 1.${\displaystyle$ 1$.}$

정리. Let ${\displaystyle V}$ be a representation of ${\displaystyle G}$ with character ${\displaystyle \chi _{V}.}$ Suppose ${\displaystyle W}$ is an irreducible representation of ${\displaystyle G}$ with character ${\displaystyle \chi _{W}.}$ The number of subrepresentations of ${\$$W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$에 해당하는$$ 디스플레이 $스타일 V}$은(는) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 대해 주어진 분해와는 독립적이며 내부$$ 제품$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle \chi {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$)${\displaystyle(\chi _{V} \chi$ \chi $_{W})$과 동일하다.$}$

불가해성 기준. $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$을(를) 표현 $V$의$$문자로 $하고$, {\$displaystyle$ V$,}$을(를) 지정하면${\displaystyle (을}$) ${\displaystyle (\chi \chi$ )}은(를$)$ 양의$$ 정수인 것이다. $게다가{\displaystyle }$ (${\displaystyle \chi }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (\chi \chi )=1}$V ${\displaystyle V}$을(를) 수정할 수 없는 경우에만$$ 해당된다.

따라서 첫 번째 정리를 사용하여 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 수정 불가능한 표현 문자는 이 내부 제품에 대해$$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle L^{2}(G)}$에 정형 세트를 형성한다$$.

코롤러리. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 불가해한 $표현{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{엷은})(V}$) ${\displaystyle \dim(V)}$ $–$ time을 왼쪽 정규 표현에 포함한다$$.

보조정리. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 콤팩트한 그룹이 되게$$ 하라. 그렇다면 다음과 같은 진술이 동일하다.

• ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은(는) 아벨리안이다.
• $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 취소할 수 없는 표현에는$$ $학위$가 1.${\displaystyle 1.}$

정형외과적 특성. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 그룹화하십시오$$. $G{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $G}$의 비이형성 비이형적 비수정적 표현은 이 내부 제품에 대해$$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle L^{2}(G)}$에서 정형 기준을 형성한다$$.

우리가 이미 알고 있는 비이성적 비이성적 비이성적 표현은 정형화된 것이라는 것을 알듯이, 우리는 그것들이 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ L$^{2}(G$)를 생성하는지 확인만 하면 된다$.$$}$ 이 $작업$은 G ${\displaystyle G}$에서 모든 복구할 수 없는 문자와 직교하는$$ 비제로 사각형 통합 기능이 없음을 증명함으로써 수행될 수 있다.

유한집단의 경우와 마찬가지로 그룹 $G{\displaystyle }$ {\$displaystyle G$$}$의 이형성까지의 불가해한 표현 수는 $G{\displaystyle }$.${\displaystyle$G}의 결합 등급 수와 동일하지만$$, 콤팩트$$ 집단은 일반적으로 무한히 많은 결합 클래스를 가지고 있기 때문에 유용한 정보를 제공하지 않는다.

유도 표현

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 컴팩트 $그룹{\displaystyle }$G , ${\displaystyle G}$에서 유한 지수의 폐쇄된 부분군인 경우 유한 그룹에 대한 유도 표현의 정의를$$ 채택할 수 있다.

그러나 유도 표현은 보다 일반적으로 정의할 수 있으므로, 정의가 부분군 $H{\displaystyle .}$ ${\displaystyle H.}$의 지수와 독립적으로 유효하다.

이러한 목적을 위해 (${\displaystyle \eta }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\eta }_{}}$) ${\displaystyle (\eta ,V_{\eta }})$은 닫힌 부분군 $H$의 단일 표현이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle H.}$ 연속 유도 표현 ${\displaystyle {\text{Ind}}_{}^{}}$ H ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle \eta }$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle V_{}}$ I )${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystystyle {\text{}$$Ind}_{H}^{G}(\eta )=(I,V_{I}})$는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle {Let}_{}}$ V I ${\$$I}}$ denote the Hilbert space of all measurable, square integrable functions ${\displaystyle \Phi :G\to V_{\eta }}$ with the property ${\displaystyle \Phi (ls)=\eta (l)\Phi (s)}$ for all ${\displaystyle l\in H,s\in G.}$ The norm is given by

${\displaystyle \Phi \_{G}={\text{sup}}_{s\in G}\\Phi(s)\}$

그리고 표현 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(${\displaystyle 가}$) $오른쪽{\displaystyle }$ 번역: I${\displaystyle }$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ (${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$( ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ I$(s)\$$피(k)=\피(ks)$$}$

유도된 표현은 다시 하나의 단일 표현이다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$은(는) 소형이기 때문에 유도된 표현은 $G$의 수정 불가능한 표현들의 직접적인 합으로 분해될 수 있다${\displaystyle .}${\$displaystyle G}$에 속하는 모든 수정 불가능한 표현들은 ${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle V_{}}$ g${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle ⟨}$ V ${\displaystyle {\eta }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$.${\displaystyle \dim({\text$$홈}}_{G}(V_{\eta }},V_{I})=\langle V_{{\eta },V_{I}\rangele _{G}.$$}$

( $({\displaystyle }$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$) ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho }}}$을(를) $G{\displaystyle }$, ${\displaystyle G,}$을(를) 표현하면$$ 표준 이형성이 존재한다.

${\displaystyle T:{\text{홈}}_{G}(V_{\rho }}},I_{H}^{G}(\eta )\to {\text{\text}홈}_{H}(V_{\rho } _{H},V_{\eta }).}$

프로베니우스 상호주의는 내부 제품 및 이선형식의 수정된 정의와 함께 콤팩트한 그룹으로 전달된다. 이제 정리는 클래스 기능 대신$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 사각형 통합 기능에 대해 유지되지만, $부분군{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$은(는) 닫아야$$ 한다.

피터 웨일 정리

콤팩트 집단의 표현 이론에서 또 다른 중요한 결과는 피터 웨일 정리(Peter-Weil Organization)이다. 그것은 주로 그것의 중심적이고 근본적인 진술 중 하나를 나타내기 때문에 조화 분석에서 제시되고 증명된다.

피터 웨일 정리. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 컴팩트 그룹이 되도록$$ 하십시오. For every irreducible representation ${\displaystyle (\tau ,V_{\tau })}$ of ${\displaystyle G}$ let ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{\dim(\tau )}\}}$ be an orthonormal basis of ${\displaystyle V_{\tau }.}$ We define the matrix coefficients${\displaystyle {\tau }_{k,l}(s}$${\displaystyle \tau _{k,l}(s)=\langle \tau (s)e_{k},e_{l}\rangle }$ for ${\displaystyle k,l\in \{1,\ldots ,\dim(\tau )\},s\in G.}$ Then we have the following orthonormal basis of ${\displaystyle L^{2}(G)}$:

${\displaystyle \left\sqrt}}\\tau _{k,l}\right)_{k,l}}}$

우리는 콤팩트 그룹의 기능에 대한 푸리에 시리즈의 일반화를 얻기 위해 이 정리를 재구성할 수 있다.

피터 웨일 정리 (제2판)^[7] ${\displaystyle \mathrm{자연}}$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ G ${\displaystyle G\times$G$\}$ – 이형성

${\displaystyle L^{2}(G)\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}{\text{End}}(V_{\tau })\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}\tau \otimes \tau ^{*}}$

여기서 $G{\displaystyle \hat{}}$ ${\$은(는) 이소모르피즘까지$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$을(를) 수정 불가능한 모든 표현들의 $집합$이고, ${\displaystyle V_{}}$ {$${\$displaystyle V_{\tau}$에 $해당$하는 표현 공간이다${\displaystyle .}${\$displaysty \tau.$

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Phi \mapsto \sum \in {G}}\tau(\Phi )\\\\tau(\Phi )\\tau(\Phi )=\int_{G}\Phi(t)\dt\in{\text}}(V_{\tau}}}}}}}}})\case}}}}}}}}}}}}}$

역사

복합수를 넘는 유한집단 G의 대표이론의 일반적인 특징은 1900년 이전 해에 페르디난드 게오르크 프로베니우스에 의해 발견되었다. 후에 리차드 브라워의 모듈식 표현 이론이 개발되었다.

참고 항목

• 특성 이론
• 실제 표현
• 슈르 직교 관계
• 맥케이 추측
• 번사이드 링

문학

• Bonnafé, Cedric (2010). Representations of SL2(Fq). Algebra and Applications. Vol. 13. Springer. ISBN 9780857291578.
• Bump, Daniel (2004), Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 225, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-21154-3
• [1] Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, New York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90190-6
• [2] 풀턴, 윌리엄; 해리스, 조: 표현 이론 A 제1코스. 스프링거-베를라크, 1991년 뉴욕 ISBN 0-387-97527-6.
• [3] 알페린, J.L.; 벨, 로웬 B.: 단체 및 대표단 Springer-Verlag, 1995년 뉴욕, ISBN 0-387-94525-3.
• [4] 디트마르, 안톤: 오토모프 포멘 스프링어-베를라그 2010, ISBN 978-3-642-12389-4, 페이지 89-93,185-189
• [5] 에히터호프, 지그프리드; 디트마르, 안톤: 고조파 분석의 원리 스프링어-베를라크 2009, ISBN 978-0-387-85468-7, 페이지 127-150
• [6] 랭, 세르게이: 대수 스프링거-베를라크, 2002년 뉴욕, ISBN 0-387-95385-X, 페이지 663-729
• [7] Sengupta, Ambar (2012). Representing finite groups: a semisimple introduction. New York. ISBN 9781461412311. OCLC 769756134.

참조