4벡터

Four-vector

특수 상대성 이론에서, 4벡터(또는 4벡터)[1]로렌츠 변환 에서 특정한 방식으로 변환되는 4개의 성분을 가진 물체이다.구체적으로, 4 벡터는 로렌츠 그룹의 표준 표현의 표현 공간으로 간주되는 4차원 벡터 공간의 요소이다.1/2, 1/2) 표현.그것은 크기가 결정되는 방식에 있어서 유클리드 벡터와 다르다.이 크기를 보존하는 변환은 로렌츠 변환이며, 여기에는 공간 회전과 부스트(다른 [2]: ch1 관성 기준 프레임에 대한 등속 변화)가 포함됩니다.

예를 들어, 4 벡터는 민코프스키 공간으로 모델링된 시공간에서의 위치μ x, 입자의 4모멘텀μ p, 시공간에서의 x에서의 전자파 4전위μ A(x)의 진폭 및 디랙 대수 내부의 감마 행렬에 의해 스팬된 부분 공간의 요소를 설명한다.

로렌츠 그룹은 4×4 행렬 δ로 나타낼 수 있다.엔트리에서 관성 프레임에 대한 데카르트 좌표를 갖는 열 벡터로 간주되는 일반적인 반변수 4벡터 X에 대한 로렌츠 변환의 작용은 다음과 같이 주어진다.

(표준 곱셈) 여기서 프라이밍된 객체의 컴포넌트는 새로운 프레임을 참조합니다.역변 벡터로서 주어진 위의 예와 관련하여, 대응하는 공변 벡터μ x, pμAμ(x)도 있다.이러한 변환은 규칙에 따라 이루어집니다.

여기서 는 행렬 전치를 나타냅니다.이 규칙은 위의 규칙과 다릅니다.이는 표준 표현의 이중 표현에 해당합니다.그러나 로렌츠 그룹의 경우 모든 표현의 쌍수는 원래 표현과 동일합니다.따라서 공변량 지수가 있는 개체도 4 벡터가 됩니다.

4 벡터가 아닌 특수 상대성 이론에서 올바르게 동작하는 4성분 객체의 예는 bispinor를 참조하십시오.마찬가지로 정의되며, 로렌츠 변환에서의 변환 규칙은 표준 표현 이외의 표현에 의해 제공된다는 차이입니다.이 경우 규칙은 XΩ = δ(δ)X되어 있습니다.여기서 δ(δ)δ 이외의 4×4 행렬입니다.로렌츠 변환 하에서 잘 동작하는 성분의 수가 더 적거나 더 많은 객체에도 이와 유사한 설명이 적용됩니다.여기에는 스칼라, 스피너, 텐서 및 스피너텐서가 포함됩니다.

그 기사는 특수 상대성 이론의 맥락에서 네 벡터를 고찰한다.4 벡터의 개념은 일반 상대성 이론으로도 확장되지만, 이 기사에서 언급된 결과 중 일부는 일반 상대성 이론의 수정을 필요로 한다.

표기법

이 기사의 표기법은 3차원 벡터의 경우 소문자 굵은 글씨, 3차원 단위 벡터의 경우 모자, 4차원 벡터의 경우 대문자 굵은 글씨(4단계 제외) 및 텐서 지수 표기법이다.

4벡터 대수

4 벡터를 실가치로 설정

4 벡터 A는 "시간적" 성분과 3개의 "공간적" 성분을 가진 벡터이며 다음과 같은 다양한 표기법으로 [3]작성할 수 있습니다.

마지막 형태에서 규모 성분과 기저 벡터가 단일 요소로 결합되었다.

위쪽 지수는 반변량 성분을 나타냅니다.여기서 표준 규약은 라틴 지수가 공간 구성요소에 대한 값을 취하기 때문에 i = 1, 2, 3, 그리스 지수는 공간과 시간 구성요소에 대한 값을 취하기 때문에 α = 0, 1, 2, 3은 합산 규약에 사용된다.시간 성분과 공간 성분 사이의 분할은 내부 산물의 로렌츠 불변량을 계산하거나(아래 예제가 제공됨), 지수를 올리고 내리는 것과 같이 다른 텐서 양으로 4 벡터의 축소를 결정할 때 유용하다.

특수상대성이론에서 공간적 기준1 E2, E, E31성분2 A, A3, A는 종종 데카르트적 기준과 성분이다.

물론, 구면 극좌표와 같은 다른 기준과 구성요소를 사용할 수 있다.

또는 원통형 극좌표,

다른 직교 좌표나 일반 곡선 좌표도 마찬가지입니다.좌표 레이블은 항상 레이블로 첨자가 지정되며 숫자 값을 사용하는 인덱스가 아닙니다.일반 상대성 이론에서는 국소 기준의 국소 곡선 좌표를 사용해야 한다.기하학적으로 4벡터는 여전히 화살표로 해석될 수 있지만 공간뿐만 아니라 시공간에서도 해석될 수 있습니다.상대성 이론에서 화살표는 민코프스키 다이어그램(시공간 다이어그램이라고도 함)의 일부로 그려집니다.이 기사에서는 4 벡터를 단순히 벡터라고 부릅니다.

또한벡터로 베이스를 표시하는 것이 관례입니다.

다음을 실현합니다.

공변 좌표와 반변 좌표 사이의 관계는 다음과 같이 지수를 올리고 내리는 민코프스키 메트릭 텐서(미터라고 함)를 통해 이루어진다.

다양한 등가 표기법에서 공변 성분은 다음과 같습니다.

여기서 낮은 지수는 공변량임을 나타냅니다.종종 메트릭은 직교 좌표(선 요소 참조)의 경우와 마찬가지로 대각선이지만 일반적인 곡선 좌표에서는 그렇지 않습니다.

베이스는 행 벡터로 나타낼 수 있습니다.

다음을 실현합니다.

위의 표기법이 적용되는 이유는 내부 제품이 스칼라이기 때문입니다. 자세한 내용은 아래를 참조하십시오.

로렌츠 변환

두 개의 관성 또는 회전 기준 프레임이 주어졌을 때, 4 벡터는 로렌츠 변환 행렬 δ에 따라 변환되는 양으로 정의됩니다.

지수 표기법에서 반변 성분과 공변 성분은 각각 다음과 같이 변환됩니다.

매트릭스 δ는 μ행δ열에 성분 δμν 가지며, 역 매트릭스 δ는 μ행δ열에 성분 δμν 가진다.

이 변환 정의의 성격에 대한 배경은 텐서를 참조하십시오.모든 4 벡터는 같은 방식으로 변환되며, 이것은 4차원 상대론적 텐서로 일반화될 수 있습니다. 특수 상대성 이론을 참조하십시오.

임의 축에 대한 순수 회전

단위 벡터에 의해 정의된 축을 중심으로 고정 각도 θ로 회전하는 두 프레임의 경우:

부스트 없이 매트릭스 δ에는 다음과 [4]같은 성분이 있습니다.

여기서 θij 크로네커 델타, θijk 3차원 Levi-Civita 기호입니다.4 벡터의 공간적 구성요소는 회전하지만 시간적 구성요소는 변경되지 않습니다.

Z 축에 대한 회전의 경우에만 로렌츠 행렬의 공간적 부분이 Z 축에 대한 회전 행렬로 감소합니다.

임의의 방향으로 순수한 부스트

좌표계의 표준 구성. x 방향의 로렌츠 부스트용.

(4속도가 아닌, 아래 참조) 일정한 상대 3속 v로 이동하는 2개의 프레임의 경우 c 단위로 상대 속도를 표시하고 정의하는 것이 편리합니다.

그런 다음 회전하지 않으면 행렬 δ에는 다음과 [5]같은 성분이 있습니다.

여기서 로렌츠 인자는 다음과 같이 정의됩니다.
θij 크로네커 델타입니다.순수 회전의 경우와는 달리 공간상 성분과 시간상 성분이 부스트 아래 혼합되어 있다.

x 방향으로만 부스트하는 경우 매트릭스는 다음과 [6][7]같이 감소합니다.

고속도 δ 표현이 사용된 경우, 쌍곡선 함수로 작성됩니다.

이 로렌츠 행렬은 부스트를 4차원 공간에서의 쌍곡선 회전으로 나타내며, 이는 3차원 공간에서의 위의 원형 회전과 유사합니다.

특성.

선형성

4 벡터는 3차원에서 유클리드 벡터와 동일선형 특성을 가집니다.통상적인 엔트리 방식으로 추가할 수 있습니다.

마찬가지스칼라에 의한 스칼라 곱셈은 엔트리 단위로 다음과 같이 정의됩니다.

뺄셈은 덧셈의 역연산이며 엔트리 단위로 다음과 같이 정의됩니다.

민코프스키 텐서

의 4벡터 A와 B에 민코프스키 텐서μν θ를 적용하여 결과를 도트표기로 작성하면 아인슈타인 표기를 사용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

정의를 매트릭스 형식으로 다시 쓰는 것이 편리합니다.

이 경우 위의 θμν 정사각형 행렬로서 민코프스키 메트릭의 μ행θ열의 엔트리이다.민코프스키 메트릭은 부정적이기 때문에 유클리드 메트릭이 아닙니다(메트릭 시그니처 참조).메트릭 텐서가 A 또는 B의 성분을 올리고 내릴 수 있기 때문에 다른 많은 식을 사용할 수 있습니다.A의 반대/공변 성분과 B의 공변 성분의 경우 다음과 같이 처리한다.
매트릭스 표기법으로는 다음과 같습니다.
A와 B의 경우 각각 공변 성분:
상기와 유사한 행렬식을 가지고 있습니다.

Minkowski 텐서를 4 벡터 A에 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

이것은 경우에 따라 벡터 길이의 제곱 또는 음수로 간주될 수 있다.

다음은 표준 기준의 메트릭 텐서에 대한 두 가지 일반적인 선택이다(특히 데카르트 좌표).직교 좌표를 사용하는 경우, 메트릭의 공간적 부분의 대각선 부분을 따라 스케일 인자가 있는 반면, 일반적인 곡선 좌표의 경우 사용된 곡선 기준에 따라 전체 공간적 부분이 구성요소를 가질 것이다.

표준 베이스(+---) 시그니처

(+---) 메트릭시그니처에서는 인덱스에 대한 합계를 평가하면 다음과 같은 결과가 됩니다.

매트릭스 형식일 때:

특수상대성이론의 반복적인 주제입니다.

하나의 기준 프레임에서 C는 이 프레임의 내부 제품 값이며 다음과 같습니다.
C'는 이 프레임의 내부 제품 값입니다.내부곱은 불변이므로, 다음 값이 같아야 합니다.
즉, 다음과 같습니다.

상대성 이론의 물리량이 4벡터임을 고려하면 이 방정식은 "보존 법칙"처럼 보이지만 "보존"은 포함되지 않는다.민코프스키 내부곱의 주요 중요성은 두 개의 4벡터에 대해 그 값이 모든 관측자에 대해 불변한다는 것이다. 좌표를 변경해도 내부곱의 값이 변하지 않는다.4개의 벡터의 구성요소는 한 프레임에서 다른 프레임으로 바뀝니다.AA'는 로렌츠 변환에 의해 연결되며, B와 B'도 마찬가지로 내부 곱은 모든 프레임에서 동일합니다.그럼에도 불구하고, 이러한 유형의 표현은 보존 법칙과 동등한 상대론적 계산에서 이용된다. 왜냐하면 성분의 크기는 로렌츠 변환을 명시적으로 수행하지 않고도 결정될 수 있기 때문이다.4모멘텀 벡터(아래 참조)에서 도출된 에너지-모멘텀 관계의 에너지와 모멘텀을 예로 들 수 있습니다.

이 시그니처에는 다음이 있습니다.

(+---)를 지정하면, A 0스페이스와 같이, A Atimelike > null 벡터로 분류할 수 있습니다

표준 베이스, (++) 시그니처

일부 필자는 반대 기호로 with를 정의합니다.이 경우 (-++) 메트릭시그니처를 사용합니다.이 시그니처를 사용한 합계를 평가합니다.

반면 매트릭스 형식은 다음과 같습니다.

이 경우, 1개의 프레임으로 다음의 점에 주의해 주세요.

다른 곳에 있을 때:

다음을 실현합니다.

이는 A와 B의 관점에서 C에 대한 위의 식과 같다.어느 쪽의 규약이라도 유효합니다.위의 두 가지 방법으로 정의된 민코프스키 메트릭에서 공변과 반변 4 벡터 성분 간의 유일한 차이는 부호이기 때문에 부호는 사용되는 부호 규칙에 따라 달라집니다.

다음과 같은 것이 있습니다.

시그니처(++)는 A A0 {\ \ A} 스페이스 라이크, A 0 \\{} <인 경우 null로 분류할 수 있습니다.

듀얼 벡터

민코프스키 텐서를 적용하는 것은 종종 다른 벡터에 대한 한 벡터의 이중 벡터의 효과로 표현된다.

여기서 Aν A이중 벡터 A*의 성분이며 A공변 좌표라고 불리는 반면, 원래ν A 성분은 반변 좌표라고 불립니다.

사벡터 미적분

파생상품 및 차이점

특수 상대성 이론(일반 상대성 이론이 아님)에서, 스칼라 δ(불변)에 대한 4 벡터의 도함수는 그 자체로 4벡터이다.또한 4 벡터 dA의 미분을 스칼라 d†의 미분으로 나누는 것도 유용합니다.

반변 컴포넌트 위치:

공변량 성분은 다음과 같습니다.

상대론적 역학에서는 종종 4 벡터의 미분을 취하여 적절한 시간에 미분으로 나눕니다(아래 참조).

기본 4벡터

포 포지션

민코프스키 공간의 점은 "사건"이라고 불리는 시간과 공간적 위치이며, 때로는 4개의 좌표 집합으로 참조 프레임에 기술된 4개의 벡터 또는 4개의 위치이기도 하다.

여기서 r은 3차원 공간 위치 벡터입니다.r이 동일한 프레임에서 좌표 시간 t의 함수(: r = r(t))인 경우, 이는 t가 변화하는 일련의 사건에 해당한다.R = ct 정의0 모든 좌표가 동일한 단위(거리)[8][9][10]를 갖도록 합니다.이 좌표는 이벤트의 포지션 4벡터의 구성요소이다.

변위 4벡터는 두 사건을 연결하는 "화살표"로 정의됩니다.

표준 표기법을 사용하여 세계선상의 미분 4위치에 대해:

차분 라인 요소 ds 및 차분 적정 시간 증분 d4를 정의하지만 이 "표준"도 다음과 같습니다.

다음을 실현합니다.

물리적 현상을 고려할 때 미분방정식은 자연스럽게 발생하지만, 함수의 공간 및 시간 도함수를 고려할 때 이러한 도함수가 어떤 기준 프레임에 대해 취해지는지는 불분명하다.적절한 시간 에 대해 시간 미분을 취하는 것에 동의하고 있습니다.적절한 시간은 불변이기 때문에 4 벡터의 적절한 시간 미분은 그 자체가 4벡터임을 보증합니다.그런 다음 (관성 기준 프레임의 좌표 시간 t를 사용하여) 이 적절한 시간 도함수와 다른 시간 도함수 사이의 관계를 찾는 것이 중요하다.이 관계는 위의 미분 불변 시공간 간격을 취하여 (cdt)2로 나누어 다음과 같이 구합니다.

여기u = dr/dt는 x, y, z 좌표 시간 t와 동일한 프레임에서 측정된 물체의 좌표 3차원이다.

로렌츠 계수입니다.이를 통해 좌표 시간과 적절한 시간 간의 차이에 유용한 관계를 얻을 수 있습니다.

이 관계는 로렌츠 변환의 시간 변환에서도 찾을 수 있습니다.

상대성 이론에서 중요한 4개의 벡터는 이 (\ 를 적용하여 정의할 수 있습니다.

4학년

편도함수선형연산자임고려하면 편도함수 θ/θt와 공간구배 θ에서 4급수를 형성할 수 있다.표준 기준, 색인 및 약어 표기법에서 반변치 요소는 다음과 같습니다.

기본 벡터는 기본 벡터의 도함수를 취하거나 단순히 부분 도함수가 이 4 벡터의 구성요소임을 나타내는 혼동을 방지하기 위해 성분 앞에 배치됩니다.공변량 성분은 다음과 같습니다.

연산자이므로 "길이"는 없지만 연산자의 내적을 그 자체로 평가하면 다른 연산자가 됩니다.

달랑베르 교환수라고 불렀어요

운동학

4단 속도

입자의 4속도는 다음과 같이 정의됩니다.

기하학적으로 U는 입자의 세계선에 접하는 정규화된 벡터입니다.4개 위치의 차이를 사용하여 4개 속도의 크기를 구할 수 있습니다.

즉, 모든 물체에 대한 4차원 크기는 항상 고정 상수입니다.

표준도 다음과 같습니다.

다음을 실현합니다.

로렌츠 인자의 정의로 환원됩니다.

4단계의 단위는 SI에서는 m/s, 기하학 단위계에서는 1이다.4속도는 반변위 벡터이다.

4가속도

4가속도는 다음과 같습니다.

여기서 a = du/dt는 좌표 3-가속도이다.U의 크기가 상수이기 때문에, 4개의 가속도는 4개의 속도에 직교한다. 즉, 4개의 가속도의 민코프스키 내부 곱은 0이다.

모든 세계 라인에 해당됩니다.4가속도의 기하학적 의미는 민코프스키 공간에서 세계선의 곡률 벡터이다.

다이내믹스

사모멘텀

정지질량(또는 불변질량0) m의 질량 입자의 경우 4모멘텀은 다음과 같이 주어진다.

여기서 움직이는 입자의 총 에너지는 다음과 같습니다.

전체 상대론적 모멘텀은 다음과 같습니다.

4모멘텀의 내적물을 직접 가져갑니다.

또, 다음과 같은 것도 있습니다.

이는 에너지-입자 관계로 이어집니다.

이 마지막 관계는 상대론적 양자 역학과 상대론적 양자장 이론에서 필수적인 유용한 상대론적 역학이며, 모두 입자 물리학에 적용되었습니다.

포포스

입자에 작용하는 4력은 뉴턴의 제2법칙에서 3운동의 시간 도함수로 3력과 유사하게 정의됩니다.

여기서 P는 입자를 이동시키기 위해 전달되는 이고 f는 입자에 작용하는 3개의 힘입니다.일정 불변 질량 m0 입자에 대해, 이것은 다음과 같다.

4-힘에서 파생된 불변량은 다음과 같습니다.

상기 결과로부터.

열역학

4열 플럭스

4열 플럭스 벡터장은 기본적으로 [11]유체의 로컬 프레임에 있는 3d 열 플럭스 벡터장 q와 유사합니다.

여기서 T는 절대 온도, k는 열전도율입니다.

4바리온수 플럭스

바리온의 플럭스는 다음과 같습니다.[12]

여기서 n은 중입자 유체의 국소 휴지 프레임에 있는 중입자밀도(중입자 양의 값, 항입자 음의 값)이며, U는 위와 같은 4속장(유체의 4속장)이다.

4엔트로피

4 엔트로피 벡터는 다음과 [13]같이 정의됩니다.

여기서 s는 [14]유체의 로컬 휴지 프레임에 있는 바리온당 엔트로피, T절대 온도입니다.

전자기학

전자석의 4 벡터의 예는 다음과 같다.

사류

전자파 4전류(또는 보다 정확하게는 4전류 [15]밀도)는 다음과 같이 정의됩니다.

전류밀도j전하밀도θ로 형성됩니다.

4전위

전자파 4전위(또는 보다 정확하게는 4EM 벡터 전위)는 다음과 같이 정의됩니다.

벡터 퍼텐셜a와 스칼라 퍼텐셜 θ로 형성된다.

4전위는 게이지 선택에 따라 달라지기 때문에 고유하게 결정되지 않습니다.

전자장에 대한 파동 방정식에서:

  • 진공상태에서
  • 4전류 전원으로 로렌츠 게이지 조건A ) {\{A})= 사용 시,

흔든다

4주파

포토닉 평면파는 다음과 같이 정의된 4개의 주파수로 설명할 수 있다.

여기서 θ는 파형의 이고n 파형의 이동 방향 단위 벡터입니다.지금:

그래서 광자의 4주파수는 늘 벡터입니다.

사파 벡터

시간 t와 공간 r에 반비례하는 양은 각각 각 주파수 θ와 파동 벡터 k이다.4파 벡터 또는 4파 벡터의 구성 요소를 구성합니다.

단색에 가까운 빛의 파형 패킷은 다음과 같이 설명할 수 있습니다.

드 브로글리 관계는 4파 벡터가 광파뿐만 아니라 물질파에도 적용된다는 것을 보여주었습니다.

= ℏ k k → ℏ 、 { { } = \}。 여기서 is플랑크 상수로 나눈 값입니다.

표준 제곱은 다음과 같습니다.

그리고 드 브로글리의 관계에 따라:
에너지-입자 관계의 물질파 아날로그가 있다.

m = 0인 무질량 입자의 경우 다음0 같이 처리됩니다.

또는 "k" = "c" 입니다.이는 위의 경우와 일치합니다. 3파 벡터가 계수 δ/c인 광자의 경우 단위 n에 의해 정의된 파동 전파 방향입니다.

양자 이론

4확률 전류

양자역학에서 4확률 전류 또는 4확률 전류는 전자파 [16]4전류와 유사합니다.

여기서 θ는 시간 성분에 해당하는 확률 밀도 함수이고 j는 확률 전류 벡터입니다.비상대론적 양자역학에서 밀도와 전류의 표현은 양의 유한하고 확률 해석을 허용할 수 있기 때문에 이 전류는 항상 잘 정의됩니다.상대론적 양자역학양자장 이론에서, 특히 상호작용이 수반될 때, 전류를 찾는 것이 항상 가능한 것은 아니다.

4운동량에서 에너지 연산자에 의한 에너지와 운동량을 4운동량 연산자에 의해 대체하면 상대론적 파동 방정식에 사용되는 4운동량 연산자를 얻을 수 있다.

4회전

입자의 4 스핀은 다음과 같은 입자의 나머지 프레임에서 정의된다.

여기서 s는 스핀 의사 벡터입니다.양자역학에서는 이 벡터의 세 가지 성분이 모두 동시에 측정되는 것이 아니라 하나의 성분만 측정됩니다.타임라이크 컴포넌트는 파티클의 휴지 프레임에서는 제로이지만 다른 프레임에서는 제로입니다.이 성분은 적절한 로렌츠 변환에서 찾을 수 있습니다.

노름 제곱은 스핀의 (음수) 크기 제곱이고, 양자 역학에 따르면 우리는

이 값은 (스핀 벡터의 크기가 아닌) 스핀 양자 번호로 관측 및 양자화됩니다.

기타 제제

물리 공간 대수학의 4벡터

4벡터 A는 파울리 행렬을 기본으로 사용할 때도 정의할 수 있으며, 마찬가지로 다양한 등가 [17]표기법에서도 정의할 수 있습니다.

또는 명시적으로:
그리고 이 공식에서 4 벡터는 실제 값 열이나 행 벡터가 아닌 에르미트 행렬(행렬의 전치 행렬과 복잡한 공역 행렬은 변하지 않음)로 표현된다.행렬의 행렬식은 4 벡터의 계수이므로 행렬식은 불변량입니다.

파울리 행렬을 기저 벡터로서 사용하는 이 아이디어는 클리포드 대수의 한 예인 물리 공간의 대수에 사용된다.

시공간 대수의 4벡터

클리포드 대수의 또 다른 예인 시공간 대수에서 감마 행렬은 또한 기초를 형성할 수 있다.(이것들은 디랙 방정식에 나타나기 때문에 디랙 행렬이라고도 불린다.)감마 행렬을 표현하는 방법은 두 가지 이상이며, 이 주요 기사에 자세히 설명되어 있다.

파인만 슬래시 표기법은 감마 행렬과 계약된 4벡터 A의 약어이다.

감마 행렬과 수축된 4개의 모멘텀은 상대론적 양자 역학과 상대론적 양자장 이론에서 중요한 경우이다.디랙 방정식 및 기타 상대론적 파동 방정식에서 다음 형식의 항:

에너지 E 및 운동량 성분(px, py, pz)각각의 연산자에 의해 대체되는 것이 나타납니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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