하위 정규 연산자

수학, 특히 연산자 이론에서, 하위 정규 연산자는 정규 연산자에 대한 요건을 약화시킴으로써 정의된 힐버트 공간의 경계 연산자들이다.^[1] 최소 정상 연산자의 일부 예로는 분석 기호가 있는 등위계와 토플리츠 연산자가 있다.

정의

H를 힐베르트의 공간이 되게 하라.H에 대한 경계 연산자 A는 A가 정상적인 연장자라면 정상 이하라고 한다.즉, H가 K에 내장될 수 있는 Hilbert 공간 K가 존재하고, 형태의 정상 연산자 N이 존재한다면 A는 보통 이하인 것이다.

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}A&B\\0&C\end{bmatrix}}$

어떤 한정된 운영자용

$[\displaystyle B):H^{\perp }\오른쪽 화살표 H,\quad {\mbox{and}}\quad C:H^{\perp }\오른쪽 화살표 H^{\perp }}$

정규성, quasinormality 및 하위 정규성

정상 연산자

모든 정상 연산자는 정의상 보통 이하지만, 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다.단순한 종류의 예는 단일 사업자의 특성을 약화시킴으로써 얻을 수 있다.단일 운영자는 범위가 밀집한 등위계다.이제 범위가 반드시 밀도가 높은 것은 아닌 등위계 A를 생각해 보십시오.그 구체적인 예가 일방적 이동인데, 이것은 정상이 아니다.그러나 A는 보통 이하이며 이것은 명시적으로 보여질 수 있다.연산자 U 정의

$H\oplus H}$

에 의해

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\0&-A^{*}\end{bmatrix}}.}$

직접 계산해 보면 U가 단일하리만큼 A의 정상적인 연장선상에 있다는 것을 알 수 있다.연산자 U는 등위계 A의 단일확장이라고 불린다.

퀘이노말 연산자

교환원 A는 A*A와 통근할 경우 퀘이노멀이라고 한다.^[2]따라서 정상적인 연산자는 준동맥이다. 그 반대는 사실이 아니다.상기와 같이 일방적 이동에 의해 대항적인 예가 주어진다.따라서 정상 연산자 계열은 준정규 연산자와 준정규 연산자 모두의 적절한 하위 집합이다.당연한 질문은 퀘이시노말과 보통 이하의 운영자들이 어떻게 연관되어 있는가 하는 것이다.

우리는 퀘이노말 연산자가 반드시 보통 이하라는 것을 보여줄 것이다. 그러나 그 반대는 아니다.따라서 정상 연산자는 준정상 연산자에 의해 차례로 포함되는 퀘이노말 연산자의 적절한 하위 계열이다.Quasinormal 연산자가 정규 분포를 따르지 않는다는 주장을 펴려면 quasinormal 연산자의 다음 속성을 기억하십시오.

사실: 경계 연산자 A는 극 분해 A = UP, 부분 등위 측정 U 및 양의 연산자 P 통근인 경우에만 쿼시노멀이다.^[3]

퀘이노말 A를 받은 이 아이디어는 U와 P를 위한 확장을 충분히 좋은 방법으로 만들어 모든 것이 통하게 하는 것이다.순간적으로 U가 등위계라고 가정해 보자.뷔를 U의 단일 팽창이 되게 하라.

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}U&I-UU^{*}\\0&-U^{bmatrix}}}={\begin{bmatrix}U&D_{*}\0&-U^{*}\end{bmatrix}.}$

정의

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}P&0\\0>P\end{bmatrix}.}$

연산자 N = VQ는 분명히 A의 연장선이다.우리는 직접 계산을 통해 그것이 정상적인 연장임을 보여준다.V 평균의 단위성

${\displaystyle N^{*}N=QV^{*}VQ=Q^{2}={\begin{bmatrix}P^{2}&0\\0>P^{2}\end{bmatrix}.}$

다른 한편으로는

${\displaystyle NN^{*}={\begin{bmatrix}UP^{2}U^{*}+D_{U^{*}P^{2}D_{U^{*}}&-D_{U^{*}P^{2}U\-U^{*}P^{2}D_{U^{*}}&U^{*}P^{2}U\end{bmatrix}}.}$

UP = PU와 P는 자기 연장이므로 U*P = PU*와 DP_U* = DP가_U* 있다. 입력 항목을 비교하면 N이 정상임을 알 수 있다.이것은 준정규성을 암시하는 Quasinormality를 증명한다.

반대가 사실이 아님을 보여주는 반대 예를 들자면, A의 일방적인 변화를 다시 생각해 보라.일부 스칼라 s에 대한 연산자 B = A + s는 정상 이하의 상태를 유지한다.그러나 B가 quasinormal이라면, 간단한 계산으로 A*A = AA*, 이것이 모순이라는 것을 알 수 있다.

최소 정상 확장

일반 확장자의 고유하지 않음

최소 정규 연산자 A에 대해 정규 확장자 B는 고유하지 않다.예를 들어, A를 l²(N)에 대한 일방적 이동이 되도록 한다.하나의 정상적인 확장은 l²(Z)에 정의된 양방향 이동 B이다.

${\displaystyle B(\ldots,a_{-1},{\hat {a}_{0},a_{1},\ldots )=(\ldots,{\hat {a}_{1}1},a_{0},a_{1},\ldots }),}$

여기서 ˆ은 0번째 위치를 나타낸다.B는 연산자 행렬 단위로 표현할 수 있다.

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\0>A^{*}\end{bmatrix}}.}$

또 다른 정상적인 확장은 위에서 정의한 A의 단일 팽창 B'에 의해 주어진다.

${\displaystyle B'={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\0&A^{*}\end{bmatrix}}}}$

누구의 행동이 에 의해 설명되어지는가?

${\displaystyle B'(\ldots,a_{-2},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )=(\ldots,-a_{a_{-1},a_{0},a_{0},a_{1},a_{1},{1},a_{1}, {2},\ldots.}$

미니멀리티

그러므로 사람들은 어떤 의미에서는 가장 작은 정상적인 확장에 관심이 있다.보다 정확히 말하면 힐버트 공간 K에 작용하는 정상 연산자 B는 K' ⊂ K가 B와 H ⊂ K'의 감소 하위 공간이라면, K' = K. (B와 B*^[4] 모두에 불변인 경우에는 B의 감소 하위 공간이다.)

하나는 두 연산자 B와₁ B가₂ 각각 K와₁ K의₂ 최소 연장자라면, 단일 연산자가 존재한다는 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle U:K_{1}\오른쪽 화살표 K_{2}.}$

또한 다음과 같은 얽히고설킨 관계는 다음과 같다.

${\displaystyle UB_{1}=B_{2}U.\,}$

이것은 건설적으로 보여질 수 있다.다음 형식의 벡터로 구성된 S 설정을 고려하십시오.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=h_{0}+B_{1}^{1}^{}^{*h_{1}+(B_{1}^{*})^^{2}h_{2}+\cdots +(B_{1}^{*})^{n}h_{n}\quad{\where}\quad}\quad h_{i}\in.}$

K' ⊂ K는₁ S의 선형 스팬을 닫는 부공간으로 한다. 정의상 K'는 B₁*에 따라 불변하며 H를 포함한다.B의₁ 정규성과 H가 B의₁ 불변이라는 가정은 K'의₁ 불변성을 의미한다.따라서 K' = K₁.힐버트 공간 K는₂ 정확히 같은 방법으로 식별할 수 있다.이제 연산자 U를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle U\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*}}}^{i}h_{i}}}}}}}}}}}}}}}.$

왜냐하면

${\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle =\sum _{ij}\langle h_{i},(B_{1})^{i}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\rangle =\sum _{ij}\langle (B_{2})^{j}h_{i},(B_{2})^{i}h_{j}\rangle =\left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{2}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle ,}$

, 연산자 U는 단일하다.직접 계산에서도 알 수 있다(B와₁ B가₂ 모두 A의 확장이라는 가정은 여기에서 필요하다).

${\displaystyle {\text{}g=\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}}}}}$

${\displaystyle {\text{}}{1}UB_{1}g=B_{2}Ug=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}}}아_{i}}}$

B와₁ B가₂ 최소로 가정되지 않을 때, 동일한 계산은 위의 주장이 U가 부분 등위계수인 것과 동일하다는 것을 보여준다.

참조