정상 연산자

수학, 특히 기능적 분석에서 복잡한 힐버트 공간 H의 정상 연산자는 자신의 은둔자 부호 N*에 통근하는 연속 선형 연산자 N : H → H이다. 즉 N* = N*N.^[1]

정상 연산자는 스펙트럼 정리가 그들을 지탱하기 때문에 중요하다.정상 연산자의 클래스는 잘 이해되어 있다.정규 연산자의 예는 다음과 같다.

단일 운영자:N* = N⁻¹
에르미트 연산자(즉, 자가 승인 연산자):N* = N
Skew-Hermitian 연산자:N* = −N
양성 연산자: 일부 M의 경우 N = MM*(따라서 N은 자가 적합함).

정규 행렬은 힐버트 공간 C에ⁿ 있는 정규 연산자의 행렬식이다.

특성.

정상 연산자는 스펙트럼 정리가 특징이다.소형 정상 연산자(특히 유한차원 선형 공간의 정상 연산자)는 단위 대각선으로 가능하다.^[2]

$T$ $T$ 을(를) 경계 연산자로 두십시오 $T$ .이하와 같다.

$T$ $T$ 은 $T$ (는) 정상이다.
$∗{\$ T $^{*}}$ 는 $T^{*}$ 정상이다.
$\ Tx\ =\ T^{*}x\$ for all $x$ (use $\ Tx\ ^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\ T^{*}x\ ^{2}$ ).
$T$ $T$ 통근의 $T$ 자체 적응 및 반자율 조정 부분.즉, $T$ $T$ 이 $T$ $T=T_{1}+iT_{2}$ (가) $T=T_{1}+iT_{2}$ = T $T=T_{1}+iT_{2}$ + $T=T_{1}+iT_{2}$ $T=T_{1}+iT_{2}$ ${\$ T $=T_{1}+iT_{2$ }}: T $T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}$ $T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}$ + $T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}$ $T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}$ $T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}$ ${\$ 로 쓰여진 경우 $T^{*}:{2}}:}$ 및 $T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}$ $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ T $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ - $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ , ${\displaystyle$ i $\,$ $T_{2}:={\frac {T-T^{*}:{2}},}$ 다음 $i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},$ $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$ $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$ T $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$ = $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$ $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$ $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$ $T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.$ . ${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{$ } $T_{1}.}$ ^{[note 1]}

$N$ $N$ 이 $N$ (가) 일반 연산자인 경우 $N$ $N$ 과 $N$ (와) $N^{*}$ $N^{*}$ ${\$ 은(는) 커널과 범위가 동일하고 범위가 $N^{*}$ 동일하다.따라서 $N$ $N$ 이(가) 주입식인 $N$ 경우에만 N {\displaystyle N $}$ 의 범위가 밀도가 높다 $N$ .^{[clarification needed]}다른 방법으로 말하면, 정상 연산자의 커널은 그 범위의 직교보완이다.따라서 연산자 $N^{k}$ $N^{k}$ ${\$ N $^{k}$ 의 커널이 $k .$ ${\displaystyle$ k $.}$ 에 대한 $N$ $N$ ${\displaystyle$ $N$ $}$ 의 커널과 일치한다 $N^{k}$ . 따라서 $k.$ 일반 연산자의 모든 일반화된 고유값은 진품이다. $\lambda$ is an eigenvalue of a normal operator $N$ if and only if its complex conjugate ${\overline {\lambda }}$ is an eigenvalue of $N^{*}.$ Eigenvectors of a normal operator corresponding to different eigenvalues are orthogonal, and a정상 작동자는 ^[3]각 직교 보어를 안정화한다.이것은 일반적인 스펙트럼 정리를 암시한다: 유한한 차원 공간의 모든 정상 연산자는 단일 연산자에 의해 대각선이 가능하다.투영 값 측정의 관점에서 표현되는 스펙트럼 정리의 무한 차원 버전도 있다.정규 연산자의 잔류 스펙트럼이 비어 있다.^[3]

통근하는 정상 연산자의 산물은 다시 정상이다; 이것은 비교가 되지 않지만 (푸트남이 일반화한 형태로)라고 명시한 푸글레데의 정리로부터 직접 따른다.

N_{1}

N_{1}

{\

및

N_{1}

N_{2}

N_{2}

{\

N_

{2

}}이 정상

N_{2}

연산자이고

,

N

N_{1}A=AN_{2},

N_{1}A=AN_{2},

=

N_{1}A=AN_{2},

2,

{\displaystyle N_{1}A=

와

N_{1}A=AN_{2},

경계 선형 연산자인 경우

A

AN_{2}},

그

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

A

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

=

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

N

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}

{\

AN_{2}^{*}}}

.

정상 연산자의 연산자 규범은 수치 반지름과^{[clarification needed]} 스펙트럼 반지름과 동일하다.

정상 연산자는 알루지 변환과 일치한다.

유한차원의 특성

유한차원 실제 공간이나^{[clarification needed]} 복잡한 힐버트 공간(내부 제품 공간)의 정상 연산자 T가 서브공간 V를 안정화시킨다면, 직교보완물 V도^⊥ 안정화한다.(T가 자기성격인 경우 이 진술은 사소한 것이다.)

증명. P를_V V에 직교 투영으로 한다.그러면 V에^⊥ 대한 직교 투영은 1-P이다_H_V.T가 V를 안정화한다는 사실은 (1-P_H_V)로 표현할 수 있다.TP_V = 0, 또는 TP_V = PTP_V_V.목표는 PT_V(1-P_H_V) = 0임을 보여주는 것이다.

X = PT_V(1-P_H_V)로 한다.(A, B) ↦ tr(AB*)은 H의 내형성 공간에 있는 내형성 제품이기 때문에 tr(XX*) = 0임을 보여주기에 충분하다.먼저 우리는 이 점에 주목한다.

XX^{*}=P_{V}T({\boldsymbol{1}{1}{H}-P_{V}^{2}T^{*}P_{V}=P_{V}T({\boldsymbol{1}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.

추적 및 직교 투영 특성 사용:

{\begin}\operatorname {tr}(XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V})TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\오른쪽)\\&=\operatorname {tr}(P_{V})TT^{*}P_{V}-\operatorname {tr}(P_{V})TP_{V}T^{*}P_{V}\&=\operatorname {tr}(P_{V}^{2})TT^{*}-\operatorname {tr}(P_{V}^{2}TP_{V}T^{*}}\&=\in=\operatorname {tr}(P_{V})TT^{*}-\operatorname {tr}(P_{V})TP_{V}T^{*}}\&=\operatorname {tr}(P_{V})TT^{*}-\operatorname {tr}(TP_{V}T^{*}})&{{\text{}}}}}}{{\text{}}}}}}}}}{{{text}}}}}}}}}{text}}}}}}}}*Text가 안정화된다는 가설 사용TT^{*}-\operatorname {tr}(P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr}(P_{V}(TT^{*}-T^{}T))\\&=0.\end{aigned}

무한 치수 힐버트 공간의 콤팩트한 일반 연산자에 대해서도 동일한 주장을 거친다. 힐버트-슈미트 내측 제품은 tr(AB*)가 적절히 해석한 것이다.^[4]단, 경계가 있는 정상 연산자의 경우 안정적인 아공간 직교보완물이 안정적이지 않을 수 있다.^[5]힐버트 공간은 일반적으로 정상 운영자의 고유 벡터에 의해 확장될 수 없다는 것을 따른다.예를 들어 $\ell ^{2}$ $\ell ^{2}$ ${\$ }}에 작용하는 양방향 시프트(또는 양방향 시프트)를 고려하십시오 $\ell ^{2}$ 이는 정상이지만 고유값이 없다.

하디 공간에 작용하는 시프트의 불변적인 서브스페이스는 버링의 정리가 특징이다.

알헤브라의 정상 원소

정상 연산자의 개념은 비자발적 대수학으로 일반화된다.

무의식 대수의 원소 x는 xx* = x*x일 경우 정상이라고 한다.

자기 성찰과 단결 원소는 정상이다.

가장 중요한 경우는 그러한 대수학이 C*-알지브라일 때 이다.

바인딩되지 않은 일반 연산자

정상 연산자의 정의는 자연스럽게 어떤 종류의 무한 연산자에게 일반화된다.명시적으로, 닫힌 연산자 N은 다음과 같은 경우에 정상이라고 한다.

N^{*}N=NN^{*}.

여기서 부선 N*의 존재는 N의 도메인이 밀도 있어야 하며, 평등은 N*N의 도메인이 N**의 도메인과 같다는 주장을 포함하는데, 이는 일반적으로 반드시 그렇지는 않다.

동등하게 정규 연산자는 정확히^[6] 다음 항목을 위한 연산자임

\ Nx\ =\ N^{*}x\ \qquad

와 함께

{\mathcal {D}(N)={\mathcal {D}(N^{*}).

스펙트럼 정리는 무한(정상) 연산자에 대해 여전히 유효하다.그 증명서는 한정된 (정상적인) 연산자로 축소되어 작동한다.^[7]^[8]

일반화

정상 연산자 이론의 성공은 공통성 요건을 약화시킴으로써 일반화를 위한 몇 가지 시도로 이어졌다.일반 연산자를 포함하는 연산자의 클래스는 (포함 순서)

메모들

^ 대조적으로, 양자장 이론과 같은 생성과 소멸 연산자의 중요한 계층의 경우, 그들은 통근하지 않는다.

참조

^ Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 312, MR 0276251
^ 호프만&쿤제(1971년), 317페이지.
^ ^a ^b Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Sciences. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3. Archived from the original on 2021-06-26. Retrieved 2021-06-26.
^ Andô, Tsuyoshi (1963). "Note on invariant subspaces of a compact normal operator". Archiv der Mathematik. 14: 337–340. doi:10.1007/BF01234964. S2CID 124945750.
^ Garrett, Paul (2005). "Operators on Hilbert spaces" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2011-09-18. Retrieved 2011-07-01.
^ Weidmann, Lineare Operatoren in Hilbertreumen, 제4장 제3절
^ 알렉산더 프라이, 스펙트럼 측정, 수학 스택 교환, 웨이백 머신에서 2021-06-26, 웨이백 머신에서 2021-06-26 보관, 웨이백 머신에서 고유성 2021-06-26
^ John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Second Edition, X장, 섹션 §4

[3] 대조적으로, 양자장 이론과 같은 생성과 소멸 연산자의 중요한 계층의 경우, 그들은 통근하지 않는다.

[1] Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 312, MR 0276251

[FOOTNOTEHoffmanKunze1971317-2] 호프만&쿤제(1971년), 317페이지.

[Naylor-4] Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Sciences. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3. Archived from the original on 2021-06-26. Retrieved 2021-06-26.

[5] Andô, Tsuyoshi (1963). "Note on invariant subspaces of a compact normal operator". Archiv der Mathematik. 14: 337–340. doi:10.1007/BF01234964. S2CID 124945750.

[Garrett-6] Garrett, Paul (2005). "Operators on Hilbert spaces" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2011-09-18. Retrieved 2011-07-01.

[7] Weidmann, Lineare Operatoren in Hilbertreumen, 제4장 제3절

[Frei-8] 알렉산더 프라이, 스펙트럼 측정, 수학 스택 교환, 웨이백 머신에서 2021-06-26, 웨이백 머신에서 2021-06-26 보관, 웨이백 머신에서 고유성 2021-06-26

[Conway-9] John B. Conway, A Course in Functional Analysis, Second Edition, X장, 섹션 §4

[1]

[2]

[note 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v t 힐베르트 공간
기본개념	조정 이너 제품 및 L-세미인너 제품 힐버트 공간과 프레힐버트 공간 직교보충제 직교 기준
주요 결과	베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 리에즈 표현
기타 결과	힐버트 투영 정리 파르세발의 정체 양극화 정체성(병렬법)
지도	Hilbert 공간의 컴팩트 연산자 조밀하게 정의됨 에르미트 힐베르트슈미트 정상 자수성가 세실린형 트레이스 클래스 유니타리
예	K 컴팩트가 있는 Cⁿ(K) & n(으) 세갈-바르그만 F

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