퀘이노말 연산자

연산자 이론에서 퀘이노말 연산자는 일반 연산자의 요건을 약화시켜 정의한 경계 연산자의 한 종류다.

모든 Quasinormal 연산자는 보통 이하의 연산자다.유한차원 힐버트 공간의 모든 퀘이시노말 연산자는 정상이다.

정의 및 일부 속성

정의

A를 힐버트 공간 H의 경계 연산자가 되게 하고, A가 A*A와 통근할 경우 즉, A가 퀘이노멀이라고 한다.

$[\displaystyle A(A^{*}A)=(A^{*}A)A.\,}$

특성.

정상 연산자는 반드시 퀘이노멀이다.

A = UP을 A의 극 분해로 한다.Aquasinormal이 있다면, UP)욕창. 저 극지방의 분해에서 긍정적인 요인 P형태(A*A).mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-o에 대한 공격을 보려면.Nly{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄2, A*A의 독특한 긍정적인 제곱 근이다.Quasinormality는 A가 A*A와 통근한다는 것을 의미한다.자급자족 연산자에 대한 지속적인 기능적 미적분 결과 A는 P = (A*A)^1⁄2로 통근한다.

$UPP=PUP.\,}$

따라서 UP = P 범위의 PU.한편, h h H가 P의 커널에 놓여 있으면 UP h = 0. 그러나 PU h = 0. U는 초기 P 범위의 폐쇄인 부분 등위계량이기 때문이다.마지막으로 P의 자기 적응성은 H가 그 범위와 커널의 직접적인 합이라는 것을 암시한다.따라서 주어진 인수는 모든 H에서 UP = PU를 증명한다.

반면에 UP = PU이면 A가 quasinormal이어야 한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.따라서 연산자 A는 UP = PU일 경우에만 Quasinormal이다.

H가 유한한 치수일 때 모든 Quasinormal 연산자 A는 정상이다.유한 치수 사례에서 극 분해 A = UP의 부분 등위계 U를 단일 분해로 취할 수 있기 때문이다.그러면 이것이 주는 것이다.

${\displaystyle A^{**}A=(UP)^{*}UP=PU(PU)^{*}=AA^{*}.\,}$

일반적으로 부분 이등분계는 단일 운영자에 의해 확장될 수 없을 수 있으므로 퀘이노멀 운영자는 정상일 필요가 없다.예를 들어, 일방적 이동 T를 생각해 보자.T*T가 ID 연산자이기 때문에 T는 Quasinormal이다.그러나 T는 분명히 정상이 아니다.

퀘이노르말 불변성 서브 스페이스

일반적으로 힐베르트 공간 H의 경계 연산자 A가 비침습적 부공간을 가지고 있는지는 알려져 있지 않다.그러나 A가 정상일 때는 스펙트럼 정리에 의해 긍정의 대답이 주어진다.모든 정상 연산자 A는 A, σ(A)의 스펙트럼에 대한 스펙트럼 측정 E = {E_B}에 대한 ID 함수를 통합하여 얻는다.

${\displaystyle A=\int _{\sigma(A)}\lambda \,dE(\lambda \,}$

Borel 세트 B σ σ(A)의 경우, 투영 E는_B A와 통근하므로 E의_B 범위는 A의 불변 하위 공간이다.

위의 내용은 Quasinormal 운영자에게 직접 확장될 수 있다.A가 A*A와 통근한다고 하는 것은 A가 (A*A)와 통근한다고 하는 것이다.^1⁄2그러나 이는 A가 (A*A)^1⁄2의 스펙트럼 측정에서 어떤 투영 E와_B 통근한다는 것을 의미하며, 이는 불변성 아공간 주장을 증명한다.사실 더 강한 결론을 내릴 수 있다.E의_B 범위는 실제로 A의 감소 하위 공간이다. 즉, 직교보완물도 A에 따라 불변한다.

참조

• 1982년 뉴욕 스프링거의 힐버트 우주 문제집 P. 할모스.