스페이스타임 대칭

스페이스타임 대칭은 어떤 형태의 대칭을 나타내는 것으로 설명할 수 있는 스페이스타임의 특징이다.물리학에서 대칭의 역할은 많은 문제에 대한 해결책을 단순화하는 데 중요하다.시간 대칭은 아인슈타인의 일반 상대성 방정식의 정확한 해법 연구에 사용된다.스페이스타임 대칭은 내부 대칭과 구별된다.null

신체적 동기부여

신체적인 문제들은 종종 어떤 형태의 대칭성을 가진 특징들을 알아봄으로써 조사되고 해결된다.예를 들어, 슈바르츠실트 해법에서 구면 대칭의 역할은 슈바르츠실트 해법을 도출하고 이 대칭의 물리적 결과(예: 극성 맥동 별에서 중력 방사선이 존재하지 않는 것)를 추론하는 데 중요하다.우주론적 문제에서 대칭은 우주론 원리에서 역할을 하는데, 이는 대규모 관측(예: 프리드만-레마슈트레-로베르손-워커(FLRW) 측정 기준)과 일치하는 우주의 유형을 제한한다.대칭은 일반적으로 어떤 형태의 보존 특성을 필요로 하는데, 그 중 가장 중요한 것은 일반상대성이론에서 다음을 포함한다.

스페이스타임의 지질학적 보존
미터법 텐서 보존
곡률 텐서 보존

이러한 대칭과 다른 대칭은 아래에서 더 자세히 논의될 것이다.대칭이 대개 (위 내용을 언급) 보유하는 이 보존 속성은 이러한 대칭 자체의 유용한 정의에 동기를 부여하는 데 사용될 수 있다.null

수학적 정의

일반 상대성에서의 대칭에 대한 엄격한 정의는 홀(2004)에 의해 주어졌다.이 접근방식에서 국부적 흐름 차이점들이 스페이스타임의 일부 특성을 보존하는 (매끄러운) 벡터 필드를 사용하는 것이 발상이다.(이것은 차이점형주의, 즉 차등적 요소에 대한 변형이라는 것을 자신의 생각에서 강조해야 한다는 점에 유의한다.그 의미는 범위를 가진 물체의 동작이 명백하게 대칭적이지 않을 수 있다는 것이다.)이 차이점형성의 보존 성질은 다음과 같이 정밀하게 만들어졌다.스페이스타임 $M$ 의 매끄러운 벡터장 $X$ 는 $X$ 와 연관된 매끄러운 국소 흐름 차이점 $ism$ 에_t 대해 $ϕ$ 의_t 영역에서 텐서 $T$ 와 $ϕ * t (T)$ 가 동일한 경우 $M$ 의 매끄러운 텐서 $T$ (또는 $T$ 는 X에 $따라$ 불변함)를 보존한다고 한다.이 문장은 벡터장 아래의 텐서(tensor)의 Lie 파생상품이 소멸하는 보다 사용 가능한 조건과 동일하다.

{\mathcal{L}_{X}T=0

$이$ 는 $M$ 에 대해 $p$ 와 q의 두 점을 $고려$ 할 때 p $주변$ 의 좌표계에서 $T$ 의 좌표는 $q$ 주위의 좌표계에서 $T$ 의 좌표와 같다는 결과를 가져온다.Spacetime의 대칭은 국소 흐름 차이점들이 Spacetime의 일부 (대개 기하학적) 특징을 보존하는 부드러운 벡터장이다.(지오메트릭) 특성은 특정 텐서(계측량계 또는 에너지-모멘텀 텐서 등) 또는 그 지질 구조와 같은 스페이스타임의 다른 측면을 가리킬 수 있다.벡터 장은 때로 선, 대칭 벡터 필드 또는 단지 대칭이라고 불린다. $M$ 의 모든 대칭 벡터장 세트는 다음과 같은 정체성에서 볼 수 있는 Lie bracket 연산 하에서 Lie 대수학을 형성한다.

{\mathcal{L}_{[X,Y]}T={\mathcal{L}_{X}({\mathcal {L}_{Y}T)-{\mathcal {L}_{Y}({\mathcal {L}_{X}T)}}

오른쪽의 용어는 보통 다음과 같이 표기법을 남용하여 쓰여진다.

[{\mathcal{L}_{X},{\mathcal {L}_{Y}]T.

킬링 대칭

킬링 벡터 필드는 가장 중요한 대칭 유형 중 하나이며 미터법 텐서 g를 $보존$ 하는 부드러운 벡터 필드 $X$ 로 정의된다.

{\mathcal{L}_{X}g=0.

이것은 일반적으로 확장된 형태로 다음과 같이 쓰여진다.

X_{a;b}+X_{b;a}=0.

벡터장을 죽이는 것은 (고전역학을 포함한) 광범위한 응용을 찾으며 보존법칙과 관련이 있다.null

동음 대칭

동음이의 벡터 장은 다음을 만족하는 것이다.

{\mathcal{L}_{X}g=2cg.

여기서 $c$ 는 진짜 상수다.동음이의학적 벡터 장은 일반 상대성 이론의 특이점에 대한 연구에서 응용을 찾는다.null

아핀 대칭

아핀 벡터 필드는 다음을 만족하는 필드다.

{\displaystyle({\mathcal{L}_{X}g)_{ab;c}=0}

아핀 벡터 장은 지오디컬을 보존하고 아핀 파라미터를 보존한다.null

위의 세 가지 벡터장 유형은 아핀 파라미터를 반드시 보존하지 않고 지오데틱을 보존하는 투영 벡터장의 특별한 경우다.null

등각 대칭

등각 벡터 필드는 다음을 만족하는 필드다.

{\mathcal{L}_{X}g=\phi g

여기서 $ϕ$ 은 $M$ 에서 매끄러운 실제 가치 함수다.

곡률 대칭

곡률 콜라인화는 리만 텐서(Riemann 텐서)를 보존하는 벡터 필드:

{\mathcal{L}_{X}{R^{a}_{bcd}=0

여기서 $R$ 은^a_bcd 리만 텐서의 구성요소다.모든 부드러운 곡률 콜라인 세트는 Lie bracket 연산 하에서 Lie 대수학을 형성한다(평활도 조건을 떨어뜨리면 모든 곡률 콜라인 세트가 Lie 대수학으로 형성될 필요는 없다).리 대수학은 $CC (M)$ 에 의해 표시되며 무한 차원일 수 있다.모든 아핀 벡터 장은 곡률적인 콜라인이다.null

물질 대칭

잘 알려지지 않은 형태의 대칭은 에너지-모멘텀 텐서를 보존하는 벡터장과 관련이 있다.이것들은 물질적 선 또는 물질 대칭이라고 다양하게 언급되며, 다음과 같이 정의된다.

{\mathcal{L}_{X}T=0,

여기서 $T$ 는 공변 에너지-모멘텀 텐서이다.벡터장 $X$ 는 $X$ 의 흐름선을 따라 일정한 물리적 양을 보존하는 것으로 간주되기 때문에 기하학과 물리학의 밀접한 관계가 여기서 강조될 수 있다. 이는 어느 두 관찰자에게도 사실이다.이와 관련하여, 모든 킬링 벡터 장은 물질 연선화(아인슈타인 필드 방정식에 의해, 우주 상수를 포함하거나 포함하지 않음)라는 것이 보일 수 있다.따라서, EFE의 용액에 따라, 측정지표를 보존하는 벡터 장은 반드시 해당 에너지-모멘텀 텐서를 보존해야 한다.에너지-모멘텀 텐서가 완벽한 유체를 나타내는 경우, 모든 킬링 벡터 장은 에너지 밀도, 압력 및 유체 흐름 벡터장을 보존한다.에너지-모멘텀 텐서가 전자기장을 나타내는 경우 킬링벡터장이 반드시 전기장과 자기장을 보존하는 것은 아니다.null

로컬 및 전역 대칭

적용들

이 글의 시작 부분에서 언급했듯이, 이러한 대칭의 주된 적용은 일반 상대성 이론에 발생하는데, 여기서 아인슈타인의 방정식의 해법은 스페이스타임에 일정한 대칭을 부과하여 분류할 수 있다.null

스페이스타임 분류

EFE의 해결책을 분류하는 것은 일반 상대성 연구의 큰 부분을 차지한다.에너지-모멘텀 텐서의 세그르 분류 또는 Weyl 텐서의 페트로브 분류 사용을 포함하여 스페이스타임을 분류하는 다양한 접근방식은 많은 연구자들, 특히 스테파니 외 연구자들에 의해 광범위하게 연구되어 왔다.(2003).또한 대칭 벡터장(특히 킬링과 동음이의 대칭)을 사용하여 스페이스타임을 분류한다.예를 들어, 킬링 벡터 필드는 스페이스타임이 가질 수 있는 글로벌하고 부드러운 킬링벡터 필드 수에 한계가 있기 때문에(4차원 스페이스타임의 경우 최대 10개)의 스페이스타임을 분류하는 데 사용될 수 있다.일반적으로 말해서, 스페이스타임에 대칭 벡터 장의 대수적 치수가 높을수록 스페이스타임은 더 많은 대칭을 인정한다.예를 들어 슈바르츠실트 솔루션은 차원 4의 킬링 대수(3개의 공간 회전 벡터 장과 시간 변환)를 가지고 있는 반면 프리드만-레마슈트레-로베르손-워커 메트릭(아인슈타인 정적 하위 사례 제외)은 차원 6의 킬링 대수(3개의 번역과 3개의 회전)를 가지고 있다.아인슈타인의 정적 메트릭스는 차원 7의 킬링 대수학(이전의 6+시간 변환)을 가지고 있다.null

일정한 대칭 벡터장을 인정하는 스페이스타임의 가정은 스페이스타임에 제한을 둘 수 있다.null

대칭 스페이스타임 목록

다음의 스페이스타임은 위키피디아에 그들만의 독특한 기사를 가지고 있다.

참고 항목

참조

대칭의 정의는 섹션 10.1을 참조한다Hall, Graham (2004). Symmetries and Curvature Structure in General Relativity (World Scientific Lecture Notes in Physics). Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-1051-5..
Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.
Schutz, Bernard (1980). Geometrical Methods of Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-29887-3.. Lie 파생상품의 속성은 3장을 참조하고, 비침해의 정의는 3.10절을 참조한다.

Search