보존법

물리학에서, 보존 법칙은 고립된 물리적 시스템의 특정 측정 가능한 특성은 시스템이 시간이 지남에 따라 변화하지 않는다고 명시합니다.정확한 보존 법칙에는 질량과 에너지의 보존, 선형 운동량의 보존, 각 운동량의 보존, 전하량의 보존이 포함됩니다.또한 질량, 패리티, 렙톤 수, 바리온 수, 이상도, 하이퍼차지 등과 같은 양에 적용되는 많은 대략적인 보존 법칙이 있습니다.이러한 양은 특정 물리 과정 클래스에서 보존되지만 전부는 아닙니다.

국소 보존 법칙은 보통 수학적으로 연속 방정식, 즉 수량의 양과 그 수량의 "수송" 사이의 관계를 제공하는 편미분 방정식으로 표현된다.한 지점 또는 한 부피 내에서 보존된 수량의 양은 해당 부피에서 유입되거나 유출되는 수량의 양만큼만 변경될 수 있다고 명시되어 있습니다.

노에터의 정리로부터, 각각의 보존 법칙은 기초 물리학에서 대칭과 연관되어 있다.

자연법칙으로서의 보존법칙

자연에서 일어날 수 있는 과정과 일어날 수 없는 과정을 기술한다는 점에서 보존 법칙은 물리적 세계를 이해하는 데 있어 기본적입니다.예를 들어, 에너지 보존 법칙은 고립된 시스템의 총 에너지량은 형태가 바뀔 수 있지만 변하지 않는다고 명시합니다.일반적으로 이 법률에 의해 지배되는 자산의 총량은 물리적 과정 동안 변경되지 않습니다.고전 물리학과 관련하여, 보존 법칙에는 에너지, 질량(또는 물질), 선형 운동량, 각 운동량 및 전하 보존이 포함됩니다.입자물리학의 경우, 입자는 쌍으로 만들어지거나 파괴될 수 없으며, 한쪽은 보통이고 다른 한쪽은 반입자다.대칭과 불변성 원리에 관해서는 공간, 시간 및 전하의 반전 또는 반전과 관련된 세 가지 특별한 보존 법칙이 설명되었다.

보존 법칙은 화학, 생물학, 지질학, 공학 같은 다른 분야뿐만 아니라 물리학에도 폭넓게 적용되는 자연의 기본 법칙으로 여겨진다.

대부분의 보존법은 가능한 모든 프로세스에 적용된다는 점에서 정확하거나 절대적입니다.일부 보존법은 일부 프로세스를 유지하지만 다른 프로세스를 유지하지 않는다는 점에서 부분적입니다.

보존 법칙에 관한 한 특히 중요한 결과는 노에테르 정리인데, 노에테르 정리는 각각의 법칙과 자연의 미분 가능한 대칭 사이에 일대일 대응이 있다는 것이다.예를 들어, 에너지의 보존은 물리적 시스템의 시간 불변성에서 비롯되고, 각 운동량의 보존은 물리적 시스템이 공간에서의 방향과 상관없이 동일하게 행동한다는 사실에서 발생합니다.

정확한 법률

대칭에 의한 물리적 보존 방정식의 일부 리스트는 정확한 법칙이라고 할 수 있으며, 보다 정확하게는 위반이 증명되지 않았습니다.

보존법	각각의 노에테르 대칭 불변성		차원수
질량 에너지의 보존	시간 변환 불변성	푸앵카레 불변성	1	시간축에 따른 변환
선형 운동량 보존	공간 변환 불변성		3	x, y, z 방향에 따른 번역
각운동량 보존	회전 불변성		3	x,y,z 축에 대한 회전
CM(모멘텀 중심) 속도 보존	로렌츠 부스트 불변성		3	x, y, z 방향을 따라 로렌츠 부스트
전하의 보존	U(1) 게이지 불변성		1 ⊗ 4	4D 시공간에서의 스칼라 필드(1D) (x,y,z + 시간 진화)
색전하 보존	SU(3) 게이지 불변성		3	r, g, b
약한 이소스핀의 보존	SU(2)L 게이지 불변성		1	약한 전하
확률의 보존	확률 불변성[1]		1 ⊗ 4	총 확률 항상 = 시간 진화 동안 전체 x,y,z 공간에서 1

근사법칙

대략적인 보존법도 있다.이는 저속, 짧은 시간 척도 또는 특정 상호 작용과 같은 특정 상황에서 거의 해당됩니다.

• 기계적 에너지 절약
• 정지질량 보존
• 바리온수 보존(키랄 이상 및 스팔레론 참조)
• 렙톤수 보존(표준모형)
• 풍미의 보존(상호작용이 약해서 위반)
• 패리티의 보존(상호 작용이 약하여 위반)
• 전하 공역 하에서의 불변성
• 시간 반전 시 불변성
• 전하 결합과 패리티의 조합인 CP 대칭(CPT가 유지되는 경우 시간 반전과 동일)

글로벌 및 로컬 보존법

만약 같은 양이 한 지점 A에 나타났다가 다른 지점 B에서 동시에 사라진다면 우주에서 보존된 양의 총합은 변하지 않을 수 있다.예를 들어, 만약 같은 양의 에너지가 우주의 다른 지역에서 사라진다면, 우주의 총량을 바꾸지 않고 지구에 나타날 수 있다.이 약한 형태의 "지구적" 보존은 로렌츠 불변성이 아니기 때문에 보존 법칙이 아니다. 그래서 위와 같은 현상은 ^[2][3]자연에서 일어나지 않는다.특수 상대성 이론으로 인해 A에서 에너지의 출현과 B에서 에너지의 소멸이 하나의 관성 기준 프레임에서 동시에 발생하는 경우, 첫 번째 관성 기준 프레임에 대해 이동하는 다른 관성 기준 프레임에서는 동시에 나타나지 않는다.이동 프레임에서는 한쪽이 다른 쪽보다 먼저 발생합니다.A의 에너지는 B의 에너지가 사라지기 전 또는 후에 나타납니다.두 경우 모두 간격 동안 에너지가 보존되지 않습니다.

보다 강력한 형태의 보존법칙은 한 지점에서 보존되는 양의 변화를 위해서는 해당 지점에 유입되거나 유출되는 양의 흐름 또는 플럭스가 존재해야 한다는 것을 요구한다.예를 들어, 한 지점의 전하량은 전하 차이가 있는 지점의 내부 또는 외부로 전류가 흐르지 않으면 절대 변화하지 않습니다.연속적인 국소 변화만을 수반하기 때문에, 이 보다 강력한 형태의 보존 법칙은 로렌츠 불변성이며, 하나의 기준 프레임에서 보존되는 양은 모든 이동 기준 ^[2][3]프레임에서 보존됩니다.이것은 지역 ^[2][3]보존법이라고 불립니다.국지적 보존은 또한 지구적 보존을 의미하기도 합니다; 우주에서 보존된 양의 총량은 일정하게 유지됩니다.위에 열거된 모든 보존법은 지역 보존법이다.국소 보존 법칙은 연속성 방정식으로 수학적으로 표현되며, 연속성 방정식은 부피의 표면을 통과하는 부피의 총 순 "flux"와 동일함을 나타낸다.다음 섹션에서는 도통 방정식에 대해 전반적으로 설명합니다.

미분 형식

연속체 역학에서, 정확한 보존 법칙의 가장 일반적인 형태는 연속성 방정식에 의해 주어진다.예를 들어, 전하 q의 보존은

${\displaystyle\frac\rho}{\displayt}=-\displayla\cdot\mathbf {j}$

여기서 θ는 발산 연산자, θ는 q의 밀도(단위 부피당 양), j는 q의 플럭스(단위 시간에서 단위 면적을 가로지르는 양), t는 시간이다.

전하 운동 u가 위치와 시간의 연속 함수라고 가정하면,

$\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {u}$

$(\displaystyle\frac\rho}{\displayt}=-\displayla\cdot(\rho\mathbf {u}),}$

하나의 공간 차원에서는 이것을 균일한 1차 준선형 쌍곡 ^[4]방정식의 형태로 만들 수 있다.

${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=0}$

여기서 종속 변수 y는 보존된 양의 밀도, A(y)는 현재의 야코비안이라고 하며, 편도함수에 대한 첨자 표기법이 사용되었습니다.보다 일반적인 불균일한 경우:

${\displaystyle y_{t}+A(y)y_{x}=s}$

보존 방정식이 아니라 산란계를 설명하는 일반적인 종류의 균형 방정식입니다.종속 변수 y를 비관측량이라고 하며, 불균일한 항 s(y,x,t)를 근원 또는 소산이라고 합니다.예를 들어, 이러한 종류의 균형 방정식은 운동량 및 에너지 Navier-Stokes 방정식 또는 일반적인 고립 시스템의 엔트로피 균형입니다.

1차원 공간에서 보존 방정식은 이류 형태로 넣을 수 있는 1차 준선형 쌍곡 방정식입니다.

${\displaystyle y_{t}+a(y)y_{x}=0}$

여기서, 종속 변수 y(x,t)는 보존된(표준) 양의 밀도, a(y)는 보존된(표준) 양의 전류 밀도 j(y)^[4]의 보존된 양의 편도함수에 해당하는 전류 계수입니다.

${\displaystyle a(y)=j_{y}(y)}$

이 경우 체인 규칙이 적용되므로 다음과 같이 됩니다.

$\displaystyle j_{x}=j_{y}(y)y_{x}=a(y)y_{x}$

보존 방정식은 전류 밀도 형태로 넣을 수 있습니다.

${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$

두 개 이상의 차원이 있는 공간에서는 이전 정의를 다음 형식으로 만들 수 있는 방정식으로 확장할 수 있습니다.

$\displaystyle y_{t}+\mathbf {a}(y)\cdot \cdla y=0}$

여기서 보존량은 y(r,t)이고,$θ(\displaystyle$ \cdot$$$)$는 스칼라 곱, θ는 나블라 연산자(여기서 구배를 나타내며, a(y)는 전류 계수의 벡터이며, 보존량 j(y)와 관련된 벡터 전류 밀도의 분산에 해당한다.

$\displaystyle y_{t}+\displayla \cdot \mathbf {j}(y)=0}$

연속성 방정식의 경우는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \rho _{t}+\displayla \cdot (\rho \mathbf {u})=0}$

여기서 보존량은 운동량 밀도와 동일한 밀도θ(r,t) 및 전류 밀도θu의 질량이며, u(r,t)는 유속이다.

일반적인 경우, 보존 방정식은 다음과 같은 ^[4]형태의 이런 종류의 방정식(벡터 방정식)의 계가 될 수도 있다.

$\displaystyle \mathbf {y} _{t} + \mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \cdot la \mathbf {y} = \mathbf {0}$

여기서 y는 보존(벡터)량, δ y는 구배, 0은 제로 벡터, A(y)는 전류 밀도의 야코비안이다.실제로 앞의 스칼라 사례와 마찬가지로 벡터 사례 A(y)도 일반적으로 전류 밀도 행렬 J(y)의 야코비안에 대응한다.

$\displaystyle \mathbf {A}(\mathbf {y})=\mathbf {J}_{\mathbf {y}(\mathbf {y})}$

보존 방정식은 다음과 같은 형태로 만들 수 있습니다.

$\displaystyle \mathbf {y} _{t}+\displayla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0}$

예를 들어, 오일러 방정식(유체 역학)의 경우입니다.단순 압축 불가의 경우 다음과 같습니다.

${\displaystyle {displaystyle \cdot \mathbf {u} &=0\{\frac \mathbf {u} +\displaystyle \cdot \mathbf {u} +\displaystyle s&=\mathbf {0},\frac {u}$

여기서:

• u는 유속 벡터이며, N차원 공간₁ u₂, u_N, … u,
• s는 소스 조건을 제공하는 특정 압력(단위 밀도당 압력)이다.

이러한 방정식의 보존량(벡터)과 전류 밀도 매트릭스는 각각 다음과 같은 것을 알 수 있습니다.

$(\displaystyle {mathbf {y}=mathbf {u} \end{pmatrix};\qquad {pmathbf {J})=mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {u} {pmatrix};\mathbf {end})$

여기서 ${\$ { $displaystyle \otimes }$는 외부 제품을 나타냅니다.

적분형식과 약형식

보존 방정식은 적분 형태로도 표현될 수 있습니다.후자의 장점은 실질적으로 솔루션의 평활성이 덜 요구된다는 것입니다.그 때문에, 약한 형태로 발전해, 불연속적인 솔루션을 ^[5]포함하도록 허용 가능한 솔루션의 클래스를 확장할 수 있습니다.모든 시공간 영역에 통합함으로써 1-D 공간에서 전류 밀도를 형성합니다.

${\displaystyle y_{t}+j_{x}(y)=0}$

그리고 그린의 정리를 사용함으로써 적분 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle \int _{-\infty}^{\infty}y, param+\int _{0}^{\infty}j(y),dt=0}$

마찬가지로 스칼라 다차원 공간의 적분 형식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \point \left[y,d^{N}r+j(y),dt\right]=0}$

여기서 라인 통합은 도메인의 경계를 따라 시계 반대 ^[5]방향으로 수행됩니다.

또, 콤팩트 서포트에 의해 시공간 양면에서 연속적으로 미분 가능한 시험 함수θ(r,t)를 정의함으로써, 초기 조건을 축으로 하는 약한 형태를 얻을 수 있다.1-D 공간에서는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \int _{0}^{\infty }^{-\infty}^{\infty}\phi _{t}y+\phi _{x}j(y), respon, dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi(x,0)\infty }\infy_{\inft}\infy}\infi_{\infy }$

약한 형태에서는 밀도 및 전류 밀도의 모든 부분 도함수가 테스트 함수로 전달되며, 이는 전자의 가설에서 이러한 ^[5]도함수를 허용하기에 충분히 매끄럽다.

「 」를 참조해 주세요.

• 불변(물리학)
• 보수적 제도
• 보존수량
  • 어떤 종류의 헬리시티는 무방산 한계로 보존됩니다. 유체역학 헬리시티, 자기 헬리시티, 교차 헬리시티입니다.
• 가변성의 원리
• 응력-에너지 텐서의 보존 법칙
• 리만 불변량
• 물리학 철학
• 전체주의 원칙
• 대류 확산 방정식
• 자연의 균일성

예와 응용 프로그램

• 이류
• 질량 보존 또는 연속성 방정식
• 요금 절약
• 오일러 방정식(유체 역학)
• 비점상 버거 방정식
• 운동파
• 에너지 절약
• 트래픽 플로우

메모들

레퍼런스

• Philipson, Schuster, 비선형 미분 방정식에 의한 모델링: World Scientific Publishing Company 2009의 소멸적 및 보수적 프로세스.
• 빅터 J. 스텐저, 2000년시대를 초월한 현실: 대칭성, 단순성, 다중 우주.버팔로 NY: 프로메테우스 북스.12장은 대칭, 불변성, 보존 법칙에 대한 온화한 입문이다.
• Toro, E.F. (1999). "Chapter 2. Notions on Hyperbolic PDEs". Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65966-2.
• 고들레스키와 P.A.Raviart, 보존 법칙의 쌍곡계, Ellipses, 1991.

외부 링크

• 보존법 — 온라인 교과서 11장-15절