시간 진화형 블록 소멸

시간 진화 블록 소멸(TEBD) 알고리즘은 1차원 양자 다체 시스템을 시뮬레이션하는 데 사용되는 수치 스킴으로, 가장 가까운 인접 상호작용으로 특징지어진다.기하급수적으로 큰 원래 힐버트 공간의 관련 저차원 힐버트 서브스페이스를 동적으로 식별하기 때문에 시간 진화의 블록 소멸이라고 불립니다.행렬 곱 상태 형식주의에 기초한 알고리즘은 시스템의 얽힘 양이 제한될 때 매우 효율적이며, 이는 1차원의 많은 양자 다체 시스템에 의해 충족되는 요건이다.

서론

일반적인 양자 다체 시스템의 시뮬레이션의 본질적인 어려움, 시스템의 크기에 따른 파라미터의 기하급수적인 증가, 그에 따른 높은 계산 비용을 고려할 때, 하나의 해결책은 시스템의 물리로부터 이익을 얻을 수 있는 특별한 경우를 다루는 수치적 방법을 찾는 것이다.양자 다체 시스템을 완전히 특징짓는 데 사용되는 모든 매개변수를 직접 다루는 원시 접근법은 시뮬레이션에 필요한 변수 양의 시스템 크기를 가진 방대한 지수적 축적으로 인해 심각하게 저해되며, 이는 가장 좋은 경우, 불합리하게 긴 계산 시간과 메모리 사용으로 이어진다.이 문제를 피하기 위해 많은 다양한 방법이 개발되어 시간이 지남에 따라 실행되었으며, 가장 성공적인 방법 중 하나는 양자 몬테카를로법(QMC)이다. 또한 QMC 다음으로 밀도 매트릭스 재규격화 그룹(DMRG) 방법은 매우 신뢰할 수 있는 방법이며, 사용자 커뮤니티와 인크리사시가 확대되고 있다.ng 물리 시스템에 대한 응용 프로그램 수

최초의 양자 컴퓨터가 접속되어 기능하고 있을 때, 컴퓨터 물리학 분야의 관점은 다소 유망해 보일 것이지만, 그 전까지는 고전적인 컴퓨터가 제공하는 일상적인 도구에 국한되어야 한다.실험물리학자들은 최초의 양자컴퓨터를 구축하기 위해 많은 노력을 기울이고 있는 반면 이론물리학자들은 양자정보이론(QIT) 분야에서 고전적인 컴퓨터로 해결하려고 할 때 잘 되지 않는 문제에 적합한 진정한 양자알고리즘을 찾고 있다. 그러나 매우 빠르고 충분한 양의 양자알고리즘을 찾고 있다.양자 1에 성공했습니다.이러한 알고리즘에 대한 검색은 여전히 진행 중이며, 가장 잘 알려진 알고리즘은 많은 수를 인수화하는 쇼어 알고리즘과 그로버 검색 알고리즘이다.

QIT 분야에서는 진정한 양자 계산에 필요한 주요 자원을 식별해야 한다.이러한 자원은 양자 대 고전적인 것의 속도 향상의 원인이 될 수 있으며, 이를 식별하는 것은 고전적인 컴퓨터에서 합리적으로 효율적인 방법으로 시뮬레이션할 수 있는 시스템을 식별하는 것을 의미합니다.이러한 자원은 양자 얽힘이다. 따라서 양자 계산 속도 향상에 필요한 얽힘에 대한 명확한 하한을 설정할 수 있다.

당시 칼텍 양자정보연구소의 기프레 비달은 최근 특정 범주의 양자 시스템을^[1] 시뮬레이션하는 데 유용한 계획을 제안했다.그는 "순수한 상태를 가진 양자 계산은 얽힘의 양이 충분히 제한된다면 고전적인 컴퓨터로 효율적으로 시뮬레이션될 수 있다"고 주장한다.이는 일반적인 해밀턴이 국소 상호작용을 나타내는 경우로, 예를 들어 Hubbard와 같은 해밀턴이 해당된다.이 방법은 시스템에 존재하는 얽힘의 양에 대한 계산 시간의 증가에서 낮은 다항식 동작을 나타낸다.알고리즘은 이러한 1차원 시스템에서 시스템의 초당 분할에서 감소된 밀도 행렬의 고유값이 기하급수적으로 감소한다는 사실을 이용하는 체계에 기초하고 있으며, 따라서 우리가 선택한 고유값에 해당하는 고유 벡터에 의해 확장된 재구성된 공간에서 작업할 수 있다.

또한 시스템에 포함된 얽힘이 시스템의 크기에 따라 어떻게 확장되는지를 알 수 있으므로 고전적인 컴퓨터상의 양자 시스템 시뮬레이션에 필요한 계산 자원의 양을 추정할 수 있다.고전적(및 양자적) 실현 가능한 시뮬레이션은 시스템이 약간만 얽혀 있는 시뮬레이션입니다. 반면 강하게 얽혀 있는 시뮬레이션은 진정한 양자 계산에만 적합한 후보입니다.

수치 방법은 이미 알려진 지상 상태를 가진 대상 해밀턴과 해밀턴 사이의 가상 시간 진화 또는 등엔트로픽 보간을 사용하여 실시간 역학 또는 지상 상태 계산을 시뮬레이션하는 데 효율적이다.계산 시간은 시스템 크기에 따라 선형적으로 확장되므로 많은 입자 시스템을 1D로 조사할 수 있습니다.

TEBD 알고리즘의 유용한 특징은 광학 격자의 차가운 원자와 함께 실현될 수 있는 시스템 또는 양자 전송의 평형에서 멀리 떨어진 시스템에서 시간 의존적인 해밀턴 사람들의 시간 진화 시뮬레이션에 신뢰성 있게 사용될 수 있다는 것이다.이러한 관점에서 TEBD는 매우 강력한 기술인 DMRG보다 어느 정도 우위에 있었지만, 최근까지 시간 진화를 시뮬레이션하는 데는 그다지 적합하지 않았습니다.매트릭스 곱 상태 형식주의가 DMRG의 수학적 핵심인 가운데, TEBD 방식이 DMRG 커뮤니티에 의해 채택되어 시간 의존형 DMRG [2],^{[permanent dead link]} 짧게는 t-DMRG가 탄생했습니다.

동시에, 다른 그룹은 예를 들어 주기적 경계 조건[3]에 대한 DMRG 구현 및 1차원 양자 격자 ^[2]^[3]시스템의 혼합 상태 역학을 연구하기 위해 양자 정보가 지배적인 역할을 하는 유사한 접근방식을 개발했다.이러한 마지막 접근법은 매트릭스 곱 연산자와 함께 진화를 처리할 수 있도록 허용하기 때문에 원래 TEBD 접근법보다 더 일반적인 형식주의를 제공한다. 이것은 TEBD 사례와 대조적으로 악의적이지 않은 비수익적 진화의 시뮬레이션을 가능하게 하며, 고차원 아날로그를 다루는 데 중요한 요소이다.f 매트릭스 제품 상태.

상태 분해

국가 분해 소개

함수 $|\Psi \rangle \in H^{{\otimes }N}$ N \ $displaystyle$ \Psi $\rangle \in$ H $^{\otimes }N$ 에 의해 기술된N 큐비트의 체인에 대해 생각해 보겠습니다. $({displaystyle \Psi \rangle})$ 을 $|\Psi \rangle$ 설명하는 가장 자연스러운 방법은 $M^{N}$ $({$ M $^{N})$ -차원 $M^{N}$ $|i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}\rangle$ $|i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}\rangle$ $,$ $|i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}\rangle$ ${\$ { $displaystyle i_1, i_$ {2}, i_ ${N})$ 을 사용하는 것입니다.

\Psi \rangle =\sum \sum _{i=1}^{M}c_{i_{2}..i_{N} {i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}}\rangle

여기서 M은 온사이트 치수입니다.

TEBD의 요령은 $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ c $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ i $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ N $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ { $display c$ _ { $i$ _ {1 $} i$ _ {2 $} }$ 를 다시 쓰는 것입니다. $i_{N$

c_{i_{1}i_{2}..i_{N}=\sum \sum _{1}..,\alpha _{N-1}=0}^{\chi }\Gamma _{\alpha _{1}^{\gamma _{\alpha _{1}}{\gamma _{\alpha _{1}}{{{{1}}\gamma _{{\gamma _{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}{{{\Gamma _Gamma _Gamma _{{{{{\cdot \Gamma _{\alpha _{N-2}\alpha _{N-1}^{{N-1}}\lambda _{\alpha _{N-1}^{{N-1}}}\Gamma _{\alpha _{N-1}^{N]_{{N]i}{\lambda _{\alpha _{\alpha _{{\}}}}}}}{{\lambda _{{{{\alpha _{n}}}}}}}}}}N}}

이 폼은 매트릭스 제품 상태라고 불리며 계산을 대폭 간소화합니다.

그 이유를 이해하려면 상태의 슈미트 분해를 보면 되는데, 이는 한정된 얽힘을 가진 상태를 보다 간단하게 표현하기 위해 특이값 분해를 사용한다.

슈미트 분해

초당 시스템 $\vert \Psi \rangle \in {H_{A}\otimes H_{B}}$ $\vert \Psi \rangle \in {H_{A}\otimes H_{B}}$ A $h$ $\vert \Psi \rangle \in {H_{A}\otimes H_{B}}$ B $\vert \Psi \rangle \in {H_{A}\otimes H_{B}}$ style \ $vert \$ Psi \ $rangle \ in$ { H _ { $A }$ \ $otimes H_$ { B $}$ $\vert \Psi \rangle \in {H_{A}\otimes H_{B}}$ 이러한 모든 상태 $|{\Psi }\rangle$ \ $display style$ \ Psi $}$ \ $rangle$ 은 다음과 $|{\Psi }\rangle$ 같이 적절하게 표현될 수 있습니다.

{Psi}\rangle =\sum \sum _{i=1}^{M_{A B}a_{i}{Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle

$여기$ 서 $|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle$ = $|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle$ $|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle$ A $|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle$ 、 $|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle$ i B $|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle$ （ \ $display$ style _ { i }^{ $A$ ） \ $Phi$ _ ${i}^{B}}\rangle =$ { $Phi$ _ ${i}^{A}}\rangle$ \ $otimes$ ${Phi$ $|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle$ _ ${$ $i}^{B}\rangle$ }은 $|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle$ (는 $)$ $|{\Phi _{i}^{A}}\rangle$ $|{\Phi _{i}^{A}}\rangle$ A $|{\Phi _{i}^{A}}\rangle$ δ {{ $displaystyle$ { $i}^{A}\rangle$ 로 $|{\Phi _{i}^{A}}\rangle$ 형성되어 있으며, 직교형 $H_{A}$ 을 $H_{A}$ 으로 합니다 $.$ ch는 H $({$ 에서 직교 기저를 형성하며 $,$ $a_{i}$ a({ $displaystyle a_{$ $\sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}^{2}=1$ })는 a({ $displaystyle$ $\sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}^{2}=1$ {i}) $\sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}^{2}=1$ $1({displaystyle \sum _{i=1$ }^{ $M_{$ A B $}_$ 1}^{2}^{{1})^{{1}^{i}^{{{{i}}}}}^{{i}}^{{{{i}}}}}}}}입니다.이를 상태의 슈미트 분해(SD)라고 합니다.일반적으로 합계는 $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ ( $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ ( $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ ) , $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ ( $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ ) $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ \ $displaystyle M_{A$ B } $= \min$ ( \ $dim$ ( { $H$ _ { A } ) ) , \ dim ( { $H$ _ { $B$ } ) } $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B}}))$ 。초당 분할의 슈미트 순위는 0이 아닌 슈미트 계수의 수로 지정된다.슈미트 등급이 1인 경우 분할은 제품 상태에 따라 특징지어집니다.SD의 벡터는 위상까지 결정되며 고유값과 슈미트 등급은 고유합니다.

예를 들어, 2비트 상태:

{\displaystyle {Psi}\rangle = specfrac {1}{2specrt {2}}}\left({00}\rangle + {\specrt {3} {10}\rangle + {11}\rangle \right})

에는 다음 SD가 있습니다.

{{displaystyle {{Psi}\rangle ={\sqrt {3}+1}{2sqrt {2}}}{2sqrt {2}}{{A}}}{phi_{1}{B}}\rangle +{\frac {\sqrt {2}}{{\i}{{{{i}}{{{i}}}{i}{{{i}}}}{{{{i}}}}}{i}{{{{i}}}}}}}}{{{{{{{i}

와 함께

{\displaystyle {{1}^{A}}\rangle = flac {1}{\signrt {2}({0_{A}})\rangle + {1_{A}}\rangle),\\\\\{phi_{1}^{B}}\rangle = snapfrac {1}{\naphrt {2}({0_{B}})\rangle + {1_{B}\rangle},\\\\\phi _ {1}{rt} {0a})

한편, 상태는 다음과 같습니다.

{Phi}\rangle = phifrac {1}{\fracrt {3} {00}\rangle + {\frac {1}{\fracrt {6}} {01}\rangle - {i} {10}\rangle - {\fracrcrcrc} {\frcrcrcrcrcrcrcrc} {} {} {\rc} {\f} {\f

제품 상태:

{Phi}\rangle = {{\frac {1}{\fracrt {3}\rangle - {0_{A}} {1_{A}}\rangle {}\otimes {} {(0_B}}\rangle + {frac2

상태 분해 구축

이 시점에서는 분해가 어떻게 명시적으로 구축되는지 확인할 수 있습니다(D라고 부릅니다).

$[1]:[2..N]$ $[1]:[2..N]$ : $[1]:[2..N]$ [ $[1]:[2..N]$ . ${\displaystyle [1]$ $N$ SD는 $\lambda _{{\alpha }_{1}}^{[1]}$ 1 $\lambda _{{\alpha }_{1}}^{[1]}$ [ $]{$ _ ${\alpha }_{1}^{[1]}}$ 계수와 $\lambda _{{\alpha }_{1}}^{[1]}$ 고유벡터 $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$ 1 [ $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$ $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$ 1 [ $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$ 계수를 가진다. $N$ $N]}}\rangle$ 로컬 $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle$ 로 1 $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle$ [ 1 ] ${\$ { \ $displaystyle _$ { \ $alpha$ _ { $1}$ }^{ [ $1$ ]} \ $rangle$ $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle$ 를 전개하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

({displaystyle {Psi}\rangle = \sum _ {i_{1}, {\alpha _ {1} = {\chi } \Gamma _ {\alpha _ {1} } {{1} i_{1} } \gamma _ {\alpha _ {1} } } {{{{{1} } } } } } } {\rangle _{\gamphi } }N]}}\rangle }

프로세스는 3단계로 분해할 수 있으며, 체인 내의 각 결합(및 이에 대응하는 SD)에 대해 반복됩니다.

1단계: $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$ 1 $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$ [ $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$ . $N$ $N]}}\rangle}$ 은 $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$ 는) 큐비트2의 로컬베이스에 있습니다.

{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle =\sum _{i_{2}} {i_{2}}\rangle {{\alpha _{1}i_{2}}^{[3}N]}}\rangle

벡터 $|{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$ [ $|{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$ . $N$ $N]}}\rangle}$ 은 $|{\tau _{{\alpha _{1}i_{2}}}^{{[3..N]}}}\rangle$ (는) 정규화될 필요가 없습니다.

스텝 2: 각 벡터 $|{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$ $|{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$ $|{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$ . $N$ N $|{\tau _{{\alpha _{1}i_{2}}}^{{[3..N]}}}\rangle$ $]}}\rangle }($ 비달의 강조) ${\$ {\ $displaystyle \chi$ } 슈미트 $\chi$ 벡터 $|{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle$ 2 [ $|{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle$ . $N$ $N]}}\rangle }$ 및 $|{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle$ 이에 대응하는 계수 $\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}$ 2 [ $]{$ _ ${\alpha }_{2}}^{[2$

{\displaystyle_{\alpha_{1}i_{2}}^{3}N]}\rangle = \sum _{\alpha _{2}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}^{\alpha }_{2}}{{\alpha _{2}}{{2}}{{\alpha _{2}}{{3}}}.N]}}\rangle }

3단계: 치환하여 다음 정보를 얻습니다.

{{displaystyle {Psi}\rangle = \sum _{i_{1},i_{2}}\Gamma _{\alpha _{1}{\gamma _{1}{\gamma _{\alpha _{1}}{\gamma _{{1}}{\gamma _{{{1}}}{{{{2}}}}}{\Gamma _{{{{{{{\Gamma_{{{{{{{{{{{{}}}}}})N]}}\rangle }

스텝 1~3을 반복하면 상태 D의 분해 전체를 구성할 수 있다.마지막 $γ({$ 디스플레이 스타일\ $Gamma$ 는 첫 번째와 마찬가지로 $N^{th}$ 한 경우로, N $({$ N $^{th})$ 격자 $N^{th}$ $N^{th}$ 의 로컬 기준으로 ( $(N-1)^{th}$ - $(N-1)^{th}$ ) $({$ style ( $N-1)^{th$ 결합에서 오른쪽 슈미트 벡터를 표현합니다.그림과 ^[1]같이 $k^{th}$ $({$ k $^{th$ $k^{th}$ 에서 슈미트 분해를 얻는 것은 간단하다(예 $[1..k]:[k+1..N]$ [ $[1..k]:[k+1..N]$ $[1..k]:[k+1..N]$ ${\displaystyle [1..$ $k]:[k+1..$ $N$ D부터.

슈미트 고유값은 명시적으로 D:

{\Psi}\rangle = \sum _{\alpha _{k}\langle _{\alpha _{k}}{{k}}{{Phi _{\alpha _{k}}^{[1}}k]}}\rangle {Phi _{\alpha _{k}^{[k+1..N]}}\rangle

슈미트 고유 벡터는 다음과 같습니다.

{\displaystyle\phi_{\alpha_{k}^{[1..k]}}\rangle = \sum _{\alpha _{1},\alpha _{2}..\alpha _{k-1}\Gamma _{\alpha _{1}^{\alpha _{1}^{{1}\cdot \Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}{k}{i_1}{cdot \cdot \gambda _{\alpha _{\alpha _{\alpha _\alpha _\alpha _{{1}}}}}}}}i_{k}}\rangle }

그리고.

{\displaystyle\phi_{\alpha_{k}^{[k+1..N]}}\rangle = \sum _{\alpha _{k+1},\alpha _{k+2}..\alpha _{N}\Gamma _{\alpha _{k}\alpha _{k+1}^{\lambda _{k+1}^{\alpha _{k+1}}{\cdot \lambda _{\alpha _{N-1}^{k+1}}\lambda _{\alpha _{\{\alpha _{\}}}_{\}}}_{\lambda_{\lambda_{\alpha _{{\}}}}}i_{N}}\rangle }

근거

D를 보면, $({$ })의 첫 번째 용어가 ${\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi$ , m ${\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi$ M ( ${\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi$ - 2) + ${\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi$ ${\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi$ + ( ${\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi$ N - ${\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi }M+(N-1)\chi$ ) ${\$ \ $display style$ \ $chi$ }^{ $2}$ {\ $cdot } M$ ( $N$ - 1 ) {\ M ( N - 1 ) $.i_{N$ 하지만 실제로는 그 이상의 것이 있습니다.N이 짝수라고 가정하면 체인 중앙의 초당 컷 슈미트 랭크 $\chi$ (\ $displaystyle \chi)$ 는 $\chi$ M $(\$ M $^{N/$ 2 $M^{N/2}$ 의 최대값을 가질 수 있습니다.이 경우 $M^{N+1}{\cdot }(N-2)$ $M^{N+1}{\cdot }(N-2)$ $M^{N+1}{\cdot }(N-2)$ 1µ $M^{N+1}{\cdot }(N-2)$ - $)의 표시$ M $^{N+1}(CD})$ 이 됩니다. $({$ $displaystyle$ {{ $chi }^{N$ $M^{N}$ 는 ${\chi }^{2}$ 초기 $M^{N}$ ({ $displaystyle$ M $^{N$ })보다 약간 많은 2개({displaystyle M^{N})! 사실 분해 D는 얽힘 정도가 낮은 시스템을 다룰 때 유용하며, 다행히도 접지 상태의 슈미트 계수가 1D로 붕괴되는 많은 1D 시스템을 다룰 때 유용합니다. $(\displaystyle$ \alpha $\alpha$

\displaystyle \lambda _{\alpha }_{l}^{\sim }e^{-K\alpha _{l}},\K>0.}

따라서 슈미트 계수 중 일부(즉, 가장 큰 계수)만 고려할 수 있으며, 나머지 계수를 떨어뜨리고 결과적으로 상태를 다시 정규화할 수 있습니다.

({displaystyle {\Psi}\rangle = {\sum \sum _{l}}=1}^{\chi}_{c}}{\samda _{\alpha }_{{l}}{{{l}}}}{{{2}}}}}}}\cdot \sum \sum {{{{{{{\c}}}}}}}}}}}{\cdocfl}{{{{\sum\cdisplayfrack {{{{{{{{{{{{l]}}\rangle {Phi _{\alpha _{l}}^{l+1..N]}}\rangle,}

여기서 $\chi _{c}$ c $\chi _{c}$ \ $displaystyle \chi$ _ ${c}$ 는 $\chi _{c}$ 보관된 슈미트 계수의 수입니다.

이 추상적인 그림에서 벗어나 구체적인 예를 들어 분해를 통해 얻을 수 있는 장점을 강조해 봅시다.예를 들어 단순성을 위해 강자성 사슬에 50개의 페르미온이 있는 경우를 생각해 보자.12의 치수, 원래 250에 비해,χ c{\displaystyle \chi_{c}}이 될 것이라고 합리적인 선택을 위해 전체의 0.0001{0.0001\displaystyle}%로 버려지eigenvalues을 유지하기로 수치 studies,[4]에 의해 대략 214{\displaystyle 2^{14}}계수 의미 보여 줍시다. { $\displaystyle$ 2 $^{50}$ 개 $2^{50}$ .

슈미트 고유값에는 이러한 지수적 감쇠가 없지만 대수적 감소를 나타내는 경우에도 D를 사용하여 $\psi$ ${\$ {\ $displaystyle$ $\psi$ $\psi$ 를 설명할 수 $\psi$ . ${\$ {\ $displaystyle$ \psi $}$ 의 $\psi$ 충실한 설명을 설명하는 계수의 수는 유의하게 클 수 있지만, 여전히 최종 수치 sim의 범위 내에 있습니다.궤양

분해 업데이트

인접 큐비트로 동작하는1 큐비트게이트(OQG)와 2 큐비트게이트(TQG)로 동작했을 경우의 분해D의 동작을 조사할 수 있게 되었습니다.모든 $({$ M $^{N})$ $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ 를 $M^{N}$ 업데이트하는 대신 $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ 1 $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ 2 $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ . $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ N({ $displaystyle c_{i_{1}i_{2})$ 계수를 $M^{N}$ 합니다. $i_{N$ ${\$ { $displaystyle \chi$ }의 $\chi$ $\chi$ 연산수를 저차 다항식으로 제한하여 연산 시간을 절약합니다.

큐비트 k로 동작하는1비트 게이트

OQG는 동작하고 있는 큐비트에만 영향을 줍니다.qbit k의 유니터리 연산자가 왼쪽의 슈미트 고유값 또는 벡터를 수정하지 않은 후 상태 ${\(\display$ style { $psi$ }\ $rangle)$ 가 $|{\psi }\rangle$ 됩니다. $\Gamma ^{[k-1]}$ 결과 $\Gamma ^{[k-1]}$ [ $\Gamma ^{[k-1]}$ - $\Gamma ^{[k-1]}$ ](\ $display$ style \ $gamma$ ^ { k - 1 $\Gamma ^{[k-1]}$ } ) 또는 오른쪽의 \gamma 。 $\Gamma ^{[k+1]}$ $]$ {\ $displaystyle \Gamma$ ^{[ $k+1]}}$ s $\Gamma ^{[k+1]}$ 갱신되는 $\Gamma$ $\Gamma ^{[k]}$ \ $displaystyle$ \ $Gamma$ s $\Gamma ^{[k]}$ $]$ \ $displaystyle$ \ $Gamma$ ^ { [ k $\Gamma ^{[k]}$ ] $\Gamma ^{[k]}$ } ${O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})$ （ M ${O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})$ ${O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})$ ${O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})$ ) ${O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})$ \ $displaystyle$ { $O$ （ $M ）$ \ $cdotchi ^$ { ${O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})$ } ） $ationsationsationsationsationsationsationsationsations$ 。

\displaystyle \Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}^{'[k]i_{k}}=\sum _{j}U_{j_{k}^{i_{k}}\Gamma_{\alpha_{k-1}\alpha_{k}^{[k]j_{k}}.

큐비트 k, k+1에서 동작하는2비트 게이트

큐비트 k, k+1의 유니터리 연산 V에 이은 $\lambda$ $\Gamma ^{[k]}$ \ $displaystyle$ \ $Gambda$ $\Gamma$ the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the $\Gamma ^{[k]}$ the the the the the the[ $\Gamma ^{[k]}$ $k$ $\Gamma ^{[k]}$ $]{$ $\Gamma ^{[k+1]}$ \ $Gambda$ ^ { k $\Gamma ^{[k]}$ 및 $\Gamma ^{[k]}$ $[$ k $\Gamma ^{[k+1]}$ + $1 {$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \O ${O}({M\cdot \chi }^{3})$ ( ${O}({M\cdot \chi }^{3})$ $)$ 3 ) { $displaystyle {O}({M\cdot$ \chi $}^{3$ })} ${O}({M\cdot \chi }^{3})$ 의 ${{O}}({M\cdot \chi }^{3})$ 기본 연산으로 구성됩니다.

Vidal의 원래 접근법에 $|{\psi }\rangle$ § $|{\psi }\rangle$ { $displaystyle {psi}\rangle}$ 은 $|{\psi }\rangle$ 4개의 서브시스템에만 속하는 것으로 간주할 수 있습니다.

{{displaystyle{}H}=J{\otimes}H_{C}{\otimes}H_{D}{\otimes}K},

부분공간 J는 감소밀도행렬의 고유벡터 $\rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |$ $\rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |$ $\rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |$ T r C $\rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |$ $\rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |$ $\rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |$ display $\rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |$ \ $displaystyle \rho$ ^{J} = $Tr_{CDK}$ \ $psi$ \ $rangle \si$ 에 의해 스팬됩니다.

\displaystyle \rho^{[1..{k-1}=\sum _{\alpha}{{{\alpha}^{[k-1]}}^{2}{Phi _{\alpha }^{[1]}{k-1}}}:\rangle\langle {Phi_{\alpha}^{[1..{k-1}} = \sum _{\alpha }{(\alpha }^{[k-1]})^{2}}{{alpha }\rangle \rangle {\alpha } .}

마찬가지로 부분 공간 K는 감소된 밀도 행렬의 고유 벡터에 의해 확장된다.

{\displaystyle\rho^{{k+2}}..{N}}=\sum _{\sum }{(\sum _{\sum }^{[k+1]}^{2}}{Phi _{\sum }^{{k+2}}..N]}}\rangle\langle{\gamma}^{{k+2}..N]}} = \sum _{\sum }{(\sumda _{\sum }^{[k+1]}^2} {\sum }\rangle \sumle .}

$H_{C}$ $H_{C}$ C $(\$ 와 $H_{C}$ $H_{D}$ D $(\$ 는 $H_{D}$ 큐비트 k와 k+1에 속하며, 이를 바탕으로 분해 D $(\displaystyle\psi}\rangle)$ 는 $|{\psi }\rangle$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\psi }\rangle =\sum \sum \sum _{\ci }{\sum \ci }{i,j=1}^{M}\lambda _{\alpha }{{\alpha }^{C-1}\Gamma }_{\lamb }_{\lamb

OQG와 같은 논리를 사용하여 큐비트k, k + 1에 TQG V를 적용하는 것은 업데이트만 하면 됩니다.

\Gamma ^{[C]}

[

C

] {

display

style

\ Gamma

\lambda

^ { [

\Gamma ^{[C]}

C

\Gamma ^{[C]}

] }

、

{\

\lambda

d

\Gamma ^{[D]}.

\Gamma ^{[D]}.

[ D

\Gamma ^{[D]}.

] 。{

displaystyle

\ Gamma ^ { [

\Gamma ^{[D]}.

D ] 。

}

다음과 같이 쓸 $|{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle$ $|{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle$ . $|{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle$ V $|{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle$ $|{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle$ $（$ \ $displaystyle$ = $V$ （ \ psi ' } \ $rangle$ = $|{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle$ V { $psi$ } \ $rangle$ $）$ 。

{\psi '}\rangle =\sum \sum _{\alpha =1}^{\chi }\sum \sum _{i,j=1}^{M}\lambda _{\alpha }^{ij}\Theta _{\alpha }{\lambda } {\langle } {\langle

어디에

\Displaystyle \Theta _{\alpha \time }^{ij}=\sum \sum =1}^{m,n=1}^{M}V_{mn}^ij}\Gamma _{\time }^{\Theta }^{\lambda }_{\Thambda } _{ij}

새로운 분해를 알아내기 위해서는 결합 k에 있는 $\lambda$ $\\displaystyle\lambda$ s와 대응하는 슈미트 고유 벡터를 분해 D의 $\$ ${\Gamma }$ s로 계산하고 표현해야 합니다.따라서 환원밀도행렬 $\rho ^{'[DK]}$ [ $\rho ^{'[DK]}$ $]$ \ $displaystyle \rho$ ^ { ' [ $DK ]$ }는 $\rho ^{'[DK]}$ 대각선화됩니다.

\displaystyle \rho^{'[DK]}=Tr_{JC}\rangle \sum _{j,j',\sum `{j,j',\sum `}\rho` {\sam \sam \sam \sam `{j} {\samb`} {j\langle {j}\langle `}.

고유값의 제곱근은 $\lambda$ ${\$ \ $displaystyle$ \ lambda $}$ s입니다.대각 행렬의 고유 벡터를 { $\{|{j\gamma }\rangle \}$ $\{|{j\gamma }\rangle \}$ $}$ { $displaystyle \{j\gamma$ } \ $rangle \}$ 로 $\{|{j\gamma }\rangle \}$ 표현하면 $\Gamma ^{[{D]}}$ [ $]$ { $displaystyle \Gamma$ ^ { [ { $D$ s도 얻을 수 있습니다 $\{|{j\gamma }\rangle \}$

{\Phi ^{'[DK}}}\rangle =\sum _{j,\gamma }^{'[D]j}\lambda _{\langle } {\langle

왼쪽 고유 벡터로부터

\lambda _{\beta }^{'} {\beta }^{'[{\beta }JC}}}\rangle =\pargle {Phi _{\pargle }^{{DK}}}\rangle =\sum _{i,j,\pargel }(Gamma _{\parg \pa }^{{D}j})\ta ^{{\pargel

$\{|{i\alpha }\rangle \}$ α $\{|{i\alpha }\rangle \}$ { $displaystyle \$ ${ i$ \ $alpha$ } \ $rangle$ \ $\{|{i\alpha }\rangle \}$ } } $\Gamma ^{[{C}]}$ [ $]$ { $displaystyle$ \ $Gamma$ ^ { [ { C $}$ } $\Gamma ^{[{C}]}$ } $\Gamma ^{[{C}]}$ s 。

{\displaystyle\Phi^}[{JC}}}\rangle =\sum _{i,\alpha}\Gamma _{\alpha \lambda }{'[C}]i}\lambda _{\alpha }{\alpha }i}\rangle }

계산 비용

D에서 가장 큰 텐서의 치수는 O $M$ ${O}(M{\cdot }{\chi }^{2})$ }^{ $2$ ${O}(M{\cdot }{\chi }^{2})$ 이다. $\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}$ $\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}$ $\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}$ j \ $Displaystyle \Theta$ _ ${\alpha \gamma$ }^{ $ij}$ 를 $\Theta _{{\alpha \gamma }}^{{ij}}$ 구성할 때 $\beta$ style \ $display style$ \bet $）。$ $\gamma ,\alpha ,{\it {i,j}}$ ${\,$ α $\gamma ,\alpha ,{\it {i,j}}$ $\gamma ,\alpha ,{\it {i,j}}$ $\gamma ,\alpha ,{\it {i,j}}$ {\ $displaystyle \gamma,\alpha,$ {\ $it {i,j$ 에 대해 laystyle ${$ $it$ { $n$ $}}$ 을 ${\it {{n}}}$ (를) $사용$ 하여 ${O}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})$ 총 O( ${O}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})$ ${O}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})$ ${O}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})$ 3 ${O}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})$ ) {\ $displaystyle$ { $O}(M$ ^cdot }{\chi $}^3}$ ）의 ${{O}}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})$ 연산을 더합니다.요소 $\lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{\it {JC}}]}}\rangle$ $\rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}$ $ph$ j $ph$ \ $rho$ _ { \ gamma \ gamma ' $\rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}$ }^{j'}}의 형성 또는 왼쪽 고유 벡터 β $\lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{\it {JC}}]}}\rangle$ $\lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{\it {JC}}]}}\rangle$ [ $\lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{\it {JC}}]}}\rangle$ ph \ $displaystyle$ \ $lambda$ _ { \ $beta$ }^{ $phi$ }의 계산에도 동일하게 적용됩니다 $.$ ${\it {O}}(M^{3}{\cdot }{\chi }^{3})$ 3 ${\it {O}}(M^{3}{\cdot }{\chi }^{3})$ )( ${\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})$ ${\it {O}}(M^{3}{\cdot }{\chi }^{3})$ ${\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})$ $( M$ ${\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})$ ⋅ ${\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})$ )( $M$ ${\it {O}}(M^{3}{\cdot }{\chi }^{3})$ ） { \ $cdot$ } { \ $chi }^{3$ } ${\it {O}}(M^{3}{\cdot }{\chi }^{3})$ ), O ${\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})$ ( M 2 ${\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})$ 3 ${\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})$ ) { $displaystyle$ { $O }$ { \ cdot } { \ $chi$ }^ $3$ $})$ 기본 ${\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})$ 조작.큐비트인 ${\it {M}}=2$ $=$ $({displaystyle {M}}=2$ 의 경우 그 역할은 기본 동작 횟수의 크기 순서와는 크게 관계가 없지만, 현장 치수가 2회 이상일 경우 다소 결정적인 기여를 한다.

수치 시뮬레이션

수치 시뮬레이션은 임의의 OQG와 TQG로 구성된 N개 $(\$ 입자로 ${\it {N}}$ ${\it {N}}$ 된 시스템의 해밀턴인을 대상으로 합니다(시간 의존적일 수 있음).

H_{N}=\sum \sum _{l=1}^{N}+\sum \sum _{l=1}^{N}K_{2}^{l,l+1]}.

$(\$ 을 $H_{N}$ 분해하면 편리합니다. $H_{N}=F+G$ 서 $=$ + G(\ $displaystyle$ H_{N}= $F+G$ 의 2개의 비표준항으로 $H_{N}$ 할 수 있습니다.

{\displaystyle F\equiv \sum _{even\\l}(K_{1}+K_{2}^{l,l+1}=\sum _{even\\l}F^{[l]},

\displaystyle G\equiv \sum _{nd\l}(K_{1}+K_{2}^{l,l+1}=\sum _{nd\l}G^{[l]}.}

2체 항 통근 $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$ [ $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$ [ $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$ $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$ , $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$ [ $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$ ] $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$ $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$ { $displaystyle$ [ $F$ ^ { l $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$ ] , $F$ ^ { l ' } = $0$ $[G^{[l]},G^{[l']}]=0$ , [ $[G^{[l]},G^{[l']}]=0$ [ $[G^{[l]},G^{[l']}]=0$ , $G$ [ $[G^{[l]},G^{[l']}]=0$ $[G^{[l]},G^{[l']}]=0$ $0 =$ 0 { $displaystyle$ [ $G^$ { $l$ ] } 이 $완료$ 되었습니다 $[G^{{[l]}},G^{{[l']}}]=0$ .

스즈키-트로터 확장

첫 번째 순서(ST1)의 스즈키-트로터 확대는 지수 연산자를 쓰는 일반적인 방법을 나타냅니다.

e^{(A+B)}=\lim _{n\rightarrow \infty}{\Bigl (}e^{\frac {A}{n}}e^{\frac {B}{n}}{\Bigr}}{n

또는 동등하게

e^{\delta }(A+B)}=e^{\delta }A}e^{\delta }B}+{\it {O}}(\delta ^{2})

보정항이 제한 $\delta \rightarrow 0$ $\delta \rightarrow 0$ 0 { $displaystyle \ rightarrow$ 0 $\delta \rightarrow 0$ }에서 사라집니다.

양자역학의 시뮬레이션에서는 표준(멱급수 전개와 달리)을 유지하면서 단일 연산자를 사용하는 것이 편리하며, 여기서 트로터 스즈키 확장이 필요하다.양자역학의 문제에서 ST 확장에서 연산자의 단일성은 오차가 전체 단계에 집중되는 경향이 있기 때문에 상당히 실용적이라는 것이 입증되었다. 따라서 우리는 기대치와 보존된 양을 충실히 계산할 수 있다.ST는 위상 공간 볼륨을 보존하기 때문에 심플렉틱 적분기라고도 합니다.

ST2의 요령은 유니터리 $e^{-iHt}$ e - $e^{-iHt}$ h $e^{-iHt}$ {\ $displaystyle$ e^{- $iHt}}$ 를 $e^{{-iHt}}$ 다음과 같이 쓰는 것입니다.

\displaystyle e^{-iH_{N}T}=[e^{-iH_{N}\delta }]^{T/{\delta}}=[e^{\frac {\frac}{2}}F}e^{\delta}G}e^{\frac{{delta}{2}F}]^{n}

$n={\frac {T}{\delta }}$ 서 n $n={\frac {T}{\delta }}$ $n={\frac {T}{\delta }}$ { $display$ n = $flac$ { T $n={\frac {T}{\delta }}$ } { \ $delta }$ $n={\frac {T}{\delta }}$ 。 ${\it {n}}$ n $($ 은 ${{\it {{n}}}}$ 트로터 번호라고 불립니다.

시간 진화 시뮬레이션

$e^{{\frac {\delta }{2}}F}$ e $e^{{\frac {\delta }{2}}F}$ $e^{{\frac {\delta }{2}}F}$ F {\ $display$ e $^{\frac$ {\ $delta$ }{ $2$ e $e^{{\delta }G}$ G {\ $display style$ e $^{\delta }}$ 는 $e^{{{\delta }G}}$ 다음과 같이 표현하기 쉽습니다.

e^{\frac}{2}=\prod_{even\l}e^{\frac {\frac}{2}}F^{[l]

e^{\display }G=\prod _{odd\l}e^{\display }G^{[l]}

$G^{[l]}$ 의 2개의 $F^{[l]}$ F [ $l$ { $display$ F ^ { [ l $F^{[l']}$ ] $F^{[l]}$ } 、 $F^{[l']}$ [ $l$ } $F^{[l']}$ （ G $G^{[l]}$ [ $l ]$ $G^{[l]}$ 、 $G^{[l']}$ [ $G^{[l']}$ $G^{[l']}$ 、 [ $display$ style G^ { [ $l$ $G^{[l']}$ $]$ } ） $l{\neq }l'$ G $[$ l $]$ ] 、 [ $display style$ G^ { [ [ l $G^{[l']}$ ] ] ] ] ]} $l{\neq }l'$ for for $l{\neq }l'$ for [ \ $display$ l ]} $for$ for for for for for $for$ for for for for for for for for for for for for for for for for for이 경우 정확한 근사치가 됩니다.

시간 진화는 다음과 같이 이루어질 수 있다.

{{\tilde {\psi }}_{t+\rangle =e^{-i440frac {}{2}}F}e^{-i\delta}G}e^{\frac {-i\delta}{2}F}{\tilde {psi}}_{t}}\rangle .

각 "time-step" ${\$ {\ $displaystyle$ \ $delta$ $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$ - $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$ $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$ $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$ F [ $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$ ]{ $displaystyle$ e $^{-i$ {\ $frac {2}}F^{[l]}}$ 을 $e^{{-i{\frac {{\delta }}{2}}F^{{[l]}}}}$ (를) 모든 홀수 사이트에 순차적으로 $e^{{-i\delta }G^{[l]}}$ 한 후 $e^{{-i\delta }G^{[l]}}$ - $e^{{-i\delta }G^{[l]}}$ G [ $e^{{-i\delta }G^{[l]}}$ ] {- $displaystyle$ e $^{-i\delta$ $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$ } {-delta } {-deltal } { l } {l } } { $\delta$ $}$ { $delta$ } { $2}} F^{[l]}}$ 다시 $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$ 홀수값으로, 기본적으로 TQG의 연속이며, 이를 적용할 때 ${\it {D}}$ D $(\$ 를 ${{\it {{D}}}}$ 업데이트하는 방법에 대해 위에서 설명했습니다 $.$

우리의 목표는 n개의 $H_{n}$ $해밀턴$ $H_{n}$ (\ $displaystyle H_n$ 을 사용하여 상태 $(\$ $displaystyle\$ $psi_$ ${$ $0}\$ $rangle)$ 을 $|{\psi _{{T}}}\rangle$ 향해 시간 $style0(\displaystyle\psi_{$ 0})의 $|{\psi _{0}}\rangle$ 시간 진화를 만드는 것입니다.

임의의 n 입자 상태에 대해 ${\it {D}}$ D $(\$ 를 ${{\it {{D}}}}$ 구성하는 것은 다소 번거롭다. 왜냐하면 이는 각 결합에서 슈미트 분해를 계산하고 슈미트 고유값을 내림차순으로 배열하여 첫 $\chi _{c}$ § $(\$ )를 선택해야 하기 때문이다 $.$ $c}}$ 및 $\chi _{c}$ 적절한 슈미트 고유 벡터.이는 다소 관대한 감소 밀도 행렬의 대각화를 의미하며, 시뮬레이션해야 하는 시스템에 따라서는 우리의 도달 범위와 인내심을 뛰어넘는 작업이 될 수 있습니다.대신 다음 작업을 시도할 수 있습니다.

${\it {D}}$ ) 분해 D $(\$ 를 ${{\it {{D}}}}$ 간단한 초기 상태, 예를 들어 제품 상태 $|{\psi _{P}}\rangle$ P $(\displaystyle {P}}\rangle$ 로 구성하며 분해는 간단합니다.

ii) 충분한 국소 변환 Q(예 $|{\psi _{0}}\rangle =Q|{\psi _{gr}}\rangle$ $|{\psi _{0}}\rangle =Q|{\psi _{gr}}\rangle$ 의 곱으로 표현 가능한 것)에 의해 $|{\psi _{0}}\rangle$ 0 ${\$ 0 {\ \ $display style$ \ $psi$ _ { $0$ $|{\psi _{0}}\rangle$ } \ $rangle$ $|{\psi _{gr}}\rangle$ ${\tilde {H}}$ H ${\tilde {H}}$ ~ ${\tilde {H}}$ g $|{\psi _{gr}}\rangle$ r ${\$ \ $display$ style \ $psi$ _ { $gr$ } \ $rangle$ } g $|{\psi _{gr}}\rangle$ ii 。 $r$

iii) 다음과 같이 해밀턴 ${\tilde {H}}$ ~ {\ $displaystyle {$ $H$ ${\tilde {H}}$ {\ $displaystyle},$ { $}\rangle}$ 의 $|{\psi _{{gr}}}\rangle$ 지면 상태를 향해 상상 시간을 진화시킵니다.

_= _}{\ { style {\}

또는 제품 상태 $|{\psi _{P}}\rangle$ P ${\$ {\ $displaystyle$ { $P}$ \ $rangle }$ 과 $|{\psi _{P}}\rangle$ $H_{1}$ 와) H ${\tilde {H}}$ $~$ ${\tilde {H}}$ $H_{1}$ {H $사이$ 에 보간하는 시간 의존 $H_{1}$ 을 사용하여 등엔트로피 진화를 시뮬레이션합니다.진화는 시스템이 항상 접지 상태에 있거나 최소한 그것에 매우 근접하도록 충분히 천천히 이루어져야 한다.

iv)마지막으로 $H_{n}$ $(\$ 을 사용하여 $|{\psi _{T}}\rangle$ $00$ (\displaystyle\ $psi_{$ 0})을 $|{\psi _{T}}\rangle$ leT $|{\psi _{0}}\rangle$ $|{\psi _{T}}\rangle$ $(\$ $displaystyle\$ psi_{ $T}\$ rangle) $방향$ 으로 0 $(\$ displaystyle H_{n}):

\_ { } \ = e^ { - { n } { \ displaystyle \ psi _ {T}}\rangle=e^{-iH_{n}T({psi_{0}}}\rangle)

시뮬레이션의 오류는 스즈키-트로터 근사치 및 힐버트 공간의 자르기 때문에 발생합니다.

스즈키-트로터 확장에서 발생하는 오류

Trotter 근사값이 p ${\it {p^{th}}}$ th}})인 ${\it {p^{th}}}$ ${\it {p^{th}}}$ ${\delta }^{p+1}$ 는 ${\delta }^{p+1}$ p + 1({displaystyle $}^{p+1$ 순서입니다.n $n={\frac {T}{\delta }}$ $n={\frac {T}{\delta }}$ \ $displaystyle$ n = $flac$ { $T$ }{\ $delta }}$ 단계를 $n={\frac {T}{\delta }}$ $n={\frac {T}{\delta }}$ 할 때 시간 T 이후의 오류는 다음과 같습니다.

\ipsilon = flac {T}{\delta }}\display ^{p+1}=T\delta ^{p

$|{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle$ 인 상태 $|{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle$ ~ $|{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle$ ${\$ {{ $displaystyle {{\tilde$ {\ $psi$ }} $_{Tr}}\rangle}}$ 은 $|{{\tilde {\psi }}_{{Tr}}}\rangle$ 다음과 같습니다.

{{displaystyle {{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle =rgrt {1-{\ilon }^{2}} {\ilon } + {\ilon } {\Tr} {\bot }} {\rangle }

$여기$ 서 $|{\psi _{{Tr}}}\rangle$ $|{\psi _{Tr}}\rangle$ 은 $|{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle$ $Trotter$ 확장 후 유지되는 $상태$ 이며 $Tr은 확장$ 시 무시되는 $부분을 설명합니다.$

총 오류는 시간 $(\$ style ${T})$ 에 ${{\it {{T}}}}$ 따라 다음과 같이 측정됩니다.

\displaystyle \silon({\it {T})=1-\clide {psi _ {Tr}}\rangle ^{2}=1-1+\cilon ^{2}=\cilon ^{2}}

트로터 오류는 체인의 치수와 무관합니다.

Hilbert 공간의 잘림에서 발생하는 오류

분해 D에 포함되는 힐베르트 공간의 절단에서 발생하는 오차를 고려하면 두 가지이다.

첫째, 위에서 살펴본 바와 같이 슈미트 스펙트럼에 대한 가장 작은 기여는 생략되며, 상태는 다음과 같이 충실하게 표현된다.

{\displaystyle \ipsilon({\it {D}})=1-\prod \prod _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})

여기서 $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ n $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ c $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ ( ( $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ α $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ [ $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ ) $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ ${\$ \ $silon$ $\epsilon _{n}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ _ ${n} =$ \ $chi _ {c}$ {{c} } {{n $}$ } {{ $n}$ } {{ $ci$ } } } ${{$ n} } } } $it$ display display it display display it display display display display it display display ${\it {n}}$ display display display it display display display ${\it {n}}$ display display display display display $display$ 상태 $|{\psi }\rangle$ $（$ { $displaystyle }$ \ $rangle$ ）는 $|{\psi }\rangle$ 주어진 ${\it {n}}$ n({ displaystyle ${n$ 에서 슈미트 분해에 의해 다음과 같이 기술됩니다.

{\psi }\rangle = {1-\angilon _{n}} {\angle + {\angilon _ {n}} {\psi _ {D}^{\bot }} \rangle

where

{\psi _{D}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {1-\epsilon _{n}}}}\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]} {\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle  {\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle

is the state kept after the truncation and

{\psi _{D}^{\bot }}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{n}}}}\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}={\chi }_{c}}^{\chi }\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]} {\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle  {\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle

is the state formed by the eigenfunctions corresponding to the smallest, irrelevant Schmidt coefficients, which are neglected. Now, $\langle \psi _{D}^{\bot } \psi _{D}\rangle =0$ because they are spanned by vectors corresponding to orthogonal spaces. Using the same argument as for the Trotter expansion, the error after the truncation is:

\epsilon _{n}=1- \langle {\psi } \psi _{D}\rangle  ^{2}=\sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}

After moving to the next bond, the state is, similarly:

{\psi _{D}}\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n+1}}} {{{\psi }'}_{D}}\rangle +{\sqrt {\epsilon _{n+1}}} {{\psi '}_{D}^{\bot }}\rangle

The error, after the second truncation, is:

\epsilon =1- \langle {\psi } \psi '_{D}\rangle  ^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1}) \langle {\psi } \psi _{D}\rangle  ^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1})(1-\epsilon _{n})

and so on, as we move from bond to bond.

The second error source enfolded in the decomposition ${\it {D}}$ is more subtle and requires a little bit of calculation.

As we calculated before, the normalization constant after making the truncation at bond ${\it {l}}$ $([1..l]:[l+1..N])$ is:

R={\sum \limits _{{\alpha _{l}}=1}^{{\chi }_{c}}{ \lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]} }^{2}}={1-\epsilon _{l}}

Now let us go to the bond ${\it {l}}-1$ and calculate the norm of the right-hand Schmidt vectors ${\Phi _{\alpha _{l-1}}^{[l-1..N]}}$ ; taking into account the full Schmidt dimension, the norm is:

n_{1}=1=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}+\sum \limits _{\alpha _{l}=\chi _{c}}^{\chi }(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=S_{1}+S_{2}

,

where $(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}=\sum \limits _{i_{l}=1}^{d}(\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}})^{*}\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}}$ .

Taking into account the truncated space, the norm is:

n_{2}=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}\cdot ({\lambda '}_{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=\sum \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}{\frac {(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}}{R}}={\frac {S_{1}}{R}}

Taking the difference, $\epsilon =n_{2}-n_{1}=n_{2}-1$ , we get:

\epsilon ={\frac {S_{1}}{R}}-1\leq {\frac {1-R}{R}}={\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}{\rightarrow }0\ \ as\ \ {\epsilon _{l}{\rightarrow }{0}}

Hence, when constructing the reduced density matrix, the trace of the matrix is multiplied by the factor:

\langle {\psi _{D}} \psi _{D}\rangle  ^{2}=1-{\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}={\frac {1-2\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}

The total truncation error

The total truncation error, considering both sources, is upper bounded by:

\epsilon ({D})=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})\prod \limits _{n=1}^{N-1}{\frac {1-2\epsilon _{n}}{1-\epsilon _{n}}}=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-2\epsilon _{n})

When using the Trotter expansion, we do not move from bond to bond, but between bonds of same parity; moreover, for the ST2, we make a sweep of the even ones and two for the odd. But nevertheless, the calculation presented above still holds. The error is evaluated by successively multiplying with the normalization constant, each time we build the reduced density matrix and select its relevant eigenvalues.

"Adaptive" Schmidt dimension

One thing that can save a lot of computational time without loss of accuracy is to use a different Schmidt dimension for each bond instead of a fixed one for all bonds, keeping only the necessary amount of relevant coefficients, as usual. For example, taking the first bond, in the case of qubits, the Schmidt dimension is just two. Hence, at the first bond, instead of futilely diagonalizing, let us say, 10 by 10 or 20 by 20 matrices, we can just restrict ourselves to ordinary 2 by 2 ones, thus making the algorithm generally faster. What we can do instead is set a threshold for the eigenvalues of the SD, keeping only those that are above the threshold.

TEBD also offers the possibility of straightforward parallelization due to the factorization of the exponential time-evolution operator using the Suzuki–Trotter expansion. A parallel-TEBD has the same mathematics as its non-parallelized counterpart, the only difference is in the numerical implementation.

References

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