궤도 최적화

궤적 최적화는 일련의 제약조건을 만족시키면서 성능의 측정치를 최소화(또는 최대화)하는 궤적을 설계하는 과정이다. 일반적으로 궤적 최적화는 최적 제어 문제에 대한 오픈 루프 솔루션을 계산하는 기법이다.^[1] 그것은 종종 완전한 폐쇄 루프 솔루션의 계산이 필요하지 않거나, 비실용적이거나, 불가능한 시스템에 사용된다. 만약 궤적 최적화 문제가 립스치츠 상수의 역률에 의해 주어진 속도로 해결될 수 있다면,^[2] 그것은 반복적으로 카라테오도리의 의미에서 폐쇄 루프 솔루션을 생성하는 데 사용될 수 있다. 무한수평 문제에 대해 궤적의 첫 단계만 실행되면 이를 MPC(Model Prediction Control)라고 한다.

궤적 최적화의 발상은 수백 년 동안 존재해 왔지만(변동의 미적분, 브라키스토크론 문제) 컴퓨터의 출현과 함께 현실 문제에 실용화되었을 뿐이다. 궤적 최적화의 원래 적용의 많은 부분은 항공우주 산업, 컴퓨터 로켓, 미사일 발사 궤도에 있었다. 최근에는 궤적 최적화가 다양한 산업 프로세스와 로봇공학 응용 분야에서도 사용되어 왔다.^[3]

역사

궤적 최적화는 1697년에 처음 나타났는데, 브라키스토크론 문제의 도입으로: 철사를 따라 미끄러지는 비드가 최소 시간 내에 두 지점 사이를 이동할 수 있도록 철사의 형태를 찾는다.^[4] 이 문제에 대해 흥미로운 점은 단일 숫자가 아니라 곡선(전선의 모양)을 통해 최적화하고 있다는 점이다. 그 해법들 중 가장 유명한 것은 변동성의 미적분을 이용하여 계산한 것이다.

1950년대에 디지털 컴퓨터는 궤적 최적화를 현실 세계의 문제 해결에 실용화하기 시작했다. 최초의 최적 제어 접근법은 미국의 길버트 아메스 블리스와 브라이슨^[5], 러시아의 폰트랴긴의^[6] 연구에 기초하여 변동의 미적분에서 성장했다. 폰트랴긴의 최대 원리는^[1] 특히 주목할 만하다. 이러한 초기 연구자들은 현재 우리가 궤적 최적화를 위한 간접적인 방법이라고 부르는 것의 기초를 만들었다.

궤적 최적화의 초기 작업 대부분은 진공 상태와 대기 상태 모두에서 로켓 추진력 프로필 계산에 집중되었다. 이 초기 연구는 오늘날에도 여전히 사용되고 있는 많은 기본 원리를 발견했다. 또 다른 성공적인 적용은 초기 제트 항공기의 고도 궤적 상승이었다. 트랜소닉 드래그 영역과 관련된 높은 항력과 초기 제트 항공기의 낮은 추력 때문에 궤도 최적화는 고도 성능으로의 상승을 최대화하는 데 핵심이었다. 최적의 통제 기반 궤적은 세계 기록의 일부에 책임이 있었다. 이러한 상황에서 조종사는 최적의 제어 솔루션을 바탕으로 마하 대 고도 일정을 준수했다.

궤적 최적화에 있어서 중요한 초기 문제들 중 하나는 폰트랴긴의 최대 원리가 완전한 해결책을 제시하지 못하는 단수 원호의 문제였다. 단수 제어에 문제가 있는 예로는 일정한 고도로 비행하고 저속으로 발사되는 미사일의 추력을 최적화한 것이 있다. 여기서 문제는 단수 호에 도달할 때까지 가능한 최대 추력에서의 뱅뱅 제어 중 하나이다. 그러면 단수 제어에 대한 용액은 연소될 때까지 낮은 가변 추력을 제공한다. 그 지점에서 뱅뱅 제어는 제어장치나 추력이 최소값인 0까지 가도록 제공한다. 이 해결책은 오늘날 미사일 성능을 극대화하기 위해 널리 사용되는 부스트-지속형 로켓 모터 프로파일의 기초가 된다.

적용들

궤적 최적화를 위한 애플리케이션은 주로 산업, 조작, 보행, 경로 계획 및 항공우주 등 매우 다양하다. 그것은 모델링과 추정에도 사용될 수 있다.

로봇 조작기

구성에 따라 오픈체인 로봇 조작기는 어느 정도의 궤도 최적화가 필요하다. 예를 들어, 7개의 조인트와 7개의 링크(7-DOF)를 가진 로봇 암은 엔드 이펙터의 한 데카르트 위치가 무한한 수의 조인트 각도 위치에 해당할 수 있는 중복 시스템이며, 따라서 이 이중화를 사용하여 예를 들어 작업 공간의 장애물을 피하거나 조인트의 토크를 최소화하기 위한 궤적을 최적화할 수 있다.^[7]

쿼드로터 헬기

궤적 최적화는 쿼드로터 헬리콥터의 궤적을 계산하는 데 종종 사용된다. 이러한 애플리케이션은 일반적으로 고도로 전문화된 알고리즘을 사용했다. ^{[8] [9]} U에 의해 보여진 흥미로운 응용 프로그램 중 하나.펜 HIGHL Lab은 쿼드로터가 던져질 때 후프를 통해 날 수 있는 궤적을 계산하고 있다. 또 다른 하나는, 이번에 ETH 취리히 플라잉 머신 아레나에 의해, 두 개의 쿼드로터가 그들 사이에 폴을 앞뒤로 내던지고, 그것이 역진자처럼 균형을 이루게 된다. 쿼드콥터의 최소 에너지 궤적을 계산하는 문제도 최근에 연구되었다. ^[10]

제조업

궤적 최적화는 제조에 특히 화학적 공정을 제어하거나(예:^[11] ) 로보틱 조작자를 위해 원하는 경로를 계산하는 데 사용된다.

워킹로봇

보행로봇 분야에서는 궤적 최적화를 위한 다양한 응용이 있다. 예를 들어, 한 논문은 단순한 모델에 두발형의 궤적 최적화를 사용해 보행이 저속 이동에 에너지적으로 유리하고 달리기가 고속 이동에 에너지적으로 유리하다는 것을 보여주었다. ^[13] 다른 많은 애플리케이션과 마찬가지로 궤도 최적화는 안정화 컨트롤러가 구축되는 공칭 궤적을 계산하는 데 사용될 수 있다. ^[14] 궤도 최적화는 아틀라스와 같은 세부 모션 계획 복합 인형 로봇에 적용할 수 있다. ^[15] 마지막으로, 궤도 최적화는 감소된 복잡성 모델을 사용하여 복잡한 역학 제약을 받는 로봇의 경로 계획에 사용될 수 있다. ^[16]

항공우주

전술 미사일의 경우 비행 프로필은 추력 및 리프트 이력에 의해 결정된다. 이러한 이력은 미사일에 반드시 따라야 하는 공격 명령 이력 각도 또는 고도/하강 일정 등의 기법을 포함한 여러 가지 방법으로 제어할 수 있다. 비산물 설계 요인, 원하는 비산물 성능 및 시스템 제약 조건의 각 조합은 최적의 제어 매개변수의 새로운 집합을 야기한다.^[17]

용어.

결정 변수

최적화를 사용하여 찾을 수 있는 알 수 없는 집합.

궤도 최적화 문제

결정 변수가 실제 숫자가 아닌 함수인 특수 유형의 최적화 문제.

모수 최적화

결정 변수가 실제 숫자인 최적화 문제.

비선형 프로그램

목표 함수 또는 제약 조건이 비선형인 제한된 매개변수 최적화 클래스.

간접법

궤적 최적화 문제를 해결하기 위한 간접적인 방법은 1) 최적화에 필요한 조건과 충분한 조건을 분석적으로 구성, 2) 이러한 조건을 분석하여 제한된 매개변수 최적화 문제를 구성, 3) 최적화 문제를 해결한다.^[18]

직접법

궤적 최적화 문제를 직접 해결하는 방법은 1) 궤적 최적화 문제를 직접 분석하여 제한된 매개변수 최적화 문제로 전환하고 2) 그 최적화 문제를 해결한다.^[18]

전사

궤적 최적화 문제가 매개변수 최적화 문제로 변환되는 프로세스. 이것은 때때로 디스커버리징이라고 일컬어느날 이것을 디스커버리징이라고 한다. 전사법은 일반적으로 사격법과 연사법의 두 가지 범주로 나뉜다.

사격법

일반적으로 명시적 런지-쿠타 스키마를 사용하는 시뮬레이션에 기반한 전사 방법.

결합 방법(동시 방법)

함수의 근사치를 기반으로 하는 전사 방법이며, 일반적으로 암묵적 런지-쿠타 체계를 사용한다.

유사점법(Global Collocation)

하나의 고차 직교 다항식으로 전체 궤적을 나타내는 전사법.

메쉬(그리드)

전사 후, 이전의 연속 궤적은 이제 메쉬 점 또는 격자 점이라고 알려진 이산 점 집합으로 표현된다.

메쉬 정교화

일련의 궤적 최적화 문제를 해결함으로써 디스커트화 메쉬가 개선되는 과정. 메쉬 정교화는 궤적 세그먼트를 하위 분할하거나 해당 세그먼트를 나타내는 다항식의 순서를 증가시켜 수행된다.^[19][20]

다상 궤적 최적화 문제

하이브리드 역학을^[21] 가진 시스템에 대한 궤적 최적화는 다상 궤적 최적화 문제로 간주함으로써 달성할 수 있다. 이것은 제약조건을 이용하여 연결되는 표준 궤적 최적화 문제의 순서를 구성함으로써 이루어진다.^{[21][22][23][24]}

궤도 최적화 기법

최적화 문제에 대한 기법은 간접과 직접의 두 범주로 나눌 수 있다. 간접적인 방법은 최적성에 필요한 충분한 조건을 분석적으로 구성하여 작동하며, 이 조건은 수치로 해결된다. 직접방법은 최적 용액에 대해 지속적으로 개선되는 근사치 시퀀스를 구성하여 직접 수치해결을 시도한다.^[18] 직접 및 간접 방법은 로스와 파이로의 코브터 매핑 원리를 적용하여 혼합할 수 있다.^[25]

최적의 제어 문제는 결정 변수가 실제 숫자가 아닌 함수이기 때문에 무한 차원 최적화 문제다. 모든 솔루션 기법은 전사(transcription)를 수행하는데, 이 과정에서 궤도 최적화 문제(함수에 대해 최적화)가 제약된 파라미터 최적화 문제(실수 대비 최적화)로 전환된다. 일반적으로 이러한 제한된 매개변수 최적화 문제는 2차 프로그램 또는 선형 프로그램으로 축소될 수 있지만 비선형 프로그램이다.

싱글 슈팅

싱글 슈팅은 가장 단순한 형태의 궤도 최적화 기법이다. 기본적인 아이디어는 대포를 조준하는 방법과 유사하다: 궤도에 대한 일련의 매개변수를 선택하고 전체를 시뮬레이션한 다음 목표물을 맞혔는지 확인한다. 전체 궤적은 단일 세그먼트로 표시되며, 결함 제약조건으로 알려진 단일 제약조건으로 시뮬레이션의 최종 상태가 시스템의 원하는 최종 상태와 일치해야 한다. 싱글 슈팅은 단순하거나 초기화가 극히 좋은 문제에 효과적이다. 간접적이고 직접적인 공식화 모두 다른 방법으로 어려움을 겪는 경향이 있다.^{[18][26] [27]}

멀티슈팅

다중 사격은 단일 사격에 대한 단순한 연장선상에서 훨씬 더 효과적이다. 하나의 시뮬레이션(세그먼트)으로 전체 궤적을 나타내기보다는 알고리즘이 궤적을 여러 개의 짧은 세그먼트로 나누며, 각 부분 사이에 결함 제약이 추가된다. 결과는 대규모 희소성 비선형 프로그램으로, 한 번의 촬영으로 연출되는 소규모 밀집 프로그램보다 해결이 쉬운 경향이 있다.^[26][27]

직접 콜리

직접 연선 방법은 상태를 근사하고 다항식 스플라인을 사용하여 궤적을 제어하는 방식으로 작동한다. 이러한 방법을 직접 필사이라고도 한다. 사다리꼴 정렬은 일반적으로 사용되는 저순도 직접 정렬 방법이다. 역학, 경로 목표 및 제어는 모두 선형 스플라인을 사용하여 표현되며, 사다리꼴 사분선을 사용하여 역학을 만족한다. Hermite-Simpson Collocation은 일반적인 중차직접 콜러레이션 방법이다. 주(州)는 입방-헤르마이트 스플라인으로 표현되며, 역학관계는 심슨 사분법을 사용하여 만족한다.^[18][27]

직교 정렬

직교 결합은 기술적으로는 직접 결합의 부분집합이지만, 구현 상세 내역은 그 자체의 방법 집합으로 합리적으로 생각할 수 있을 정도로 차이가 있다. 직교 콜리케이션은 일반적으로 고차 스플라인을 사용한다는 점에서 직접 콜리케이션과 다르며, 궤적의 각 세그먼트는 다른 순서의 스플라인으로 표현될 수 있다. 명칭은 상태와 제어 스플라인에서 직교 다항식을 사용한 것에서 유래한다.^[27][28]

가성파괴

가성분석의 경우 전체 궤적은 시간 영역(독립 변수)의 기본 함수의^[29] 집합으로 표현된다. 기본 함수는 다항식일 필요는 없다.^[29] 가성분포성 탈부착은 스펙트럼 연접이라고도 한다.^[30][31][32] 해결책이 매끄러운 궤적 최적화 문제를 해결하기 위해 사용될 때, 유사 관측 방법은 스펙트럼(우수) 수렴을 달성할 것이다.^[33][34] 궤적이 매끄럽지 않으면 룬게쿠타 방식보다 여전히 융합 속도가 매우 빠르다.^[34][35][36]

시간 유한요소

1990년 듀이 H. 호지스와 로버트 R. 블러스는 최적의 제어 문제를 위해 약한 해밀턴 유한 요소 방법을 제안했다. 아이디어는 최적화에 필요한 첫 번째 조건의 약한 변동 형태를 도출하고, 유한한 간격으로 시간영역을 식별하며, 각 간격에 걸쳐 상태, 조정기 및 조정기의 단순한 제로 순서 다항식 표현을 사용하는 것이었다. 10년 후 마시밀리아노 바실레는 시간의 직접 유한요소라고 불리는 직사법을 개발하였는데, 운동 방정식이 약한 형태로 주조되고, 시간영역은 일련의 미세한 간격으로 구분되며, 각 구간 상태와 제어장치는 스펙트럼 기반으로 가변 순서 다항식으로 표현된다.^[38][23][39] 이 방법은 복잡한 행성간 이동,^[40][23][24] 소행성 편향,^[41] 상승 및 재진입 궤적 설계에 성공적으로 적용되었다.^[42] 보다 최근에 이 접근방식은 다목적 최적 제어 문제의 해결책과 불확실성의 처리를 ^[43]위해 번스타인 다항상 다항식(Bernstein polyomials)을 사용할 수 있게 되었다.^[45]

차동 동적 프로그래밍

Differential dynamic programming은 여기서 설명한 다른 기법과는 약간 다르다. 특히 전사와 최적화를 깨끗하게 분리하지 않는다. 대신 궤적을 따라 앞뒤로 반복적인 패스를 한다. 각 전진 패스는 시스템 역학을 만족하며, 후진 패스는 제어를 위한 최적성 조건을 만족한다. 결국, 이 반복은 실현 가능하고 최적인 궤도로 수렴된다.^[46]

기법의 비교

궤적 최적화 문제를 해결할 때 선택할 수 있는 기법이 많다. 가장 좋은 방법은 없지만, 어떤 방법들은 특정한 문제들에 대해 더 잘 할 수 있을 것이다. 이 절에서는 방법 간의 절충에 대한 대략적인 이해를 제공한다.

간접법 대 직접법

간접적인 방법으로 궤적 최적화 문제를 해결할 때, 당신은 조정 방정식과 그 기울기를 명시적으로 구성해야 한다. 이것은 종종 하기 어렵지만, 해결책에 대한 뛰어난 정확도 측정 기준을 제공한다. 직접 방법은 설정과 해결이 훨씬 쉽지만, 정확도 메트릭이 내장되어 있지 않다.^[18] 결과적으로, 직접 방법은 특히 중요하지 않은 애플리케이션에서 더 널리 사용된다. 간접적인 방법은 특히 정확성이 중요한 항공우주 분야의 전문화된 응용 분야에 여전히 자리를 잡고 있다.

간접적인 방법이 특히 어려움을 겪는 한 곳은 경로 불평등 제약에 관한 문제다. 이러한 문제들은 제약이 부분적으로 활성화되는 해결책이 있는 경향이 있다. 간접적인 방법에 대한 부선 방정식을 구성할 때, 사용자는 제약을 용액에서 활성화할 때 명시적으로 적어야 하는데, 이는 선행식을 알기 어려운 것이다. 한 가지 해결책은 초기 추정을 계산하기 위해 직접 방법을 사용하는 것인데, 이 방법은 제약 조건이 규정되어 있는 다상 문제를 구성하는 데 사용된다. 그러면 간접적인 방법을 사용하여 결과적인 문제를 정확하게 해결할 수 있다.^[18]

슈팅 vs 콜러레이션

단일 촬영 방법은 조작이 매우 간단하거나 초기 추측이 극히 좋은 문제에 가장 잘 사용된다. 예를 들어, 유일한 제어장치가 엔진의 초기 충동의 크기와 방향인 위성 임무 계획 문제.^[26]

다중 사격은 비교적 간단한 조종이나 복잡한 역학관계의 문제에 좋은 경향이 있다. 경로 제약 조건을 사용할 수 있지만, 결과적인 비선형 프로그램을 비교적 풀기 어렵게 만든다.

직접 취합 방법은 조정기의 정확도와 상태가 유사한 문제에 좋다. 이러한 방법은 다른 방법보다 정확도가 떨어지는 경향이 있지만(순서가 낮기 때문에), 경로 제약이 어려운 문제에 특히 강하다.

직교 결합 방법은 제어 궤적의 정확도가 중요한 문제에 대한 고정밀도 해결책을 얻는데 가장 적합하다. 일부 구현에서는 경로 제약에 문제가 있다. 이러한 방법은 해법이 원활할 때 특히 좋다.

외부 링크

• 적용된 궤적 최적화

참조