연접법

수학에서, 콜래이션 방법은 일반적인 미분 방정식, 부분 미분 방정식, 적분 방정식의 수치 해법에 대한 방법이다. 아이디어는 후보 해법의 유한차원 공간(보통 일정 정도까지의 다항식)과 도메인 내의 여러 점(일명 콜러케이션 포인트)을 선택하고, 그 해답은 콜러레이션 포인트에서 주어진 방정식을 만족시키는 것을 선택한다.

일반 미분 방정식

일반적인 미분 방정식을 가정해 보자.

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t),\display y(t_{0})=y_{0},}$

$[{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ h${\displaystyle }$] ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+c_{k}h]}$에 대해 해결한다$.$ 0 ≤ c₁₂<<<< < 1_n>에서 ${\displaystyle c_{}}$ k$${\$displaystyle c_{k}}}}$를 선택하십시오.

The corresponding (polynomial) collocation method approximates the solution y by the polynomial p of degree n which satisfies the initial condition ${\displaystyle p(t_{0})=y_{0}}$, and the differential equation ${\displaystyle p'(t_{k})=f(t_{k},p(t_{k}))}$

$모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {정렬}_{}}$ ${\displaystyle {지점\mathrm{}}_{}}$ t${\displaystyle }$=${\displaystyle }$t ${\displaystyle 0}$${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ h {\$displaystyle t_{k}=t_{0}+c_{k}h}$의 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$, n ${\displaystyle k=1,\ldots,n}$에 대해$$. 이것은 n + 1 조건을 부여하는데, 이는 n의 다항식 n을 지정하는 데 필요한 n + 1 매개변수와 일치한다.

이 모든 정렬 방법은 사실상 암묵적인 룬게-쿠타 방법이다. Runge-Kutta 방법의 정육점 테이블au에 있는 계수 c는_k 결합점이다. 그러나, 모든 암묵적 룬게-쿠타 방법이 콜레이션 방법인 것은 아니다. ^[1]

예: 사다리꼴 법칙

예를 들어, 두 개의 콜로케이션 포인트 c₁ = 0과 c₂ = 1을 선택한다(그러므로 n = 2). 콜리케이션 조건은

${\displaystyle p(t_{0}=y_{0},\,}$

${\displaystyle p'(t_{0})=f(t_{0}},p(t_{0})),\,}$

${\displaystyle p'(t_{0}+h)=f(t_{0}+h,p(t_{0}+h)).\,}$

세 가지 조건이 있으므로 p는 학위 2의 다항식이어야 한다. 양식에 p를 쓰시오.

${\displaystyle p(t)=\cHB(t-t_{0})^{2}+\cHB(t-t_{0})+\cHB \,}$

계산을 단순화하기 위해서. 그런 다음 결합 조건을 해결하여 계수를 제공할 수 있다.

${\displaystyle {\begin}\alpha &={\frac {1}{1}{{1}{2h}{\Big (}f(t_{0}+h), p(t_{0}+h)-f({0})-f({0},p_{0}){0}{{0}}}}}}{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\Big )},\\\beta &=f(t_{0},p(t_{0}),\\\감마 &=y_{0}.\end{정렬}}}$

이제 (임시적으로) 콜러케이션 방법은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{0}+{{1}{1}{1}{1}{1}{1}{{1}}}{f(t_{0}+h,y_{1})+f(t_{0},y_{0}}}}}}}}}}}},\,},}$

여기서 y₁ = p(t₀ + h)는 t = t + h에서₀ 대략적인 용액이다.

이 방법은 미분방정식에 대한 "사다리꼴 규칙"으로 알려져 있다. 실제로 이 방법은 다음과 같이 미분 방정식을 다시 써서 도출할 수도 있다.

${\displaystyle y(t)=y(t_{0})+\int _{t_}^{0}f(\tau,y(\tau )\,{\textrm {d}\tau,\,}$

그리고 통합을 위한 사다리꼴 규칙에 의해 우측에 있는 적분에 근사치를 구한다.

기타 예

Gauss-Legendre 방법은 Gauss-Legendre 4차원의 점을 결합점으로 사용한다. s 포인트를 바탕으로 한 가우스-레젠드르 방법에는 순서 2s가 있다.^[2] 모든 가우스-레젠더 방법은 A-안정적이다.^[3]

사실, 결합 방법의 순서는 결합 지점을 가중치로 사용하는 사분법 규칙의 순서에 해당한다는 것을 보여줄 수 있다.

메모들

참조

• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-412-8.
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.
• Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
• Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2009), "A rational spectral collocation method for solving a class of parameterized singular perturbation problems", Journal of Computational and Applied Mathematics, 233 (10): 2652–2660, doi:10.1016/j.cam.2009.11.011.