다항식 수열
수학 에서 게겐바우어 다항식 또는 울트라구형 다항식 C (α) n x )는 체중 함수(1 - x)와 관련 하여2 [-1,1] 간격의 직교 다항식 이다.α –1/2레전드레 다항식 , 체비셰프 다항식 등을 일반화하며, 자코비 다항식 의 특별한 경우다.그것들은 레오폴드 게겐바우어의 이름을 따서 지어졌다.
특성화 n 의 처음 4개 값에 대한 xα 평면의 다항식을 보여주는 애니메이션.
게겐바우어 다항식의 다양한 특성화가 가능하다.
1 ( 1 − 2 x t + t 2 ) α = ∑ n = 0 ∞ C n ( α ) ( x ) t n . {\displaystyle {\fract+t^{2}}^{{}^{\n=0}=\sum _{n=0}^{\c_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}. } C 0 α ( x ) = 1 C 1 α ( x ) = 2 α x C n α ( x ) = 1 n [ 2 x ( n + α − 1 ) C n − 1 α ( x ) − ( n + 2 α − 2 ) C n − 2 α ( x ) ] . {\displaystyle {\reasoned} C_{0}^{\alpha }(x)&=1\\C_{1}^{\alpha }(x)&=2\alpha x\\C_{n}^{\alpha }(x)&={\frac {1}{n}}[2x(n+\alpha -1)C_{n-1}^{\alpha }(x)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{\alpha }(x)]. \end{정렬}}} 게겐바우어 다항식(Gegenbauer polyomials)은 게겐바우어 미분방정식의 특별한 해법 이다(Suetin 2001 ). ( 1 − x 2 ) y ″ − ( 2 α + 1 ) x y ′ + n ( n + 2 α ) y = 0. {\displaystyle (1-x^{2}y"-(2\built +1)xy'+n(n+2\built )y=0.\,} α = 1/2일 때 방정식은 레전드르 방정식으로 감소하고 게겐바우어 다항식은 레전드르 다항식 으로 감소한다.α = 1일 때 방정식은 체비셰프 미분 방정식으로 감소하고 게겐바우어 다항식은 제2종 체비셰프 다항식 으로 감소한다.[1] C n ( α ) ( z ) = ( 2 α ) n n ! 2 F 1 ( − n , 2 α + n ; α + 1 2 ; 1 − z 2 ) . {\displaystyle C_{n}^{{n(\alpha )}}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n! }}\,_{2}F_{1}\왼쪽(-n,2\알파 +n;\알파 +\알파 +\알파 +{\frac{1}:{1}:{\frac {1-z}{2}}\오른쪽). } ( 아브라모위츠 & 스테건 페이지 561 ).여기(2α)n 상승 요인 이다. 분명히, C n ( α ) ( z ) = ∑ k = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) k Γ ( n − k + α ) Γ ( α ) k ! ( n − 2 k ) ! ( 2 z ) n − 2 k . {\displaystyle C_{n}^{n}^(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }-1)^{{\frac {\Gamma(n-k+\alpha )}{\Alpha(n-2k)! 2}}(2z)^{n-2k}. } C n ( α ) ( x ) = ( 2 α ) n ( α + 1 2 ) n P n ( α − 1 / 2 , α − 1 / 2 ) ( x ) . {\displaystyle C_{n}^{n(\alpha )}^(x)={\frac {(2\alpha )_{n}{{1}{1}{n}}P_{n}^{n}{n}^{\alpha -1/2,\alpha -1/2)}}}(x)} } 여기서 ( θ n {\ displaystyle (\theta )_{n}} θ {\displaystyle \theta } 상승요인 을 나타낸다. 그래서 하나는 또한 Rodrigues 공식 을 가지고 있다. C n ( α ) ( x ) = ( − 1 ) n 2 n n ! Γ ( α + 1 2 ) Γ ( n + 2 α ) Γ ( 2 α ) Γ ( α + n + 1 2 ) ( 1 − x 2 ) − α + 1 / 2 d n d x n [ ( 1 − x 2 ) n + α − 1 / 2 ] . {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}}(x)={\frac {(-1)^{n}}}}{2^{n! }}{\frac {\Gamma(\alpha +{\frac {1}{2}}) \Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]. } 직교성 및 정규화 고정 α 의 경우, 다항식은 가중 기능과 관련하여 [-1, 1]에 직교한다(Abramowitz & Stegun 페이지 774 ).
w ( z ) = ( 1 − z 2 ) α − 1 2 . {\displaystyle ww(z)=\left(1-z^{2}\오른쪽)^{\property -{\frac{1}{2}}. } 재치 있게, n ≠ m 을 위해,
∫ − 1 1 C n ( α ) ( x ) C m ( α ) ( x ) ( 1 − x 2 ) α − 1 2 d x = 0. {\displaystyle \int _{1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{{m}^{(x)(x)(1-x^{2})^{\alpha -{1}{1}:{1}}}\x=0. } 에 의해 정상화된다.
∫ − 1 1 [ C n ( α ) ( x ) ] 2 ( 1 − x 2 ) α − 1 2 d x = π 2 1 − 2 α Γ ( n + 2 α ) n ! ( n + α ) [ Γ ( α ) ] 2 . {\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}. } 적용들 게겐바워 다항식은 전위 이론 과 조화 분석 의 맥락에서 레전드르 다항식의 확장으로 자연스럽게 나타난다. R 에서n 뉴턴 전위 는 α = (n - 2)/2로 유효하며,
1 x − y n − 2 = ∑ k = 0 ∞ x k y k + n − 2 C k ( α ) ( x ⋅ y x y ) . {\displaystyle {\frac {1}{ \mathbf {x} -\mathbf {y} ^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac { \mathbf {x} ^{k}}{ \mathbf {y} ^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{ \mathbf {x} \mathbf {y} }}). } n = 3일 때, 이것은 레전드르 다항식의 중력 전위 확장을 제공한다.볼 속의 포아송 커널의 확장에 대해서도 비슷한 표현을 사용할 수 있다( Stein & Weiss 1971 )
따라서 C k n 2 2 ) y {\displaystyle C_ }^{(n-2)/2)}(\mathbf {x} cdot mathbf y} x 의 함수로만 간주되는 구형 고조파 다 사실 그것들은 정확히 지역 구면 고조파 로서 정상화된 상수까지입니다.
게겐바우어 다항식도 포지티브-확정 함수 이론에 등장한다.
Askey-Gasper 불평등 은 다음과 같다.
∑ j = 0 n C j α ( x ) ( 2 α + j − 1 j ) ≥ 0 ( x ≥ − 1 , α ≥ 1 / 4 ) . {\displaystyle \sum \sum _{j=0}^{\frac {C_{j}^{\alpha }}{2\alpha +j-1 \j-1) 선택 j}\geq 0\qquad(x\geq -1,\alpha \geq 1/4) } 미분방정식을 해결하기 위한 스펙트럼 방법 에서, 체비셰프 다항식 을 기초로 함수가 확장되고 그 파생형이 게겐바우어/초구형 단위로 표현되는 경우, 파생 연산자는 대각 행렬 이 되어 큰 문제에 대해 대역 매트릭스 방식이 빠르게 진행되게 된다.[2]
참고 항목 참조 아브 밀턴, Stegun, Irene은 앤, eds.(1983년)[6월 1964년]."장 22".Formulas, Graphs,과 수학적 표로 핸드 북 수학의 함수입니다.응용 수학 시리즈이다.Vol55(10원래 인쇄의 추가로 수정 작업과 교정을 9재판(1972년 12월) 제1판).워싱턴 DC, 뉴욕:미국 상무부, 표준국의 도버 출판사. 페이지의 주에서 773.아이 에스비엔 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036.MR0167642.LCCN 65-12253.*Koornwinder, 톰은 H.;웡, 로더릭 S.C;Koekoek, Roelof, Swarttouw, 르네 F.(2010년),"직교 Polynomials", Olver, FrankW.J.;Lozier, 다니엘 M.;Boisvert, 로널드 F., 클라크에, 찰스 W.(eds.), NIST핸드 북 수학 함수의 캠브리지 대학 출판소, 아이 에스비엔 978-0-521-19225-5, MR2723248. Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces ISBN 978-0-691-08078-9 Suetin, P.K. (2001) [1994], "Ultraspherical polynomials" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press 특정 ^ Arfken, Weber 및 Harris(2013) "물리학자를 위한 수학적 방법", 7번째 판; ch. 18.4 ^ Olver, Sheehan; Townsend, Alex (January 2013). "A Fast and Well-Conditioned Spectral Method". SIAM Review . 55 (3): 462–489. doi :10.1137/120865458 . eISSN 1095-7200 . ISSN 0036-1445 . 
![{\begin{aligned}C_{0}^{\alpha }(x)&=1\\C_{1}^{\alpha }(x)&=2\alpha x\\C_{n}^{\alpha }(x)&={\frac {1}{n}}[2x(n+\alpha -1)C_{{n-1}}^{\alpha }(x)-(n+2\alpha -2)C_{{n-2}}^{\alpha }(x)].\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f7e040cb401c72d41eab0bda662f115229feed)
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7380d774285ba35cc371daa8be46e38b2442eca1)
![\int _{{-1}}^{1}\left[C_{n}^{{(\alpha )}}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{{\alpha -{\frac {1}{2}}}}\,dx={\frac {\pi 2^{{1-2\alpha }}\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b5696990f291fed55949f3b9e2f1669b9f4c83)
.사실 그것들은 정확히 
