직렬 모듈

추상 대수학에서, 단일 분해 모듈 M은 R 링 위에 있는 모듈이며, 하위 모형은 포함에 의해 완전히 정렬된다.This means simply that for any two submodules N₁ and N₂ of M, either ${\displaystyle N_{1}\subseteq N_{2}}$ or ${\displaystyle N_{2}\subseteq N_{1}}$. A module is called a serial module if it is a direct sum of uniserial modules.링 R은 자신에 대한 우측 모듈로서 단수적이면 우측 단수성 링이라고 하며, 그 자체로 우측 직렬 모듈이면 마찬가지로 우측 직렬 링이라고 한다.왼쪽 및 왼쪽 직렬 링은 유사한 방식으로 정의되며, 일반적으로 오른쪽 링과 구별된다.

동기 부여 예는 n> $(\displaystyle$ $\mathb {Z} /n\mathb$ {Z} $}$ 정수 n > 1 $(\$displaystyle $n>1}$에 대한 지수 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 표시\mathbb{}}$ $스타일 \$mathb {Z} }이다이 반지는 항상 연속적이며, n이 원권력일 때 단결한다.

단항이라는 용어는 위의 정의와 다르게 사용되어 왔다. 자세한 내용은 아래를 참조하십시오.

직렬 고리 이론에 중요한 기여자들의 부분적인 알파벳 리스트에는 수학자 아사노 게이조, I. S. 코헨, P.M. 콘, 유. 드로즈드, D. 에이젠부드 A.파치니, A.W. 골디, 필립 그리피스, I. 카플란스키, V.V 키리첸코, G. 쾨테, H. 쿠피쉬, I. 무라세, T. 나카야마, P. 피히호다, G. 푸닌스키, R.워필드.각 저자에 대한 참조는 (Puninski 2001) harv 오류에서 찾을 수 있다: 대상 없음: CATEREFPuninski2001 (도움말) 및 (Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004).

일반적인 고리 이론적 관례를 따라, 측면(예: 단일, 직렬, Artinian, Noetherian)에 대한 언급 없이 좌우 종속 조건이 주어진다면, 그 조건은 좌우 양쪽에서 모두 유지된다고 가정한다.달리 명시되지 않는 한 이 글의 각 링은 일체성을 가진 링이며, 각 모듈은 단성적이다.

단일 및 직렬 링 및 모듈의 속성

단분해 R-모듈 M에서는 M과 0을 제외한 모든 하위 모형이 동시에 필수적이고 불필요한 것이 즉각적이다.M에 최대 하위 모듈이 있는 경우 M은 로컬 모듈이다.M은 또한 분명히 획일적인 모듈이기 때문에 직접적으로 외설적일 수 있다.미세하게 생성된 M의 모든 서브모듈이 단일 원소로 생성될 수 있다는 것도 쉽게 알 수 있어 M은 베즈아웃 모듈이다.

내형성 고리인_R End(M)는 End_R(M)가 기껏해야 두 개의 최대 오른쪽 이상을 가지고 있다는 점에서 로컬 링에 매우 가까운 반초점 고리인 것으로 알려져 있다.만약 M이 아르티니아어 또는 노메테리아어로 가정된다면, End_R(M)는 국부적인 링이다.

단결된 고리는 항상 최대 오른쪽 이상을 가지기 때문에, 오른쪽 단결된 고리는 반드시 국소적이다.앞에서 언급한 바와 같이, 미세하게 생성된 오른쪽 이상형은 단일 원소에 의해 생성될 수 있으며, 따라서 오른쪽의 단일 링은 오른쪽 베주트 링이다.$우측{\displaystyle }$ 직렬 링 ${\displaystyle R_{}^{}}$은 반드시 R${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle$ R$=\oplus _{i=1}^{n}e_{i}R}$ 형식에서 인자가 있어야 하며, 여기서$$ 각 e는_i 공분포텐트 요소이고_i eR은 국부적이고 단일 모듈이다.이것은 R도 반완벽 링이라는 것을 나타내는데, 반완벽 링이 되는 것보다 더 강한 조건이다.

Köthe는 Artinian의 주요 이상 링의 모듈들(직렬 링의 특별한 경우)이 순환하류의 직접적인 합계라는 것을 보여주었다.나중에, 코헨과 카플란스키는 R이 Artinian의 주요 이상적 고리인 경우에만 R이 모듈에 대해 이 속성을 가지고 있다고 결정했다.나카야마는 아티니아의 직렬 링이 모듈에 이 속성을 가지고 있으며, 그 반전은 사실이 아님을 보여 주었다.

아마도 직렬 링의 모듈에서 가장 일반적인 결과는 Drozd와 Warfield에 기인한다: 직렬 링 위에 미세하게 표시되는 모든 모듈은 순환 단분하하(따라서 직렬이다)의 직접적인 합이라고 기술한다.추가로 링을 노메트리안으로 가정할 경우, 미세하게 표시된 모듈과 미세하게 생성된 모듈이 일치하므로 미세하게 생성된 모든 모듈은 직렬이다.

올바른 직렬은 링과 모듈의 직접 생산물에서 보존되며, 링의 인용구에서도 보존된다.단일성이라는 것은 링과 모듈의 인용구에 대해서는 보존되지만 제품에는 결코 보존되지 않는다.직렬 모듈의 직접 합계는 Puninski에 의해 증명되었듯이 반드시 직렬은 아니지만, 유한한 단일 모듈의 직접 합계는 직렬 모듈이다(P modulesihoda 2004).

제이콥슨의 추측이 노메테리아 연쇄반지에 들어 있다는 것이 확인되었다.(Chatters & Hajarnavis 1980)

예

어떤 간단한 모듈도 사소한 것으로 비합리적인 것이며, 마찬가지로 세미 구현 모듈도 직렬 모듈이다.

직렬 링의 많은 예는 위의 구조 섹션에서 얻을 수 있다.모든 가치평가 링은 단일주의 링이며, 모든 아르티니안 주요 이상 링은 세미이행 링에서 알 수 있듯이 직렬 링이다.

보다 이국적인 예로는 분할 링 T_n(D) 위에 있는 상위 삼각형 행렬과 그룹 링 $F{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {F}[G]$가 있다.

구조

이 섹션은 주로 노메테리아 시리얼 링과 그 하위 클래스인 아르티니아 시리얼 링에 대해 다룰 것이다.일반적으로 링은 먼저 외설적인 링으로 분해된다.일단 이 고리의 구조가 알려지면 분해할 수 있는 고리는 외설적인 고리의 직접적인 산물이다.또한 직렬링과 같은 반완벽 링의 경우 기본 링은 원래 링과 동등한 모리타(Morita)이다.따라서 R이 기본 링 B를 가진 직렬 링이고 B의 구조가 알려진 경우, 모리타 동등성 이론은 $R{\displaystyle }$e ${\displaystyle {\mathrm{En}}_{}}$ d ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}P}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle R\cong \mathrm {End} _{B}(P)$를 부여하며 여기서$$ P는 어느 정도 미세하게 생성된 프로제너레이터 B이다.그래서 결과가 외설적이고 기본적인 반지의 관점에서 표현되는 것이다.

1975년 키리첸코와 워필드는 독립적으로, 아르티니아인이 아닌 노메테리아인의 연쇄 고리의 구조에 대한 분석을 동시에 발표했다.결과는 같았지만 그들이 사용한 방법은 서로 매우 달랐다.유전적인 노메테리아, 프라임 링, 그리고 직렬 링에 정의된 떨림에 대한 연구는 중요한 도구였다.핵심 결과는 오른쪽 노메테리아, 비 아르티니아인, 기본적이고 외설적인 연쇄 고리는 노메테리아인, 단일 영역인 V 위에 있는 매트릭스 링의 한 종류로 묘사될 수 있으며, 제이콥슨 급진 J(V)가 0이 아니다.이 매트릭스 링은 일부 n에 대한 M_n(V)의 서브링으로, 대각선 위와 위, 아래 J(V)의 항목이 있는 매트릭스로 구성된다.

아티니아식 직렬 링 구조는 떨림 구조에 따라 케이스로 분류된다.기본적이고 외설적인 아르티니안 시리얼 링을 위한 떨림 구조가 항상 원이나 선인 것으로 밝혀졌다.라인 떨림의 경우, 링은 분할 링 위로 위쪽 삼각형 행렬에 이형화된다(앞 단락의 노메테리아 시리얼 링 구조와 유사성에 주목한다).원 떨림의 경우 구조에 대한 완전한 설명은 이 글의 범위를 벗어나지만 (푸닌스키 2001) 하브 오류: 대상이 없음: CITREFPuninski2001 (도움말)에서 찾을 수 있다.거기에 나타난 결과를 비유하자면: 떨림이 원인 기초 아르티니아계 직렬 링은 기본적이고 외설적인 준 프로베니우스 반지의 "폭발"의 동형상이다.

분해 고유성 특성

Two modules U and V are said to have the same monogeny class, denoted ${\displaystyle [U]_{m}=[V]_{m}}$, if there exists a monomorphism ${\displaystyle U\rightarrow V}$ and a monomorphism ${\displaystyle V\rightarrow U}$. The dual notion can be defined: the modules are said to have the same epigeny class, $［{\displaystyle U}$ ${\displaystyle {}_{}{e}_{}{}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle V{}_{}}$] e$${\$displaystyle [$U$]_$$$${e}=[V]_{e$ epimorphism $U{\displaystyle }$→ V$$→ $displaysty U\rightarrow V$${\displaystyle \}}$ 및 $epimorphismism{\displaystyle }$ → U {\$displaystystystystystytime$V\ique V\iplaystytage V\ique V\ique V\$ique$ V\ique V\$ique$ V\rigan U$\}.$

크룰-슈미트 정리의 다음과 같은 약한 형태는 유지된다.링₁ R 위에 U, ..., U_n, V, V를_1t n + t 비 영점 단열 우측 모듈로 놓으십시오.Then the direct sums ${\displaystyle U_{1}\oplus \dots \oplus U_{n}}$ and ${\displaystyle V_{1}\oplus \dots \oplus V_{t}}$ are isomorphic R-modules if and only if n = t and there exist two permutations ${\displaystyle \sigma }$ and ${\displaystyle \tau }$ of 1, 2, ..., n suchthat ${\displaystyle [U_{i}]_{m}=[V_{\sigma (i)}]_{m}}$ and ${\displaystyle [U_{i}]_{e}=[V_{\tau (i)}]_{e}}$ for every i = 1, 2, ..., n.

이 결과는, 파치니 때문에, 2006년에 피히호다에 의해, 무한한 수의 단일 모듈로 확장되었다.이 확장에는 소위 quasismall 단분립 모듈이 포함된다.이 모듈들은 응우옌 비엣둥과 파치니가 정의했으며, 그 존재는 푸닌스키에 의해 증명되었다.Krull-Schmidt Organization의 약한 형태는 단일 모듈뿐만 아니라 몇 가지 다른 등급의 모듈들에도 적용된다(생물학적 모듈, 직렬 링 위에 주기적으로 표시되는 모듈, 외설적 주입 모듈들 사이의 형태 낟알, 협의적으로 표시되는 모듈).

유사한 대체 용어 및 관련 용어에 대한 참고 사항

우측 단위 링은 우측 체인 링(Faith 1999) 또는 우측 평가 링이라고도 할 수 있다.이 후기는 정의상 상호작용이 가능하고 단일조직적인 영역인 가치평가 링을 암시한다.같은 토큰으로, 단일 모듈들은 체인 모듈이라고 불리고, 직렬 모듈들은 세미차인 모듈이라고 불렸다.백금반지의 개념은 이름 그대로 "사슬"을 가지고 있지만, 일반적으로 사슬반지와는 관련이 없다.

1930년대에 고트프리드 쾨테와 아사노 게이조는 모든 모듈이 직접 순환하모듈의 합이 되는 고리 조사(Köthe 1935)에서 아인레이히그(문학적으로 "한 시리즈")라는 용어를 도입하였다.이 때문에 1970년대까지만 해도 단결은 '아티니안 주요 이상반지'라는 뜻으로 쓰였다.쾨테의 논문은 또한 독특한 구성 시리즈를 갖추기 위해 일률적인 고리가 필요했는데, 이는 좌우 이상을 일직선으로 배열하도록 강요할 뿐만 아니라, 좌우가상의 사슬에는 미세하게 많은 이상만이 있을 것을 요구한다.이러한 역사적 전례 때문에, 일부 저자들은 단일 모듈 및 링의 정의에 Artinian 조건 또는 유한 구성 길이 조건을 포함시킨다.

쾨테의 작품을 확장하면서 나카야마 다다시는 일반화된 단시제 고리(나카야마 1941)라는 용어를 아르티니아어 연재반지를 지칭하기 위해 사용했다.나카야마는 그러한 링 위에 있는 모든 모듈이 직렬이라는 것을 보여주었다.아티니아의 직렬 링은 나카야마 알헤브라스라고도 하며, 모듈 이론이 잘 발달되어 있다.

Warfield used the term homogeneously serial module for a serial module with the additional property that for any two finitely generated submodules A and B, ${\displaystyle A/J(A)\cong B/J(B)}$ where J(−) denotes the Jacobson radical of the module (Warfield 1975).구성 길이가 유한한 모듈에서 이는 구성 인자가 이형화되도록 강제하는 효과를 가지며, 따라서 "동종" 형용사가 된다.로컬 직렬 링 위에 있는 완전한 n × n 매트릭스 링에 대해 R이 이형인 경우에만 직렬 링 R이 균일하게 직렬 오른쪽 이상에 대한 유한 직접 합인 것으로 밝혀졌다.그러한 고리는 분해할 수 있는 일차적인 직렬 고리(Faith 1976년)로도 알려져 있다(Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004).

교과서

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기본 소스

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