특수우측삼각형

삼각형 유형의 오일러 다이어그램에서 이등변 삼각형이 최소한 두 개의 동일한 면을 갖는다는 정의를 사용하는 일부 특수 삼각형의 위치. 즉, 등변 삼각형은 이등변형이다.

특수 직각 삼각형은 삼각형에 대한 계산을 더 쉽게 하거나 간단한 공식이 존재하는 일정한 형상을 가진 직각 삼각형이다.예를 들어, 직각 삼각형은 45°–45°–90°와 같이 단순한 관계를 형성하는 각도를 가질 수 있다.이것을 "각도 기반" 직각 삼각형이라고 한다."측면 기반" 직각 삼각형은 옆면의 길이가 3 : 4 : 5와 같은 정수 또는 황금 비율과 같은 다른 특수 숫자의 비율을 형성하는 삼각형이다.이 특별한 오른쪽 삼각형의 각도와 변의 비율의 관계를 알면, 더 진보된 방법에 의존하지 않고 기하학적 문제에서 다양한 길이를 빠르게 계산할 수 있다.

각도 기반

단위 원 안에 새겨진 특별한 각도 기반 삼각형은 30도와 45도의 배수의 삼각함수를 시각화하고 기억하는데 편리하다.

"각도 기반" 특수 우측 삼각형은 삼각형이 구성되는 각도의 관계에 의해 지정된다.이 삼각형의 각도는 90도 또는 90도인 큰(오른쪽) 각도와 같다. $π$ /2radians는 다른 두 각도의 합과 같다.

측면 길이는 일반적으로 단위 원 또는 기타 기하학적 방법에 기초하여 추론한다.이 접근방식은 30°, 45° 및 60° 각도에 대한 삼각함수의 값을 신속하게 재현하는 데 사용할 수 있다.

특수 삼각형은 다음과 같이 공통 삼각함수를 계산하는 데 도움이 되는 데 사용된다.

도	라디안스	깡통들	돌다	죄를 짓다	cas	햇볕에 그을리다	코탄
0°	0	0^g	0	√0/2 = 0	√4/2 = 1	0	정의되지 않은
30°	$π$ /6	33+1/3^g	1/12	√1/2 = 1/2	√3/2	1/√3	√3
45°	$π$ /4	50^g	1/8	√2/2 = 1/√2	√2/2 = 1/√2	1	1
60°	$π$ /3	66+2/3^g	1/6	√3/2	√1/2 = 1/2	√3	1/√3
90°	$π$ /2	100^g	1/4	√4/2 = 1	√0/2 = 0	정의되지 않은	0

45°–45°–90°

30°–60°–90°

45°–45°–90° 삼각형, 30°–60°–90° 및 등각형/등각형(60°–60°–60°)삼각형은 평면에 있는 뫼비우스 삼각형 세 개인데, 이는 그들이 옆면의 반사를 통해 평면을 테셀링한다는 것을 의미한다. 삼각형 그룹을 참조하라.

45°–45°–90° 삼각형

정사각형 설정

45°–45°–90° 삼각형의 측면 길이

평면 기하학에서 정사각형의 대각선을 구성하면 세 각도가 1 : 1 : 2인 삼각형이 되며, 최대 180° $또는$ rad 라디안을 더한다.따라서 각도는 각각 45°( (/4), 45°( $π$ /4), 90°( $π$ /2)로 측정한다.이 삼각형의 면은 비율 1 : 1 : 1 √2로 피타고라스 정리에서 바로 따라온다.

모든 직각 삼각형 중에서 45°–45°–90° 삼각형은 다리의 합에 대한 하이포텐유 비율이 가장 작고, 즉 hyp2/2.,^[1]^{: p.282, p.358} 하이포텐유에서 다리의 합에 대한 고도 비율이 가장 높다.^[1]^{: p.282}

이 각도를 가진 삼각형은 유클리드 기하학에서 이소셀 삼각형인 유일한 직각 삼각형이다.그러나 구면 기하학과 쌍곡 기하학에서는, 오른쪽 이등변 삼각형의 모양은 무한히 다양하다.

30°–60°–90° 삼각형

정사각형 설정

30°-60°-90° 삼각형의 측면 길이

이것은 세 각도가 1 : 2 : 3이고 각각 30°( (/6), 60°( $π$ /3) 및 90°( $π$ /2)인 삼각형이다.옆면은 1 : √3 : 2의 비율이다.

이 사실의 증거는 삼각법을 사용하여 명백하다.기하학적 증거는 다음과 같다.

측면 길이 2와 점 D를 세그먼트 BC의 중간점으로 하여 정삼각형 ABC를 그린다.A에서 D까지 고도선을 그린다.그러면 ABD는 길이 2의 저선용과 길이 1의 베이스 BD를 갖는 30°–60°–90° 삼각형이다.

남은 다리 AD의 길이가 33이라는 사실은 피타고라스의 정리로부터 바로 뒤따른다.

30°–60°–90° 삼각형은 각도가 산술적 연속인 유일한 직각 삼각형이다.이 사실의 증명은 간단하며, 만일 α, α + Δ, α + 2Δ가 진행의 각도라면, 3α + 3Δ = 180° 각도의 합이 된다는 사실에 따른다.3으로 나눈 후 α + Δ 각도는 60°여야 한다.직각은 90°로, 나머지 각도는 30°로 한다.

사이드 기반

옆면이 정수 길이의 삼각형이며, 옆면이 전체적으로 피타고라스 세쌍이라고 알려진 오른쪽 삼각형은 모두 합리적인 도수가 될 수 없는 각도를 가지고 있다.^[2](이것은 니벤의 정리에서 따온 것이다.그것들은 쉽게 기억될 수 있고 어떤 면의 여러 개가 같은 관계를 만들어 낸다는 점에서 가장 유용하다.피타고라스 삼쌍둥이를 생성하기 위해 유클리드 공식을 사용하면, 옆면이 비율에 있어야 한다.

m² − n² : 2mn : m² + n²

여기서 m과 n은 m > n과 같은 양의 정수다.

피타고라스의 세배

잘 알려진 몇 개의 피타고라스 세쌍둥이가 있는데, 그 비율에 옆면이 있는 세쌍둥이를 포함한다.

3:	4	:5
5:	12	:13
8:	15	:17
7:	24	:25
9:	40	:41

3 : 4 : 5 삼각형은 산술적 수열에서 가장자리가 있는 유일한 오른쪽 삼각형이다.피타고라스 삼쌍을 바탕으로 한 삼각형은 에로니아어로, 정수면뿐만 아니라 정수면도 가지고 있다는 뜻이다.

고대 이집트에서 3 : 4 : 5 삼각형을 사용할 수 있는 가능성, 그러한 삼각형을 배치하기 위해 매듭을 지은 밧줄을 사용할 것으로 추정되는 것, 그리고 피타고라스의 정리가 그 당시에 알려져 있었는가에 대한 의문이 많이 제기되어 왔다.^[3]1882년 역사학자 모리츠 칸토르에 의해 처음 추측되었다.^[3]그것은 정확한 각도를 정확하게 고대 이집트에서. 그것이 그들의 조사관들 측정을 위해 밧줄을 이용해 눕혀 졌다;[3]인 플루타 취는 이시스와 오시리스에(100AD주변)목소리 이집트 사람들이;[3]과는 베를린 파피루스는 6619가 중동에서 이집트의(1700BC전에)의는 이날 지역 지적 3:4:5삼각형에 감탄했다 알려져 있다. 한 squ100은 두 개의 작은 정사각형과 같다.한 쪽은 ½ + 다른 쪽은 ½."^[4]수학의 역사가 로저 L.쿡은 "피타고라스의 정리도 모른 채 그런 조건에 관심을 갖는 사람은 상상하기 어렵다"^[3]고 관측한다.이에 대해 쿡은 기원전 300년 이전에는 실제로 삼각형의 변의 길이를 찾기 위한 정리의 사용을 언급하는 이집트 문자는 없으며, 직각을 구성하는 더 간단한 방법이 있다고 지적한다.쿡은 칸토르의 추측이 여전히 불확실하다고 결론짓는다. 그는 고대 이집트인들이 아마도 피타고라스의 정리를 알고 있었을 것이라고 추측한다. 그러나 "직각 구성을 위해 그것을 사용했다는 증거는 없다"^[3]고 추측한다.

다음은 모든 피타고라스 삼중비(위 목록에서 가장 작은 형태 5개의 가장 작은 형태 초과)로 표현된 비-하이포텐 사용 옆면이 256개 미만인 피타고라스 3중비다.

11:	60	:61
12:	35	:37
13:	84	:85
15:	112	:113
16:	63	:65
17:	144	:145
19:	180	:181
20:	21	:29
20:	99	:101
21:	220	:221

24:	143	:145
28:	45	:53
28:	195	:197
32:	255	:257
33:	56	:65
36:	77	:85
39:	80	:89
44:	117	:125
48:	55	:73
51:	140	:149

52:	165	:173
57:	176	:185
60:	91	:109
60:	221	:229
65:	72	:97
84:	187	:205
85:	132	:157
88:	105	:137
95:	168	:193
96:	247	:265

104:	153	:185
105:	208	:233
115:	252	:277
119:	120	:169
120:	209	:241
133:	156	:205
140:	171	:221
160:	231	:281
161:	240	:289
204:	253	:325
207:	224	:305

피타고라스 삼배

이소셀 직각 삼각형은 정수 값의 측면을 가질 수 없는데, 이는 다른 어느 한 쪽에 대한 하이포텐유의 비율이 √2이고 √2는 두 정수의 비율로 표현할 수 없기 때문이다.그러나, 무한히 많은 거의 등가 직각 삼각형이 존재한다.이러한 삼각형들은 정수 면이 있는 직각 삼각형이며, 비 하이포텐 사용 가장자리의 길이가 각각 다르다.^[5]^[6]거의 직각 삼각형은 반복적으로 얻을 수 있다.

a₀ = 1, b₀ = 2

a_n = 2b_n−1 + a_n−1

b_n = 2a_n + b_n−1

a는_n hypotenuse의 길이, n = 1, 2, 3, ....동등하게,

{\displaystyle({\tfrac {x-1}{2}})^{2}+({\tfrac {x+1}{2}})^{2}=y^{2}}:

여기서 {x, y}은(는) Pell 방정식² x² - 2y = -1에 대한 솔루션이며, 하이포텐use y는 Pell 번호 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378...(OEIS에서 시퀀스 A000129).피타고라스의 가장 작은 세 쌍은 다음과 같다.^[7]

3 :	4	: 5
20 :	21	: 29
119 :	120	: 169
696 :	697	: 985
4,059 :	4,060	: 5,741
23,660 :	23,661	: 33,461
137,903 :	137,904	: 195,025
803,760 :	803,761	: 1,136,689
4,684,659 :	4,684,660	: 6,625,109

또는 동일한 삼각형을 정사각형 삼각형 숫자에서 도출할 수 있다.^[8]

산술 및 기하학적 진행

케플러 삼각형은 세 개의 정사각형으로 이루어진 직각 삼각형으로, 황금 비율에 따라 기하학적 진행으로 영역을 형성한다.

케플러 삼각형은 옆면이 기하학적 진행 상태에 있는 직각 삼각형이다.만약 옆면이 기하학적 진행 a, ar, ar로² 형성된다면, 그 공통 비율 r은 r = √φ로 주어진다. 여기서 φ은 황금 비율이다.따라서 그것의 측면은 1 : √φ : φ의 비율이다.따라서 케플러 삼각형의 모양은 옆면이 기하학적 진행 상태에 있어야 한다는 요건에 의해 (척도계수까지) 고유하게 결정된다.

3-4-5 삼각형은 옆면이 산술적 수열인 독특한 오른쪽 삼각형이다.^[9]

일반 폴리곤의 면

오각형, 육각형, 십각형의 면은 서로 맞물린 원형으로 직각삼각형을 이룬다.

a = 2 $sin$ =/10 = -1 + √5/2 = 1/3을 단위 원 안에 새긴 일반 십각형의 옆 길이가 되도록 한다. 여기서 golden은 황금 비율이다.let b = 2 sin $π$ /6 = 1은 단위 원 내 일반 육각형의 옆쪽 길이, let c = 2 $sin$ 5/ ${\sqrt {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$ = ${\sqrt {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$ - ${\sqrt {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$ 2 ${\$ sqrt ${\tfrac{5-{\sqrt{5}}}}{2}}: 단위$ 원 내 일반 오각형의 옆 길이여야 ${\sqrt {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$ 한다.그리고 나서² a + b² = c², 그래서 이 세 길이들은 직각 삼각형의 측면을 형성한다.^[10]같은 삼각형이 금색 사각형의 절반을 이루고 있다.또한 옆면 길이 c의 정규 이코사헤드론 내에서 발견될 수 있다: 정점 V에서 옆면 5개까지의 최단선 세그먼트의 길이는 a이고, 이 선 세그먼트의 끝점은 옆면 a, b, c와 함께 직각 삼각형의 정점을 형성한다.^[11]

참고 항목

참조

^ ^a ^b Posamentier, Alfred S, 그리고 Liman, Ingmar.삼각형의 비밀.프로메테우스 북스, 2012.
^ Weisstein, Eric W. "Rational Triangle". MathWorld.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Cooke, Roger L. (2011). The History of Mathematics: A Brief Course (2nd ed.). John Wiley & Sons. pp. 237–238. ISBN 978-1-118-03024-0.
^ Gillings, Richard J. (1982). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover. p. 161.
^ Forget, T. W.; Larkin, T. A. (1968), "Pythagorean triads of the form x, x + 1, z described by recurrence sequences" (PDF), Fibonacci Quarterly, 6 (3): 94–104.
^ Chen, C. C.; Peng, T. A. (1995), "Almost-isosceles right-angled triangles" (PDF), The Australasian Journal of Combinatorics, 11: 263–267, MR 1327342.
^ (OEIS에서 시퀀스 A001652)
^ Nyblom, M. A. (1998), "A note on the set of almost-isosceles right-angled triangles" (PDF), The Fibonacci Quarterly, 36 (4): 319–322, MR 1640364.
^ Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (1997), "Arithmetic triangles", Mathematics Magazine, 70 (2): 105–115, doi:10.2307/2691431, MR 1448883.
^ 유클리드 원소, 제13권, 발의안 제10호
^ nLab: 오각형 데카곤 육각형 아이덴티티.

외부 링크

3 : 4 : 5 삼각형
30-60-90 삼각형
45–45–90 삼각형 – 대화형 애니메이션 포함

[PL-1] Posamentier, Alfred S, 그리고 Liman, Ingmar.삼각형의 비밀.프로메테우스 북스, 2012.

[2] Weisstein, Eric W. "Rational Triangle". MathWorld.

[Cooke2011-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Cooke, Roger L. (2011). The History of Mathematics: A Brief Course (2nd ed.). John Wiley & Sons. pp. 237–238. ISBN 978-1-118-03024-0.

[4] Gillings, Richard J. (1982). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover. p. 161.

[5] Forget, T. W.; Larkin, T. A. (1968), "Pythagorean triads of the form x, x + 1, z described by recurrence sequences" (PDF), Fibonacci Quarterly, 6 (3): 94–104.

[6] Chen, C. C.; Peng, T. A. (1995), "Almost-isosceles right-angled triangles" (PDF), The Australasian Journal of Combinatorics, 11: 263–267, MR 1327342.

[7] (OEIS에서 시퀀스 A001652)

[8] Nyblom, M. A. (1998), "A note on the set of almost-isosceles right-angled triangles" (PDF), The Fibonacci Quarterly, 36 (4): 319–322, MR 1640364.

[9] Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (1997), "Arithmetic triangles", Mathematics Magazine, 70 (2): 105–115, doi:10.2307/2691431, MR 1448883.

[10] 유클리드 원소, 제13권, 발의안 제10호

[11] Lab: 오각형 데카곤 육각형 아이덴티티.

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