추상폴리토프

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수학에서 추상 폴리토프는 각이나 가장자리 길이와 같은 순수한 기하학적 특성을 지정하지 않고 전통적인 폴리토프의 결합 특성을 포착하는 대수학적으로 부분적으로 순서가 정해진 집합체 또는 양세트다.폴리토프는 폴리곤과 폴리헤드라를 어떤 숫자의 차원으로 일반화한 것이다.

일반적인 기하학적 폴리토프는 해당 추상적 폴리토프의 어떤 실제 N차원 공간, 전형적으로 유클리드 공간에서의 실현이라고 한다.추상적 정의는 폴리토프의 전통적인 정의보다 더 일반적인 결합 구조를 허용하기 때문에 전통 이론에 상대가 없는 많은 새로운 사물들을 허용한다.

입문개념

기존 폴리토피와 추상 폴리토피

유클리드 기하학에서는 도해된 6개의 사분면 측정법이 모두 다르다.그러나 그들은 4개의 꼭지점과 4개의 면이 교차하는 체인에 공통적인 구조를 가지고 있는데, 이것은 그들에게 그들의 이름을 준다.그들은 이형성 또는 "구조물 보존"이라고 한다.

이 공통 구조는 다양한 구조 요소들 사이의 연결이나 발생 패턴을 포착하는 순수 대수학적 부분 순서의 집합인 기초 추상적 폴리토프로 나타낼 수 있다.각, 가장자리 길이, 왜도, 직선성, 볼록성 등 전통적인 폴리토프의 측정 가능한 성질은 추상적인 폴리토프에 아무런 의미가 없다.

전통적인 폴리에스테르(고전적 또는 기하학적 폴리에스테르라고도 함)에 맞는 것은 추상적인 것에 해당하지 않을 수도 있고, 그 반대의 경우도 마찬가지일 수 있다.예를 들어, 전통적인 폴리토프는 그것의 모든 면과 정점 수치가 규칙적이면 규칙적이지만, 이것이 추상적인 폴리토프의 경우 반드시 그렇지는 않다.^[1]

실현

전통적인 기하학적 폴리토프는 관련 추상적 폴리토프의 실현이라고 한다.현실화는 추상적인 물체를 실제 공간, 즉 전형적으로 유클리드어로 매핑하거나 주입하여 실제 기하학적 형상으로서 전통적인 폴리토프를 구성하는 것이다.

표시된 6개의 4각측정은 모두 추상적인 4각형의 뚜렷한 실재로서 각각 다른 기하학적 특성을 가지고 있다.그들 중 일부는 전통적인 4각형의 정의에 부합하지 않으며 불성실현이라고 한다.종래의 폴리토프는 충실한 실현이다.

얼굴, 순위 및 순서

추상적인 폴리토프에서, 각 구조 요소 - 꼭지점, 가장자리, 셀 등은 집합의 해당 부재나 요소와 연관된다.면이라는 용어는 종종 정점(0-면), 가장자리(1-면) 또는 일반 k-면 등 다면 2-면뿐만 아니라 그러한 요소를 가리킨다.

얼굴은 연관된 실제 차원에 따라 순위가 매겨진다. 정점수는 순위 = 0, 가장자리 순위 = 1 등.

예를 들어 가장자리 G의 꼭지점 F와 같은 다른 등급의 입사면은 관계 F < G. F가 G의 하위 면이라고 한다. 또는 G가 하위 면 F를 가지고 있다.

F, G는 F = G 또는 F < G 또는 G < F 중 하나라면 사고라고 한다.이러한 "침입"의 사용은 전통적인 기하학 및 수학의 다른 영역과 다르지만 유한 기하학에서도 발생한다.예를 들어 정사각형 abcd에서 가장자리 ab과 bc는 추상적으로 인시던트가 아니다(둘 다 정점 b와 인시던트임).^{[citation needed]}

그런 다음 폴리토프는 주문 관계 <를 가진 면 P의 집합으로 정의되며, 특정한 추가 공리를 만족한다.형식적으로 P(<과 함께)는 부분적으로 주문된 (강력한) 세트 또는 포셋이 될 것이다.

가장 작고 위대한 얼굴

수학에서 숫자 0이 필요한 것처럼 모든 세트에도 빈 집합 ∅이 하위 집합으로 있다.추상적인 폴리토프에서 ∅은 관습에 의해 최소 또는 무효 면으로 식별되며 다른 모든 면의 하위 면이다.^[why?]가장 작은 면은 정점이나 0-faces보다 한 단계 낮기 때문에 등급은 -1이며 F로₋₁ 표기할 수 있다.따라서 F₋₁ ≡ ∅과 추상적인 폴리토프도 빈 세트를 요소로 포함하고 있다.^[2]보통은 실현되지 않는다.

다른 모든 사람들이 하위권인 단 하나의 얼굴도 있다.이것을 가장 위대한 얼굴이라고 한다.n차원 폴리토프에서 가장 큰 얼굴은 순위 = n을 가지며 F로_n 나타낼 수 있다.기하학적 형상의 내부로 실현되기도 한다.

이러한 가장 작고 위대한 얼굴들은 때때로 부적절한 얼굴이라고 불리며, 다른 모든 얼굴들은 적절한 얼굴이다.^[3]

간단한 예

추상적인 사각형 또는 사각형의 얼굴은 아래 표에 나타나 있다.

얼굴형	순위(k)	카운트	k-16
최소	−1	1	F−1
꼭지점	0	4	a, b, c, d
가장자리	1	4	W, X, Y, Z
최대의	2	1	G

관계 <는 한 쌍의 집합으로 구성되는데, 여기에는 다음이 포함된다.

F₋₁<a, ... , F₋₁<X, ... , F₋₁<G, ... , b<Y, ... , c<G, ... , Z>.

주문 관계는 전이적이다.F < G>와 G < H>는 F < H. 따라서 얼굴의 위계를 명시하기 위해서는 F < H. 즉, F < H.와 no G.가 F < G> H를 만족시키는 쌍만 F < H.의 모든 경우에 줄 필요는 없다.

가장자리 W, X, Y, Z는 각각 ab, ad, bc, cd로 표기되기도 하지만, 그러한 표기법이 항상 적절한 것은 아니다.

네 개의 가장자리는 모두 구조적으로 유사하며 꼭지점에서도 마찬가지다.따라서 이 그림은 정사각형의 대칭을 가지며 보통 정사각형이라고 한다.

하세 도표

더 작은 포지션, 특히 폴리토프는 표시된 것처럼 Hasse 다이어그램에서 가장 잘 시각화된다.관례에 따라 같은 계급의 얼굴들은 같은 수직 레벨에 놓인다.얼굴 사이의 각 "선"은 도표에서 F < G 아래 F >와 같은 순서 관계를 나타낸다.

Hasse 다이어그램은 고유한 poset을 정의하고 따라서 폴리토프의 구조를 완전히 포착한다.이소모르픽 폴리토페스는 이소모르픽 하세 도표를 생성하며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.폴리토페스의 그래프 표현에 대해서는 일반적으로 동일하지 않다.

순위

면 F의 등급은 (m - 2)로 정의되며, 여기서 m은 어떤 체인(F', F"), ..., F)를 만족시키는 면의 최대 수(F', F" , F)는 항상 가장 작은 면, F"로₋₁ 정의된다.

추상 폴리토프 P의 등급은 어떤 면의 최대 등급 n이다.그것은 항상 가장 위대한 얼굴_n F의 순위다.

얼굴이나 폴리토프의 등급은 보통 전통 이론에서 상대편의 치수에 해당한다.

어떤 계급의 경우, 그들의 얼굴형은 다음 표에 이름이 붙는다.

순위	-1	0	1	2	3	...	n - 2	n - 1	n
면 유형	최소	꼭지점	가장자리	†	셀		하부 시설 또는 능선[4]	면[4]	최대의

† 전통적으로 '얼굴'은 2위 얼굴 또는 2위 얼굴을 의미한다.추상 이론에서 "얼굴"이라는 용어는 어떤 계급의 얼굴도 의미한다.

깃발

국기는 최대 면 체인이다. 즉, (전체적으로) 주문된 면의 ψ 세트로, 각각 다음 면의 하위 면(있는 경우)이며, ψ은 더 큰 체인의 하위 집합이 아니다.어떤 두 개의 뚜렷한 면 F, G, 깃발, F < G 또는 F > G 중 하나를 주어라.

예를 들어 {ø, a, ab, abc}은 삼각형 abc에 있는 국기다.

주어진 폴리토프의 경우, 모든 플래그는 동일한 수의 면을 포함한다.일반적으로 다른 포지션은 이 요건을 충족하지 못한다.

섹션

포셋 P의 모든 부분 집합 P'는 포셋이다(동일한 관계 <, P로 제한됨).

추상적인 폴리토프에서는 F h H로 P의 두 면 F, H를 주어, 세트 {G F g G } H}을 P의 한 섹션으로 부르고 H/F를 표시한다(순서가론에서는 포셋의 닫힌 구간이라고 하며 [F, H]라고 표기한다.

예를 들어, 프리즘 abcxyz(도표 참조)에서 xyz/ø(강조 녹색) 섹션은 삼각형이다.

{ø, x, y, z, xy, xz, yz, xyz}.

k-섹션은 k 등급의 섹션이다.

따라서 P는 그 자체의 한 부분이다.

이 단면의 개념은 전통적인 기하학에서와 같은 의미를 가지지 않는다.

면

주어진 j-face F의 면은 (j-1)-섹션 F/mit이며, 여기서 F는_j 가장 위대한 얼굴이다.

예를 들어, 삼각형 abc에서 ab의 면은 선분할인 ab/b = { {, a, b, ab}이다.

F와 F/11의 구별은 보통 유의하지 않으며 두 가지는 동일한 것으로 취급되는 경우가 많다.

꼭지점 수치

주어진 정점 V의 정점 수치는 (n-1)-섹션 F_n/V이며, 여기서 F는_n 가장 큰 얼굴이다.

예를 들어, 삼각형 abc에서 b의 정점 수치는 abc/b = {b, ab, bc, abc}이며 선분할이다.큐브의 꼭지점은 삼각형이다.

연결성

P의 등급이 1인 경우, 또는 F와 G인 경우 P가 연결된다.

H₁, H₂, ... ,H_k

F = H₁, G = H_k, 그리고 각 H_i, i < k가 그 후계자와 우연히 만나는 경우.

위의 조건은 한 쌍의 불연속 삼각형 abc와 xyz가 (단일) 폴리토프가 아니라는 것을 보장한다.

P의 모든 부분(P자체 포함)이 연결되어 있는 경우, P자체는 강하게 연결되어 있다.

이 추가 요건으로 꼭지점만 공유하는 두 개의 피라미드도 제외된다.하지만, 예를 들어, 두 개의 사각형 피라미드는 사각형 면에 "눈"이 붙을 수 있다. 즉, 팔면체를 준다."공통적인 얼굴"은 그때 팔면체의 얼굴이 아니다.

형식 정의

추상적인 폴리토프는 부분적으로 순서가 정해진 세트인데, 그 요소들을 우리가 면이라고 부르며, 4개의 공리를 만족시킨다.^{[citation needed]}

1. 그것은 단지 하나의 가장 작은 얼굴과 하나의 가장 위대한 얼굴을 가지고 있다.
2. 모든 깃발은 동일한 수의 면을 포함한다.
3. 그것은 강하게 연결되어 있다.
4. 두 면 a > b의 순위가 2씩 차이가 나는 경우, a와 b 사이에 정확히 2개의 면들이 놓여 있다.

n폴리토프는 n등급의 폴리토프다.

메모들

null polytope의 경우, 가장 작은 면과 가장 큰 면은 동일한 단일 요소다.

Axiom 2는 포셋이 등급이 매겨진 포셋이라고 말하는 것과 같다.

다른 공리를 고려할 때, Axiom 3은 강한 국기 연결성에 해당하며, 비공식적으로 다음을 의미한다.

폴리토프의 어떤 부분(폴리토프 자체를 포함)에 대해서도, 어떤 깃발도 한 번에 한 면만 변경하면 다른 면으로 바꿀 수 있다.

Axiom 4는 a, b의 Hasse Diamond 도표와 그 사이의 얼굴이 다이아몬드 모양이기 때문에 "다이아몬드 특성"으로 알려져 있다.

모든 구간이 폴리토프라는 것을 공리에서 알 수 있으며, Lank(G/F) = Lank(G) - Lank(F) - 1이다.

실제 볼록 폴립토페와 연관된 추상 폴립토페를 얼굴 격자라고도 한다.^[5]

가장 단순한 폴리토페스

순위 < 1

각 순위 -1과 0에 대해 단 하나의 포지션이 있다.이것들은 각각 무효표면과 포인트다.이것들은 항상 유효한 추상적인 폴리토페스로 여겨지는 것은 아니다.

순위 1: 선 세그먼트

순위 1의 폴리토프는 라인 세그먼트인 단 한 개뿐이다.그것은 최소한의 얼굴, 단지 두 개의 0-페이스를 가지고 있고 가장 위대한 얼굴을 가지고 있다. 예를 들면, {ø, a, b, ab}.정점 a와 b의 순위가 0이고, 가장 큰 얼굴 ab과 포셋은 모두 1위를 가지고 있다.

순위 2: 다각형

각 p에 대해 3 ≤ p < $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit$}$$, p 정점과 p 가장자리가 있는 전통적인 폴리곤 또는 p-곤과 (추상적으로 동등한) 것이 있다.p = 3, 4, 5, ...의 경우 삼각형, 사각형, 오각형, ....

p = 2는 digon, p =${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaystyle \infit }$은(는) afeirogon을 얻는다$$.

더 디곤

디곤은 가장자리가 2개뿐인 다각형이다.다른 폴리곤과는 달리, 양쪽 가장자리는 동일한 두 꼭지점을 가진다.이 때문에 유클리드 평면에서 퇴보한다.

얼굴은 때때로 삼각형 abc에 대해 "vertex 표기법" - 예: {ø, a, b, c, ab, ac, bc, abc}을 사용하여 설명된다.이 방법은 <관계>를 암시하는 장점이 있다.

디곤으로는 이 정점 표기법을 사용할 수 없다.면에 개별 기호를 부여하고, 하위 면 쌍 F < G를 명시할 필요가 있다.

따라서 digon은 다음과 같은 관계를 가진 집합 {ø, a, b, E', E", G}로 정의된다.

{ø<a, ø, a<E>, a<E>, b<E>, e'G, E'<G'}

여기서 E'와 E"는 두 가장자리, G는 가장 위대한 얼굴이다.

이것은 고유한 기호를 가진 폴리토프의 각 요소를 식별할 필요가 있으며 다른 많은 추상적인 폴리토페에 적용되므로 일반적인 관행이다.

폴리토프는 모든 면이 고유한 정점 집합과 충돌하는 경우에만 정점 표기법을 사용하여 완전히 설명할 수 있다.이 성질을 가진 폴리토프는 원자성이라고 한다.

상위 등급의 예

전통적인 n-폴리토프의 j-faces(-1 j j n n) 세트는 추상 n-폴리토프를 형성한다.

추상적인 폴리토프의 개념은 보다 일반적이며 또한 다음을 포함한다.

• 테셀레이션(틸링)을 포함하는 아페이로토페스 또는 무한 폴리토페스
• 토러스나 실제 투영면과 같은 무한 다지관의 적절한 분해.
• 유클리드 우주에서는 충실하게 실현될 수 없는 11세포와 57세포와 같은 많은 다른 물체들이 있다.

호소헤드라·호소토페스

디곤은 호소헤드론과 고차원 호소토페스에 의해 일반화되어 있는데, 이들은 모두 구형 다면체로 실현될 수 있다. 그들은 구체를 테셀링한다.

투영 폴리토페스

비전통적 추상적 다면체의 네 가지 예는 헤미큐브(Shown), 헤미옥타면체(Hemi-Octahedron), 헤미도면체(Hemi-doesaheadron), 헤미이코사면체(Hemi-icosaheadron)이다.이들은 플라토닉 고형물의 투영적인 상대물이며, 실제 투영면을 테셀링하는 (광택적으로) 투영 다면체로서 실현될 수 있다.

헤미큐브는 폴리토프를 정의하기 위해 정점 표기법을 사용할 수 없는 또 다른 예로서, 모든 2-페이스와 3-페이스는 동일한 정점 세트를 가지고 있다.

이중성

모든 기하학적 폴리토프는 이중 쌍둥이를 가지고 있다.추상적으로, 이중은 동일한 폴리토프지만 순서가 뒤바뀐 상태에서: Hasse 다이어그램은 주석에서만 다르다.n-폴리토프에서, 각각의 원래 k-faces는 이중의 (n - k - 1) 면에 매핑된다.따라서 예를 들어, n-face는 (-1)-face에 매핑된다.이중의 이중은 원본에 이형이다.

폴리토프는 이중과 같은 경우, 즉 이형성인 경우 자가이중성이다.따라서 자체 이중 폴리토프의 하세 다이어그램은 상단과 하단의 절반 정도에서 수평 축에 대해 대칭이어야 한다.위의 예에서 정사각형 피라미드는 자기 이중성이다.

꼭지점 V의 정점 수치는 V가 이중 폴리토프에 매핑하는 면의 이중이다.

추상 일반 폴리토페스

형식적으로, 추상적인 폴리토프는 그것의 자동형성 그룹이 깃발 세트에서 전이적으로 작용하는 경우 "정규형"으로 정의된다.특히 n-폴리토프의 어떤 두 개의 k-faces F, G는 "동일한" 즉, F와 G를 매핑하는 자동형성이 있다는 것이다.추상적인 폴리토프가 규칙적일 때, 그것의 자동형 집단은 콕시터 집단의 지수에 이형성을 띤다.

≤ 2등급의 모든 폴리토판은 규칙적이다.가장 유명한 일반 다면체는 5개의 플라토닉 고형분이다.헤미큐브(shown)도 규칙적이다.

비공식적으로, 각 등급 k에 대해, 이것은 어떤 k-face도 다른 것과 구별할 방법이 없다는 것을 의미한다 - 얼굴은 동일해야 하고, 이웃이 동일해야 한다.예를 들어, 모든 면이 정사각형이고, 각 정사각형의 정점이 세 개의 정사각형에 부착되며, 이러한 정사각형은 다른 면, 가장자리, 정점 등의 동일한 배열로 부착되기 때문에 정육면체는 규칙적이다.

이 조건만으로도 모든 정규 추상적 폴리토프에는 이형성 정규(n-1)-정점 및 이형성 정규 정점 수치가 있음을 보장하기에 충분하다.

이것은 (기하학) 대칭군이 아니라 (결합)자동형 집단을 가리킨다는 점에서 전통적인 폴리토페스의 규칙성보다 약한 조건이다.예를 들어, 추상 폴리곤은 각, 모서리 길이, 모서리 곡률, 왜도 등이 추상 폴리토페스에 존재하지 않기 때문에 규칙적이다.

그 밖에 몇 가지 약한 개념들이 있는데, 어떤 개념은 아직 완전하게 표준화되지 않은 것이 있는데, 예를 들어, 일부의 경우는 일부 다상체에 적용되는 반정기, 준정기, 균일기, 치랄기, 아르키메데스 등이 있지만, 각 등급마다 얼굴 전체가 동등한 것은 아니다.

불규칙한 예

일반 폴리에스테르에 대한 주의력을 감안할 때, 거의 모든 폴리에스테르가 규칙적이라고 생각할 수 있다.사실, 일반 폴리토페스는 아주 특별한 경우일 뿐이다.

가장 단순한 불규칙적인 폴리토프는 사각 피라미드인데, 이것은 여전히 많은 대칭을 가지고 있다.

비교 대칭이 없는 다면체의 예가 나와 있다. 위에서 정의한 대로 정점, 가장자리 또는 2-패스가 "같지 않다".이것은 아마도 가장 간단한 폴리토프일 것이다.

실현

P의 자동화가 V의 등축 순열을 유도하도록 추상적인 폴리토프 P의 정점 집합에서 추출을 갖춘 유클리드 공간의 V점 집합을 추상적인 폴리토프의 실현이라고 한다.^[6][7]정점 집합 사이의 자연적 편차가 주변 유클리드 공간의 등측계에 의해 유도되는 경우 두 가지 실현을 합치라고 한다.^[8][9]

기하학적 배열이 전통적인 폴리토페(곡선면, 0크기의 능선 등)에 대한 어떤 규칙도 어기지 않도록 n차원 공간에서 추상적인 n폴리토프가 실현된다면, 실현은 충실하다고 한다.일반적으로, n등급의 제한된 추상적 폴리토페어 집합만이 주어진 n-공간에서 충실하게 실현될 수 있다.이 효과의 특성화는 두드러진 문제다.

일반 추상 폴리토프의 경우, 추상 폴리토프의 결합 자동화가 기하학적 대칭에 의해 실현된다면 기하학적 형상은 일반 폴리토프가 될 것이다.

모둘리 공간

추상 폴리토프 P의 실현 V의 대칭 G 그룹은 두 개의 반사에 의해 생성되며, 그 결과 P의 각 정점을 다음 반사로 변환한다.^[10][11]두 반사의 산물은 0이 아닌 번역의 산물로서 분해될 수 있으며, 미세하게 많은 회전과 어쩌면 사소한 반사의 산물일 수도 있다.^[12][11]

일반적으로 추상적인 폴리토프의 실현의 모듈리 공간은 무한한 차원의 볼록한 원뿔이다.^[13][14]추상 폴리토프의 실현 원뿔은 헤아릴 수 없이 무한한 대수적 차원을 가지며 유클리드 위상에서는 닫을 수 없다.^[12][15]

합병 문제와 보편적 폴리토페스

추상다각체 이론에서 중요한 문제는 합병 문제다.다음과 같은 일련의 질문이다.

주어진 추상적인 폴리토페스 K와 L에 대해, 면이 K이고 정점 수치가 L인 폴리토페스 P가 있는가?

만약 그렇다면, 그들은 모두 유한한가?

어떤 유한한 것이 있는가?

예를 들어 K가 정사각형이고 L이 삼각형이라면 이러한 질문에 대한 답은 다음과 같다.

예, 정사각형 면의 폴리토페스 P가 있으며, 정점당 3개씩 결합된다(즉, {4,3} 유형의 폴리토페스가 있다).

네, 모두 유한한 사람들이지만

정사각형 면 6개, 가장자리 12개, 꼭지점 8개를 가진 정육면체, 세 개의 면 6개, 정점 4개를 가진 헤미큐브가 있다.

첫 번째 질문에 대한 대답이 일부 일반 K와 L에 대해 '예'라면, 이러한 면과 정점 수치를 가진 범용 폴리토프(Universal Polytope)라고 하는 독특한 폴리토프가 있는데, 이 면과 정점 수치가 모두 그러한 폴리토프를 포괄하고 있다고 알려져 있다.즉, P가 면 K와 꼭지점 그림 L을 가진 범용 폴리토프라고 가정한다.그런 다음 이러한 면과 정점 수치가 있는 다른 폴리토프 Q는 Q=P/N으로 작성할 수 있다.

• N은 P의 자동형성 그룹의 부분군이며,
• P/N은 N의 작용에 따른 P의 원소들의 궤도수집이며, P의 원소수치에 의해 유도된 부분적인 순서가 있다.

Q=P/N을 P의 지수라고 하는데, 우리는 P가 Q를 커버한다고 말한다.

이러한 사실을 감안할 때 특정 면과 정점 수치가 있는 폴리탑에 대한 검색은 대개 다음과 같이 진행된다.

1. 적용 가능한 범용 폴리토프 찾기 시도
2. 시세를 분류해 보십시오.

이 두 가지 문제는 대체로 매우 어렵다.

위의 예제로 돌아가면 K가 사각형이고 L이 삼각형이라면 범용 폴리토프 {K,L}은 큐브(또한 {4,3}이라고 쓰여 있음)이다.헤미큐브는 {4,3}/N의 몫으로, 여기서 N은 단지 두 개의 원소 즉 정체성과 각 모서리(또는 가장자리 또는 면)를 그 반대편에 매핑하는 대칭(자동화)의 그룹이다.

L도 정사각형이라면, 대신 범용 폴리토프 {K,L}(즉, {4,4})는 정사각형으로 유클리드 평면을 다듬은 것이다.이 테셀레이션은 정점당 4개, 정점당 4개, 정점 및 그렇지 않은 일부의 인용을 무한히 많이 가지고 있다.보편적인 폴리토프 자체를 제외하고, 그것들은 모두 토러스나 네모난 무한히 긴 원통 중 하나를 테셀레이트로 만드는 다양한 방법에 해당한다.

11셀과 57셀

H. S. M. Coxeter와 Branko Grünbaum이 독자적으로 발견한 11세포는 추상적인 4폴리토프다.그것의 면은 헤미-icosaheadra이다.그것의 면은, 지형학적으로 구 대신 투영적인 평면이기 때문에, 11-세포는 일반적인 의미에서 어떤 다지관의 다듬기가 아니다.대신 11세포는 국소적으로 투영된 폴리토프다.11-세포는 수학적인 의미에서 아름다울 뿐만 아니라, 최초로 발견된 비전통적 추상적 다층 중 하나로 역사적으로 중요하다.그것은 자기 이중적이고 보편적이다: 그것은 헤미-아이코사이드 면과 헤미-도-치안 정점 형상을 가진 유일한 폴리토프다.

57세포는 또한 헤미-도면체면이 있는 자가이중이다.그것은 11세포가 발견된 직후 H. S. M. 콕시터에 의해 발견되었다.11세포와 마찬가지로, 그것은 또한 보편적이며, 헤미-도-치안면 면과 헤미-치안 정점 형상을 가진 유일한 폴리토프가 된다.한편, 헤미도면체 및 슐레플리 타입 {5,3,5}을(를) 가진 다른 폴리탑도 많다.헤미-도면체 면과 아이코사면체(헤미-고면체가 아님) 정점 수치가 있는 보편적인 폴리토프는 유한하지만 매우 크며, 10006920개의 면과 절반의 정점수를 가지고 있다.

로컬 위상

역사적으로 합병 문제는 지역 토폴로지에 따라 추진되어 왔다.즉, K와 L을 특정 폴리토페로 제한하기보다는 주어진 위상, 즉 주어진 다지관을 테셀링하는 모든 폴리토페가 허용된다.K와 L이 구면(즉, 위상학적 구의 테셀레이션)이라면 P는 국소적으로 구면이라고 하며, 그 자체가 일부 다지관의 테셀레이션에 해당한다.예를 들어 K와 L이 모두 정사각형이라면(그리고 위상적으로 원과 동일하다면), P는 평면, 토러스 또는 클라인 병을 정사각형으로 다듬은 것이 된다.n차원 다지관의 다듬기는 사실상 n+1 폴리토프다.이것은 플라토닉 고형물이 공의 2차원 표면의 테셀레이션으로 볼 수 있음에도 불구하고 3차원이라는 일반적인 직관과 일치한다.

일반적으로 추상적인 폴리토프는 그 면과 정점 수치가 지형적으로 구 또는 X 중 하나이지만 양쪽 구가 아닌 경우 국소적으로 X라고 불린다.11셀과 57셀은 국소적으로 투영되는 4차원 다각체의 예로서, 면과 정점 수치는 실제 투영면의 테셀레이션이기 때문이다.그러나 이 용어에는 약점이 있다.예를 들어, 표면이 토리이고 정점 수치가 투영 평면인 폴리토프를 설명하는 쉬운 방법은 허용되지 않는다.다른 면의 위상이 다르거나 위상이 제대로 정의되지 않은 경우 더 나쁘다.그러나, 국소적인 일반 다각류의 완전한 분류에 대해서는 많은 진전이 있었다.

교환지도

Ⅱ를 추상 n폴리토프의 국기로 하고, let -1 < i < n. 추상적인 폴리토프의 정의로부터 Ⅱ와 다른 독특한 국기가 Ⅰ급 원소에 의해 Ⅱ와 다르다는 것을 증명할 수 있다.만약 우리가 이 깃발을 ψ이라고⁽ⁱ⁾ 부르면, 이것은 폴리토페스 깃발 위에 지도 컬렉션을 정의한다, 라고_i 말한다.이_i 지도들은 국기 쌍을 교환하기 때문에 교환지도라고 불린다._i교환 맵의 다른 속성:

• φ은_i² ID 맵이다.
• φ은_i 그룹을 생성한다.(폴리토프의 깃발에 대한 이 그룹의 작용은 폴리토프의 깃발 작용이라고 하는 것의 예)
• i - j > 1이면 φφ_ij = φφ_ji
• 만약 α가 폴리토프의 자동형이라면, α_i = = α_i
• 폴리토프가 규칙적인 경우, φ에_i 의해 생성되는 집단은 자동형 집단에 이형성이며, 그렇지 않으면 엄격히 더 크다.

교환 지도와 특히 국기 작용은 어떤 추상적인 폴리토프가 어떤 일반 폴리토프의 지수라는 것을 증명하는 데 사용될 수 있다.

발생 행렬

폴리토프는 그것의 근친상간을 표로 나타내기도 한다.

다음 발생 행렬은 삼각형의 발생 행렬이다.

	ø	a	b	c	AB	bc	ca.	abc
ø	1	1	1	1	1	1	1	1
a	1	1	0	0	1	0	1	1
b	1	0	1	0	1	1	0	1
c	1	0	0	1	0	1	1	1
AB	1	1	1	0	1	0	0	1
bc	1	0	1	1	0	1	0	1
ca.	1	1	0	1	0	0	1	1
abc	1	1	1	1	1	1	1	1

표에는 얼굴이 다른 면의 하위 면인 곳이나 그 반대면(따라서 테이블이 대각선에 대칭)인 곳이면 1이 표시된다. 따라서 표에는 사실 정보가 중복되어 있으므로 행이 기둥 면에 면할 때 1만 표시하면 충분하다.

본체와 빈 세트는 모두 다른 모든 요소와 충돌하기 때문에 첫 번째 행과 열은 물론 마지막 행과 열도 사소한 것으로 편리하게 생략할 수 있다.

사각 피라미드

각각의 발생을 세어 추가 정보를 얻는다.이 숫자의 사용은 사각 피라미드의 하세 다이어그램에서와 같이 대칭분류를 가능하게 한다.정점 B, C, D, E가 추상적 폴리토프 내에서 대칭적으로 등가라고 생각되면 에지 f, g, h, j와 에지 k, l, m, n, 그리고 마지막으로 삼각형 P, Q, R, S도 함께 묶이게 된다.따라서 이 추상적인 폴리토프의 해당 발생 행렬은 다음과 같이 표시될 수 있다.

	A	B,C,D,E	f,g,h,j	k,l,m,n	P,Q,R,S	T
A	1	*	4	0	4	0
B,C,D,E	*	4	1	2	2	1
f,g,h,j	1	1	4	*	2	0
k,l,m,n	0	2	*	4	1	1
P,Q,R,S	1	2	2	1	4	*
T	0	4	0	4	*	1

누적된 입사 행렬 표시에서 대각선 항목은 두 요소 유형의 총 카운트를 나타낸다.

같은 등급의 서로 다른 요소들은 절대 발생하지 않으므로 값은 항상 0이지만 이러한 관계를 구별하기 위해서는 0 대신 별표(*)를 사용한다.

각 행의 하위 대각선 입력은 관련 하위 원소의 발생 횟수를 나타내는 반면, 초대각 입력은 정점, 가장자리 또는 그 밖의 모든 그림의 각 요소 수를 나타낸다.

이미 이 단순한 사각 피라미드는 대칭으로 누적된 발생 행렬이 더 이상 대칭이 아님을 보여준다.그러나 그러한 발생 $매트릭스{\displaystyle }$I = (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\$displaystyle I=(I_)에 대해서는 대각선의 일반화된 오일러 공식 외에 각 행의 하위 대각선 요소, 각 행의 초대각선 요소 등이 고려될 때마다 각각이 존재하며, 이러한 발생 매트릭스 I${\displaystyle }$= (${\displaystyle I_{}}$ j ) {\$displaystyle I=(I_$)가 여전히 존재한다.${ij}($으$$)}:

${\displaystyle I_{i}\cdot I_{ij}=I_{ji}\cdot I_{jj}\ \ (i<j)}$

역사

1960년대에 브란코 그룬바움(Branko Grünbaum)은 기하학계에 전화를 걸어 그가 폴리스트로마타라고 부르는 일반 폴리토페스 개념의 일반화를 고려했다.그는 11-셀을 포함한 새로운 물체의 예를 보여주면서 다극성 이론을 발전시켰다.

11세포는 자기 이중 4폴리토프인데, 그 면은 이코사헤드라가 아니라 "헤미-이코사헤드라"이다. 즉, 이코사헤드라의 반대쪽 얼굴을 실제로 같은 얼굴이라고 생각할 때 얻게 되는 형상이다. (그룬바움, 1977)그룬바움이 11셀을 발견한 지 몇 년 후, H.S.M. Coxeter는 유사한 폴리토프인 57셀(Coxeter 1982, 1984년)을 발견했고, 이후 독립적으로 11셀을 재발견했다.

브란코 그룬바움, H. S. M. 콕시터, 자크 티츠의 초기 연구가 기초가 된 가운데, 현재 추상적인 폴리토페스로 알려진 결합체 구조의 기본 이론은 에곤 슐트가 1980년 박사학위 논문에서 처음 서술한 것이다.그 속에서 그는 "정규 발생 콤플렉스"와 "정규 발생 폴리토페스"를 정의했다.이후 그와 피터 맥멀런은 이후 책으로 모아진 일련의 연구 기사에서 이론의 기초를 발전시켰다.그 후 수많은 다른 연구자들이 나름대로 공헌을 했고, 초기 개척자들(그룬바움 포함)도 슐트의 정의를 '올바른' 것으로 받아들였다.

이후 추상적 폴리토페스 이론에 대한 연구는 주로 일반 폴리토페스, 즉 자동화 그룹이 폴리토페의 깃발 세트에 대해 트랜스적으로 작용하는 사람들을 중심으로 이루어졌다.

참고 항목

• 오일러 포셋
• 그라데트 포셋
• 일반 폴리토프

메모들

참조