인스턴

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인스턴트온(또는 유사문자^[1][2][3])은 이론 및 수학 물리학에서 나타나는 개념이다. 인스턴트온은 양자역학이나 양자장 이론에서 유한하고 0이 아닌 작용을 가진 운동 방정식에 대한 고전적인 해법이다. 더 정확히 말하면, 그것은 유클리드 스페이스타임에 대한 고전적 장 이론의 운동 방정식에 대한 해결책이다.

그러한 양자 이론에서 운동 방정식에 대한 해법은 작용의 중요한 지점으로 생각될 수 있다. 조치의 중요 지점은 조치의 국부 최대치, 국부 최소치 또는 안장 지점일 수 있다. 인스턴트온은 다음과 같은 이유로 양자장 이론에서 중요하다.

• 그것들은 시스템의 고전적인 행동에 대한 선도적인 양자적 수정으로서 필수적인 경로에 나타난다.
• 그것들은 양-밀스 이론과 같은 다양한 시스템에서 터널링 동작을 연구하는데 사용될 수 있다.

역학관계와 관련하여, 인스턴트온의 집단은 인스턴트온을 상호 연관시킬 수 있다. 즉, 운동 방정식의 다른 중요점이다. 물리학에서 인스턴트온은 특히 중요하다. 왜냐하면 인스턴트온(및 소음 유발 반인스턴트)의 응결이 자기 조직적인 임계성으로 알려진 소음으로 인한 혼란 국면에 대한 설명이라고 믿기 때문이다.

수학

수학적으로 양-밀스 인스턴스톤은 비아벨리안 게이지 이론에서 물리적인 공간 시간의 역할을 하는 4차원 리만 다지관을 통한 주요 묶음 속의 자기 이중 또는 반 자기 이중 연결이다. 인스턴트온은 위상학적 유형 내에서 에너지 기능을 절대적으로 최소화하는 양-밀스 방정식의 위상학적으로 비경쟁적 해결책이다. 이러한 해법은 4차원 구체로 압축된 4차원 유클리드 공간의 경우 최초로 발견되었으며, 시공간적으로 국산화되어 유사문자와 인스턴트온이라는 명칭이 나오게 되었다.

양-밀스 인스턴스(inston)는 많은 경우에서 대수적 표면의 대수적 벡터 번들과 관련되는 트위스터 이론과 ADHM 구성 또는 정교한 선형 대수적 절차인 하이퍼켈러 감소(하이퍼켈러 다지관 참조)를 통해 명시적으로 구성되었다. 이후 필즈상을 수상한 사이먼 도날드슨의 획기적인 작품은 주어진 4차원 상이한 다지관을 넘어서는 인스턴트온의 모듈리 공간을 그 다지형 구조에 의존하는 다지관의 새로운 불변제로 사용하였으며, 이를 동형체(同形體)는 아니지만 차이형 4-manifold의 건축에 적용하였다.s. 인스턴트 온을 연구하면서 개발된 많은 방법들이 단면체에도 적용되어 왔다. 자기 단극은 양-밀스 방정식의 치수 감소 솔루션으로 발생하기 때문이다.^[4]

양자역학

인스턴트온은 잠재적 장벽을 통한 양자 기계적 입자 터널링의 전환 확률을 계산하는 데 사용될 수 있다. 인스턴트온 효과가 있는 시스템의 한 예는 이중웰 전위의 입자다. 고전적인 입자와는 대조적으로, 그것은 자신의 에너지보다 높은 잠재적 에너지의 영역을 가로지를 수 있는 비반사적 확률은 있다.

인스턴트 온을 고려하는 동기

이중웰 전위 $V{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$.$${\$displaystyle V(x)={1 \over$ 4$}(x^{2}-1)^{2$}}} 안에 있는 단일 입자 운동의 양자역학을 고려하십시오$.$$$ 전위 에너지는 $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± 1$[\displaystyle x=\pm 1}$에서 최소한의 값을 취하며, 고전역학에서는 입자가 그들 중 하나에 놓여 있는 경향이 있기 때문에 이를 고전적인 미니마라고 부른다$.$ 고전역학에는 두 개의 가장 낮은 에너지 상태가 있다.

양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식을 푼다.

${\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \partial x^{2}}\psi +V(x)\psi(x)=E\psi(x),}$

에너지 고유성분을 식별하기 위해서입니다. 이렇게 하면 두 개의 주가 아닌 독특한 최저 에너지 주만 찾을 수 있을 것이다. 지상파 함수는 양자 간섭이나 양자 터널링으로 인해 고전적인$$ 미니마 $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$=\pm$ 1$}$에서 둘 다 국소화된다.

인스턴트온은 왜 유클리드 시간에 경로-통합형식의 반클래식 근사치 내에서 이러한 현상이 발생하는지 이해하는 도구다. 우리는 먼저 대략적으로 파동 함수 자체를 계산하는 WKB 근사치를 사용하여 이를 확인할 것이며, 경로 적분 제형을 사용하여 인스턴트온을 도입하는 방향으로 나아갈 것이다.

WKB 근사치

이 확률을 계산하는 한 가지 방법은 $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar }$의 값이 작아야$$ 하는 반분류 WKB 근사치를 사용하는 것이다. 입자에 대한 시간 독립 슈뢰딩거 방정식이 읽힌다.

${\dfracyle {\d^{2}\psi }{dx^{2}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}\psi .}$

만약 전위가 일정하다면, 해결책은 평면파일 것이다, 비례인자까지,

${\displaystyle \cHB =\expx\mathrm {i}kx)\,}$

와 함께

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-V)}}}{\hbar }}.}$

이는 입자의 에너지가 전위 에너지보다 작을 경우 기하급수적으로 감소하는 기능을 얻게 된다는 것을 의미한다. 관련 터널링 진폭은 다음에 비례함

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{\hbar }\int _{a}^{b}{\sqrt{2m(V(x)-E)}}}}\\\dx}}$

여기서 a와 b는 터널링 궤적의 시작 및 끝점이다.

인스턴스(inston)를 통한 경로 통합 해석

대안적으로, 경로 통합의 사용은 즉석 해석을 허용하고 동일한 결과를 이 접근법으로 얻을 수 있다. 경로 적분 공식에서 전환 진폭은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle K(a,b;t)=\langle x=a e^{-{\frac {i\mathbb{H}}{\hbar }}}}}x=b\rangele =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)}{\hbar }}}}.}$

유클리드 스페이스타임(i ${\displaystyle t}$→ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle it\rightarrow \tau$})으로 윅을 회전시키는 과정(분석적 연속)에 이어 $$gets(${\displaystyle }$ t → τ {\displaystyle it\rightarrow \tau }).

${\displaystyle K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}} x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},}$

유클리드 작용으로

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau_{a}^{\}{b}\{b}\왼쪽({\frac {1}{2}}m\left({dx}{d\tau }오른쪽)^{2}+V(x)\d\tau .}$

잠재적 에너지 변화 부호 $V{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$- ${\displaystyle V}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle V(x)\rightarrow -V(x)}$와 Minima가 maxima로 변환하여 $V{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle V(x)}$은 최대 에너지의 두 "hill"을 나타낸다$$.

Let us now consider the local minimum of the Euclidean action ${\displaystyle S_{E}}$ with the double-well potential ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}}$, and we set ${\displaystyle m=1}$ just for simplicity of computation. 고전적으로 가장 낮은 두 ${\displaystyle \mathrm{에너지}}$ 상태 x${\displaystyle }$=${\displaystyle }$± 1 ${\displaystyle x=\pm$ 1$}$이(가) 어떻게 연결되어 있는지$$ $알고{\displaystyle }$ 싶으므로 a${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle$ a$=-1}$ $및$ ${\displaystyle \mathrm{b}}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle$ $a=-1$$},$ $a$${\displaystyle }$=${\displaystyle 1}$ ${\displaystystyle b=$1}을(으)로 설정하자$.$

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}}$

${\displaystyle \quad =\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).}$

${\displaystyle \cHB \geq {2{\sqrt{2}} \3} 이상.}$

The above inequality is saturated by the solution of ${\displaystyle {dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}}$ with the condition ${\displaystyle x(\tau _{a})=-1}$ and ${\displaystyle x(\tau _{b})=1}$. Such solutions exist, and the solution takes the simple form when ${\displaystyle {\tau }_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$= -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \tau _$${a}=-\ft }$ 및 ${\displaystyle {\tau }_{}}$ b${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \tau _{b}=\fty$ $\}.$ 즉석 용액의 명시적 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle x(\tau )=\tanh \left1 \over {\sqrt{2}}(\tau -\tau _{0}\right).}$

여기서 $\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 임의의$$ 상수다. 이 솔루션은 하나의 고전적 $진공{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x=-1}$에서 ${\displaystyle \mathrm{다른}}$ 고전적 $진공{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle x=1}$로 즉시$$ $jumps{\displaystyle }$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 주위에 뛰어오르기 때문에 인스턴트 온이라고 불린다$.$

이중 웰 전위에 대한 명시적 공식

이중 웰 전위를 갖는 슈뢰딩거 방정식의 고유성에 대한 명시적 공식은 슈뢰딩거 방정식에 적용된 섭동 방법(더하기 경계 조건)과 경로 적분(및 WKB)에서 명시적으로 파생된 뮐러-커스틴에^[5] 의해 주어졌다. 결과는 다음과 같다. 슈뢰딩거 방정식 및 전위 방정식에 의한 매개변수 정의

${\dplaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}+[E-V(z)]y(z)=0,}$

, 그리고

${\displaystyle V(z)=-{\frac {1}{4}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{1}{1}{1}:{2}}:c^{2}z^{4},\;\;c^{2}0,\;;;h^{4},},},}$

$q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 5}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...$$}$은(는) 다음과 같은 것으로 확인됨:

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}}})}$

${\displaystyle \mp {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2}^{0}/2}}{\sqrt{{0}/2}}{{\sqrt{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}}{-h^{6}/6{\sqrt{2}}c^{2}}.}$

분명히 이러한 고유값은 점증적으로(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ h$^{2}\오른쪽$ 화살표 $\infort$ $\})$ 전위의 고조파 부분의 결과로 예상대로 변질된다.

결과.

수학적으로 잘 정의된 유클리드 경로 적분에서 얻은 결과는 Wick-roted back일 수 있으며 (잠재적으로 다른) 민코우스키안 경로 적분 처리를 통해 얻은 것과 동일한 물리적 결과를 제공할 수 있다. 이 예에서 알 수 있듯이, 민코우스키안 경로 적분으로 입자가 분류적으로 금지된 영역(${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle V(x$을 통해 터널을 통과하는 전환 확률을 계산하는 것은 Eucli에서 분류적으로 허용되는 영역( -V(X)을 통해 터널을 통과하는 전환 확률을 계산하는 것과 같다.딘 경로 일체형(그림으로 말하면 - 유클리드 그림에서) 이 전환은 머리 위에 서 있는 이중 웰 전위의 한 언덕에서 다른 언덕으로 굴러가는 입자에 해당한다. 유클리드 운동 방정식의 이 고전적인 해법은 종종 "킨크 해법"이라고 불리며 인스턴트온의 예다. 이 예에서 이중웰 전위의 두 "바쿠아"(즉, 지상 상태)는 문제의 유클리드 버전의 언덕으로 변한다.

따라서 (유클리드, 즉 가상의 시간을 갖는)(1+1)차원장 이론 - 최초의 정량화된 양자역학적 설명 - 은 물리적(1차원 공간+실시간) 민코의 두 바쿠아(지상 상태 - 더 높은 상태는 주기적인 인스턴트온을 필요로 함) 사이의 터널링 효과로 해석될 수 있다.wskian 시스템 이중웰 포텐셜의 경우

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}{2g^{2}}:}\왼쪽(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}:{m^{2}}\}\오른쪽)^{2}}:2}}:00$

즉, 즉 해결책

${\dfracyle {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}=V'(\phi ),}$

(즉, 에너지 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E_{cl}=0}$ )$$은

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0}\right],}}$

여기서 $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau =it}$은(는) 유클리드 시간이다.

(밍코우스키어 설명의) 그 두 바쿠아 중 한 곳만을 둘러싼 순진한 섭동 이론은 결코 이 비파동적 터널링 효과를 보여주지 않을 것이며, 이 양자 기계 시스템의 진공 구조의 그림을 극적으로 변화시킬 것이다. 사실 순진한 섭동 이론은 경계 조건에 의해 보충되어야 하며, 이러한 이론은 코사인 잠재력(cf)과 같은 다른 잠재력에 대한 위의 명시적 공식과 유사한 계산에서 명백하게 나타나듯이 비숙련 효과를 제공한다. 마티외 함수) 또는 기타 주기적 전위(예: 라메 함수 및 회전파 함수) 및 슈뢰딩거 방정식을 사용하는지 또는 경로 적분식을 사용하는지 여부에 관계 없음.^[6]

따라서 섭동적 접근방식은 물리적 시스템의 진공 구조를 완전히 설명하지는 못할 수 있다. 이것은 예를 들어, 비경쟁 QCD 진공 효과(인스턴스와 같은)가 Peccei-Kinn 대칭을 명시적으로 파괴하고 질량이 없는 남부-골드스톤 보손들을 거대한 사이비-남부-골드스톤 보손으로 변형시키는 "축" 이론에서 중요한 결과를 가져올 수 있다.

주기인스턴스

1차원 장 이론이나 양자 역학에서, 유클리드 시간 및 유한 유클리드 작용에 대한 고전적 (뉴턴과 유사한) 운동 방정식의 해결책인 "인스턴트론"으로 정의한다. 솔리톤 이론의 맥락에서 해당 해법은 꼬임이라고 알려져 있다. 다른 구성이나 해결책뿐만 아니라 고전적인 입자의 행동과 유사하다는 관점에서, 이러한 구성이나 용액은 모두 유사입자 또는 유사전파적 구성으로 알려져 있다. ``인스턴트" (kink) 해결책에는 ``반인스턴트" (반인스턴트")로 알려진 또 다른 해결책이 수반되며, 인스턴트온과 반인스턴트는 각각 ``위상적 요금" +1과 -1로 구별되지만, 유클리드 작용은 같다.

``주기적 인스턴트"는 인스턴트 온의 일반화다.<sup>[7]</sup> 명시적 형태에서 그것들은 주기적 함수인 자코비안 타원함수의 관점에서 표현 가능하다. 무한대의 기간 동안, 이러한 주기적인 인스턴트 온들 - 흔히 ``분수" 또는 그와 비슷한 것으로 알려진 -은 인스턴트 온들로 감소한다.

이러한 유사전파적 구성의 안정성은 유사문자 구성을 중심으로 이론을 정의하는 라그랑지안을 확장한 다음 그 주위의 작은 변동 방정식을 조사함으로써 조사할 수 있다. 모든 버전의 사분위 전위(이중 웰, 반전된 이중 웰) 및 주기적(마티외) 전위에 대해 이 방정식은 라메 방정식으로 밝혀졌다. 라메 함수를 참조한다.^[8] 이러한 방정식의 고유값은 알려져 있으며, 불안정한 경우 경로 적분 평가에 의한 붕괴율 계산을 허용한다.^[9]

반응률 이론의 인스턴트온

반응률 이론의 맥락에서 주기적인 인스턴트온을 화학 반응에서 원자의 터널링 속도를 계산하는 데 사용한다. 화학반응의 진행은 고차원 전위 에너지 표면(PES)에서 유사문자의 이동으로 설명할 수 있다. 열률 상수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$은(는) 다음에 의해$$ 자유 에너지 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 가상 부분과 관련될 수 있다$$.

${\displaystyle k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}}$

여기서 $Z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 위치표현에서 볼츠만 연산자의 추적을 취함으로써 계산되는 표준 파티션 함수다$$.

${\displaystyle Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat{H}})=\int d\mathbf {x}\langle \langle \mathbf {x}\왼쪽 e^{-\beta {\H}}\오른쪽 \mathbf {x}\rigle}}$

심지 회전을 사용하여 $\hslash {\displaystyle \mathrm{\beta }}$= 1 /${\displaystyle }$(${\displaystyle k_{}}$b ${\displaystyle {}_{}}$ )$${\$displaystyle \hbar$ \bar $\beta$=1/($k_{b}$T)로 유클리드 시간을 식별하면 파티션 함수에 대한 경로 적분 표현을 대량 가중 좌표로 얻는다$$.

${\displaystyle Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau }$

그런 다음 경로 적분은 고전적 해결책의 기여와 그 주변의 이차적 변동만을 고려한 가장 가파른 하강 통합을 통해 근사치를 구한다. 이는 질량 가중 좌표에서 속도 상수 식에 대한 산출량

${\displaystyle k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}}\왼쪽({\frac {{\text{det}}\[-]-{\frac {\partial ^{2}}}}}{\partial \tau ^{2}}+\mathbf{V}"{{{text}RS}(\tau )\오른쪽]{{\text{detection}\왼쪽[-{\frac {\partial ^{2}}:{\partial ^{2}}+}\mathbf {V}"(x_{\text{})Inst}}(\tau )\오른쪽]^{\frac {1}{1}{2}}:{\exp \좌측({\frac {-S_{E}[x_{\ext}}}}{\inst}}}}+S_{x_{text}[x_{\text}]{\text}{\text}{\text}}}}}}}RS}(\tau )]}{\hbar }}}\오른쪽)}}$

여기서 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\text{Inst}}_{}}$ ${\$$Inst}}$은(는) $주기적$인 인스턴트 온 및 x ${\displaystyle {\text{RS}}_{}}$ ${\$$RS}}}$은 반응제 상태 구성을 나타내는 미사용 유사문자의 사소한 해결책이다$$.

반전 이중 웰 공식

이중 웰 전위에 대해서는 반전된 이중 웰 전위에 대한 고유값을 도출할 수 있다. 그러나 이 경우 고유값은 복잡하다. 방정식을 사용하여 모수 정의

${\dfrac {d^{2}y}{dz^{2}}+[E-V(z)]y=0,\;\;;V(z)={\frac {1}{1}{4}h^{4}z^{2}-{\frac{1}{2}}c^{2}z^{4}}}}},}}}}}}}}}},},}$

뮐러-Kirsten이 제공하는 고유값은 ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$3,${\displaystyle 5}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...,}$에 대한 값이다.

${\displaystyle E={\frac {1}{1}{2}}-{3c^{2}}-{3c^{2}}:{4}}}}{0}^{0}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}}}{10}}}}}}{0}^{0}2}}+29++}O({\frac {1}{h^{16}}}\pm i{{\frac {2^{q_{0}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{{0}/2}}({pi )^{1/2}[(q_{0}-1)-1)/2]!}}}{-h^{6}/6c^{2}}.}$

이 표현에서 상상적인 부분은 벤더와 우의 잘 알려진 결과와 일치한다.^[10] 그들의 표기법 $\hslash {\displaystyle =1}$,${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= 2 ${\displaystyle K}$+ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ 2 ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle ϵ.}$ ${\displaystyle \hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .}$

양자장 이론

하이퍼스피어 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{3}}$
하이퍼스피어 입체 투영법 Parallels([note 1]빨간색), 경맥(파란색) 및 하이퍼메리드(녹색)

양자장 이론(QFT)을 연구할 때, 이론의 진공 구조는 인스턴트온에 관심을 끌 수 있다. 이중웰 양자역학 시스템이 보여주는 것처럼, 순진한 진공상태는 장 이론의 진정한 진공이 아닐 수도 있다. 더욱이, 필드 이론의 진정한 진공상태는 "토폴로지 바쿠아"라고 불리는 몇 개의 토폴로지 불평등 섹터의 "오버랩"일 수 있다.

인스턴스(inston)와 그 해석을 잘 이해하고 예증하는 예는 비아벨론 게이지 그룹인 [note 2]양-밀스 이론의 QFT 맥락에서 찾을 수 있다. 양-밀 이론의 경우 이러한 불평등 섹터는 (적절한 게이지로) SU(2)의 세 번째 호모토피 그룹에 의해 분류될 수 있다(그 그룹 다지관은 3-sphere $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 특정 위상학적 진공(진정한 진공의 "영역")은 변경되지 않은 변환인 폰트랴긴 지수로 표시된다. $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 세 번째 호모토피 그룹이 정수의 집합인 것으로 확인됨에$$ 따라,

${\displaystyle \pi _{3}}$${\displaystyle(S^{3}=})$${\displaystyle \mathb {Z} \,}$

${\displaystyle N}$ ologically {\$displaystyle N\rangele}$이(가) 나타내는 위상적으로 불평등한 바쿠아가 무한히 많다$.$ $여기$서 N ${\displaystyle N}$은 해당 폰트랴긴 지수다$$. 인스턴은 유클리드 스페이스타임의 고전적인 운동 방정식을 충족시키는 필드 구성으로, 이 서로 다른 위상학적 바쿠아 사이의 터널링 효과로 해석된다. It is again labelled by an integer number, its Pontryagin index, ${\displaystyle Q}$. One can imagine an instanton with index ${\displaystyle Q}$ to quantify tunneling between topological vacua ${\displaystyle N\rangle }$ and ${\displaystyle N+Q\rangle }$. If Q = 1, the configuration is named BPST 발견자 Alexander Belavin, Alexander Polyakov, Albert S. 슈바르츠와 유에스 튜프킨. 이론의 진정한 진공상태는 "각도" 세타(theta)로 표시되며 위상학 분야의 중복이다.

${\displaystyle \theta \rangele =\sum _{N=--\fty }^{N=+\fty }e^{i\ta N}N\rangele .}$

Gerard't Hooft는 [1]에서 페르미온과 결합된 이론에서 BPST 인스턴트온의 영향에 대한 현장 이론적 계산을 처음 수행했다. 그는 인스턴트온 배경에서 디락 방정식의 제로 모드가 낮은 에너지 유효 작용에서 비주변적 다중 발진 상호작용으로 이어진다는 것을 보여주었다.

양-밀스 이론

구조군 G, 베이스 M, 연결부 A, 곡률(양-밀스장 텐서) F를 가진 주다발에 대한 고전적인 양-밀스 작용은

${\displaystyle S_{YM}=\int _{M}\왼쪽 F\오른쪽 ^{2}d\mathrm {vol} _{M}}$

where ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{M}}$ is the volume form on ${\displaystyle M}$. If the inner product on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, the Lie algebra of ${\displaystyle G}$ in which ${\displaystyle F}$ takes values, is given by the Killing form on ${\displaystyle {\mat$$hfrak{g$ 이후 since${\displaystyle {}_M}$ T ${\displaystyle \mathrm{r}}$(${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \ast }$ F${\displaystyle }$) ${\displaystyle \int _{M}\mathrm {Tr}(F\wedge *F$로 표시될 수 있음

${\displaystyle F\wedge *F=\langle F,F\angle d\mathrm {vol} _{M}}$

예를 들어 게이지 그룹 U(1)의 경우 F는 전자기장 텐서가 된다. 정지 작용의 원리로부터, 양-밀스 방정식이 따른다. 그들은 그렇다.

${\daystyle \mathrm {d}F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.}$

그 중 첫번째는 정체 때문에 dF)d2A=0는데, 연결이 A를 다른 하나는 2차 편미분 방정식도 하고, 민코프 스키 해류 벡터 사라지지 않을 때는 rhs에 두번째 방정식의 0.J{\displaystyle \mathbf{J}에 의해}대체됩니다. 하지만 어떤 유사한 그 공식이 보시는;그들은 diffe.r 호지 별에 의해. 따라서 간단한 첫 번째 순서(비선형) 방정식에 대한 해결책

${\displaystyle {*F}=\pm F\,}$

또한 자동으로 양-밀스 방정식의 해법이 된다. ${\displaystyle \mathrm{이러한}}$ 단순화는 ${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle s=1$}을$($를) 가진 4개의 다지관에서 이루어지므로$$ 2-폼의${\displaystyle {}^{}}$on$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle *^{2}=+$1}이$($가) 있다. 그러한 해결책은 일반적으로 존재하지만, 정확한 성격은 기본 공간 M, 기본 번들 P, 게이지 그룹 G의 치수와 위상에 따라 달라진다.

비아벨론 양-밀스 이론에서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle DF=0}$ 및 $D$ ∗ ${\displaystyle F}$= 0 ${\displaystyle D*F=0}$은(는$$) 외부 공변량 파생물이다. 게다가 비앙치 정체성도

$DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+)A\웨지 A)+A\웨지 (dA+)A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0}$

만족하다

양자장 이론에서, 인스턴트온은 4차원 유클리드 공간(민코프스키 스페이스타임의 Wick 회전으로 간주)에서 위크식 비경쟁장 구성이다. 구체적으로는 공간 무한에서 순수 게이지에 접근하는 양-밀스 게이지 필드 A를 가리킨다. 이것은 전장의 힘을 의미한다.

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}}$

무한히 사라지다 인스턴트온이라는 이름은 이 분야들이 공간과 (유클리드) 시간, 즉 특정 순간에 국부화되어 있다는 사실에서 유래한다.

2차원 공간에 있는 인스턴트온의 경우는 가장 단순한 게이지 그룹, 즉 아벨 그룹인 U(1)의 경우를 인정하기 때문에 시각화하기가 더 쉬울 수 있다. 이 경우 A 필드는 단순한 벡터 필드로 시각화할 수 있다. 인스턴트 온은 예를 들어 화살표가 중앙점(즉, "헤지호그" 상태)에서 멀리 가리키는 구성이다. 유클리드 4차원에서 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$아벨리안 인스턴스(inston)는 불가능하다.

인스턴트 온의 현장 구성은 진공 상태와 매우 다르다. 이 인스턴트 온들은 섭동 효과만을 포함하는 파인만 도표를 사용하여 연구될 수 없기 때문이다. 인스턴트 온은 근본적으로 불안하지 않다.

양-밀스 에너지는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}\int _{\mathb {R} ^{4}\operatorname {Tr}[*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

여기서 ∗은 호지 듀얼이다. 우리가 양-밀스 방정식에 대한 해법이 유한한 에너지를 가지고 있다고 주장한다면, 무한(한계로 간주)에서의 해법 곡률은 0이어야 한다. 이것은 체르누스-시몬스 불변제가 3-공간 경계에서 정의될 수 있다는 것을 의미한다. 이것은 스톡스의 정리를 통해 적분을 취하는 것과 동등하다.

${\displaystyle \int _{\mathb {R} ^4}\operatorname {Tr}[\mathbf {F} \mathbf {F} \wedge \mathbf {F}].}$

이것은 호모토피 불변성 물질이고 그것은 우리에게 인스턴트온이 어떤 호모토피 클래스에 속하는지 알려준다.

비음성 통합의 적분은 항상 음성이 아니므로,

${\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

진짜 θ을 위해서. 그래서, 이것은

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left \int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right .}$

만약 이 한계가 포화 상태라면, 해결책은 BPS 상태일 것이다. 그러한 상태의 경우 호모토피 불변성의 부호에 따라 ∗F = F 또는 ∗F = - F 중 하나를 사용한다.

표준 모델에서 인스턴트 온은 전기약 섹터와 색역학 섹터에 모두 존재한다.^[11] 인스턴트온 효과는 양자 색역학(QCD)의 진공에서 응축물이 형성되는 것을 이해하고 QCD의 축전류 이상을 통해 질량을 획득한 골드스톤보손인^{[note 3]} 이른바 '에타프라임 입자'의 질량을 설명하는 데 중요하다. 하나의 추가 공간 차원을 갖는 이론에도 때로는 그에 상응하는 해결책이 존재한다는 점에 유의한다. 최근 인스턴트 온에 대한 연구는 그것들을 D-branes와 블랙홀과 같은 주제와 물론 QCD의 진공 구조와 연관시킨다. 예를 들어, 지향적인 끈 이론에서 Dp brane은 N D(p + 4)-branes 스택에 있는 세계 볼륨(p + 5)-차원 U(N) 게이지 이론의 게이지 이론 인스턴트온이다.

다양한 차원의 수

인스턴트온은 게이지 이론의 비주변적 역학에서 중심적인 역할을 한다. 인스턴트온을 생산하는 신체적 흥분의 종류는 스페이스타임의 치수 수에 따라 다르지만, 놀랍게도 이러한 인스턴트온을 다루는 형식주의는 상대적으로 차원 독립적이다.

4차원 게이지 이론에서, 앞의 절에서 설명한 것처럼, 인스턴트 온은 비종교적인 4-형태 특성 클래스를 가진 게이지 번들이다. 게이지 대칭이 단일 그룹 또는 특수 단일 그룹인 경우 이 특성 클래스는 두 번째 체르누스 등급으로 게이지 그룹 U(1)의 경우 사라진다. 게이지 대칭이 직교 그룹이라면 이 클래스는 최초의 폰트르자긴 클래스다.

힉스 필드가 있는 3차원 게이지 이론에서 't Hooft-Polyakov monopoles는 인스턴트온의 역할을 한다. 알렉산더 폴리아코프는 1977년 논문 Quark Cambing과 게이지 그룹의 토폴로지를 통해 3차원 QED에서의 인스턴트온 효과가 스칼라장에 결합되어 광자를 위한 질량으로 이어진다는 것을 증명했다.

2차원 아벨리안 게이지 이론에서 월드시트 인스턴스(instantons)는 자성 변종이다. 그들은 거울 대칭의 중심 역할을 하면서 끈 이론에서 많은 비운동적 효과에 책임이 있다.

1차원 양자역학에서 인스턴트온들은 섭동 이론에서 보이지 않는 터널링을 기술한다.

4d 초대칭 게이지 이론

초대칭 게이지 이론은 종종 비초기화 이론에 따르기 때문에 허용되는 양자 보정의 종류가 제한된다. 이러한 많은 이론들은 섭동 이론에서 석회화가 가능한 수정에만 적용되기 때문에 섭동 이론에서는 볼 수 없는 인스턴트온들은 이 수량에 대한 수정만을 제공한다.

초대칭 이론에서 인스턴트온 계산을 위한 현장 이론 기법은 1980년대에 다수의 저자에 의해 광범위하게 연구되었다. 초대칭은 인스턴트 온그라운드에서 페르미오닉 대 보소닉 비제로 모드의 취소를 보장하므로, 관련된 '트 후프트' 즉석 안장 지점 계산은 제로 모드에 대한 통합으로 감소한다.

N = 1 초대칭 게이지 이론에서 인스턴트온은 초전위를 수정할 수 있으며, 때로는 모든 바쿠아를 들어올릴 수 있다. 1984년 이안 애플렉, 마이클 디너, 네이선 세이버그는 초대칭 QCD에서 동적 초대칭 파괴 논문에서 초대칭 QCD에 대한 인스턴트온 보정을 계산했다. 보다 정확히 말하면, 그들은 이론이 특수한 단일 게이지 그룹의 색의 수보다 한 가지 더 적은 치랄 물질의 맛을 포함할 때에만 계산을 수행할 수 있었다. 왜냐하면 적은 맛의 존재에서는 파손되지 않은 비아벨리안 게이지의 대칭성이 적외선 분산을 초래하고 더 많은 맛의 경우 기여가 동일하기 때문이다.알 투 제로 이러한 특수한 치랄 물질의 선택을 위해 물질 스칼라 장의 진공 기대치를 선택하여 약한 결합에서 게이지 대칭을 완전히 깨뜨려 신뢰할 수 있는 반종류 안장 지점 계산을 진행할 수 있다. 그때 다양한 질량 용어에 의한 동요를 고려함으로써 그들은 이론이 더 이상 약하게 결합되지 않을 때에도 유효하게 임의의 수의 색과 맛의 존재에서 초전위를 계산할 수 있었다.

N = 2 초대칭 게이지 이론에서 초전위는 양자 보정을 받지 않는다. 그러나 인스턴트 온 바쿠아 모듈리 공간의 측정기준에 대한 보정은 일련의 논문에서 계산되었다. 먼저, 1개의 인스턴트온 보정은 초대칭과 비초대칭 베타 함수의 Nathan Seiberg에 의해 계산되었다. SU(2) Yang-Mills 이론에 대한 전체 수정 세트는 Nathan Seiberg와 Edward Witten이 "전기 – 자기 이중성, 단극 응축 및 N=2 초대칭 Yang-Mills 이론"에서 계산한 것이며, 그 과정에서 오늘날 세이버그-Witten 이론으로 알려진 주제를 만들었다. 그들은 N=2 초대칭 QCD에서 깨지는 N=2 대칭 QCD에서 근본적인 물질, 이중성 및 치랄 대칭성을 가진 SU(2) 게이지 이론으로 계산을 확장했다. 이러한 결과는 이후 다양한 게이지 그룹과 물질 내용에 대해 확장되었으며, 대부분의 경우 직접적인 게이지 이론 파생도 얻어졌다. 게이지 그룹 U(N)와의 게이지 이론에 대해 세이베르크-위튼 기하학은 니키타 네크라소프와 안드레이 오쿤코프에 의해 2003년에 네크라소프 파티션 함수를 이용한 게이지 이론에서, 나카지마 히라쿠와 요시오카 고타에 의해 독립적으로 도출되었다.

N = 4개의 초대칭 게이지 이론에서 인스턴트온은 바쿠아 모듈리 공간의 측정값에 대한 양자 보정을 유도하지 않는다.

참고 항목

• 인스턴 유체
• 칼로론
• 시드니 콜먼 – 미국 물리학자
• 홀슈타인-청어법
• 중력인스턴트 – 진공 아인슈타인 방정식을 만족하는 4차원 완전 리만 다지관
• 반전도 상태 이론 – 화학 반응 속도 이론
• 양-밀스 방정식
• 게이지 이론(수학) – 벡터 번들, 원리 번들 및 섬유 번들 연구

참조 및 참고 사항

메모들

인용구

일반

• 미하일 A에 의해 편집된, 인스턴트 온에 관한 기사를 편집한 게이지 이론의 인스턴트온. 시프먼, 도이:10.1142/2281
• 솔리톤과 인스턴, R. 라자라만 (암스테르담: 노스 홀랜드, 1987), ISBN 0-444-87047-4
• Proc의 시드니 콜맨이 쓴 Instantons의 Uses of Instantons. 국제 핵 물리학 학교 (Erice, 1977), 그리고 대칭성의 측면 265에서 시드니 콜먼, 캠브리지 대학 출판부, 1985년 ISBN 0-521-31827-0, 그리고 게이지 이론의 인스턴스.
• 솔리톤, 인스턴트온, 트위스터. 옥스퍼드 대학 출판부의 M. 두나즈스키. ISBN 978-0-19-857063-9
• The Geometry of Four Manifolds, S.K. Donaldson, P.B. Kronheimer, Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8.

외부 링크

• Wiktionary에서 인스턴트온 사전 정의