준범주

수학에서 좀 더 구체적으로 말하면 준분류학(quasicategories, 약한 Kan complex, 내부 Kan complex, 무한분류, categ-category, 보드만 콤플렉스, 쿼테고리라고도 함)은 범주 개념의 일반화다.그러한 일반화의 연구는 상위 카테고리 이론으로 알려져 있다.

준 범주는 보드맨&보그트(1973)에 의해 도입되었다.안드레 조이알은 대부분의 일반적인 기본 범주 이론과 일부 진보된 개념과 이론이 준 범주와 유사하다는 것을 보여주는 준 범주의 연구를 훨씬 진전시켰다.준범주 이론에 대한 정교한 논문은 제이콥 루리에(2009)에 의해 설명되었다.

준범주는 어떤 단순한 집합이다.일반 범주처럼 개체(단순 집합의 0-단순)와 이러한 개체 사이의 형태(1-단순)를 포함한다.그러나 범주와 달리, 두 형태론의 구성이 고유하게 정의될 필요는 없다.주어진 두 가지 형태론의 구성 역할을 할 수 있는 모든 형태론은 더 높은 순서의 반전성 형태론("동성애"로 생각되는 두 개의 단순성)에 의해 서로 연관되어 있다.이러한 고차 형태론도 구성될 수 있지만, 다시 말하지만 그 구성은 여전히 고차 변위형 형태론 등까지만 잘 정의되어 있다.

상위 카테고리 이론(적어도 상위 형태론이 변절불능일 때 상위 카테고리 이론)의 개념은, 카테고리의 표준 개념과는 반대로, 두 객체 사이에 (매핑 집합이 아닌) 매핑 공간이 있어야 한다는 것이다.이는 상위 범주가 단순히 위상학적으로 풍부한 범주가 되어야 함을 시사한다.그러나 준범주의 모델은 위상적으로 풍요로운 범주의 모델보다 적용에 더 적합하지만, 두 모델이 퀼렌과 동등한 자연 모델 구조를 가지고 있다는 것이 루리에 의해 증명되었다.

정의

정의에 의해,quasi-category C가 단체의. 세트 내부 간 총리 조건 충족(또한 약한 간 총리 조건 요구했다):C의 모든 내면의 호른, 즉 단체의. 세트의 지도를Λ k[n]C{\displaystyle\Lambda ^{km그리고 4.9초 만}[n]\to C→}이 0<, k<>n{\displaystyle 0<, k<, n}, 충전제 지도를, 즉 확대. Δ[n]→ C $단순$ 집합 $\Delta [n]$ [ $]\$ $delta$ [n]\to $C}$ . $\Delta [n]\to C$ 단순 집합 정의는 Kan $fibration#$ Delta [ $n]$ 및 $\Delta [n]$ $\Lambda ^{k}[n]$ $[\displaystyle \Lambda ^{k}[n]}$ 참조)) $\Lambda ^{k}[n]$

2단계의 $\Delta [2]\to C$ $\Delta [2]\to C$ $\Delta [2]\to C$ → $\Delta [2]\to C$ $[\displaystyle \Delta[2]\to C}$ 가 $\Delta [2]\to C$ 역삼각형(적어도 호모토피까지)을 나타내야 한다는 생각이다.지도 $\Lambda ^{1}[2]\to C$ $\Lambda ^{1}[2]\to C$ [ $\Lambda ^{1}[2]\to C$ $\Lambda ^{1}[2]\to C$ → $\Lambda ^{1}[2]\to C$ $\Lambda ^{1}[2]\to C$ 는 합성 가능한 쌍을 나타낸다 $\Lambda ^{1}[2]\to C$ .따라서 준범주에서는 지도를 구성하는 여러 가지 방법을 선택할 수 있기 때문에 형태론에 관한 구성법을 정의할 수 없다.

정의의 한 결과는 $C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}$ $C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}$ [ $C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}$ $C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}$ → C $C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}$ 1 $C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}$ [ $C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}$ $C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}$ ${\$ 2]{\ $delta [2]}\to C^{\lambda ^{1}[2]}}}}}}}}}}}}$ 은 $C^{{\Delta [2]}}\to C^{{\Lambda ^{1}[2]}}$ (는) 사소한 Kan pibring이다.즉, 구성법이 고유하게 규정되어 있지 않지만, 계약 가능한 선택에 따라 고유하다.

호모토피 범주

준범주 C가 주어지면 C의 호모토피 범주라 불리는 일반적인 범주 hC와 연관시킬 수 있다.호모토피 범주는 C의 정점을 객체로서 가지고 있다.형태는 꼭지점 사이의 가장자리의 호모토피 등급에 의해 주어진다.n = 2에 대한 경음기 주입구 조건을 사용하여 조성이 제공된다.

일반적인 단순화 세트의 $\tau _{1}$ 기본 범주 펑터로 알려진 sSet에서 $\tau _{1}$ Cat까지 $\tau _{1}$ \ $displaystyle \tau _{1}{$ 1}가 $있으며$ , 준 범주 C의 경우 기본 범주는 호모토피 범주( $\tau _{1}(C)=hC$ : $\tau _{1}(C)=hC$ $\tau _{1}(C)=hC$ ( $\tau _{1}(C)=hC$ ) $\tau _{1}(C)=hC$ = H ${\displaysty \tau _{1}(C)=H$ 와 동일하다.

예

범주의 신경은 내면의 뿔을 채우는 것이 독특하다는 여분의 성질을 가진 준 범주의 것이다.반대로 내향 뿔이 독특한 충전재를 갖는 준 범주는 어떤 범주의 신경에 이형성이 있다.C 신경의 호모토피 카테고리는 C와 이형이다.
위상학적 공간 X를 주어진다면 X(X)의 기본 ∞-그룹(Groupoid)로도 알려진 그것의 단수 집합 S(X)를 정의할 수 있다. 이는 모든 형태론이 뒤집힐 수 없는 준 범주다.S(X)의 호모토피 범주는 X의 기본 그룹형이다.
앞의 예보다 더 일반적이어서 모든 칸 단지는 준 범주의 예다.칸 콤플렉스에서는 내부뿐만 아니라 모든 뿔의 모든 지도를 채울 수 있으며, 이는 다시 칸 콤플렉스의 모든 형태는 되돌릴 수 없는 결과를 낳는다.따라서 칸 콤플렉스는 그룹오이드와 유사하다 - 한 카테고리의 신경은 그룹오이드인 경우 칸 콤플렉스다.

변형

An (1998, 1) 범주는 n > 1에 대한 모든 n-모형성이 동등하다는 불필요한 준-분류 ∞-범주이다.(1998, 1) 범주의 여러 모델이 있는데, 여기에는 시갈 범주, 단순하게 농축된 범주, 위상 범주, 완전한 시갈 공간 등이 포함된다.준범주도 ( (, 1)범주이기도 하다.

Model structure sSSet-categories (1968,1)Cat을 표시하는 모델 구조가 있다.

호모토피 Kan 확장 특히 호모토피 제한과 호모토피 콜리밋의 개념은 간 복합-농축 카테고리에 있어서 직접적인 제형을 가지고 있다.자세한 내용은 호모토피 Kan 확장을 참조하십시오.

(1998,1)-토포스 이론의 제시 모든 (1998,1)토포스 이론은 sSet-categories의 관점에서 모델링할 수 있다.(토엔베조시).sSet-site의 (set-site) 개념과 (set-enced preshave) 모델 구조를 모델링하는 sSet-site의 모델 구조가 있는데, 이 개념은 stack-stack (set,1)-topes에 대한 프레젠테이션이다.

참고 항목

참조

Boardman, J. M.; Vogt, R. M. (1973), Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces, Lecture Notes in Mathematics, vol. 347, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0068547, ISBN 978-3-540-06479-4, MR 0420609
Groth, Moritz, A short course on infinity-categories (PDF)
Joyal, André (2002), "Quasi-categories and Kan complexes", Journal of Pure and Applied Algebra, 175 (1): 207–222, doi:10.1016/S0022-4049(02)00135-4, MR 1935979
Joyal, André; Tierney, Myles (2007), "Quasi-categories vs Segal spaces", Categories in algebra, geometry and mathematical physics, Contemp. Math., vol. 431, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 277–326, arXiv:math.AT/0607820, MR 2342834
Joyal, A. (2008), The theory of quasi-categories and its applications, lectures at CRM Barcelona (PDF), archived from the original (PDF) on July 6, 2011
Joyal, A., Notes on quasicategories (PDF)
Lurie, Jacob (2009), Higher topos theory, Annals of Mathematics Studies, vol. 170, Princeton University Press, arXiv:math.CT/0608040, ISBN 978-0-691-14049-0, MR 2522659
Joyal의 Catlab 항목:준범주론
nLab의 준범주
nLab의 무한 범주
nLab의 기본+카테고리
Bergner, Julia E (2011). "Workshop on the homotopy theory of homotopy theories". arXiv:1108.2001 [math.AT].
(iii, 1)-nLab의 범주
Hinich, Vladimir (2017-09-19). "Lectures on infinity categories". arXiv:1709.06271 [math.CT].

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