불리르슈-스토어 알고리즘

Bulirsch–Stoer algorithm

수치 분석에서 Bulirsch-Stoer 알고리즘은 세 가지 강력한 아이디어를 결합한 일반 미분방정식의 숫자 해법이다.리차드슨 외삽법, 리처드슨형 응용 프로그램의 합리적 함수 외삽법 사용, 수정 중간점 방법 등은 높은 정확도와 비교적 적은 계산 노력으로 일반 미분 방정식(OSE)에 대한 수치적 해결책을 얻기 위한 것이다.그것은 롤랜드 불러쉬와 요제프 스토어의 이름을 따서 지어졌다.윌리엄 B로 인해 수정된 중간점 방법의 오류 함수에 대한 결과의 중요성 때문에 때때로 GBS(Gragg-Bulirsch-Stoer) 알고리즘이라고 불린다. 그래그.

기본 아이디어

리처드슨 외삽의 개념은 단계화 h의 (알 수 없는) 분석 함수로 사용된 단계화 h에 따라 정확도가 달라지는 수치 계산을 고려하고, h의 다양한 값으로 숫자 계산을 수행하고, 결과 지점에 a(초센) 분석 함수를 맞추고, h = 0에 대한 적합 함수를 평가하는 것이다.따라서 무한히 미세한 단계를 통해 계산의 결과를 대략적으로 파악하려고 한다.

Bulirsch와 Stoer는 수치적 통합에서 리차드슨 외삽을 위한 피팅 함수로 합리적 함수를 사용하는 것이 다항함수를 사용하는 것보다 우월하다고 인식했다. 왜냐하면 이성 함수는 (다항함수에 비해) 극과 함수를 (다항함수에 비해) 잘 근사할 수 있기 때문이다.근처의 극을 설명하기 위한 분모다항식 보간 또는 외삽은 가장 가까운 극이 복잡한 평면의 알려진 데이터 지점 주위의 원 바깥쪽에 있는 경우에만 좋은 결과를 얻을 수 있는 반면, 합리적인 기능 보간 또는 외삽은 가까운 극이 있더라도 현저한 정확도를 가질 수 있다.

변형된 중간점법 자체가 2차법이기 때문에 일반적으로 4차 룬게-쿠타법처럼 4차법보다 열악하다.단, 하위단계의 1개(대수의 하위단계의 경우 가정적으로)당 하나의 파생적 평가만을 요구할 수 있는 장점이 있으며, 또한 Gragg에 의해 발견된 바와 같이 크기 h = H/n의 하위단위로 구성되고 h 단위의 파워시리즈로 표현되는 크기 H의 변형된 중간점 단계의 오차는 h의 짝수 힘만을 포함하고 있다.이는 하위단계의 수가 증가하는 구간 H를 교차하려는 개별 시도 결과가 결합되는 동시에 정확도가 두 개의 오더가 증가하기 때문에 변형된 중간점 방법이 Bulirsch-Stoer 방법에 매우 유용하게 만든다.

하이레르, Nørsett & Wanner(1993, 페이지 228), 이 방법에 대한 논의에서, 이 경우 합리적 외삽은 다항 보간(Deuflhard 1983)에 비해 거의 결코 개선되지 않는다고 말한다.더욱이, 변형된 중간점 방법은 정규 중간점 방법을 수정하여 안정화시키는 것이지만, 외삽법 때문에 이것은 별로 중요하지 않다(Shampine & Baca 1983).

참조

  • Deuflhard, Peter (1983), "Order and stepsize control in extrapolation methods", Numerische Mathematik, 41 (3): 399–422, doi:10.1007/BF01418332, ISSN 0029-599X.
  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 17.3. Richardson Extrapolation and the Bulirsch-Stoer Method". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
  • Shampine, Lawrence F.; Baca, Lorraine S. (1983), "Smoothing the extrapolated midpoint rule", Numerische Mathematik, 41 (2): 165–175, doi:10.1007/BF01390211, ISSN 0029-599X.

외부 링크