표현 범주

표현 이론에서, 일부 대수적 구조의 표현 범주 A을 대표하다A물체로서 그리고 그들 사이의 형태로서 등가 지도로서.표현 이론의 기본 추력 중 하나는 이 범주가 반이행되는 조건, 즉 물체가 단순한 물체로 분해되는지 여부를 이해하는 것이다(유한 집단의 경우는 마슈케의 정리 참조).

탄나키아의 형식주의는 그룹 G가 그것의 표현의 범주에서 벡터 공간의 범주로 망각적인 펑터와 함께 회복될 수 있는 조건을 제공한다.^[1]

그룹 G의 유한차원 표현 범주의 그로텐디크 링은 G의 표현 링이라고 불린다.

정의들

고려하고자 하는 표현의 종류에 따라 약간 다른 정의를 사용하는 것이 일반적이다.

유한집단의 경우G그리고 들판 F, over has의 표현 범주

객체: 쌍(-)V,f벡터 공간의 ) V에 걸쳐서F및 표현f의G그 벡터공간에
형태론: 등가 지도
구성: 등가 지도 구성
ID: ID 기능(불변형 지도)

$\operatorname {Rep} _{F}(G)$ 는 국회의원 $\operatorname {Rep} _{F}(G)$ ⁡ $\operatorname {Rep} _{F}(G)$ ( $\operatorname {Rep} _{F}(G)$ ) $\operatorname {Rep} _{F}(G)$ 또는 $\operatorname {Rep} _{F}(G)$ $\operatorname {Rep} (G)$ $\operatorname {Rep} (G)$ ( $\operatorname {Rep} (G)$ ) ${\displaystyle \operatorname {Rep}(G)$ 로 표시된다 $\operatorname {Rep} (G)$

거짓말 그룹의 경우, 일반적으로 표현은 부드럽거나 허용될 것을 요구한다.Lie 대수학의 경우 Lie 대수 표현을 참조하십시오.범주 O를 참조하십시오.

그룹 링 위의 모듈 범주

집단의 표현 범주 사이에는 범주의 이형성이 있다.G들판 너머로F(위 항목) 및 그룹 링 위의 모듈 범주 F[G], []-GMod.

범주-이론적 정의

모든 그룹G하나의 객체를 가진 범주로 볼 수 있는데, 여기서 이 범주의 형태는 의 요소들이다.G그리고 구성은 그룹 운영으로 주어진다. 그래서G독특한 사물의 자동형성 그룹이다.임의 범주 , 의 표현.G는 의 functor이다.G 이러한 functor는 고유한 객체를 say in 객체에 보내고 그룹 $G\to \operatorname {Aut} (X)$ G $G\to \operatorname {Aut} (X)$ → $G\to \operatorname {Aut} (X)$ $G\to \operatorname {Aut} (X)$ ( $G\to \operatorname {Aut} (X)$ ) ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X$ 자동형성 그룹# 참조더 많은 것을 위해 카테고리 이론에서.예를 들어 -set은 functor와 동일하다.G설정, 집합 범주 및 선형 표현은 필드 위의 벡터 공간 범주인 벡터에_F 대한 펑터와 동일하다.F.^[2]

이 설정에서 over의 선형 표현 범주는 functor 범주가 된다.G→ 자연스러운 변형을 모형으로 하는 벡트_F

특성.

집단의 선형 표현 범주는 표현의 텐서 곱에 의해 주어지는 단노이드 구조를 가지고 있는데, 이것은 탄나카-크레인 이중성의 중요한 성분이다(아래 참조).

마슈케의 정리에는 의 특징이 있을 때 다음과 같다.F의 순서를 나누지 않다G, 표현 범주G에 걸쳐서Fsemisimply 입니다.

제한 및 유도

그룹 지정G서브그룹으로 H, 표현 범주 사이에 두 가지 기본적인 요인이 있다.G그리고H(고정된 필드 위에): 한 사람은 제한 펑터라고 불리는 건망증이 심한 펑터다.

{\displaystyle {\begin}\operatorname {Res} _{H}^{G}:\opername {Rep}(G)&\longrightarrow \operatorname {Rep}(H)\pi &\longmapstopi _{H}\end{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

그리고 다른 하나는 유도 펑터

\operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)

\operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)

\operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)

:

\operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)

\operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)

(

\operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)

)

\operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)

→

\operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)

( G

\operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)

)

{\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep}(H)\to \operatorname {Rep}(G

언제G그리고H유한한 집단이며, 그들은 서로 연결되어 있다.

\operatorname {Hom} _{G}(\operatorname {Ind} _{H}^{G}W,U)\cong \operatorname {Hom} _{H}(W,\operatorname {Res} _{H}^{G}U)

,

프로베니우스 상호주의라는 정리

기본적인 문제는 되돌릴 수 없는 표현(범주의 단순한 객체)으로 분해하는 것이 제한이나 유도 하에 작용하는가 하는 것이다.그 문제는 예를 들어 맥키 이론에 의해 공격될 수 있다.

타나카-크레인 이중성

Tannaka-Krein 이중성은 콤팩트 토폴로지 그룹과 그것의 선형 표현 범주의 상호작용을 다룬다.타나카(Tannaka)의 정리에서는 집단의 유한차원 표현 범주에서 역행하는 통로를 기술하고 있다.G집단으로 돌아가다G그룹을 표현 범주에서 복구할 수 있도록 허용.크랭의 정리는 사실상 이런 패션에서 집단에서 발생할 수 있는 모든 범주를 완전히 특징짓는다.이러한 개념은 여러 가지 다른 구조의 표현에 적용될 수 있다. 자세한 내용은 주요 문서를 참조하십시오.

메모들

^ Jacob, Lurie (2004-12-14). "Tannaka Duality for Geometric Stacks". arXiv:math/0412266.
^ Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). New York, NY: Springer New York. p. 41. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.

참조

André, Yves (2004), Une introduction aux motifs (motifs purs, motifs mixtes, périodes), Panoramas et Synthèses, vol. 17, Paris: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, MR 2115000

외부 링크

https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+representations

[1] Jacob, Lurie (2004-12-14). "Tannaka Duality for Geometric Stacks". arXiv:math/0412266.

[2] Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). New York, NY: Springer New York. p. 41. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.

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