표현 제한

집단 이론에서 제한은 전체 집단의 알려진 표현을 사용하여 하위 집단의 표현을 형성한다.제한은 집단의 대표이론의 근본적인 구성이다.종종 제한된 표현은 이해하기 더 간단하다.불가해한 표현에 대한 제한을 부분군의 불가해한 표현으로 분해하는 규칙을 분기 규칙이라고 하며, 물리학에 중요한 응용을 가지고 있다.예를 들어 명시적 대칭이 깨지는 경우 문제의 대칭 그룹은 전체 그룹에서 하위 그룹 중 하나로 축소된다.양자역학에서, 이러한 대칭의 감소는 스타크나 지만 효과에서와 같이 퇴화된 에너지 수준을 다중값으로 분할하는 것으로 나타난다.

유도 표현은 부분군의 표현에서 전체 집단의 표현을 구성하는 관련 연산이다.제한과 유도의 관계는 프로베니우스 상호주의와 맥키 정리에 의해 설명된다.정상 서브그룹에 대한 제약은 특히 잘 작용하며 A의 정리 후에 클리퍼드 이론이라고 하는 경우가 많다.H. 클리포드.^[1]제한은 다른 집단 동음이의어와 다른 링으로 일반화될 수 있다.

어떤 그룹 G, 그 부분군 H, 그리고 G의 선형 표현 ρ에 대해 ρ에서 H까지의 제한은 다음과 같다.

\rho \,{\Big }_{H}

동일한 연산자에 의해 동일한 벡터 공간에 H를 나타낸다.

\rho \,{\Big }_{H}(h)=\rho(h).

고전 분업 규칙

고전적 분기 규칙은 고전적 그룹 G의 불가역적 복합 표현( (, V)을 고전적 하위 그룹 H로 제한, 즉 $π$ 에서 H의 불가역적 표현(σ, W)이 발생하는 다중성을 설명한다.콤팩트 그룹에 대한 프로베니우스 상호주의에 의해, 이것은 σ에서 유도된 단일적 표현에서 $π$ 의 다중성을 발견하는 것과 동등하다. 고전적 그룹에 대한 분기 규칙은 에 의해 결정되었다.

연속적인 단일 집단 사이의 Weyl(1946)
연속적인 특수 직교 집단과 단일 직교 집단 사이의 무르나한(1938년)
리틀우드(1950)는 단일 집단에서 단일 집단, 특수 직교 집단까지를 의미한다.

결과는 일반적으로 고전 불변성 이론에서 잘 알고 있는 수정 불가능한 표현에 라벨을 붙이는 데 고전적으로 사용되는 서명을 인코딩하기 위해 영 도표를 사용하여 그래픽으로 표현된다.헤르만 바일(Hermann Weyl)과 리처드 브라워(Richard Brauer)는 G 그룹과 H 그룹이 공통의 최대치 토러스(Maximal torus)를 공유할 때 분기 규칙을 결정하는 체계적 방법을 발견했다. 이 경우 H의 Weyl 그룹은 G 그룹 중 하나의 하위 그룹이기 때문에 Weyl 문자 공식에서 규칙을 추론할 수 있다.^[2]^[3]호우(1995)는 그의 이중쌍 이론의 맥락에서 체계적인 현대적 해석을 제시해 왔다.H의 σ은 사소한 표현은 특별한 사례가 처음 대대적으로 화 현 경계로 대칭 도메인의 Szegő 알갱이에 그의 작품에서 실로프 경계가 G/H은 소형 대칭 공간에서 G[4][5]더 일반적으로 Cartan-Helgason 원칙은 분해하는 형태가 몇가지 복잡한 변수에 사용되었다.사건모든 승수는 1이다;^[6] 임의의 σ에 대한 일반화는 그 후 코스탄트(2004)에 의해 얻어졌다.Knapp(2005) harvtxt 오류에도 유사한 기하학적 고려사항이 사용되어왔다: 대상 없음: CATEREFKnapp2005 (도움말) 리틀우드의 규칙을 다시 해석하기 위한 것으로, 리틀우드-리처드슨(Help)은 단일 군집단의 수정 불가능한 표현을 억제하기 위한 유명한 규칙을 포함한다.리텔만(1995)은 자신의 경로 모델을 이용하여 이러한 규칙의 일반화를 임의의 콤팩트한 반실현 리 그룹에 대해 루슈티그와 가시와라의 결정 기반 이론에 근접한 표현 이론에 대한 접근법을 발견했다.그의 방법은 최대 토루스(torus)를 포함하는 부분군의 제한에 대한 분지 규칙을 산출한다.분업 법칙에 대한 연구는 고전 불변 이론과 그 현대적 상대인 대수적 결합 이론에서 중요하다.^[7]^[8]

예.단일 단체인 U(N)는 서명된 것으로 라벨을 붙일 수 없는 표현을 가지고 있다.

\mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}}}

여기서_i f는 정수다.실제로 단일 행렬 U가 고유값 z를_i 갖는 경우, 해당 불가해한 표현 $π$ 의_f 문자는 다음과 같이 주어진다.

\operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f}(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i} \over \prod _{i}(z_{i}-z_{j}}}}}}).

U(N)에서 U(N – 1)까지의 분기 규칙은 다음과 같다.

\pi _{\mathbf {f} } _{U(N-1)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{N-1}\geq g_{N-1}\geq f_{N}}\pi _{\mathbf {g} }

예.Sp(N) 또는 U(N, H)로 표기된 단일감수체 또는 Quaternionic 단일감수체는 모든 H^N 변환의 집단으로, Quaternion H에 의해 올바른 곱셈으로 통근하고 H 값을 가진 은둔자 내생물을 보존한다.

{\displaystyle(q_{1},\ldots,q_{N})\cdot(r_{1},\ldots,r_{N}=\sum r_{i}^{*q_{i}}}}}}}}}\cdot(r_{n})\cdot(으)\cdotsum r_{dots

q*가 q에 대한 쿼터니온 결합을 나타내는^N H에서. 쿼터니온을 2 x 2 복합 매트릭스로 실현하면서, 그룹 Sp(N)는 단지 SU(2N)의 블록 매트릭스(q_ij) 그룹일 뿐이다.

q_{ij}={\pmatrix}\reason_{ij}&\line_{ij}\-{\coverline{\ij}}&line{\model }}}}{ij}\end{pmatrix},},},

여기서 α와_ij β는_ij 복잡한 수이다.

Sp(N)의 각 행렬 U는 항목이 포함된 블록 대각 행렬에 결합된다.

q_{i}={\pmatrix}z_{i}&0\\\\\\overline {z}_{i}\end{pmatrix},

여기서_i z = 1.따라서 U의 고유값은 (z_i^±1)이다.수정할 수 없는 Sp(N) 표현은 서명으로 표시된다.

\mathbf {f} \,\colon \,f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{N}\geq 0

여기서_i f는 정수다.해당 불가해한 표현 σ의_f 문자는 다음과^[9] 같다.

\operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(U)={\det z_{j}^{f_{i}+N-i+1}-z_{j}^{-f_{i}-N+i-1} \over \prod (z_{i}-z_{i}^{-1})\cdot \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}.

Sp(N)에서 Sp(N – 1)까지의 분기 규칙은 다음과 같다^[10].

{\displaystyle \sigma _{\mathbf {f}{\mathrm {Sp}(N-1)}=\bigoplus _{f_{i}\geq g_{i+2}}m(\mathbf {f},\mathb {g}}\sigma _{g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}).

여기서 f_{N + 1} = 0이며 다중성 m(f, g)은 다음과 같이 주어진다.

m(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\prod _{i=1}^{N}(a_{i}-b_{i}+1)

어디에

a_{1}\geq b_{1}\geq a_{2}\geq b_{2}\geq \cdots \geq a_{N}\geq b_{N}=0

2N 비 음의 정수(f_i), (g_j) 및 0의 증가하지 않는 재배열이다.

예.U(2N)에서 Sp(N)로 분기하는 것은 리틀우드의 두 가지 정체성에 의존한다.^[11]^[12]^[13]^[14]

{\begin{aligned}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \Pi _{\mathbf {f} ,0}(z_{1},z_{1}^{-1},\ldots ,z_{N},z_{N}^{-1})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\\[5pt]={}&\sum _{f_{1}\geq f_{2}\geq f_{N}\geq 0}\operatorname {Tr} \sigma _{\mathbf {f} }(z_{1},\ldots ,z_{N})\cdot \operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(t_{1},\ldots ,t_{N})\cdot \prod _{i<j}(1-z_{i}z_{j})^{-1},\end{aligned}}

여기서_N π은_f,0 서명₁ f · ·······································································

\prod _{i}{i}z_{j}^{-1}=\sum _{f_{2i-1}=f_{2}}\operatorname {Tr} \pi _{f}(z_{1},\ldots,z_{N}),}}}

여기서_i f ≥ 0.

U(2N)에서 Sp(N)로 분기 규칙은

\Pi _{\mathbf {f} ,0} _{\mathrm {Sp} (N)}=\bigoplus _{\mathbf {h} ,\,\,\mathbf {g} ,\,\,g_{2i-1}=g_{2i}}M(\mathbf {g} ,\mathbf {h} ;\mathbf {f} )\sigma _{\mathbf {h} }

여기서 모든 서명이 음성이 아니며 계수 M(g, h; k)은 $\otimes$ _h 텐서 제품 $\otimes$ $π$ 에_g 있는 U $(N$ )의 $π$ 의_k 수정 불가능한 표현 π의 곱이다 $.$ 무게 g의 스큐 다이어그램 k/h의 격자 순열 수인 리틀우드-리처드슨 규칙에 의해 조합적으로 주어진다.^[8]

순다람(1990, 페이지 203) 때문에 리텔우드의 분업 규칙이 임의 서명까지 연장되어 있다.Littlewood-Richardson 계수 M(g, h; f)은 시그니처 f가 2N 부품을 가질 수 있도록 확장되지만 g가 짝수 열_{2i – 1} 길이(g_2i = g)를 가지도록 제한한다.이 경우 공식은 다음과 같다.

\Pi _{\mathbf {f} } _{\operatorname {Sp} (N)}=\bigoplus _{\mathbf {h} ,\,\,\mathbf {g} ,\,\,g_{2i-1}=g_{2i}}M_{N}(\mathbf {g} ,\mathbf {h} ;\mathbf {f} )\sigma _{\mathbf {h} }

여기서 M_N(g, h; f)계수 중량 g의 f/h의 격자 순열 수를 계산하며, 2j + 1은 1 ≤ j ≤ g /2에 대해 n + j 행보다 작지 않은 것으로 나타난다.

예.특수 직교 그룹 SO(N)는 서명으로^[2]^[7]^[15]^[16] 표시된 수정 불가능한 일반 및 스핀 표현을 가지고 있다.

$f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ f $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{{n-1}}\geq |f_{n}|$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ ≥ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ - $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq |f_{n}|$ {\ $displaystyle f_{$ 1}\ $geq f_{$ 2}\ $geq$ \cdots $\geq$ f_ ${n-1}\geq$ f_{ $n} }$ $\cdots$ \geq f_{n};
$f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ F $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ 1 for $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ f $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ n n $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ $f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{n}\geq 0$ 0 ${\displaystyle f_{1}\geq f_{2}\geq \cdots \geq f_{$ n}\ $geq$ 0 $}($ N = 2n+1의 경우).

f는_i 통상적인 표현에서는 Z로, 스핀 표현에서는 for + Z로 취한다.실제로 직교 행렬 U가 1 1 i ≤ n에 대한 고유값 z를_i^±1 갖는 경우, 해당 불가해한 표현 $π$ 의_f 문자는 다음과 같다.

\operatorname {Tr} \,\pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+n-i}+z_{j}^{-f_{i}-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})}

N = 2n 및 기준의 경우

\operatorname {Tr} \pi _{\mathbf {f} }(U)={\det(z_{j}^{f_{i}+1/2+n-i}-z_{j}^{-f_{i}-1/2-n+i}) \over \prod _{i<j}(z_{i}+z_{i}^{-1}-z_{j}-z_{j}^{-1})\cdot \prod _{k}(z_{k}^{1/2}-z_{k}^{-1/2})}

N = 2n+1의 경우.

SO(N)에서 SO(N – 1)로 분기 규칙은 다음과^[17] 같이 명시한다.

\pi _{\mathbf {f} } _{SO(2n)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq g_{n-1}\geq f_{n}\geq  g_{n} }\pi _{\mathbf {g} }

N = 2n + 1의 경우

\pi _{\mathbf {f} } _{SO(2n-1)}=\bigoplus _{f_{1}\geq g_{1}\geq f_{2}\geq g_{2}\geq \cdots \geq f_{n-1}\geq g_{n-1}\geq  f_{n} }\pi _{\mathbf {g} }

N = 2n의 경우, 여기서_i f - g의_i 차이는 정수여야 한다.

겔판트세틀린 기준

Since the branching rules from $U(N)$ to $U(N-1)$ or $SO(N)$ to $SO(N-1)$ have multiplicity one, the irreducible summands corresponding to smaller and smaller N will eventually terminate in one-dimensional subspaces.이러한 방법으로 Gelfand와 Tsetlin은 Gelfand-Tsetlin 패턴이라고 불리는 인터리브 서명 체인으로 표시된 $SO(N)$ $U(N)$ ( $){\displaystyle U(N)}$ 또는 $U(N)$ $SO(N)$ O $SO(N)$ ( $){\displaysty SO(N)}$ 의 불가해한 표현 근거를 얻을 수 있었다.Gelfand-Tsetlin 기반에 대한 Lie 대수학의 작용에 대한 명시적 공식은 želobenko (1973년)에 제시되어 있다.Specifically, for $N=3$ , the Gelfand-Testlin basis of the irreducible representation of $SO(3)$ with dimension $2l+1$ is given by the complex spherical harmonics $\{Y_{m}^{l} -l\leq m\leq l\}$ .

For the remaining classical group $Sp(N)$ , the branching is no longer multiplicity free, so that if V and W are irreducible representation of $Sp(N-1)$ and $Sp(N)$ the space of intertwiners ${\displaystyle Hom_{$ $Sp(N-1)}(V,W)}$ 은(는) 1보다 큰 치수를 가질 수 있다 $Hom_{Sp(N-1)}(V,W)$ .It turns out that the Yangian $Y({\mathfrak {gl}}_{2})$ , a Hopf algebra introduced by Ludwig Faddeev and collaborators, acts irreducibly on this multiplicity space, a fact which enabled Molev (2006) to extend the construction of Gelfand–Tsetlin bases to $Sp(N)$ .^[18]

클리포드의 정리

1937년 알프레드 H. 클리포드는 그룹 G에서 유한 지수의 정상 부분군 N으로 유한한 차원 불가해한 표현을 제한하는 것에 대해 다음과 같은 결과를 증명했다.^[19]

정리. $Let$ :: G $\rightarrow$ → $\rightarrow$ GL $\rightarrow$ (n,K)은 K a 필드와 함께 수정할 수 없는 표현이다.그 후 π의 N에 대한 제한은 동일한 차원의 N에 대한 불가해한 표현들의 직접적인 합으로 나뉜다.N의 이러한 불가해한 표현은 N의 불가해한 표현들의 동등성 등급에 대한 결합에 의한 G의 작용을 위한 하나의 궤도에 놓여 있다.특히 구별되는 합계 수는 G에서 N의 지수보다 크지 않다.

20년 후 조지 맥키는 "맥키 기계" 또는 "맥키 정상 부분군 분석"으로 알려진 부분군을 폐쇄하는 정상 하위그룹으로 지역적 소형 그룹의 수정 불가능한 단일 표현을 제한하는 이 결과의 보다 정확한 버전을 발견했다.^[20]

추상 대수 설정

범주 이론의 관점에서 볼 때, 제한은 건망증이 심한 펑터의 한 예다.이 펑터는 정확하고, 그것의 왼쪽 부호 펑터는 인덕션이라고 불린다.다양한 맥락에서 제한과 유도 사이의 관계를 프로베니우스 상호주의라고 부른다.유도 및 제한의 작동은 표현을 분석하기 위한 강력한 도구를 형성한다.이것은 예를 들어 특성 0의 영역에 걸친 유한집단의 표현 이론에서 표현들이 완전한 축소성의 속성을 가질 때마다 특히 그렇다.

일반화

이 다소 명백한 구조는 여러 가지 의미 있는 방법으로 확장될 수 있다.예를 들어, 우리는 포함 지도 대신에 H에서 G까지 모든 집단 동형성 φ을 취할 수 있으며, 구성에 의해 H의 제한된 표현을 정의할 수 있다.

\displaystyle \rho \do \varphi \,}

우리는 또한 추상 대수학에서 다른 범주에 아이디어를 적용할 수도 있다: 연상 알헤브라스, 반지, 리 알헤브라스, 리 슈퍼알제브라스, 홉프 알헤브라스.표현 또는 모듈은 하위 객체 또는 동형문자를 통해 제한된다.

메모들

^ 웨일 1946 페이지 159-160.
^ ^a ^b 웨일 1946년
^ 젤로벤코 1963
^ 헬가슨 1978
^ 화 1963년
^ 헬가슨 1984, 페이지 534-543
^ ^a ^b Goodman & Wallach 1998
^ ^a ^b 맥도널드 1979년
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^ 리틀우드 1950
^ 웨일 1946 페이지 216–222
^ 코이케 & 테라다 1987
^ 맥도날드 1979, 페이지 46
^ Littelwood 1950, 페이지 223–263
^ 무르난 1938년
^ Goodman & Wallach, 페이지 351 (도움말)
^ G. I. Olshanski는 꼬인 $Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})$ Y $Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})$ - $Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})$ ( g $Y({\mathfrak {gl}}_{2})$ $){\displaystyle Y^{-}({\mathfrak{$ $Y({\mathfrak {gl}}_{2})$ $}_{2})$ 의 하위 Hopf 대수인 $Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})$ Y $({\mathfrak{gl}_{2})$ 가 $Y({\mathfrak {gl}}_{2})$ 인터트윈터의 공간에 자연스럽게 작용한다는 것을 보여 주었다.그것의 자연적인 불가해한 표현은 ${\mathfrak {gl}}$ ${\mathfrak {gl}}$ ${\$ 의 불가해한 표현으로 점 평가 구성의 텐서적인 생산물에 해당한다 ${\mathfrak {gl}}$ ₂이는 Yangian $Y({\mathfrak {gl}})$ ( $Y({\mathfrak {gl}})$ $Y({\mathfrak {gl}})$ ) ${\displaystyle$ Y $({\mathfrak {gl})$ 까지 확장되며 $Y({\mathfrak {gl}})$ 분기 계수의 제품 형태에 대한 표현 이론적 설명을 제공한다.
^ 웨일 1946, 페이지 159–160, 311
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참조

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[3] 젤로벤코 1963

[4] 헬가슨 1978

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[Goodman-7] Goodman & Wallach 1998

[Macdonald-8] 맥도널드 1979년

[9] 웨일 1946 페이지 218

[10] Goodman & Wallach 1998, 페이지 351–352, 365–370

[11] 리틀우드 1950

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[15] Littelwood 1950, 페이지 223–263

[16] 무르난 1938년

[17] Goodman & Wallach, 페이지 351 (도움말)

[18] G. I. Olshanski는 꼬인 $Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})$ Y $Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})$ - $Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})$ ( g $Y({\mathfrak {gl}}_{2})$ $){\displaystyle Y^{-}({\mathfrak{$ $Y({\mathfrak {gl}}_{2})$ $}_{2})$ 의 하위 Hopf 대수인 $Y^{-}({\mathfrak {gl}}_{2})$ Y $({\mathfrak{gl}_{2})$ 가 $Y({\mathfrak {gl}}_{2})$ 인터트윈터의 공간에 자연스럽게 작용한다는 것을 보여 주었다.그것의 자연적인 불가해한 표현은 ${\mathfrak {gl}}$ ${\mathfrak {gl}}$ ${\$ 의 불가해한 표현으로 점 평가 구성의 텐서적인 생산물에 해당한다 ${\mathfrak {gl}}$ ₂이는 Yangian $Y({\mathfrak {gl}})$ ( $Y({\mathfrak {gl}})$ $Y({\mathfrak {gl}})$ ) ${\displaystyle$ Y $({\mathfrak {gl})$ 까지 확장되며 $Y({\mathfrak {gl}})$ 분기 계수의 제품 형태에 대한 표현 이론적 설명을 제공한다.

[19] 웨일 1946, 페이지 159–160, 311

[20] Mackey, George W. (1976), The theory of unitary group representations, Chicago Lectures in Mathematics, ISBN 978-0-226-50052-2

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