카발리에리의 4각 공식

미적분학에서는 17세기 이탈리아의 수학자 보나벤투라 카발리에리(Bonaventura Cavalieri)의 이름을 딴 카발리에리의 4각 공식이 필수적이다.

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\a^{n+1}\qquad n\geq,}$

그리고 그것의 일반화. 이것은 확실한 적분형식이며, 무한 적분형식은 다음과 같다.

${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1},x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.}$

아래에 나열된 추가 양식이 있다. 적분들의 선형성과 함께, 이 공식은 모든 다항식의 적분들을 계산할 수 있게 한다.

용어 "quadrature"는 면적에 대한 전통적인 용어로서, 적분은 곡선 y = x 아래의ⁿ 면적으로 기하학적으로 해석된다. 전통적으로 중요한 경우는 고대로 알려진 포물선의 4각인 y = x와² 값이 로그인 하이퍼볼라의 4각인 y = 1/x이다.

양식

네거티브 n

n의 음수 값(x의 음수 검정력)의 경우 x = 0에 특이치가 있으므로, 확정 적분은 0이 아니라 1에 기초하여 다음과 같이 산출된다.

${\displaystyle \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}-1}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.$

또한 n의 음수 부분(비정수) 값의 경우 검정력 x가ⁿ 잘 정의되지 않으므로 무한 적분은 양의 x에 대해서만 정의된다. 단, n의 음의 정수의 경우, 검정력ⁿ x는 0이 아닌 모든 x에 대해 정의되며, 무한정집적 및 한정집적합이 정의되며, 대칭 인수를 통해 계산될 수 있으며, x by -x를 대체하고 음의 한정집적분을 -1로 기초할 수 있다.

복잡한 숫자에 걸쳐 명확한 적분(n과 x의 음수 값에 대한)은 등고선 통합을 통해 정의할 수 있지만 경로, 특히 구불구불한 숫자 선택에 따라 결정된다. 기하학적 문제는 함수가 0에서 특이점을 갖는 피복 공간을 정의한다는 것이다.

n = −1

또한 예외적인 경우 n = -1이 있어 x의 검정력 대신 로그가 생성된다.

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}\,dx=\ln a,}$

${\displaystyle \int{\frac {1}{x}\,dx=\ln x+C,\qquad x>0}$

(여기서 "ln"은 자연 로그, 즉 base e = 2.71828...)를 의미한다.

부적절한 적분은 통상적인 선택을 통해 x의 음수 값으로 확장되는 경우가 많다.

${\displaystyle \int{\frac {1}{x}\,dx=\ln x +C,\qquad x\neq 0.}$

무한정적분에서 절대값의 사용에 유의하십시오. 이는 적분량에 대한 통일된 형태를 제공하기 위한 것이며, 로그는 양의 입력에 대해서만 정의되며, 사실 C의 상수값은 0의 양쪽에서 선택할 수 있지만, 이 홀수함수의 적분은 짝수함수라는 것을 의미한다. 이러한 값이 변하지 않기 때문이다.e파생물의 따라서 보다 일반적인 형태는 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle \int{\frac {1}{x}\,dx={\begin{case}\ln x +C^{-x\\\ln x +C^{+}&x]0\case}}}}}}}$

복잡한 숫자에 걸쳐서, 비종교적 커버 공간을 정의하는 이 함수로 인해 1/x에 대한 전지구적 해독제는 존재하지 않는다. 이 형태는 실제 숫자에 특별하다.

1부터 시작하는 확정 적분은 a의 음수 값에 대해 정의되지 않는다는 점에 유의하십시오. 단수를 통과하기 때문에 1/x는 홀수 함수이기 때문에 음력에 대한 확정 적분은 -1에 근거할 수 있다. If one is willing to use improper integrals and compute the Cauchy principal value, one obtains ${\displaystyle \int _{-c}^{c}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$ which can also be argued by symmetry (since the logarithm is odd), so ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$$$ 따라서 확정 적분 기준이 1인지 -1인지에 따라 달라지지 않는다. 무기한 적분에서와 마찬가지로, 이것은 실제 숫자에 특별하며 복잡한 숫자에 확장되지 않는다.

대체 양식

적분 또한 지수를 이동시켜 작성할 수 있으며, 이는 결과를 단순화하고 n-차원 분화와 n-큐브와의 관계를 명확하게 한다.

${\displaystyle \int_{0}^{a}x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}a^{n}\qquad n\geq 1.}$

${\displaystyle \int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}x^{n}+C\qquad n\neq. 0.}$

더 일반적으로, 이러한 공식은 다음과 같이 주어질 수 있다.

${\displaystyle \int(ax+b)^{n}dx={\frac {(ax+b)^{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n+1}}C\qquad {\mbox{{}}}}}}}}\,\!}$

${\displaystyle \int{\frac{1}{ax+b}dx={\frac {1}{a}\ln \좌측 ax+b\오른쪽 +C}$

보다 일반적으로 다음과 같다.

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{a}}\ln \left ax+b\right +C^{-}&x<-b/a\\{\frac {1}{a}}\ln \left ax+b\right +C^{+}&x>-b/a\end{cases}}}$

증명

현대의 증거는 해독제를 사용하는 것이다: x의ⁿ 파생상품은 음이 아닌 정수의 경우 nx로ⁿ⁻¹ 나타난다. 이는 이항식 및 파생상품의 정의에서 나타나며, 따라서 미적분학의 근본적인 정리에 의해 반분제가 필수적이다. 이 메서드는${\displaystyle }$by ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ x ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$, ${\dplaystyle \int{\frac {1}{x}\dx}$에 대해 실패하는데, 이는$$ 후보 항변환제가 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{0}{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\${1}{$0}\frac{$1}}\$cdot$x^{$0$에 의해 정의되지 않기 때문이다. 1/x의 실제 항변제인 로그 함수는 별도로 도입하여 검사해야 한다.

양의 정수로, 이 증명:볼륨에서[2]도 n-cube(n차원의 하이퍼 큐브)의 볼륨으로 그 양 xn을 고려할 때, 그 파생물 변화가 있는 n의 지역, 각 치수의 n에 직면하다로 해석될 수 있– 이것은 xn−1, 측면 길이가 바뀌geometrized 수 있− 1(를 고치고 한 코너의 각끝에는 기원이다.이것들 n개의 면이 정점에 닿지 않는 경우)는 3차원(3차원) 사례에서 각 면에 하나씩 3개의 초소형 얇은 정사각형을 추가하여 이러한 면의 방향으로 성장함으로써 크기가 증가하는 큐브에 해당한다. 반대로 미적분학의 기본 정리를 기하학적 구조화하여 이들 극미량(n - 1) 정육면체를 쌓아올리면 (하이퍼)피라미드가 생성되고, 이들 피라미드의 n이 n-큐브를 형성하여 공식을 산출한다. 또한, 이러한 피라미드를 순환하는 대각선 주위에 n-폴드 주기적 대칭성이 있다(피라미드는 근본적인 영역이다). 큐브(3-큐브)의 경우 피라미드의 부피가 원래 이렇게 엄격하게 설정되었는데, 큐브에는 3배 대칭이 있고, 기본 영역은 피라미드가 있으며, 큐브를 3개의 피라미드로 나누며, 이는 피라미드의 부피가 키의 3분의 1이라는 사실에 해당한다. 이것은 다른 수단에 의해 분류적으로 계산된 파라볼라의 4각형과 피라미드의 부피 사이의 등가성을 기하학적으로 보여준다.

대안 제시한 예를 들어 –하며, 페르마 불평등한 길이의 특정 간격으로 도메인을 나눈 대수적 속임수를 통해;[3]으로,)d(로 방향에 y 축 방향으로 동질이 아닌 팽창과 데시넴 xn 아래의 그래프는 y의 대칭성이 인지하고, n차원 algebraicizing o. 이를 입증할 수 있는 지역을 계산했다f는 y 방향)^[4] 또는 n = -1에 대한 결과를 확장하고 계수를 비교함으로써 모든 정수 값의 공식을 도출한다.^[5]

역사

(Laubenbacher & Pengelley 1998, 제3장 분석:)의 원본과 함께 이 역사에 대한 자세한 논의가 제공된다. 영역 및 볼륨 계산) harv 오류: 대상 없음: CITREFLubenbacherPengelley1998(도움말). 미적분 역사 및 통합 역사를 참조하십시오.

파라볼라의 경우는 고대 그리스의 수학자 아르키메데스가 그의 <파라볼라의 4중주>(BC 3세기)에서 탈진 방법을 통해 고대에 증명되었다. 주목할 점은 아르키메데스가 그래프 y = x에² 있는 영역이 아니라 포물선 내 영역, 즉 이른바 "파라볼라 세그먼트"를 계산했다는 것인데, 이는 그 대신 데카르트 기하학의 관점이다. 이것들은 동등한 계산이지만, 관점의 차이를 반영한다. 고대 그리스인들은 그 중에서도 수학적으로 동등한 피라미드나 원뿔의 부피도 계산했다.

11세기 이슬람 수학자 이븐 알 하이담(유럽에서는 알하젠으로 알려져 있다)은 광학서(Book of Optics)^[6]에서 수학 유도를 통해 입체파와 사분위수(Dequics 3, 4급)의 통합을 계산했다.

더 높은 정수의 경우는 캐벌리에리가 그의 불분명한 방법(카발리에리의 원리)을 사용하여 n까지 계산했다.^[7] 그는 이러한 통합이 비공식적으로만 이루어지기는 했지만, 고차원적인 물체는 아직 생소하기 때문에 고차원적인 볼륨을 계산하는 것으로 해석했다.^[8] 이탈리아의 수학자 에반젤리스타 토리첼리에 의해 사이클로이드와 같은 다른 곡선으로 확장된 다음, 영국 수학자 존 월리스에 의해 분절과 음력으로 공식이 일반화되었는데, 이 공식은 그의 산술적인 인피니토리움 (1656년)에서도 이성적인 힘의 개념과 표기법을 표준화하였다. 월리스는 예외적인 경우 n = -1 (하이볼라의 양)을 잘못 해석한 후 적분학의 발달로 마침내 엄격한 토대를 잡았다.

Prior to Wallis's formalization of fractional and negative powers, which allowed explicit functions ${\displaystyle y=x^{p/q},}$ these curves were handled implicitly, via the equations ${\displaystyle x^{p}=ky^{q}}$ and ${\displaystyle x^{p}y^{q}=k}$ (p and q always positive 정수) 및 각각 상위 포물선과 상위 하이퍼볼라(또는 "상위 포물선" 및 "상위 하이퍼볼라")로 지칭된다. Pierre de Fermat은 또한 이러한 영역(-1)을 대수적 속임수로 계산했다. 그는 선을 같은 간격으로 분할하여 상위 하이퍼볼레의 사분선을 계산한 다음, 아마도 그가 사용한 사분열을 불공평한 간격으로 역전시킴으로써 상위 파라볼레의 사분선을 계산했다. 초벌래로^[9] 그러나 나머지 작품에서와 마찬가지로 페르마의 기법은 체계적인 치료법이라기보다는 애드트릭이었고, 이후 미적분학의 발달에 큰 역할을 했다고는 볼 수 없다.

특히는 동안 지역(기본 단위에 비례), 따라서unitless는 것의 단위로 구성된 지역을 고려하는 개념 월리스에 의해서 고안된 것 것처럼 보이는 모두는 카발리에리만 지역과 볼륨으로 이 항상 있는 치수 –권,[10][11]월리스,이며 대안이 휠신과 부정적인 분별력을 공부했다 지역 비교된다.trea에계산된 값을 단위 없는 숫자로 팅하는 것은 부분 치수와 음의 치수를 해석하는 것이었다.

-1(표준 하이퍼볼라)의 예외적인 경우는 처음에 그의 오푸스 기하학적 사분법 circuli et sectionum coni (1647)에서 그레고아르 드 생빈센트에 의해 성공적으로 치료되었는데, 공식적인 치료는 니콜라스 메르카토르가 로가리스모테키아 (1668년)에서 달성한 자연 로그의 발전을 기다려야 했다.

참조

역사

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외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Cavalieri's Quadrature Formula". MathWorld.
• 카발리에리 통합
• D. J. 슈트루익, 수학출처집, 1200-1800, 페이지 214