사분 함수

대수학에서 사분위함수는 형태의 함수다.

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,}$

여기서 a는 nonzero이며, 4도의 다항식으로 정의되며, 사분위수 다항식이라고 한다.

사분방정식, 즉 제4도의 방정식은 형태의 사분방 다항식을 0과 동일시하는 방정식이다.

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}$

여기서 ^[1]≠ 0. 사분위함수의 파생어는 입방함수다.

때때로 사분위수 대신 2분위수(biquadratic)라는 용어를 쓰기도 하지만, 보통 2분위수 함수는 사각형(또는 홀수도가 없는 사분위 다항수로 정의되는 함수에 동등하게)의 2분위 함수를 가리키며, 형식을 가진다.

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.}$

사분위 함수는 짝수 정도의 다항식으로 정의되기 때문에, 인수가 양수 또는 음수 무한대로 갈 때 같은 무한 한계를 갖는다. 만약 a가 양이면, 그 함수는 양쪽 끝에서 양의 무한대로 증가한다; 따라서 그 함수는 전지구적 최소치를 가진다. 마찬가지로 a가 음이면 음의 무한대로 감소하고 전지구적 최대치를 가진다. 두 경우 모두 다른 로컬 최대값과 다른 로컬 최소값을 가질 수도 있고 아닐 수도 있다.

학위 4(사분위 케이스)는 아벨-루피니 정리대로 모든 다항식 방정식을 급진파로 해결할 수 있을 정도로 가장 높은 학위다.

역사

로도비코 페라리(Lodovico Perrari)는 1540년에 쿼트릭에 대한 해법이 발견되었다고 인정받지만, 이 해법은 쿼트릭의 모든 대수적 해법과 마찬가지로 큐빅의 해법이 발견되어야 하기 때문에 즉시 출판될 수 없었다.^[2] 사중주의 해법은 페라리의 멘토 제롤라모 카르다노가 책 아르스 마그나에서 큐빅과 함께 출간했다.^[3]

소련의 역사학자 I. Y. Depman(ru)은 이보다 앞서 1486년 스페인 수학자 발메스가 4분위 방정식을 해결했다고 주장해 화형당했다고 주장했다.^[4] 토르케마다 조사관은 발메스에게 그러한 해결책은 인간의 이해에 접근할 수 없다는 것이 신의 뜻이라고 말했다고 한다.^[5] 그러나 서양에서 데프만의 이 이야기를 대중화한 베크만은 믿을 수 없는 이야기라며 소련의 반불륜적 선전으로 발명되었을 수도 있음을 암시했다.^[6] 베크만의 이 이야기에 대한 버전은 몇몇 책과 인터넷 사이트에 널리 베껴져 왔는데, 대개는 그의 예약 없이 때로는 공상적인 장식들로 꾸며져 있었다. 이 이야기에 대한, 아니 발메스의 존재에 대한 확실한 증거를 찾기 위한 몇 번의 시도는 실패했다.^[7]

4가 그러한 해법이 발견될 수 있는 일반 다항식의 최고 수준이라는 증거는 1824년 아벨-루피니 정리(Abel-Ruffini 정리)에서 처음 제시되었는데, 이는 상위 다항식을 해결하기 위한 모든 시도가 헛수고가 될 것임을 증명하였다. 1832년 결투에서 죽기 전에 에바리스테 갈루아가 남긴 음은 후에 다항식의 뿌리에 대한 우아한 완전한 이론으로 이어졌는데, 그 중 이 정리는 하나의 결과였다.^[8]

적용들

두 원뿔 부분의 교차로 점의 각 좌표는 사분방정식의 해법이다. 선과 토러스 교차로도 마찬가지다. 컴퓨터 그래픽, 컴퓨터 보조 설계, 컴퓨터 보조 제조, 광학 등 모든 관련 분야와 컴퓨터 기하학에서 석영 방정식이 종종 발생하는 것을 따른다. 여기에 4분위 방정식을 푸는 것과 관련된 다른 기하학적 문제들의 예가 있다.

컴퓨터 보조 제조에서 토러스(torus)는 일반적으로 엔드밀 절단기와 관련된 형태다. 삼각형 표면에 상대적인 위치를 계산하려면 z축의 수평 토러스 위치가 고정선에 접하는 위치를 찾아야 하며, 이를 위해서는 일반 사분위 방정식의 용액을 계산해야 한다.^[9]

사다리 건너기 문제를 해결하는 과정에서도 사다리 두 개가 각각 한 벽에 기대고 다른 벽에 기대는 길이와 교차하는 높이를 함께 부여하고, 벽 사이의 거리를 알아내는 사다리 문제를 해결하는 과정에서도 사분방정식이 발생한다.^[10]

광학에서 알하젠의 문제는 "광원과 구형 거울을 볼 때, 빛이 관찰자의 눈에 반사될 지점을 거울에서 찾아라"이다. 이것은 사분위 방정식으로 이어진다.^[11][12][13]

두 타원의 가장 가까운 접근 거리를 찾는 것은 4분위 방정식을 푸는 것을 포함한다.

4×4 행렬의 고유값은 행렬의 특성 다항식인 사분위 다항식의 뿌리다.

4차 선형차 방정식 또는 미분방정식의 특성 방정식은 사분방정식이다. 보 벤딩의 티모셴코-레이리 이론에서 그 예가 발생한다.^[14]

구, 실린더 또는 다른 사분위수 사이의 교차점은 사분위 방정식을 사용하여 찾을 수 있다.

변곡점 및 황금비율

F와 G를 사분위함수의 그래프의 뚜렷한 변곡점이 되게 하고, H를 변곡선 FG와 사분위의 교차점이 되게 하고, F보다 G에 더 가깝게 하면 G는 FH를 황금 섹션으로 나눈다.^[15]

${\displaystyle {\frac {FG}{GH}}={\frac{1+{\sqrt{5}}{2}}=\varphi \;({\text{text the golden ratio}}).}$

더욱이, 제2차선과 제2차선 아래의 사분선 사이의 영역 영역은 제2차선과 제2차선 위의 사분선 사이의 영역 영역과 동일하다. 그 지역들 중 하나는 동일한 지역의 하위 지역으로 분리된다.

해결책

뿌리의 성질

일반 사분위수식 지정

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}$

실제 계수와 ≠ 0으로 그 뿌리의 성질은 주로 그 변별의 기호에 의해 결정된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}$

이는 네 개의 다른 다항식 부호를 고려하여 개선될 수 있다.

${\displaystyle P=8ac-3b^{2}}$

는.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-.관련된 우울해 4차 방정식(아래 참조)의 Parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}P/8a2은 제2급 계수,.

${\displaystyle R=b^{3}+8da^{2}-4abc,}$

R/8a가³ 관련 침강 사분위의 1도 계수인 경우.

${\displaystyle \Delta _{0}=c^{2}-3bd+12ae,}$

사분위가 3중 근을 갖는 경우 0이다.

${\displaystyle D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}}}$

사분위가 두 개의 이중 뿌리를 가진다면 0이다.

뿌리의 성질상 가능한 경우는 다음과 같다.^[16]

• 만약 < < 0이라면 방정식은 두 개의 뚜렷한 진짜 뿌리와 두 개의 복잡한 비현실 뿌리를 가지고 있다.
• > > 0이면 방정식의 네 근이 모두 실재하거나 없는 것이다.
  • 만약 P < 0과 D < 0이라면 네 근은 모두 실재하고 구별된다.
  • P > 0 또는 D > 0이면 비실제 복합 결합 뿌리가 두 쌍 있다.^[17]
• ∆ = 0이면(그리고 그 때에만) 다항식은 다중 루트를 갖는다. 발생할 수 있는 다양한 사례:
  • 만약 P < 0과 D < 0과 ∆₀ ≠ 0이라면, 진짜 이중 근과 진짜 단순 근이 두 개 있다.
  • D > 0 또는 (P > 0 및 (D ≠ 0 또는 R ≠ 0))이면 실제 이중근과 두 개의 복합적 결합근이 있다.
  • 만약 ∆₀ = 0, D 0 0이면 삼근과 단순근, 모두 실재한다.
  • D = 0이면:
    • P < 0이라면, 진짜 이중 뿌리가 두 개 있다.
    • P > 0과 R = 0이면 두 개의 복합 결합 이중 뿌리가 있다.
    • ∆₀ = 0이면 네 근 모두 -b/4a와 같다.

가려지지 않는 것 같지만 발생할 수 없는 경우도 있다. 예를 들어 ∆₀ > 0, P = 0, D ≤ 0은 그 예에 해당하지 않는다. 실제로 ${\displaystyle {}^{}}$ a 2 ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= 3 ${\displaystyle D}$+ ${\displaystyle {P\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$; ${\displaystyle 16a^{2}\Delta _{0}=3D+$이므로 ∆₀ > 0이면 D > 0이다.$P^{2};}$ 따라서$$ 이 조합은 불가능하다.

뿌리에 대한 일반 공식

일반 사분방정식에 대한 네 가지 루트 x₁, x, x₂₄, x₃

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

다음과 같은 공식에 0이 제시되며, 변수를 역방향으로 변경하고 2차방정식과 입방정식의 공식을 사용하여 페라리 방법에 관한 섹션의 공식에서 추론한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}\ &=-{\frac {b}{4a}}-S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p+{\frac {q}{S}}}}\\x_{3,4}\ &=-{\frac {b}{4a}}+S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p-{\frac {q}{S}}}}\end{aligned}}}$

여기서 p와 q는 관련된 우울한 사분위수에서 각각 두 번째와 첫 번째 도에 대한 계수다.

${\displaystyle {\a^{3}p&={\frac {8ac-3b^{2}}:}\q&={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}{8a^{3}}}}}\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}정렬}}}}}}}정렬}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 어디에

${\displaystyle {\reasoned}S&={\frac{1}{2}}:{-{\sqrt{-{\frac {2}}{3}\p+{\frac {1}{3a}}\왼쪽(Q+{\fract {\delta _{0}}}}}오른쪽)}}}\\Q&={\sqrt[{3}]{\frac {\delta _{1}+{\sqrt {\\delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}}}}}{2}}:}\끝{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

(S = 0 또는 Q = 0인 경우, 아래의 § 특수 사례 참조)

와 함께

${\displaystyle {\begin{aigned}\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\\Delta _{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72ace\ended}}}}$

그리고

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ 3${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 27}$ $Δ$, ${\displaystyle \Delta \{1}^{1}-4\Delta _{0}^{3}=-27$\Delta$\}}$ 여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaysty$ \$Delta }}$은 앞서 언급한 판별물이다. Q에 대한 큐브 루트 표현에 대해서는, 비록 그것들 중 하나가 실제라면, 선택할 수 있는 자연스럽고 간단한 것일지라도, 복잡한 평면의 큐브 뿌리 세 개 중 어느 하나를 사용할 수 있다. 이 마지막 네 개의 용어의 수학적 표현은 입방체 표현과 매우 유사하다.

공식의 특별한 경우

• > ${\displaystyle \Delta >0,}$의 값이 비실제 복합수인$$ 경우, Q ${\displaystyle Q}$ 이 경우 모든 뿌리가 비현실적이거나 모두 실재한다. 후자의 경우${\displaystyle ,}$ $Q{\displaystyle }$;$$${\$$displaystyle Q$$;}$의 관점에서 표현되었음에도 $불구하고$ S {\$displaystyle$ S$}$의 값도 실제적이다$$. 이것은$$ 현재 사분위의 맥락으로 확장된 입방함수의 casus irreducibilis이다. 다음과 같이 삼각함수를 사용하여 순수하게 실제적인 방법으로 표현하는 것을 선호할 수 있다.

${\displaystyle S={\frac {1}{1}:{2}}: {-{\frac {2}}\p+{\frac {2}{3a}{\sqrt{0}}}{0}}}}{0}}}\cos{\frac {\varphi{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}{1}{2}\sqrt {\delta _{0}^{3}}}}}\오른쪽).}$

• If ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ and ${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$ the sign of ${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ has to be chosen to have ${\displaystyle Q\neq 0,}$ that is one should define $\Delta {\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{1\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\$ {\sqrt ${\delta _{1}^{1$}:{2${\displaystyle {}_{}}$ $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$의 기호를 유지함$$$$.${\displaystyle \Delta _{1}.$$}$
• If ${\displaystyle S=0,}$ then one must change the choice of the cube root in ${\displaystyle Q}$ in order to have ${\displaystyle S\neq 0.}$ This is always possible except if the quartic may be factored into ${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.}$$$ 그러면 결과는 정확하지만, 이 경우 큐브 뿌리가 필요하지 않다는 사실을 감추기 때문에 오해의 소지가 있다. 실제로 이 경우는 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 분자가 0인$$ 경우에만 발생할 수 있으며, 이 경우 연관된 우울한 사분위가 2차인 경우, 따라서 아래 설명된 방법으로 해결할 수 있다.
• $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Delta =0}$ 및$$ ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \Delta$ ${\displaystyle \mathrm{\_}}$${0},$ 따라서$$ $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \Delta _{1}=0,},$ 최소 3개의$$ 루트가 계수의 합리적인 함수인 경우. 트리플 루트 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 사분위수와 그 두 번째 $파생상품{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle ({}^{}}$ a x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ 3 ${\displaystyle \mathrm{b}}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle c);}$ ${\displaystyle$2 ($6ax^{2}+3bx+c);}$ 따라서 두 번째 파생상품에 의한 사분위분위분위수 나머지 부분의 고유한 뿌리로서, 이것은 선형$$ 다항이다. 단순 루트 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}는 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 = - ${\displaystyle b{}_{}}$/${\displaystyle }$a . ${\displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a$에서 추론할 수 있다$$$.$$}$
• 만일 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Delta =0}$과 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle \Delta _{0}\neq$ 0$}}$의 경우$$, 다항식이 환원 가능하며 뿌리를 나타내기 위해 큐브 루트가 필요하지 않다는 사실을 숨기면서, 위의 표현은 정확하지만 오해의 소지가 있다.

더 간단한 사례

환원성 사분위수

일반 사분위수를 고려하라.

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

Q(x) = R(x)×S(x)일 경우, 여기서 R(x)와 S(x)는 합리적인 계수를 갖는 비정규 다항식(또는 보다 일반적으로 Q(x) 계수와 동일한 필드에 계수를 갖는)이다. 그러한 요소화는 다음 두 가지 형태 중 하나를 취하게 될 것이다.

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2)}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}$

또는

${\displaystyle Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1)}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1)}x+d_{0}).}$

어느 경우든 Q(x)의 뿌리는 인자의 뿌리로, 2차 함수 또는 입방 함수의 뿌리에 대한 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

이러한 인자의 존재 감지는 Q(x)의 분해능 입방체를 사용하여 수행할 수 있다. 알고 보니 다음과 같다.

• R(즉, 계수가 실제 숫자로 제한되는 경우) 또는 보다 일반적으로 일부 실제 폐쇄 필드에 대해 작업하는 경우, 항상 그러한 인자가 존재한다.
• Q(즉, 계수가 합리적인 숫자로 제한되는 경우)에 대해 작업하고 있다면 Q(x)가 환원 가능한지 여부와, 더 작은 도수의 다항식 산물로 표현하는 방법을 결정하는 알고리즘이 있다.

실제로 여러 가지 석영 방정식(페라리식 방법, 데카르트식 방법, 그리고 그보다 작은 정도는 오일러식 방법)을 푸는 방법은 그러한 인자를 찾아내는 것에 기초하고 있다.

이차 방정식

a₃₁ = a = 0이면 이차 함수

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}\,\!}$

풀기 쉬운 이차 방정식을 규정한다.

보조 변수 z = x². 그러면 Q(x)가 2차 q(z) = q₄²(z₂) + 아즈₊₋ + a. z와 z를 q(z)의₀ 뿌리가 되게 한다. 그러면 우리 사분위 Q(x)의 뿌리는

${\displaystyle {\signified}x_{1}=+{\sqrt {z_{+}},\x_{2}=-{sqrt {z_{+}},\x_{3}}}=\\sqrt {z_{-}}},\x_{4}=}-{sqrt}}.\end{정렬}}}$

준팔린드롬 방정식

다항식

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}}$

P(mx) = x⁴/mP²(m/x) = (m = 1)처럼 거의 팔린드로믹하다. 변수 z = x + m/x를 P(x)/x² = 0에서 변경하면 2차 방정식 아즈₀² + 아즈₁ + a₂ - 2ma₀ = 0이 생성된다. x² - xz + m = 0이므로 4차 방정식 P(x) = 0은 2차 공식을 두 번 적용하여 해결할 수 있다.

솔루션 방법

우울한 4중창으로 변환

해결의 목적으로는 다음과 같은 단순한 변수의 변화에 의해 사분위를 우울한 사분위로 전환하는 것이 일반적으로 더 낫다. 모든 공식은 더 간단하고 어떤 방법은 이 경우에만 효과가 있다. 원래 사분위의 뿌리는 변수의 역변화에 의해 침체된 사분위의 뿌리에서 쉽게 회복된다.

내버려두다

${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

우리가 해결하고자 하는 일반적인 사분위수 방정식이다.

a로₄ 나누면 등가 방정식⁴ x + bx³ + cx² + dx + e = 0을 제공하고₃, b = a₂/a₄, c = a/a₄, d = a₁/a₄, e = a₀/a를₄ 제공한다. y - b/4를 x로 대체하면 항을 다시 그룹화한 후 y⁴ + py² + qy + r = 0 등식이 제공되며, 여기서

${\displaystyle{\frason}p&={\frac {8c-3b^{2}}:{8}}{8}}{4a_{3}^{3}}}}{8}{8}{a_{3}}}}}}}}}\q&={\frac {b^}-4bc+8d}{8}{8}}{8}}}}}}}}}}={\frac {{a_{3}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{정렬}}}$

y가₀ 이 침체된 사분위의 뿌리라면 y₀ - b/4 (y₀ - a₃/4a₄)는 원래 사분위의 뿌리로서 이 과정을 통해 원래의 사분위의 모든 뿌리를 얻을 수 있다.

페라리 솔루션

앞 절에서 설명한 바와 같이, 우리는 우울한 사분방정식에서 출발할 수 있다.

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}$

이 침체된 쿼트릭은 로도비코 페라리가 발견한 방법으로 해결할 수 있다. 침체된 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다(이것은 광장을 확장하고 왼쪽의 모든 항을 재정렬하여 쉽게 검증할 수 있다).

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\오른쪽)^{2}=-qy-r+{\p^{2}}{4}}.}$

그런 다음 2ym² + pm + m을² 양쪽에 추가하여 왼쪽의 인자에 변수 m을 도입한다. 오른쪽의 y 검정력 계수를 다시 취합한 후 방정식을 제공한다.

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+mp^{2}-qy+m^{2}+mp+{\p^{4}-r,}$

(1)

어떤 값이 m에 주어지든지 간에, 그것은 원래의 방정식과 동등하다.

m의 값은 임의로 선택할 수 있으므로 오른쪽의 광장을 완성하기 위해 선택하겠다. 이것은 이 2차 방정식의 y에 있는 판별이 0이라는 것을 암시한다. 즉 m은 방정식의 근원이 된다.

${\displaystyle(-q)^{2}-4(2m)\왼쪽(m^{2}+pm+{\p^{p^{2}}-r\오른쪽)=0,\,}$

라고 다시 쓰여질 수 있는.

${\displaystyle 8m^{3}+8pm^{2}+(2p^{2}-8r)m-q^{2}=0.}$

(1a)

이것은 사분방정식의 분해된 입방정식이다. 따라서 m 값은 카르다노의 공식에서 얻을 수 있다. m이 이 방정식의 뿌리일 때 (1)의 우측은 제곱이다.

${\displaystyle \left\sqrt {2m}y-{\frac {q}{2{\sqrt{2m}}\오른쪽)^{2}$

그러나 이것은 m = 0이면 0으로 분열을 유도한다. 이는 q = 0을 의미하며, 따라서 침체 방정식은 이차 방정식으로, 더 쉬운 방법으로 해결할 수 있다(위 참조). 이는 수치 계수를 가진 명시적으로 주어진 방정식만 풀었던 페라리 당시에는 문제가 되지 않았다. 항상 참인 일반적인 공식의 경우 m ≠ 0과 같은 입방정식의 루트를 선택해야 한다. 이것은⁴ y = 0을 제외하고 항상 가능하다.

이제 m이 m ≠ 0과 같은 입방정식의 뿌리라면, 방정식 (1)이 된다.

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\lift(y{\sqrt{2m}-{\sq}{{\sqrt{{\sqrqrt{2m}}}}}}^{2}}}}}}$

이 방정식은 M² = N 형식이며²², M² - N = 0 또는 (M + N)(M - N) = 0으로 재배열할 수 있으므로, (1)을 다음과 같이 다시 작성할 수 있다.

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.}$

이 방정식은 각 요인에 2차 공식을 적용하면 쉽게 풀린다. 그것들을 해결하면 우리는 네 가지 뿌리를 다음과 같이 쓸 수 있을 것이다.

${\displaystyle y={\pm _{1}{\sqrt{2m}\pm _{2}{\sqrt{p+2m\pm _{1}{\sqrt {{}}}}}{\sqrt{\sqrt{\}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ₁± 및 ₂±은 + 또는 -를 나타낸다. ±₁의 두 발생은 동일한 기호를 나타내야 하므로, 이것은 각 뿌리에 하나씩 네 가지 가능성을 남긴다.

따라서 원래의 사분방정식의 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm_{1}{\sqrt{2m}\pm_{1}{{\sqrt{1}{{\sqrt{}}}}}{{\sqrt}\}}}}{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

위의 일반 공식과 비교한 결과 √2m = 2S로 나타난다.

데카르트의 해법

데카르트는^[19] 1637년 사분위 다항식의 뿌리를 두 개의 이항체로 인수하여 찾는 방법을 도입하였다. 내버려두다

${\displaystyle {\displaysty}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(ht+tu)x+x+tv\ended}}}}$

계수를 등분함으로써 다음과 같은 방정식 체계를 얻게 된다.

${\displaystyle \left\{\\put{array}{l}{l}b=s+u\\c+v+su\\d=d=nd=tv\end{array}}\right.}$

이는 침체된 사분위 y⁴ + py² + qy + r로 다시 시작하여 단순화할 수 있으며, x에 y - b/4를 대입하여 얻을 수 있다. y의³ 계수가 0이기 때문에 s = -u를 얻고, 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle \left\{\put{array}{l}p+u^{2}}=t+v\\q(t-v)\\r=tv\end{array}}\오른쪽}$

이제 다음과 같은 방법으로 t와 v를 모두 제거할 수 있다.

${\displaystyle {\v+u^{2}(p+u^{2})(p+u^{2})^{2}-q^{2}-u^{2}-u^{2}-u^{2}(t+v)^{2}\\&=u^{2}[t+v+(t-v)]]\\&=u^{2}(2t)\&=4u^{2}tv\&=4u^{2}r\end}}}}$

U = u를² 설정하면 이 방정식을 푸는 것이 분해능 입방체의 뿌리를 찾는 것이 된다.

${\displaystyle U^{3}+2pU^{2}+(p^{2}-4r)U-q^{2}}}$

(2)

다른 곳에서 행해지는 것. 이 분해능 입방체는 U = 2m를 대체하여 볼 수 있듯이 위에서 주어진 분해능 입방체(1a)와 동등하다.

u가 이 분해능의 0이 아닌 근의 제곱근인 경우(사소하게 인수된 쿼틱 x를⁴ 제외하고 그러한 0이 아닌 근이 존재함)

${\displaystyle \left\{\put{array}{l}s=-u\\\2t=p+u^{2}+q/u\2v=p+u^{array}}\right}}$

이 해법의 대칭은 다음과 같다. 입방체에는 3개의 뿌리가 있는데, 이는 4분의 1을 2개의 4분위로 나눌 수 있는 3가지 방법에 해당하며, U의 제곱근에 대해 u의 양 또는 음의 값을 선택하는 것은 단지 2개의 4분위를 서로 교환할 뿐이다.

위의 솔루션만 만약 용해하는 입방(2)또는 p2 합리적인− 4r의 광장이 0은 아닌 루트와 q합리적인=0의 이 사각형이 합리적인 계수가를 2차 다항식과 체적 용어에 영점을 계수 2차 방정식론.에 합리적인 계수가factorable되어 있다;일 수 있 되수표를 보여 준다.ed 합리적인 뿌리 테스트를 사용한다.^[20]

오일러의 해법

이전 방법의 변형은 오일러 때문이다.^[21][22] 두 방법 모두 어느 정도 분해능 입방체의 뿌리를 사용하는 기존의 방법과 달리 오일러의 방법은 모두 사용한다. 4분위수 x⁴ + px² + qx + r을 사용해 보십시오.

• x⁴ + px² + qx + r = (x² + sx + t)(x² − sx + v),
• r과₁² r은₂ x + sx + t의 뿌리,
• r과₃² r은₄ x - sx + v의 뿌리,

, 그러면.

• x⁴ + px² + qx + r의 뿌리는 r₁, r, r₂, r₃, r₄,
• r₁ + r₂ = −s,
• r₃ + r₄ = s.

따라서 (r₁ + r₂)(r₃ + r₄) = -s². 즉 -(r₁₂ + r)(r₃₄ + r)는 분해능 입방체의 뿌리(2) 중 하나이며, 이는 해당 입방체의 뿌리가 -(r₁ + r₂)(r₃ + r₄), -(r₁ + r₃), -(r₂₁ + r₄) 및 -(r + r)(r₂ + r)과₄₃ 같다는 것을 시사한다. 이것은 정말 사실이고 그것은 베트라의 공식에서 따온 것이다. 또한 우리가 우울한 사중주를 가지고 작업하고 있다는 사실과 함께 비에타의 공식에서도 따르게 된다(물론₁ 이것은 r₁ + r₂₂ + r₃₃ + r₄ + r₄ + r = -s + s). 따라서 α, β, γ이 분해능 입방체의 뿌리라면 r₁, r, r₃, r, r의₂₄ 숫자는 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{\put{array}{l}r_{1}{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\i1\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\i1\(r_{1}+r_{4})-(r_{2}+r_}=-{3}{\text}.}}}\end{array}\오른쪽.}$

r₁ + r이₂ α의 제곱근이고 r₃ + r이₄ α의 다른 제곱근이라는 것은 처음 두 방정식의 결과다. 같은 이유로

• r₁ + r은₃ β의 제곱근이다.
• r₂ + r은₄ β의 다른 제곱근이다.
• r₁ + r은₄ γ의 제곱근이다.
• r₂ + r은₃ γ의 다른 제곱근이다.

따라서 r₁, r₂, r₃, r, r의₄ 숫자는 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{\put{array}{l}r_{1}{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}}}=0\\r_{1}+r_{2}}={\\sqrt{\}\\r_{1}+r_{3}}}={\\sqrt{\}\\r_{1}+r_{4}}}={\\sqrt{\data.}{\text{;}}}\end{array}\오른쪽.}$

네모난 뿌리의 기호는 아래에서 다루게 될 것이다. 이 시스템의 유일한 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}\오른쪽.}$

이후, 일반적으로 각 제곱 근으로 가지 선택 사항들은 마치 이 집합을{r1, r2, r3, r4}8(=23)선택을 제공한다, 그런데, 중의 한 제곱 근의 대칭이 대체하는 것이 결과는 집합{r1, r2, r3, r4}이 되는 집합{−r1, −r2, −r3, −r4}는 사실에서, 더 이상보다 2 이러한 선택들을 제공하게 나타날 수 있습니다..

제곱근의 오른쪽 기호를 결정하기 위해서는 단순히 숫자 α, β, β, for 각각에 대해 제곱근을 몇 개 선택하고 이를 사용하여 이전 동일성의 숫자₁ r, r₂, r₃, r, r을₄ 계산한다. 그런 다음 numberααββ의 숫자를 계산한다. α, β, γ은 (2)의 뿌리가 되기 때문에 그들의 생산물이 q와² 같아 andααββ = ±q. 그러나 간단한 계산은 다음과 같은 것을 보여준다.

√α√β√ = rrr₁₂₃ + rrr₁₂₄ + rrr₁₃₄ + rrr₂₃₄.

그 제곱 근의 만약 이 번호는 −q, 선택을 좋은 한(다시,에 의해 근과 계수의 관계);만약 3개의 제곱 근의에 의해 대체된다 그렇지 않은 경우에는 다항식의 뿌리, −r2, −r3, −r4가 제곱 근의 대칭 한(혹은, 무엇이 제국 주의와 같은 것으로 대체된다. 이는 숫잔,−r1 것이다.그 대칭으로 하다

이 주장은 제곱근을 선택하는 또 다른 방법을 제안한다.

• α의 제곱근 α와 β의 제곱근 β를 선택한다.
• √γ을 -${\displaystyle \frac{\alpha \sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\beta \sqrt{}}{}}$ ${\$sqrt{\$sqrt{\n1$}}}}로 정의한다$.$

물론 α나 β가 0과 같다면 이는 말이 되지 않겠지만, 0은 q = 0, 즉 우리가 이차 방정식을 다룰 때만 (2)의 근원이며, 이 경우에는 훨씬 간단한 접근법이 있다.

Lagrange 분해능을 통한 해결

4개 원소의 대칭 그룹 S는₄ 클라인 4개 그룹을 정규 하위 그룹으로 한다. 이는 뿌리를 이산 푸리에 변환 또는 뿌리의 Hadamard 행렬 변환으로 다양하게 설명할 수 있는 분해능 입방체를 사용하는 것을 시사한다. 일반적인 방법은 라그랑주 분해제를 참조하십시오. x로_i 나타내며, 0 ~ 3의 i에 대해 x⁴ + bx³ + cx² + dx + e의 네 루트를 나타낸다. 만약 우리가 정하면

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}}$

그리고 나서 그 변환은 비자발적이기 때문에 우리는 정확히 같은 방법으로 4s의_i 관점에서 뿌리를 표현할 수 있다. s₀ = -b/2 값을 알고 있기 때문에 s₁, s₂, s에₃ 대한 값만 있으면 된다. 이것들은 다항식의 뿌리다.

${\displaystyle (s^{2}-{s_{1}:{1}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}^{2})}$

x의_i 항에서 s를_i 값으로 대체하면, 이 다항식은 x의_i 계수가 대칭 다항식인 s에서 다항식으로 확장될 수 있다. 대칭 다항식의 기본 정리에 의해, 이러한 계수는 단항 4분의 계수에서 다항식으로 표현될 수 있다. 단순화를 위해 사분위가 눌려 있다고 가정하면, 즉 b = 0이며, 이는 다항식을 초래한다.

${\displaystyle s^{6}+2cs^{4}+(c^{2}-4e)s^{2}-d^{2}}$

(3)

이 다항식은 도 6이지만 도 3의² 초 단위가므로, 해당 방정식은 입방함수에 관한 글에서 설명한 방법으로 해결할 수 있다. x의_i 표현의 뿌리를 s의 관점에서_i 대체함으로써, 뿌리에 대한 표현을 얻는다. 사실 우리는 입방 다항식의 뿌리 번호와 그 제곱근에 주어지는 기호의 수에 따라 몇 가지 표현을 얻는다. 이 모든 다른 표현들은 단순히 x의_i 번호를 변경함으로써 그들 중 하나에서 추론될 수 있다.

이러한 표현은 불필요하게 복잡하여, 다음과 같이 피할 수 있는 통일의 입방근을 포함한다. s가 (3)의 0이 아닌 루트인 경우 및 설정되는 경우

${\displaystyle {\reasoned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac{c}{2}}+{{\frac{s^{2}}-{2}}-{\frac {d}{2s}}\\\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac{c}{2}}+{{\frac{s^{2}}+{{2}}+{\frac{d}}{2s}}}\ed}}}}}}}}$

, 그러면.

${\displaystyle F_{1}(x)\time F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}$

따라서 우리는 s를 위해 푼 다음 2차 공식을 사용하여 두 요인의 뿌리를 풀어서 사분위를 해결할 수 있다.

이것은 데카르트의 방법에 의해 제공된 것과 정확히 같은 식을 뿌리에 준다.

대수 기하학으로 해결

한 대안적 문제 해결 간단히 말해 대수 geometry[23]을 사용하여, 둘 중의 한가지 2차 곡선의 교차점으로 그 뿌리들이 해석한 다음 후 다음을 사용하는 이러한 점을 통해(이것이 분해하는 입방체에 해당하는 경우 선의 쌍은 라그랑주 resolvents) 지난 3축소시킬 수 있는 이차 곡선(라인의 쌍)를 발견하는 것. 라인2차 방정식

침체된 4분위수 x⁴ + px² + qx + r = 0의 네 가지 뿌리는 두 개의 2차 방정식 y² + py + qx + r = 0과 y - x² = 0의 교차점 x 좌표로 표현될 수도 있다. 즉, 두 개의 2차 방정식이 네 점에서 교차하는 치환 y = x를² 사용하는 것은 베주트의 정리의 한 예다. 명시적으로, 4개의 점은 4개의 뿌리_i x에 대한_i P ( (x_ii², x)이다.

이 4개의 점들은 불분명한 2차 y = x에² 놓여있기 때문에 이 점들을 통과하는 1-모수 4차분(곡선의 연필)의 모형이 있기 때문에 일직선이 아니다. 세 가지 변수에 2차적 형태로 두 개의 4차분석에 대한 투영법을 작성한다.

${\displaystyle {\reasoned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{arged}}}$

연필은 투사선의 임의의 점[λ, μ]에 대해 λF₁ + μF로₂ 주어진다. 즉, where과 μ가 모두 0이 아니며, 2차 형태를 상수로 곱해도 0의 2차 곡선은 변하지 않는다.

이 연필에는 각각 한 쌍의 선에 해당하는 세 개의 축소 가능한 4중분법이 들어 있는데, 각각 네 개의 점 중 두 개를 통과하여${\displaystyle }$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{4}{}}$ 2${\displaystyle }$) ${\$ $$= 6개의 다른 방법으로 할 수 있다. 이₁₂ Q₁ = L + L₃₄, Q = L₂ + L₂₄, Q₃ = L₁₃₁₄ + L을₂₃ 가리킨다. 이 두 가지 중 어느 것이라도 고려했을 때 이들의 교차점은 정확히 4점이다.

환원 가능한 4분위는 차례로 2차 형태 formF₁ + μF를₂ 3×3 매트릭스로 표현하여 결정할 수 있다: 환원 가능한 4분위는 이 행렬이 단수인 것에 해당하며, 이는 결정인자가 0인 것과 같고, 결정인자는 λ과 μ의 동질도 3 다항식이며 분해능 입방체에 해당한다.

참고 항목

• 선형 함수 – 도 1의 선형 지도 또는 다항식 함수
• 2차 함수 – 도 2의 다항 함수
• 입방 함수 – 도 3의 다항 함수
• 5중함수 – 도 5의 다항함수

참조

추가 읽기

• Carpenter, W. (1966). "On the solution of the real quartic". Mathematics Magazine. 39 (1): 28–30. doi:10.2307/2688990. JSTOR 2688990.
• Yacoub,M.D.; Fraidenraich, G. (July 2012). "A solution to the quartic equation". Mathematical Gazette. 96: 271–275. doi:10.1017/s002555720000454x. S2CID 124512391.

외부 링크

• PlanetMath에서 4개의 단일 방정식으로 된 사분위수식.
• 페라리의 업적