중심다지관

진화하는 시스템의 수학에서, 중심 다지관의 개념은 원래 퇴화된 평형성의 안정성을 결정하기 위해 개발되었다.그 후, 중심 다지관의 개념은 수학 모델링의 기초가 되는 것으로 실현되었다.

마이크로 스케일의 긴 시간 역학이 거친 스케일 변수를 포함하는 비교적 단순한 중심 다지관으로 끌리는 경우가 많기 때문에 중심 다지관과 다중점 수학에서 흥미로운 행동이 일어나기 때문에 중심 다지관은 분기 이론에 중요한 역할을 한다.

비공식적 예

토성의 고리는 조력력에 의해 정의되는 중심 다지관에 위치한다.

토성의 고리는 고리 안의 입자에 작용하는 조수의 중심 다지관의 대략적인 예를 제공한다.조력력은 압축 방향이 안정 다지관을 정의하고, 스트레칭 방향이 불안정한 다지관을 정의하며, 중립 방향이 중심 다지관을 정의하는 특징적인 "압축 및 스트레칭" 작용을 한다.토성의 경우 고리 위나 아래 궤도에 있는 입자가 고리를 가로지르고, 고리의 관점에서 보면 평면 위와 뒤로 진동하는 것처럼 보일 것이다.따라서, 그 고리들은 "매력적인" 것으로 보인다.고리의 다른 입자들과의 충돌을 통해 마찰은 그러한 진동을 감소시킬 것이다. 따라서 그것들은 감소할 것이다.그러한 수렴 궤도는 안정 다지관의 특징이다. 즉, 안정 다지관의 입자가 서로 더 가까워지는 것이다.링 안의 입자들은 무작위 보행인 궤도 반경을 가질 것이다. 링 안의 다른 입자들과 가까이 마주칠 때, 그들은 그 만남에서 에너지를 교환할 것이고, 따라서 반지름을 바꿀 것이다.이러한 의미에서 고리가 놓여 있는 공간은 중립적이다: 위나 아래(고리의 평면 밖으로) 더 이상의 힘이 없고, 안이나 바깥(고리의 반지름을 변화시키는) 힘이 없다.

이 예는 약간 혼란스러운데, 적절히 말하면 안정적이고 불안정하며 중립적인 다지관은 좌표 공간을 분할하지 않고 위상 공간을 분할하기 때문이다.이 경우 위상 공간은 접선 다지관의 구조를 가지고 있다. 즉, 공간의 모든 지점(3D 위치)에 대해, 입자가 가질 수 있는 모든 속도인 "접선 벡터"의 집합이 있다.어떤 위치-속도 쌍은 중심 다지관을 향해 몰리고, 다른 쌍은 중심 다지관을 향해 내동댕이쳐진다.중심 다지관에 있는 사람들은 작은 동요에 취약하기 때문에 일반적으로 그들을 무작위로 밀어내고 종종 중심 다지관 밖으로 밀어낸다.즉, 작은 동요는 중심 다지관의 지점을 불안정하게 만드는 경향이 있다. 즉, 중심 다지관은 안장 지점처럼 동작하거나, 오히려 안장 지점의 확장된 집합으로 작용한다.중심 다지관의 불안정성에 대한 이러한 생각에는 극적인 전례가 있다. 자세한 예는 라그랑비아의 일관성 있는 구조를 참조하라.

훨씬 더 정교한 예는 리만 표면의 접선 다발의 아노소프 흐름이다.그럴 경우 접선 공간을 불안정하고 안정된 번들, 즉 이 두 가지 사이에 중립 다지관이 끼여 있는 세 부분으로 매우 명백하고 정확하게 나눌 수 있다.이 예는 근사치나 손떨림이 필요하지 않다는 점에서 우아하다. 정확히 해결할 수 있다.리 그룹과 리만 표면의 전반적인 윤곽을 알고 있는 사람들에게는 비교적 간단하고 간단한 예다.

정의

시스템

{\dot {x}}=x^{2},

{\dot {x}}=x^{2},

=

{\dot {x}}=x^{2},

{\dot {x}}=x^{2},

,

{\dot {x}}=x^{2},

{\

displaystyle {\dot{x}=

{\dot {y}}=y

^{

2},} y

{\dot {y}}=y

=

{\dot {y}}=y

{\dot

{\dot

{\dot}=y}

의 안장-노드 평형점 중심(빨간색) 및 불안정

{\dot {y}}=y

녹색) 다지관.

무작위로 선택된 2D 위상 공간의 점들은 역동성이 느린 1D 중심 다지관으로 기하급수적으로 수렴된다(비 지수적).중심 다지관의 역학을 연구하면 원점에서의 비대칭 고정점의 안정성이 결정된다.

동적 시스템의 중심 다지관은 그 시스템의 평형점에 기초한다.평형의 중심 다지관은 기하급수적으로 빠르게 붕괴하거나 기하급수적으로 자라지 않는 근처의 궤도로 구성된다.

수학적으로 동적 시스템의 평형점을 연구할 때 첫 번째 단계는 시스템을 선형화한 다음 그 고유값과 고유 벡터를 계산하는 것이다.음의 실제 부분을 갖는 고유값에 해당하는 고유 벡터(및 발생 시 일반화된 고유 벡터)는 안정적인 고유공간을 위한 기초를 형성한다.양의 실제 부품을 갖는 고유값에 해당하는 (일반화된) 고유 벡터는 불안정한 고유 공간을 형성한다.평형점이 쌍곡선(즉, 선형화의 모든 고유값이 0이 아닌 실제 부분을 가지고 있다)인 경우, 하트만-그로브만 정리는 이러한 고유값과 고유 벡터가 평형 근처의 시스템 역학을 완전히 특성화한다는 것을 보장한다.

그러나 평형에서 실제 부분이 0인 고유값을 갖는 경우, 해당 (일반화된) 고유 벡터가 중심 아이겐스페이스(볼의 경우, 중심 아이겐스페이스는 용서받지 못한 경직된 신체 역학의 전체 집합이다.^[1] 선형화를 넘어, 동적 시스템에서 비선형성 또는 강제력에 의한 섭동을 설명할 때 중심 아이겐스페이스는 인근 중심 다지관으로 변형된다.^[2] 만약 고유값이 0이 아니라 정확히 0이면(공과 마찬가지로) 해당 아이겐스페이스는 더 구체적으로 느린 다지관을 발생시킨다.중심(느린) 다지관의 거동은 일반적으로 선형화에 의해 결정되지 않으므로 구성하기 어려울 수 있다.

유사하게 시스템의 비선형성 또는 강제성은 안정적이고 불안정한 에겐스페이스를 인근 안정 다지관과 인근 불안정한 다지관으로 교란시킨다.^[3]이 세 가지 유형의 다지관은 불변 다지관의 세 가지 경우다.

대수적으로 ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})$ ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})$ ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})$ ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})$ = f ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})$ ( $){\dfrac {d{\textbf{x}}{dt$ }}}{dt $}}={\textbf{f}}}{\$ $textbf{x}}}}}}}}$ 은(는 ${\textbf {x}}^{*}$ 평형점 ${\textbf {x}}^{*}$ 에 있는 시스템의 선형화가 역동적인 시스템이다 ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})$ ${\textbf {x}}^{*}$

{\frac {d{\textbf {x}{dt}}=A{\textbf{x},\quad{\text{\where}A={\frac {d{\textbf{f}}{d{\textbf{x}}}}{\textbf{x}^{*}).

Jacobian 행렬 $A$ {\ $displaystyle$ A}은 $($ 는 $A$ $)$ 다음과 같은 세 가지 주요 하위 공간을 정의한다.

안정적인 하위 공간은 고유값 $\lambda$ $\lambda$ 에 $\lambda$ 해당하는 일반화된 고유 벡터에 의해 확장되며, $\operatorname {Re} \lambda <0$ $\operatorname {Re} \lambda <0$ < $\operatorname {Re} \lambda <0$ $\operatorname {Re} \lambda <0$ ;
불안정 하위 공간은 고유값 $\lambda$ $\lambda$ 에 $\lambda$ 해당하는 일반화된 고유 벡터에 의해 확장되며, Re $\operatorname {Re} \lambda >0$ > $\operatorname {Re} \lambda >0$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda >0$
중심 하위 공간은 고유값 $\operatorname {Re} \lambda =0$ $\lambda$ 에 $\lambda$ 해당하는 일반화된 고유 벡터에 의해 확장되며, $\operatorname {Re} \lambda =0$ $\operatorname {Re} \lambda =0$ = $\operatorname {Re} \lambda =0$ {\ $displaystyle \operatorname$ {Re $}$ \ $lambda =0$

응용 프로그램에 따라 다른 하위 영역에는 중앙집중식, 중앙집중식, 하위 중심, 느림 및 빠른 하위 영역이 포함된다.이 서브스페이스는 모두 선형화 방정식의 불변 서브스페이스다.

선형화된 시스템에 해당하는 비선형 시스템은 불변 다지관을 가지며, 각각 비선형 시스템의 궤도 집합으로 구성된다.^[4]

안정적 하위 공간에 접하고 동일한 치수의 불변 다지관이 안정 다지관이다.
불안정한 다지관은 치수가 같고 불안정한 아공간과 접선된다.
중심 다지관은 크기가 동일하고 중심 아공간과 접선된다.흔히 그렇듯이 중심 아공간 고유값이 실제 부분 0이 아니라 모두 정확히 0이면 중심 다지관은 흔히 슬로우 다지관이라고 부른다.

중심 다지관 정리

중심 다지관 존재 정리는 우측 측면 ${\textbf {f}}({\textbf {x}})$ f $){\displaystyle {\textbf{f}({\textbf{x}})$ 가 ${\textbf {f}}({\textbf {x}})$ C $C^{r}$ {\ $displaystyle C^{r}($ $r$ ${\displaysty r}$ 배 $r$ )이면 평형점마다 일정한 크기의 근방이 존재한다고 명시되어 있다.e는 다음 중 하나 이상이다.

독특한 $C^{r}$ $C^{r}$ ${\$ 안정 $C^{r}$ 다지관,
독특한 $C^{r}$ $C^{r}$ ${\$ 불안정한 $C^{r}$ 다지관,
a (필수적으로 고유한 것은 아님) $C^{r-1}$ $C^{r-1}$ - $C^{r-1}$ ${\$ C $^{r-1}$ 중심 $C^{r-1}$ 다지관.

예를 들어, 정상 형태로의 비선형 좌표 변환은 이 세 가지 다지관을 명확하게 분리할 수 있다.^[6]웹 서비스[1]는 현재 다양한 유한 차원 시스템에 필요한 컴퓨터 대수학을 수행한다.

불안정 다지관이 존재하지 않는 경우, 중앙 다지관은 종종 모델링과 관련이 있다.그러면 센터 매니폴드 출현 정리는 근처에 머무르는 시스템의 모든 해결책이 센터 매니폴드의 어떤 ${\textbf {y}}(t)$ ${\textbf {y}}(t)$ ( t ${\textbf {y}}(t)$ ){\ $displaystyle{\textbf{y$ }}( $t)$ 로 기하급수적으로 빨리 향하도록 이웃을 선택할 수 있다고 말한다.[7]이 원칙 초기 조건의 다양한에 대한 전체의 해결책을 주장하고 그것은 어떤율을, 음(t))y(t)+O(e′지 β −)로 t→ ∞,{\displaystyle{\textbf{)}}(t)={\textbf{y}}(t)+{{O\mathcal}}(e^{-\beta t})\quad{\text{로}}t\to\infty \,,}β′{\displaystyle \beta의}. 있다.s비교적 낮은 치수 중심 다지관의 용액까지 기하급수적으로 빠르게 붕괴한다.

세 번째 정리인 근사치 정리는 이러한 불변 다지관에 대한 근사 ${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$ = ${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$ ( ${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$ s $){\displaystyle{\textbf{x}}={\textbf{X}}}}{\textbf{$ s ${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$ 이라고 하면 시스템이 ${\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})$ O $){\displaystylemathcal{O}}}}$ 을 만족한다고 주장한다. $f {s}} ^{p})}$ as ${\textbf {s}}\to {\textbf {0}}$ , then the invariant manifold is approximated by ${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$ to an error of the same order, namely ${\mathcal {O}}( {\textbf {s}} ^{p$ $)}$ .

무한 D 및/또는 비자율 시스템의 중심 다지관

그러나 관이나 채널의 분산과 같은 일부 용도는 무한 차원 중심 다지관을 필요로 한다.^[8] 가장 일반적이고 강력한 이론은 Aulbach와 Wanner에 의해 개발되었다.^[9] ^[10] ^[11] 그들은 비자율적 동적 시스템 ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)$ x ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)$ t ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)$ = f ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)$ ( ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)$ , ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)$ ) ${\dplaystyle {\d{d{\textbf{x}}}{dt}}={\textbf {{f}}}({\textbf{$ x}, $t)$ 을 무한한 ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)$ 차원에서 다루었으며 잠재적으로 무한한 차원 안정성과 불안정성 및 중심 다지수를 가지고 있었다.그래서, 현재 매니폴드 eigenvalues와 같은은 리 ⁡ λ ≤ α{\displaystyle \operatorname{리}\lambda \leq \alpha}, eigenvalues을 안정적인 다양체 리λ≤− β<>⁡, − rα{\displaystyle \operatorname{리}\lambda\leq -\beta<>관련된 게다가 그들은 유용하게;-r\은 manifolds의 정의 generalised.알파 ${}$ , 그리고 고유값 $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ manifold $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ > $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ 을(를) 가진 불안정한 다지관 $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ 그들은 비선형 좌표 변환을 통해 이러한 다지관의 존재와 중심 다지관의 출현을 증명했다.

포체스와 라스무센은 그러한 무한한 차원, 비자율적 시스템에 상응하는 근사치 정리를 확립했다.^[12]

대안역설

위에서 언급된 모든 현존 이론은 특정 문제의 불변 다지관 특성을 확립하고자 한다.특히 주어진 시스템의 불변 다지관에 근접한 다지관을 구성한다.대안적 접근방식은 주어진 시스템과 근접한 시스템을 위해 정확한 불변 다지관(역행 이론)을 구축하는 것이다.목적은 더 넓은 범위의 시스템에 이론을 유용하게 적용하고, 오류와 유효성 영역의 크기를 추정하는 것이다.^[13] ^[14]

이 접근방식은 수치 모델링에서 잘 확립된 후진 오류 분석과 동일하다.

중심 다지관 및 비선형 시스템 해석

평형의 안정성이 다지관의 "안정성"과 상관관계가 있기 때문에, 중심 다지관의 존재는 중심 다지관의 역학에 대한 문제를 제기한다.이는 일부 시스템 매개변수 μ와 조합하여 분기 개념으로 이어지는 중심 다지관 감소에 의해 분석된다.

그에 상응하여, 두 개의 웹 서비스는 현재 광범위한 유한 차원 시스템에 대한 중심 다지관만을 건설하는 데 필요한 컴퓨터 대수학을 맡고 있다(다항형인 경우).

한 웹 서비스[2]는 선형 대각선이지만 비자율적이거나 확률적일 수 있는 시스템에 대해 저속 다지관을 구축한다.^[15]
또 다른 웹 서비스[3]는 일반 선형화가 있는 시스템을 위한 센터 매니폴드를 구성하지만, 자율 시스템만을 위한 것이다.^[16]

예

느린 다지관에 대한 위키피디아 항목은 더 많은 예를 보여준다.

간단한 예

시스템을 고려하십시오.

{\dot 스타일 {\x}=x^{2},\dot {\dot {y}=y.}

원점에서 불안정한 다지관은 Y축이고, 안정 다지관은 사소한 집합 {(0, 0)}이다.안정적 다지관에 있지 않은 궤도는 일부 실제 상수 A에 $y=Ae^{-1/x}$ $y=Ae^{-1/x}$ y = $y=Ae^{-1/x}$ - $y=Ae^{-1/x}$ / $y=Ae^{-1/x}$ ${\$ y= $Ae^{-1/x}$ 형식의 방정식을 만족한다.그 뒤에 어떤 실제 A의 경우, x > 0의 $y=Ae^{-1/x}$ $y=Ae^{-1/x}$ = $y=Ae^{-1/x}$ $y=Ae^{-1/x}$ - 1 $y=Ae^{-1/x}$ / $y=Ae^{-1/x}$ ${\$ y $=Ae^{-1/x}$ 를 음의 x축(원점 포함)과 합쳐서 중심 다지관을 만들 수 있다.더욱이 모든 중심 다지관에는 이러한 잠재적 비특성이 있지만, 비특성은 변수의 비물리적 복합 값에서만 발생하는 경우가 많다.

지연 미분 방정식은 종종 Hopf 분기가 있다.

Another example shows how a center manifold models the Hopf bifurcation that occurs for parameter $a\approx 4$ in the delay differential equation ${dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}$ . Strictly, the delay makes this DE infinite-dimensional.

다행히도, 우리는 그러한 지연을 치수성을 유한하게 유지하는 다음과 같은 속임수로 대략 추정할 수 있다.Define $u_{1}(t)=x(t)$ and approximate the time-delayed variable, $x(t-1)\approx u_{3}(t)$ , by using the intermediaries ${du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})$ and ${du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})$ ${du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})$ ( ${du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})$ ${du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})$ - ${du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})$ ${du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})$ ) ${\displaystyle {du_{3}/{dt}=2(u_{2}-u_{3$ .

거의 임계인 $a=4+\alpha$ 의 경우, a $a=4+\alpha$ = $a=4+\alpha$ + $a=4+\alpha$ ${\displaystyle a=4+\alpha$ $a=4+\alpha$ 지연 미분 방정식은 시스템에 의해 근사치된다.

{\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].

웹 서비스[4]는 해당 항목을 복사하여 붙여넣으면 복합 진폭 $s(t)$ ( $s(t)$ ) $s(t)$ 및 복합 $s(t)$ ${\bar {s}}(t)$ s ${\bar {s}}(t)$ ( $){\displaystyle {\s$ 의 관점에서 센터 매니폴드임을 확인할 수 있다.

{\textbf{u}}}=\왼쪽[{\n1}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar{s}\\\\\frac {1-i}e^{i2t}s+{2}{1-i}}{2}e^{{2}}}{2}2}}e^{-i2t}{\bar {{s}\-{\frac{i}{2}}e^{i2t}s+{\frac{i}{2}}e^{-i2t}{\bar {{s}}\end{array}\오른쪽]+{O}(\alpha + s ^{2})

그리고 중앙 다지관의 진화는

{\frac {ds}{dt}}=\왼쪽[{\frac {1+2i}{10}}\properties s-{\frac {3+16i}{15}s ^{2}s\right]{O}(\alpha ^{2}+ s ^{4})

이 진화는 $\alpha >0\ (a>4)$ > 0 $\alpha >0\ (a>4)$ ( $\alpha >0\ (a>4)$ > 4 $\alpha >0\ (a>4)$ ) ${\displaystyle \alpha >0\ (a>4)$ 에 대해 원점이 선형적으로 불안정함을 보여주지만, 입방 비선형성은 고전적인 Hopf 분기점에서처럼 근처의 한계 주기를 안정화시킨다 $\alpha >0\ (a>4)$

참고 항목

메모들

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참조

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외부 링크

Jack Carr (ed.). "Center manifold". Scholarpedia.

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