고전 제어 이론

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고전적 제어 이론은 입력으로 동적 시스템의 동작과 피드백에 의해 동작이 수정되는 방법을 다루는 제어 이론의 한 분야로, 라플라스 변환을 그러한 시스템을 모델링하는 기본 도구로 사용한다.

제어 이론의 일반적인 목적은 흔히 발전소라고 불리는 시스템을 제어하는 것이므로, 그 출력은 기준이라 불리는 원하는 제어 신호를 따르는 것이며, 이것은 고정된 값일 수도 있고 변화된 값일 수도 있다. 이를 위해 출력을 모니터링하고 기준과 비교하는 컨트롤러가 설계된다. 에러 신호라고 하는 실제 출력과 원하는 출력의 차이는 시스템 입력에 피드백으로 적용되어 실제 출력이 기준치에 가깝게 된다.

고전적 제어 이론은 선형 시간 변화 단일 입력 출력(SISO) 시스템을 다룬다.^[1] 그러한 시스템의 입력 및 출력 신호의 라플라스 변환을 계산할 수 있다. 전송 함수는 입력과 출력의 라플라스 변환과 관련이 있다.

피드백

오픈 루프 컨트롤러의 한계를 극복하기 위해 고전적 제어 이론은 피드백을 도입한다. 폐쇄 루프 컨트롤러는 동적 시스템의 상태 또는 출력을 제어하기 위해 피드백을 사용한다. 그것의 이름은 시스템의 정보 경로에서 유래한다: 프로세스 입력(예: 전기 모터에 인가되는 전압)은 센서로 측정되어 제어기에 의해 처리되는 프로세스 출력(예: 모터의 속도 또는 토크)에 영향을 미친다. 그 결과(제어 신호)는 프로세스에 대한 입력으로 "피드백"되어 루프를 닫는다.

폐쇄 루프 컨트롤러는 개방형 루프 컨트롤러에 비해 다음과 같은 장점이 있다.

• 교란 거부(순항 제어 장치의 언덕 등)
• 모델 구조가 실제 공정과 완벽하게 일치하지 않고 모델 매개변수가 정확하지 않은 경우에도 모델 불확실성에도 성능 보장
• 불안정한 공정이 안정될 수 있다.
• 파라미터 변동에 대한 감도 감소
• 향상된 참조 추적 성능

일부 시스템에서는 폐쇄 루프와 개방 루프 제어가 동시에 사용된다. 그러한 시스템에서 오픈 루프 제어는 피드포워드(feedforward)라고 불리며 참조 추적 성능을 더욱 향상시키는 역할을 한다.

일반적인 폐쇄 루프 컨트롤러 아키텍처는 PID 컨트롤러이다.

고전적 대 현대

물리적 시스템은 "시간 영역"에서 모델링될 수 있으며, 여기서 주어진 시스템의 응답은 다양한 입력, 이전 시스템 값 및 시간의 함수다. 시간이 흐를수록 시스템의 상태와 대응은 변한다. 그러나 시스템용 시간 영역 모델은 인간이 해결하기 불가능할 정도로 어려워질 수 있는 고차 미분방정식을 사용하여 자주 모델링되며, 그 중 일부는 현대의 컴퓨터 시스템이 효율적으로 해결하기도 불가능해질 수 있다.

이 문제에 대응하기 위해 고전적 제어 이론은 라플라스 변환을 사용하여 시간 영역의 보통 미분 방정식(ODE)을 주파수 영역의 정규 대수 다항식으로 변경한다. 일단 주어진 시스템이 주파수 영역으로 전환되면 그것은 더 쉽게 조작될 수 있다.

현대의 제어 이론은 시간 영역 ODE 수학의 복잡성을 피하기 위해 도메인을 바꾸는 대신 미분 방정식을 상태 방정식이라고 하는 저차적 시간 영역 방정식의 체계로 변환하여 선형 대수학의 기법을 이용하여 조작할 수 있다.^[2]

라플라스 변환

고전적인 제어 이론은 시스템과 신호를 모델링하기 위해 라플라스 변환을 사용한다. 라플라스 변환은 시스템의 안정성과 불안정성에 관계 없이 연속적인 시간 신호를 위한 주파수 영역 접근법이다. 모든 실수 t f 0에 대해 정의된 함수 f(t)의 라플라스 변환은 함수 F(s)로 정의되며, 이는 에 의해 정의되는 일방적인 변환이다.

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infit }e^{-st}f(t)\,dt}$

여기서 s는 복잡한 숫자 주파수 파라미터다.

${\displaystyle s}$= ${\displaystyle \sigma }$+ ${\displaystyle \mathrm{i\Omega }}$ ${\displaystyle s=\sigma +i\omega$ $\},$ 실제 숫자 σ 및 Ω.

폐쇄 루프 전송 기능

공통 피드백 제어 아키텍처는 서보 루프로서, 센서 F를 사용하여 시스템 y(t)의 출력을 측정하고 기준 값 r(t)에서 빼서 서보 오류 e를 형성한다. 그런 다음 제어기 C는 서보 오류 e를 사용하여 발전소 출력을 기준 쪽으로 유도하기 위해 발전소(제어 중인 시스템) P에 대한 입력 u를 조정한다. 이는 아래의 블록 다이어그램에 나타나 있다. 이런 종류의 컨트롤러는 폐쇄 루프 컨트롤러 또는 피드백 컨트롤러다.

이를 SISO(단일 입력-단일 출력) 제어 시스템이라고 하며, 입/출력이 둘 이상인 MIMO(즉, 다중 입력-멀티-출력) 시스템이 일반적이다. 그러한 경우 변수는 단순한 스칼라 값 대신 벡터를 통해 표현된다. 일부 분산 매개변수 시스템의 경우 벡터는 무한 차원일 수 있다(일반적으로 기능).

컨트롤러 C, 발전소 P 및 센서 F가 선형 및 시간 변광성(즉, 이들의 전달 함수 C, P, F의 요소는 시간에 따라 달라지지 않음)이라고 가정할 경우 변수에 대한 라플라스 변환을 사용하여 위의 시스템을 분석할 수 있다. 이것은 다음과 같은 관계를 제공한다.

$[\displaystyle Y(s)=P(s)U\,\!}$

$[\displaystyle U=C(s)E\,\!}$

$[\displaystyle E(s)=R(s)-F(s)Y.\,\!}$

R(들)의 관점에서 Y(들)에 대한 해결

${\displaystyle Y(s)=\left({\frac {P(s)C}{1+F(s)C}}\right)R(s)=H(s)R.}$

${\displaystyle H}$(${\displaystyle }$) =${\displaystyle P\frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{s}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$(${\displaystyle \frac{}{}}$) 1${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{F}{}}$( s${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{P}{}}$( ${\displaystyle \frac{s}{}}$) C ( ${\displaystyle \frac{s}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{C}{}}$ ( ) C${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{s}{}}$ )${\$는 시스템의 폐쇄 루프 전송 기능이라고 한다$$. 분자는 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$에서 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$까지의 전방(개방형) 이득이며$,$ 분모는 피드백 루프, 이른바 루프 게인 1+이다. If ${\displaystyle P(s)C(s) \gg 1}$, i.e., it has a large norm with each value of s, and if ${\displaystyle F(s) \approx 1}$, then ${\displaystyle Y(s)}$ is approximately equal to ${\displaystyle R(s)}$ and the output closely tracks the reference input.

${\displaystyle u}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle u(t)}$ PID$$ 컨트롤러

PID 컨트롤러는 아마도 가장 많이 사용되는 (대부분 크러더 뱅뱅 제어와 함께) 피드백 제어 설계일 것이다. PID는 제어신호를 생성하기 위해 오류신호에 작용하는 세 가지 용어를 가리키는 비례-적분-편리주의 초기설이다. 시스템으로 전송되는 제어신호인 경우, $y{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y(t)}$은 ${\displaystyle \mathrm{측정}}$된 출력이고 r ( t${\displaystyle }$)${\displaystyle r(t)}$은 원하는 출력이며$$, 추적 오류 $e{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= r${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle y}$ (${\displaystyle t}$ )${\displaystye e(t)=r(t)-y(t$ PID 컨트롤러는 일반 형식을 가지고 있다.

${\displaystyle u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int e(t){\text{d}t+K_{D}{\frac {\text{d}{\text{d}}e(t).}$

원하는 폐쇄 루프 역학은 세 파라미터 K ${\displaystyle P_{}}$ ${\$ K_${P},$$K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$P}를 조정하여 얻는다.$I}$과 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}}$ ${\$는$$식물 모델에 대한 구체적인 지식 없이 "조정"을 통해 반복적으로 반복하는 경우가 많다. 종종 비례 용어만을 사용하여 안정성을 보장할 수 있다. 적분 용어는 단계적 교란(흔히 프로세스 제어에서 현저한 규격)의 거부를 허용한다. 파생 용어는 반응의 감쇠 또는 형상을 제공하는 데 사용된다. PID 컨트롤러는 제어 시스템의 가장 잘 확립된 등급이다. 그러나 특히 다중 입력 다중 출력 시스템(MIMO) 시스템을 고려할 경우 몇 가지 더 복잡한 경우에는 사용할 수 없다.

변환된 PID 컨트롤러 방정식에 Laplace 변환 결과 적용

${\displaystyle u_=K_{P}e+K_{{I}{\frac {1}{s}e+K_{D}se}$

${\displaystyle u=\왼쪽(K_{P}+K_{{{P})I}{\frac {1}{s}+K_{D}s\오른쪽)e}$

PID 컨트롤러 전송 기능 사용

${\displaystyle C(s)=\왼쪽(K_{P}+K_{{{})I}{\frac {1}{s}+K_{D}s\오른쪽).}$

위에서 논의한 폐쇄 루프 시스템의 좋은 예가 있다. 만약 우리가 가져가면

직렬 형식의 PID 컨트롤러 전송 기능

${\displaystyle C(s)=K\left(1+{\frac {1}{s)T_{i}}\오른쪽)(1+sT_{d}}$

피드백 루프에서 첫 번째 순서 필터

${\displaystyle F(s)={\frac {1}{1+sT_{f}}}}$

필터링된 입력이 있는 선형 액추에이터

${\$$T_{p}}}},$A ${\displaystyle A}$ $$= 항상

그리고 이 모든 것을 폐쇄 루프 전송 $함수{\displaystyle }$ H${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle H$에 대한 표현으로 삽입하면 튜닝이 매우 쉽다: 단순하게

${\displaystyle K={\frac {1}{A},T_{i}=T_{f},T_{d}=T_{p}}}$

$H{\displaystyle }$ (${\displaystyle s}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$H$(s)=$1}을$($를) 동일하게$$ 얻으십시오.

실제 PID 컨트롤러의 경우, 순수한 차별화 요소는 시스템에서 소음과 공명 모드의 증폭으로 인해 물리적으로 실현 가능하지도 바람직하지도^[3] 않다. 따라서 위상-선도 보상자 유형 접근방식을 대신 사용하거나 저역-통과 롤-오프 방식의 차별화 요소를 사용한다.

도구들

고전적 제어 이론은 일련의 도구를 사용하여 시스템을 분석하고 그러한 시스템에 대한 제어기를 설계한다. 도구는 루트 위치, 나이키스트 안정성 기준, 보드 그림, 이득 여유 및 위상 여유를 포함한다. 보다 진보된 도구로는 성능 제한과 절충을 평가하는 보드 통합과 주파수 영역의 비선형성을 분석하는 기능을 기술하는 것이 있다.^[4]

참고 항목

• 마이너 루프 피드백 피드백 피드백 제어 시스템을 설계하기 위한 고전적인 방법.
• 상태 공간(제어)

참조