크리스털 모멘텀

고체 상태의 물리학에서 결정운동량 또는 퀘이모멘텀은 결정 격자의 전자와 연관된 운동량 같은 벡터다.^[2]다음에 따라 이 격자의 관련$$ 파형 벡터 $k{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 의해 정의된다.

${\displaystyle {\mathbf {p}}_{\text{k}}\equiv \hbar {\mathbf {k}}}}}}$

(여기서 $\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar }$은(는) Planck의 상수 감소).^{[3]: 139} 종종^{[clarification needed]} 크리스털 모멘텀은 기계적 모멘텀처럼 보존되어 물리학자와 재료 과학자들에게 분석 도구로서 유용하다.

격자 대칭 원점

결정 구조와 행동을 모델링하는 일반적인 방법은 전자를 고정된 무한 주기 전위 $V{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ $){\displaystyle V(x)}$를 통해 이동하는 양자 기계 입자로 보는 것이다$$.

${\displaystyle V({\mathbf {x}} }+{\mathbf {a}}}}=V({\mathbf {x}),}$

$여기$서 ${\$는) 임의 격자 벡터다.기 때문에 격자 구조를 결정 이온 일반적으로 수천배나 더 electrons,[4]안전한 고정된 잠재적 구조로 대체하게 되는 것보다 거대한 수만명의 주문해 놓았다 그러한 모델,와 크리스탈의 거시적 차원 일반적으로까지 단 레티스 간격보다 훨씬 더 많다는 것, 가장자리 effec를 만들고 합리적이다.이익무시할 수 있는이 잠재적 에너지 함수의 결과는 문제의 어떤 측면도 변경하지 않고$$ 어떤 격자 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ a ${\$에 의해 전자의 초기 위치를 이동할 수 있으며, 따라서 이산 대칭이 정의된다.기술적으로 무한한 주기적 잠재력은 격자 번역 $연산자{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$($){\displaystyle$ T$(a)}$가 단순한 운동+잠재적 형태를 가정하여 해밀턴인과 통근한다는 것을 의미한다.^{[3]: 134}

이러한 조건들은 블록의 정리를 암시하고 있는데, 블록의 정리를 기술하고 있다.

${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }),\qquad u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} }+{\mathbf {a} })=u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })}$,

또는 단일 입자파 함수 ${\displaystyle \psi \mathbf{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$로 모델링할 수 있는 격자 안의 전자가 주기 $함수{\displaystyle }$ u ${\displaystyle (x\mathbf{}}$ )$${\$displaystyle u(\mathbf {x}$ )로 곱한 평면파의 형태로 고정 상태 용액을 발견한다$.$이 정리는 격자 대칭 번역 운영자가 시스템의 해밀턴과 통근한다는 앞에서 언급한 사실의 직접적인 결과로 발생한다.^{[3]: 261–266 [5]}

Bloch의 정리의 주목할 만한 측면 중 하나는 정상 상태 해법이 파동 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ k$${\$displaystyle \mathbf {k}}$로 식별될 수 있음을 직접적으로 보여준다는 것인데$,$ 이는 이 양자수가 움직임의 상수로 남아 있다는 것을 의미한다.결정 운동량은 플랑크의 상수에 이 파동 벡터를 곱하여 일반적으로 정의된다.

${\displaystyle {\mathbf {p} }_{\text{k}}=\hbar {\mathbf {k} }.}$

이것이 사실 규칙적인 운동량에 대해 줄 수 있는 정의와 동일하지만(예를 들어, 자유 공간에서^[6] 입자의 효과에 의한 번역 연산자의 효과를 처리함으로써), 중요한 이론적 차이가 있다.예를 들어, 규칙적인 운동량이 완전히 보존되는 동안, 결정 운동량은 격자 벡터 내에서만 보존된다.예를 들어 전자는 파형 벡터 $k{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ $\}$뿐만 아니라 다음과 같은$$ 다른 파형 벡터 $k{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$로도 설명할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {k'} =\mathbf {k} +\mathbf {K},}$

여기서 $K{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) 임의의 역수 격자 벡터다.^{[3]: 218} 이는 격자 대칭이 연속과 반대로 불연속적이어서 노에더의 정리를 이용하여 관련 보존 법칙을 도출할 수 없다는 사실에 따른 결과다.

물리적 중요성

The phase modulation of the Bloch state ${\displaystyle \psi _{n}({\mathbf {x} })=e^{i{\mathbf {k} {\mathbf {\cdot x} }}}u_{n{\mathbf {k} }}({\mathbf {x} })}$ is the same as that of a free particle with momentum ${\displaystyle \hbar k}$, i.e. ${\displaystyle k$$}$은(는) 주(州)의 주기성을 부여하는데$$, 이는 격자의 주기율과 같지 않다.이 변조는 입자의 운동 에너지에 기여한다(변조가 자유 입자의 운동 에너지를 전적으로 책임지는 경우).

밴드가 대략 포물선인 지역에서 결정운동량은 포물선의 곡률과 관련된 유효 질량을 입자에 할당하면$$ 모멘텀 ${\displaystyle \hslash }$ k ${\displaystyle \hbar k}$을 가진 자유 입자의 운동량과 동일하다.

속도와의 관계

결정 운동량은 물리적으로 측정할 수 있는 속도의 개념에 해당한다^{[3]: 141} .

${\displaystyle {\mathbf {v}_{n}({\mathbf {k}}}})={\frac {1}{\hbar }}}\nabla _{\mathbf {n}({\mathbf {k}}}}}).}$

이것은 파동의 그룹 속도와 같은 공식이다.구체적으로는 하이젠베르크의 불확실성 원리로 인해 결정의 전자는 정확히 정의된 k와 정확한 위치를 모두 가질 수 없다.그러나 모멘텀 k를 중심으로(약간의 불확실성으로), 일정한 위치(약간의 불확실성으로)를 중심으로 한 파장 패킷을 형성할 수 있다.이 파형의 중심 위치는 파형이 전파됨에 따라 위 공식에 의해 주어진 속도 v로 결정체를 통과하여 변화한다.실제 결정에서 전자는 이런 식으로 움직인다. 즉, 일정한 속도로 특정 방향으로만 이동하는 짧은 시간 동안만, 다른 임의의 방향으로 움직이게 하는 결정의 불완전성과 충돌한다.전자 산란이라고 불리는 이러한 충돌은 결정학적 결함, 결정 표면, 결정(포논)에 있는 원자의 임의 열 진동에 의해 가장 흔히 발생한다.^{[3]: 216}

전기장과 자기장에 대한 반응

결정 운동량은 또한 전자 역학의 반전파 모델에서 중요한 역할을 하며, 여기서 운동 방정식(cgs 단위)을 단위).^{[3]: 218}

${\displaystyle {\mathbf {v}_{n}({\mathbf {k}})={\frac {1}{\hbar }}}\nabla _{\mathbf {k}{n}),}$

${\displaystyle {\mathbf{p}}_{\text{p}}=-e\좌({\mathbf {E}}-{\frac {1}{c}}{\mathbf {v}}{}}}{\mathbf {H}}}\우)}}$

여기서 아마도 수정 운동량과 진정한 운동량 사이의 비유는 가장 강력할 것이다. 왜냐하면 이것들은 정확히 자유 우주 전자가 수정 구조가 없을 때 복종하는 방정식이기 때문이다.크리스털 모멘텀은 또한 위의 방정식을 사용하여 전자의 운동 궤적을 계산하기 위해서는 외부장만 고려할 필요가 있는 반면 진정한 모멘텀에 기초한 일련의 운동 방정식에서 계산을 시도하려면 개별적인 쿨로를 고려해야 하기 때문에 이러한 유형의 계산에서 빛을 발할 기회를 얻는다.외부장 외에 모든 격자 이온의 mb 및 로렌츠 힘.

적용들

각도 분해 광 방출 분광기(ARPEES)

각도로 분해된 광 방출 분광학(ARPEES)에서 결정 샘플에 대한 조사광선을 사용하면 결정에서 멀리 떨어진 전자가 방출된다.교호작용의 과정 내내, 결정의 두 개념과 진정한 추진력을 혼동하여 결정의 대역 구조에 대한 직접적인 지식을 얻을 수 있도록 허용된다.즉 결정 내부의 전자의 결정운동량은 그것이 떠난 후 진정한 운동량이 되고, 진정한 운동력은 그 방정식에서 유추될 수 있다.

${\displaystyle {\mathbf {p_{\parallel}}}}={\sqrt {2mE_{\text{kin}}\sin \theta}}$

전자가 결정에서 빠져나가는 각도와 운동에너지를 측정하여 $여기$서 m ${\displaystyle m}$은 하나의 전자 질량이다.결정 표면에 정상적인 방향의 결정 대칭은 결정 경계에서 상실되기 때문에, 이 방향의 결정 운동량은 보존되지 않는다.따라서 유용한 ARPES 데이터를 수집할 수 있는 유일한 방향은 결정 표면에 평행한 방향이다.^[7]

참조