직합

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직접합은 수학의 한 분야인 추상대수학에서 따온 연산이다.For example, the direct sum ${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$, where ${\displaystyle \mathbf {R} }$ is real coordinate space, is the Cartesian plane, ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$. To see how the direct sum is used in abstract algebra, consider a more elementary structure in abstract대수학, 아벨 그룹.The direct sum of two abelian groups ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ is another abelian group ${\displaystyle A\oplus B}$ consisting of the ordered pairs ${\displaystyle (a,b)}$ where ${\displaystyle a\in A}$ and ${\displaystyle b\in B}$ with the following structure.순서 쌍을 추가하려면 합$(,{\displaystyle b}$) + (${\displaystyle }$c$,$ ) $displaystyle (a,b)+(c,d)}$을$c, b+d)$로 정의한다$.$ 즉, $추가$는 좌표-wise로 정의된다.유사한 프로세스를 사용하여 두 개의 벡터 공간 또는 두 개의 모듈을 직접 합할 수 있다.null

또한 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}${\$displaystyle$ $A$$,B,}$ $및$ C$${\displaystyle A$,B$$,}$과(예: 모든 아벨 그룹 또는 모든 벡터 공간)의 동일한$$ 종류의 대수적 구조인 경우, $A{\displaystyle }$b B ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle C}$ ${\$$displaystystyle$$$A\$oplus$B\$oplus$ $C$$}$와 같은 한정된 수의 합계로도 직접 합계를 구성할 수 있다$.$이것은 직접 합이 이소모르퍼리즘과 연관되어 있다는 사실에 의존한다.That is, ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$ for any algebraic structures ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, and ${\displaystyle C}$ of the same kind.직접 합은 또한 이소모르프, 즉 이소모르피즘에 비례한다.${\displaystyle A}$$algebra{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle$ A$\oplus B\cong B$$\$$oplus$ A$}$과(와) $같은{\displaystyle }$ 종류의 대수 구조 A {\$displaystyle A}$ 및 B ${\displaysty$ B$}$에 대한 A for$$ B { A {\displaystystyte B}null

미세하게 많은 아벨 그룹, 벡터 공간 또는 모듈의 직접 합은 해당 직접 생산물에 대해 표준적으로 이형화된다.그러나 이는 (비아벨리안) 집단과 같은 일부 대수적 대상에게 거짓이다.null

무한히 많은 물체가 결합되는 경우, 아벨 그룹이나 벡터 공간이나 모듈에서도 직접 합과 직접 산출물은 이형성이 아니다.예를 들어, (카운트적으로) 정수의 직접 합계 및 직접 산출물을 무한히 많이 고려한다.직접 산출물의 원소는 (1,2,3,...)와 같은 무한 시퀀스이지만, 직접 합계에는 미세하게 많은 좌표를 제외한 모든 좌표가 0이 되어야 한다는 요건이 있으므로, 순서(1,2,3,...)는 직접 산출물의 원소가 되지만 직접 합은 아닌 반면(1,2,0,0,0,0,0,0,...)는 양쪽의 원소가 된다.흔히 + 기호를 사용할 경우 미세하게 많은 좌표를 제외한 모든 좌표는 0이어야 하는 반면, 어떤 형태의 곱셈을 사용할 경우 미세하게 많은 좌표를 제외한 모든 좌표는 1이어야 한다.In more technical language, if the summands are ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$, the direct sum ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ is defined to be the set of tuples ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ with ${\displaystyle a_{i}\in A$$_{i}}}$ ${\displaystyle \mathrm{이렇게}}$ $하면$ ${\displaystyle i_{}}$= 0 ${\displaystyle a_{i}=0}$이(가) 완전히 많은 i가 된다$$.The direct sum ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ is contained in the direct product ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$, but is strictly smaller when the index set ${\displaystyle I}$ is infinite, because direct products do not have the restriction that all but finitely many좌표는 0이어야 한다.^[1]null

예

2차원 벡터 공간인 xy-평면은 두 개의 1차원 벡터 공간, 즉 x축과 y축의 직접 합으로 생각할 수 있다.이 직접 합에서 x축과 y축은 원점(영점 벡터)에서만 교차한다.덧셈은 좌표로 정의되는데$,{\displaystyle }$ 즉 (${\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$)${\displaystyle }$+ (${\displaystyle }$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$, y 2${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ x ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (x_{1},y_{1$},$y_{2}+}+(x_{1},$x_{$2})=(x_{$1}+$x_{2},y_{1$},y},{1$},$y},{1},y_+y},{2},{2},{2}, }, }, }, },{2},$\},$ }null

Given two structures ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$, their direct sum is written as ${\displaystyle A\oplus B}$. Given an indexed family of structures ${\displaystyle A_{i}}$, indexed with ${\displaystyle i\in I}$, the direct sum may be written ${\disp$$레이스타일 \textstyle$ A$=\bigoplus _{i\in I}A_{i$ 각 A를_i A의 직접 합계라고 한다.지수 세트가 유한할 경우 직접 합은 직접 산출물과 동일하다.그룹의 경우 그룹 작업이${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$로 작성되면 "직접 합계"라는 문구가$$, 그룹 작업이${\displaystyle }$written ${\displaystyle *}$로 작성되면 "직접 제품"이라는 문구가$$ 사용된다.지수 세트가 무한일 때 직접 합은 직계 합계가 0이어야 한다는 추가 요건을 가지기 때문에 직계 합은 직계 제품과 같지 않다.null

내외직접합계

내적 및 외적 직접 총액은 이형이지만 구별된다.인자가 먼저 정의되고, 그 다음에 직접 합이 인자의 관점에서 정의된다면, 우리는 외부 직접 합이 있다.예를 들어 실제 숫자 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$R}을($를) 정의한$$ $다음{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ R ${\$ {$R} \oplus \mathb {R}$을(를) 정의하면 직접 합이 외부라고 한다.null

반면에, 만약 우리가 먼저 대수 구조 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을 정의하고 나서$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을 두 하위 구조 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$과 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$의 직접 합으로$$ 쓴다면$,$ 직접적인 합은 내부라고 한다.이 경우 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 각 요소는 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 요소와$$ W ${\displaystyle W}$ $요소$의 대수적 조합으로서 고유하게 표현 가능하다$.$ 내부 직접 합계의 예로는 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ {Z$} _{6}}}}}($정수모듈로 6) 요소가 ars modulo 6).e ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$. This is expressible as an internal direct sum ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$.

직접 합계의 종류

아벨 군대의 직접 합계

아벨 그룹들의 직접 합은 직접 합계의 원형적인 예다.이러한 두 그룹$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle \circ }$) ${\displaystyle (A,\circle )$과${\displaystyle (B}$, ${\displaystyle \bullet }$ )${\displaystyle }$, ${\displaystyle (B,\bullet$ )}을(를$$) 감안할 때$,$ 이들의 직접 합계 $\$ ${\displaystyle B}$ {\$displaysty$A$\oplus$ B$}$은 그들의 직접 제품과 동일하다$$.즉, 기본 세트는 Cartesian 제품 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B}$이며 그룹 작업${\displaystyle }$operation ${\$은(는) 구성 요소별로 정의된다.

이 정의는 아주 많은 아벨 그룹들의 총계를 지시하는 것으로 일반화된다.null

그룹 ${\displaystyle A_{}}$의 임의 패밀리의 경우, ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \in }$ I${\displaystyle }$, ${\displaystyle i\in I}$에 의해 인덱싱된 A$${\$displaystyle A_{i}$ 그룹의^[2] 직접 합

is the subgroup of the direct product that consists of the elements ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$ that have finite support, where by definition, ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ is said to have finite support if $$${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 미세하게 많은 $i{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ i$.}$에 대한$$ ${\displaystyle A_{}}$ i ${\$ $A_$${i}$의 ID 요소다$$.$$^[3] 무한가족$({\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {I_{}}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${$ \ \$\left(A_{i}\right)_${i\in$$ I$}}}_${i\$in$ I}}}의 직접적인 합은 제품군 $\prod {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}\underset{}{i}}$ I. \ ${\displaystyle I_{}}$.$$\$prod \prod _{i\in$ I$}}$의 적절한 부분군이다.$}$

모듈의 직접 합계

모듈의 직접 합계는 여러 모듈을 새로운 모듈로 결합한 구조다.null

이 구조에서 가장 익숙한 예는 필드 위의 모듈인 벡터 공간을 고려할 때 발생한다.이 건축은 바나흐 공간과 힐버트 공간에도 확장될 수 있다.null

범주 내 직접 합계

부가적인 범주는 모듈 범주의 속성의 추상화다.^[4][5]그러한 범주에서 유한한 제품과 결합상품은 일치하며 직접 합계는 그들 중 하나, cf. biproduct이다.null

일반 사례:^[2]카테고리 이론에서직접 합은 종종, 그러나 항상은 아니지만, 문제의 수학적인 물체의 범주에 있다.예를 들어, 아벨 그룹 범주에서 직접 합은 합이다.이는 모듈 범주에서도 마찬가지다.null

그룹 범주의 직접 합계 대 공동 산출

그러나 직계합 S ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$⊕ Z ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$ {$Z} _{2$}}($$아벨리아 그룹의 직계합과 동일하게 정의됨)은 그룹 분류에 있는$$ $S{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및 Z 2$$ ${\$ {$Z} _{{{{{{}$_{}}}$$_{2} 그룹의 조합물이 아니다.^[6]따라서 이 범주의 경우, 흔히 범주형 직접 합계는 가능한 혼동을 피하기 위해 단순하게 조합물이라고 불린다.null

그룹 표시의 직접 합계

그룹 표시의 직접 합은 기본 모듈의 직접 합을 일반화하며, 여기에 그룹 액션을 추가한다.Specifically, given a group ${\displaystyle G}$ and two representations ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle W}$ of ${\displaystyle G}$ (or, more generally, two ${\displaystyle G}$-modules), the direct sum of the representations is ${\displaystyle V\oplus W}$ with the action of ${\d$구성 요소별로 주어진$$ $isplaystyle g\in$ G$},$ 즉,

직접 합계를 정의하는 다른 동등한 방법은 다음과 같다.

Given two representations ${\displaystyle (V,\rho _{V})}$ and ${\displaystyle (W,\rho _{W})}$ the vector space of the direct sum is ${\displaystyle V\oplus W}$ and the homomorphism ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$ is given by ${\displaystyl$$e \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$ where ${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$ is the natural map obtained by coordinate-wise action as above.null

또한 $V{\displaystyle }$, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle$ V$,\,W}$이(가) 유한 치수인$$ 경우, $V{\displaystyle }$, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle$ V$,\,W$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ V ${\$ $_$${V}$ 및$$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ W ${\${W$}$가 행렬로 계산된다.이 경우 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {\oplus }_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ ${\$ W$}$가 다음과 같이 주어진다$$.

더욱이 $우리$가 V ${\displaystyle$ V$}$과 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$을(를$)$ 그룹 링 ${\displaystyle k}$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $kG$$\}$ 위에 모듈로$$ 취급한다면, $여기$서 K ${\displaystyle$ V$}$과 $W$ ${\displaystyty$ W$}$의 직접적인 합은 K$${$displays$와 ${\displaystyle \mathrm{같다<img\; alt="W"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.435ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="299">}}$.$le kG}$ 모듈$$.null

반지의 직접 합

그들이 S×{\displaystyle R\times S}의 직접적인 제품 R내 말은 어떤 저자들 반지 두개의 직접적인 합 RS⊕{\displaystyle R\oplus S}지만 기왕 R×S{\displaystyle R\times S}R{R\displaystyle}에서 S{\displaystyle 자연 반지 homomorphisms을 받지 않기 때문에 이런 avoided[7]야 한다 말할 것이다. S}$$: in particular, the map ${\displaystyle R\to R\times S}$ sending ${\displaystyle r}$ to ${\displaystyle (r,0)}$ is not a ring homomorphism since it fails to send 1 to ${\displaystyle (1,1)}$ (assuming that ${\displaystyle 0\neq 1}$ in ${\displaystyle S}$).따라서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\times S}$은(는) 링 범주의 조합물이 아니며$$ 직접 합계로 작성해서는 안 된다.(교화 링의 범주에 있는 콤프로덕트는 링의 텐서 제품이다.^[8]링의 범주에서, 코프로덕트는 그룹의 무료 제품과 유사한 구조로 주어진다.)null

반지의 무한가족을 다룰 때 직접합용어와 표기법을 사용하는 것은 특히 문제가 된다$:{\displaystyle }$ (${\displaystyle R_{}{}_{}}$i ) ${\displaystyle i_{}}${ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$ ($R_{i}_{i\in$ I$}}}}})$가 비독점반지의 무한 집합이라면, 기초첨가집단의 직접합은 용어의 곱셈을 장착할 수 있지만, 이것은 rn을 산출한다.g, 즉, 승수 정체성이 없는 반지.null

행렬의 직접 합계

For any arbitrary matrices ${\displaystyle \mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {B} ,}$ the direct sum ${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$ is defined as the block diagonal matrix of ${\displaystyle \mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {B} }$ if both are square matrices (and to an유사 블록 행렬(없을 경우)null

위상 벡터 공간의 직접 합계

예를 들어 바나흐 공간과 같은$$ 위상 벡터 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$은(는) 추가 맵인 경우$$ 두 벡터 서브스페이스 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$과 $N{\displaystyle }$ ${\displaysty N}$의 위상학적 직접 합이라고 한다.

위상 벡터 공간의 이형성(이 선형 지도가 비주사적 홈모르피즘이라는 의미)이며, 이 $경우{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$과 N ${\displaystyle N}$은(이러한 스칼라 승법) $X$에서 위상학적 보완이라고 한다$$${\displaystyle .}$ 이는$$ 가법적 집단으로 간주될 때에만 해당된다(그러므로 스칼라 곱셈).ation is ignored), ${\displaystyle X}$ is the topological direct sum of the topological subgroups${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N.}$ If this is the case and if ${\displaystyle X}$ is Hausdorff then ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ are necessarily closed subspaces of ${\$$디스플레이 스타일 X.}$

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 실제 또는 복잡한 벡터 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 벡터 하위 공간 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $N}$이${\displaystyle (}$가) $있는{\displaystyle }$$$경우 X , {\$displaystyle X$에서 $M{\displaystyle }$$$${\$$displaystysty$ X$}$의 대수적 보완이라고 하는 다른$$ 벡터 하위 공간 N {\space가 항상 존재한다.$yle X}$은($$는$)$ M {\$displaystyle M$$}$과$$N {\$displaystyle$ N}의 대수적 직접합이다($추가{\displaystyle }$지도 M${\displaystyle }$× ${\displaystyle N}$→ ${\displaystyle X}$ {\$displaystyle M\time$ N$\to$ X}이(가) 벡터 공간 이형성인 경우에만$$ 발생한다.대수직접합계와는 대조적으로 위상직접합계에서는 더 이상 그러한 보어의 존재가 보장되지 않는다.null

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 벡터 $서브공간{\displaystyle }$ M ${\$$displaystyle$ $M}$은 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X}$의 일부 벡터 $서브공간{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N$}이(토폴로지적으로) 있는 경우$$ $X{\displaystyle }$${\displaystytyle$ $X}$의 위상학적 직접합이라고 한다.$e$$$ $M}$과 $N{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ N$.}$ 벡터 서브공간은 보완된 서브공간이 아니면 미완성이라고 한다.예를 들어, 닫힌 하위 집합이 아닌 Hausdorff TVS의 모든 벡터 하위 공간은 반드시 완성되지 않는다.힐버트 공간의 모든 폐쇄 벡터 서브공간은 보완된다.그러나 힐버트 공간이 아닌 모든 바나흐 공간은 반드시 완성되지 않은 폐쇄 벡터 서브 공간을 가지고 있다.null

동형성

^{[필요하다]}

The direct sum ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ comes equipped with a projection homomorphism ${\displaystyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ for each j in I and a coprojection ${\displaystyle \alpha$_${j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in$ $I}$^[9]A_{i}}}}.Given another algebraic structure ${\displaystyle B}$ (with the same additional structure) and homomorphisms ${\displaystyle g_{j}\colon A_{j}\to B}$ for every j in I, there is a unique homomorphism ${\displaystyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$, called the sum of the_j g, 모든 j에 $대해$ g ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}${\$displaystyle g\property _{j}=g_{j$}}.따라서 직접 합계는 적절한 범주의 공동 산출물이다.null

참고 항목

• 그룹 직접합계
• 순열의 직접 합계
• 위상 그룹의 직접 합계
• 제한제품
• 휘트니 합

메모들

참조

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001