함수구성

수학에서 함수 구성은 f와 g 두 함수를 취하여 h(x) = g(f(x))와 같은 함수 h를 생성하는 연산이다. 이 작업에서 함수 g는 함수 f를 x에 적용한 결과에 적용된다. 즉, f : X → Y, g : Y → Z 함수는 X의 x를 Z의 g(f(x)에 매핑하는 함수를 산출하도록 구성된다.

직관적으로 z는 y의 함수, y는 x의 함수라면 z는 x의 함수다. 결과 복합함수는 X의 모든 X에 대해 (g oted f )(x) = g(f(x))로 정의되는 g ∘ f : X → Z로 표시된다.^{[nb 1]} g ∘ f라는 표기법은 "g circle f", "g around f", "g about f", "g af", "g f f 뒤에 f ", "f then g" 또는 "g on f" 또는 "g"로 읽힌다. 직관적으로, 합성함수는 함수 f의 출력이 함수 g의 입력을 공급하는 체인 과정이다.

함수 구성은 관계 구성의 특수한 경우로서, 때로는 $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circule$}이 나타내기도 한다$.$^[1] 그 결과 함수 구성에는 약간의 부가적인 특성이 있지만 관계 구성의 모든 속성은 함수 구성에서 참이다.

함수의 구성은 함수의 곱셈과는 다르고, 성질이 상당히 다르다.^[2] 특히 함수의 구성은 서로 맞지 않는다.

예

• 유한 집합에 대한 함수 구성: f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1)}, (4, 2)}, g = {1, 2), (2, 3, 1), (4, 2)}, g { f = {1, 2, 1, (2, 1, 2), (4, 3)}, 그림처럼.
• 무한 집합에 대한 함수 구성: f: ℝ → ℝ (여기서 ℝ은 모든 실수의 집합)이 f(x) = 2x + 4로, g: ℝ → ℝ은 g(x) = x로³ 주어지는 경우:

(f ∘ g)(x) = f(g(x) = f(x³) = 2x³ + 4 및

(³g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4) = (2x + 4) = (2x + 4)

• 시간 t에서 비행기의 고도가 a(t)이고 고도 x에서 기압이 p(x)인 경우, (p p a)(t)는 시간 t에서 비행기 주위의 압력이다.

특성.

기능의 구성은 항상 연관성이 있다. 즉 관계의 구성에서 물려받은 재산이다.^[1] 즉 f, g, h를 합성할 수 있으면 f ∘(g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h.^[3] 괄호에서 결과를 바꾸지 않기 때문에 일반적으로 생략한다.

엄밀한 의미에서 g ∘ f의 구성은 f의 코도메인이 g의 영역과 같을 때만 의미가 있고, 넓은 의미에서는 전자가 후자의 부분집합이라고 해도 충분하다.^{[nb 2]} 더욱이 f가 g의 영역에서만 값만 산출하는 것과 같이 f의 영역을 암묵적으로 제한하는 것이 편리한 경우가 많다. 예를 들어 f(x) = 9 - x와² g : [0,+9]로 정의된 f : ℝ → (- →,+9) 함수 g : [${\displaystyle 0}$,+∞] → ${\displaystyle g\sqrt{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= x ${\$의 ℝ는 [-3,+3] 간격으로 정의할 수 있다$$.

함수 g와 f는 g ∘ f = f ∘ g인 경우 서로 통근한다고 한다. 통근성은 특정한 기능에 의해서만 얻어지는 특별한 속성이며, 종종 특별한 상황에서만 얻어진다. 예를 들어, x + 3 = x + 3은 x 0 0일 때만 사용할 수 있다. 그 그림은 또 다른 예를 보여준다.

일대일(내부적) 함수의 구성은 항상 일대일이다. 마찬가지로, 위(굴절) 함수의 구성은 항상 위에 있다. 이어 두 가지 반대편향의 구성도 하나의 반대편향이라는 것이다. 성분의 역함수(수치불능으로 가정)는 (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹ ∘ f의⁻¹ 속성을 갖는다.^[4]

서로 다른 기능을 포함하는 구성의 파생상품은 체인 규칙을 사용하여 찾을 수 있다. 그러한 기능의 상위 파생상품은 Faa di Bruno의 공식에 의해 주어진다.^[3]

컴포지션 모노이드

하나의 함수 f(X → X, g: X → X)가 두 개 이상 있다고 가정하자. 이러한 함수를 변환(transformation)이라고 한다. 그러면 f ∘ f ∘ g ∘ f와 같이 함께 구성된 변형 체인을 형성할 수 있다. 그러한 사슬은 변환 모노이드 또는 구성 모노이드라고 불리는 모노이드의 대수적 구조를 가지고 있다. 일반적으로, 변형 모노이드들은 놀랄 만큼 복잡한 구조를 가질 수 있다. 특히 주목할 만한 예로는 드 람 곡선이다. 모든 함수 f: X → X의 전체 변환 세미그룹^[5] 또는 X의 대칭 세미그룹이라고^[6] 불린다(실제로 세미그룹 운용을 함수의 왼쪽 또는 오른쪽 구성으로 어떻게 정의하느냐에 따라 두 개의 세미그룹을 정의할 수 있다).^[7]

만약 변환이 (따라서 되돌릴 수 없는) 비주사적인 것이라면, 이러한 기능들의 가능한 모든 조합의 집합은 변환 그룹을 형성하고, 하나는 그룹이 이러한 기능에 의해 생성된다고 말한다. 집단 이론의 근본적인 결과인 케이리의 정리에서는 어떤 집단이든 사실 순열 집단의 한 부분군일 뿐이라고 본질적으로 말하고 있다(이형성까지).^[8]

모든 생체함수의 집합 f: X → X (순열이라 함)는 함수 구성과 관련하여 그룹을 형성한다. 이것은 대칭군이며, 때로는 구성군이라고도 한다.

(모든 변환의) 대칭적인 세미그룹에서, 대칭적인 세미그룹이 정규적인 세미그룹이기 때문에 역(pseudinverse라고 함)이라는 약하고 비독점적인 개념을 발견하기도 한다.^[9]

기능적 힘

만약 Y x X가 있다면, f: X→Y는 그 자체로 구성될 수 있다; 이것은 때때로 f로 ² 표시된다. 즉,

(f ∘ f)(x) = f(f(x) = f(x))

(f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(x)) = f (x)) = f (x)

(f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(x))) = f(x)) = f(x))

보다 일반적으로, 어떤 자연수 n ≥ 2에 대해서도, n번째 기능적 힘은 f = f f f = f = f로 정의될 수 있는데, 한스 하인리히 부르만과^{[citation needed][10][11]} 존 프레드릭 윌리엄 허셜이 도입한 표기법이다.^{[12][10][13][11]} 그러한 기능을 그 자체와 반복적으로 구성하는 것을 반복함수라고 한다.

• 관례에 따라 f는 f의 도메인, id에_X 있는 ID 맵으로 정의된다.
• Y = X와 f: X → X가 역함수 f를 인정하는 경우, n > 0에 대해 역함수 f = (f ^{n[12][10][11]})의 부정힘으로 정의된다.

참고: f가 자신의 값을 링(특히 실제 값 또는 복합 값 f)으로 가져가면 f의 n-폴드 곱(예: f (x) = f(x) · f(x)를 나타낼 수 있기 때문에 혼동의 위험이 있다.^[11] 삼각함수의 경우 일반적으로 후자는 최소한 양의 지수에 대해 의미가 있다.^[11] 예를 들어 삼각함수에서 이 위첨자 표기법은 삼각함수와 함께 사용될 때 표준 지수를 나타낸다: sin²(x) = sin(x) · sin(x). 단, 음수 지수(특히 -1)의 경우, 그럼에도 불구하고 일반적으로 역함수를 가리킨다(예: 황갈⁻¹ = 아크탄 ≠ 1/tan).

어떤 경우에, 주어진 함수 f에 대해, 방정식 g ∘ g = f가 고유한 솔루션 g를 가지고 있는 경우, 그 함수는 f의 함수 제곱근으로 정의되고, 그 다음 g = f 로 표기될 수 있다.

보다 일반적으로, gⁿ = f가 일부 자연수 n > 0에 대한 고유한 솔루션을 가지고 있을 때, f를 g로^m 정의할 수 있다.

추가 제한 하에서, 이 아이디어는 일반화되어 반복 카운트가 연속적인 매개변수가 될 수 있다. 이 경우, 그러한 시스템을 슈뢰더 방정식의 해답을 통해 명시되는 흐름이라고 한다. 반복된 기능과 흐름은 프랙탈과 동적 시스템에 대한 연구에서 자연스럽게 발생한다.

모호성을 피하기 위해 일부 수학자들은^{[citation needed]} composition을 사용하여 구성적 의미를 나타내며, 예를 들어 f(f(x)를 의미하는 f^∘3(x)에서처럼 f(x) 함수의 n번째 반복을 위해 f^∘n(x)를 쓴다. 같은^[n] 목적으로 F(x)는 벤자민 페어스가^[14][11] 사용했고 알프레드 프링하임과 줄스 몰크는 대신 f(x)를 제안했다.^{[15][11][nb 3]}

대체 표기

특히 집단 이론에서 많은 수학자들은 g ∘ f를 위해 gf를 쓰면서 구성 기호를 생략한다.^[16]

20세기 중반, 일부 수학자들은 "처음 적용 f, 그 다음 적용 g"를 의미하는 "g ∘ f"를 쓰는 것이 너무 혼란스럽다고 판단했고, 발음을 바꾸기로 결정했다. "f(x)"는 "xf"로, "g(f(x)"^[17]는 "(xf)g"로 쓴다. 이것은 일부 영역에서 왼쪽의 함수를 쓰는 것보다 더 자연스럽고 단순해 보일 수 있다. 예를 들어, 선형 대수에서, x가 행 벡터이고 f와 g는 행렬을 나타내고 구성은 행렬 곱셈에 의한 것이다. 이 대체 표기법을 사후 수정 표기법이라고 한다. 함수 구성이 반드시 역순(예: 행렬 곱하기)은 아니기 때문에 순서가 중요하다. 오른쪽에 적용 및 작곡되는 연속적인 변환은 왼쪽에서 오른쪽으로 읽는 순서와 일치한다.

포스트픽스 표기법을 사용하는 수학자는 fg를 쓸 수 있는데, 이는 f를 먼저 적용하고 g를 적용한다는 뜻으로, 기호가 포스트픽스 표기법으로 발생하는 순서에 따라 발생하므로 표기법 "fg"가 모호하게 된다. 컴퓨터 과학자들은 이것을 위해 "f; g"를 쓸지도 모르며,^[18] 따라서 작곡 순서를 혼란스럽게 할지도 모른다. 왼쪽 합성 연산자와 텍스트 세미콜론을 구별하기 위해 Z 표기법에서 ⨾ 문자는 왼쪽 관계 구성에 사용된다.^[19] 모든 함수는 이진 관계이므로 함수 구성에도 [지방] 세미콜론을 사용하는 것이 옳다(이 표기법에 대한 자세한 내용은 관계 구성에 관한 기사 참조).

구성 연산자

함수 g가 주어진 경우, 합성 연산자 C는_g 함수를 함수에 매핑하는 연산자로 정의된다.

${\displaystyle C_{g}f=f\circle g.}$

구성 연산자는 연산자 이론 분야에서 연구된다.

프로그래밍 언어에서

함수 구성은 여러 프로그래밍 언어로 이런저런 형태로 나타난다.

다변량 함수

다변량 함수의 경우 부분 조성이 가능하다. 함수 f의 일부 인수 x가_i 함수 g로 대체될 때 발생하는 함수를 일부 컴퓨터 공학 맥락에서 f와 g의 합성이라고 하며 f로 표기한다.

${\displaystyle f _{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),x_{i+1},\ldots,x_{n}).}$

g가 단순한 상수 b일 경우, 구성은 (부분) 평가로 변질되며, 그 결과는 제한 또는 공동 인자라고도 한다.^[20]

${\displaystyle f _{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots,x_{n}).}$

일반적으로 다변량 함수의 구성은 원시 재귀 함수의 정의에서와 같이 여러 다른 함수를 인수로 포함할 수 있다. 주어진 f, n-ari 함수, n m-ari 함수₁ g, ..., g_n, f와 g의 구성은₁ m-ari_n 함수다.

${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))}$.

이것을 g₁, ..., g와_n 함께 f의 일반화된 합성 또는 중첩이라고 부르기도 한다.^[21] 앞에서 언급한 하나의 주장에서만 부분적인 구성은 한 가지 주장 기능을 적절히 선택하도록 설정함으로써 이 보다 일반적인 체계에서 인스턴스화할 수 있다. 여기서 g₁, ..., g는_n 이 일반화된 체계에서 단일 벡터/투플 값 함수로 볼 수 있으며, 이 경우 이는 정확히 함수 조성의 표준 정의다.^[22]

일부 베이스 세트 X에 대한 일련의 미세한 작업을 모든 투영을 포함하고 일반화된 구성으로 닫으면 클론이라고 부른다. 일반적으로 복제에는 다양한 영역의 작업이 포함되어 있다는 점에 유의하십시오.^[21] 감화의 개념은 또한 다변량 사례에서 흥미로운 일반화를 발견한다; arity n의 함수 f는 f가 g를 보존하는 동형성일 경우 arity m의 함수 g와 함께 통근한다고 하며, 그 반대의 경우도 다음과 같다.^[21]

${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}$.

단항 연산은 항상 그 자체와 통근하지만, 이것이 반드시 이항(또는 더 높은 아리티) 연산의 경우는 아니다. 스스로 통근하는 이항(또는 더 높은 아리티) 연산을 내향성 또는 내향성이라고 한다.^[21]

일반화

구성은 임의의 이항 관계로 일반화할 수 있다. R ⊆ X × Y와 S ⊆ Y × Z가 두 개의 이항 관계인 경우, 이들의 구성 RsS는 {(x, z) X × Z : yy y Y. (x, y) R ( (y, z) }. S}로 정의된 관계다. 이항관계(명칭 기능관계)의 특수한 경우로서 함수를 고려할 때, 함수 구성은 관계 구성에 대한 정의를 만족한다. 작은 원 R∘S는 기능뿐만 아니라 관계 구성의 infix 표기법에도 사용되어 왔다. 함수$$$({\displaystyle g}$ g${\displaystyle f}$) ( ${\displaystyle \text{x}}$ )${\displaystyle }$= g${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle (g\circ f)(x$)(x$)\ =\ g(f(x))}$을(를) 나타내는 데 사용되는 경우, 텍스트 시퀀스는 역순으로 표시된다.

구성은 부분함수에 대해 같은 방식으로 정의되며, 케이리의 정리에는 바그너-프레스턴 정리라는 아날로그가 있다.^[23]

형태론으로서의 기능을 가진 집합의 범주는 원형 범주다. 범주의 공리는 사실 함수 구성의 속성(및 정의)에서 영감을 얻는다.^[24] 구성으로 주어지는 구조는 범주 이론에서 공리화, 일반화되며, 기능의 범주이론적 대체로서 형태론의 개념을 가지고 있다. 공식(f ∘ g)⁻¹ = (g⁻¹ ∘ f )에서 구성의 역순은 역관계를 이용한 관계의 구성에 적용되며, 따라서 집단 이론에서도 적용된다. 이 구조물들은 단검의 범주를 형성한다.

타이포그래피

합성 기호 ∘은 U+2218 ∘RING OPERTER(HTML)로 인코딩된다. ∘ · ∘, ∘); 유사한 유니코드 문자에 대한 학위 기호 문서를 참조하십시오. TeX에는 이렇게 쓰여 있다. \circ.

참고 항목

• 거미줄 그림 – 기능 구성을 위한 그래픽 기법
• 결합 논리학
• 컴포지션 링, 컴포지션 작업의 형식적 공리화
• 흐름(수학)
• 함수 구성(컴퓨터 과학)
• 변수의 함수, 변수의 함수 분포
• 기능분해
• 기능성 제곱근
• 고차함수
• 분석 기능의 무한 구성
• 반복함수
• 람다 미적분학

메모들

참조

외부 링크

• "Composite function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 2007년 울프램 시연 프로젝트인 브루스 앳우드의 "기능의 구성"