프리타임의 왕복 합계의 차이

프리임의 역수 합계가 제한 없이 증가한다. x축은 로그 축척으로 되어 있어, 분기가 매우 느리다는 것을 알 수 있다. 적색함수는 역시 분산되는 하한이다.

모든 주요 숫자의 왕복선의 합은 다음과 같다.

\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty

이는 1737년 레온하르트 오일러에 의해 증명되었으며,^[1] 유클리드 3세기-BC의 결과를 강화(즉, 보다 더 많은 정보를 준다)한 결과에는 무한히 많은 프라임 숫자가 있다는 것이다.

오일러의 결과에는 다음과 같은 부분적 합계에 대한 하한선을 포함한 다양한 증거가 있다.

\sum_{\scriptstyle p{\text{prim}\atop \scriptstyle p\leq n}{1}{p}\geq \log \log(n+1)-\log {\frac {\pi ^{2}}}}}}}}}}}

모든 자연수

n

에 대하여. 이중 자연 로그(

로그 로그

)는 분기가 매우 느릴 수 있음을 나타내며, 실제로 그렇다. Meisel-Mertens 상수를 참조하십시오.

고조파 계열

먼저 오일러가 어떻게 그 결과를 처음 발견했는지를 기술한다. 그는 고조파 시리즈를 고려하고 있었다.

\sum \{n=1}^{\frac {1}{1}{n1}:{n}+{n1}{1}{1}:{3}+{\frac {1}{1}{4}+\cdots =\inflt }}

그는 이미 무한히 많은 프라임의 존재를 보여주기 위해 다음과 같은 "제품 공식"을 사용했었다.

\sum \{n=1}^{\frac {1}{n1}=\prod _{p}}{p}}{p}}+{p^{1}{p^{p}}}+{p}}}+\prod _{p}-p^{1}{p-1}{p^{-1}:{-1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기 그 제품이 모든 프라임 세트를 인수한다.

그런 무한 제품을 오늘날 오일러 제품이라고 부른다. 위의 산물은 산술의 기본 정리를 반영한 것이다. 오일러는 소수만 한정되어 있다면 오른쪽의 제품이 분명히 수렴하여 고조파 계열의 분리와 모순된다고 언급했다.

교정쇄

오일러의 증거

오일러는 위의 제품 공식을 고려하여 일련의 대담한 논리 도약을 진행하였다. 먼저, 그는 각 면의 자연 로그(Logarithm)를 취했고, 그 다음, Taylor 시리즈 확장을 $log$ x에 사용했으며, 수렴 시리즈의 합도 다음과 같다.

{\displaysty}\log \left(\sum _{n=1}^{\flack {1}{n}\오른쪽)&{}=\log \left(\prod _{p}{p}{p}{1-p^{-1}}\right)=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\rig)\\[5pt]&=\sum _{p}\left\frac {1}{1}{p}+{{1}{2p^{2}}+{{3p^}}+\cdots \right)\\[5pt]&=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=A+{\frac{1}{2}}B+{\frac{1}{1}{3}C+{\frac{1}{1}{4}D+\cdots \\[5pt]&.=A+K\end{정렬}

고정 $상수$ K < $1$ . 그리고 나서 그는 그 관계를 호출했다.

\sum _{n=1}^{\nflac {1}{n}=\log \inflt ,

예를 들어, 1748년 후반의 연구에서 ^[2]Taylor 시리즈 확장에서 x = $1$ 을 설정하여 설명하였다.

\log \left\frac {1}{1-x}\right)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {x^{n}}.

이것으로 그는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있었다.

A={\frac {1}{1}:{2}}+{3}+{\frac {1}{1}{5}}+{1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\log \inflty .

오일러는 $n$ 보다 작은 소수들의 왕복 합계가 $n$ 이 무한대에 가까워질 때 $로그$ $n$ 에 점증적이지 않다는 것을 의미했다는 것은 거의 확실하다. 실제로 이런 사실이 밝혀졌고, 이 사실의 보다 정확한 버전은 1874년 프란츠 메르텐스에 의해 엄격하게 증명되었다.^[3] 이리하여 오일러는 의심스러운 방법으로 정확한 결과를 얻었다.

Erdős의 상한 및 하한 추정치에 의한 증명

모순에 의한 다음의 증거는 폴 에르드제스 때문이다.

$p$ 는_i ith prime number를 나타낸다. 프리임의 왕복 합계가 수렴된다고 가정한다.

그러면 다음과 같은 최소의 양의 $정수$ k가 존재한다.

\sum _{i=k+1}^{\nflac {1}{p_{i}}<{\frac {1}{2}}\qquad(1)

양의 정수 $x$ 의 경우, $M$ 은_x $p$ 보다_k 큰 prime으로 구분되지 않는 {1 $, 2, \dots,$ $x}$ 에서 $n$ 의 집합을 나타내도록 한다(또는 $primes i$ p ≤ $p$ 의_k 힘의 산물인 동등하게 $모든$ n $x$ x). 우리는 $이제 x$ M의 원소 수인 $M$ 에_x 대한 상한 및 하한 추정치를 도출할 것이다. large $x$ 의 경우, 이 한계는 모순되는 것으로 판명될 것이다.

상한추정: $M$ 의_x 모든 $n$ 은 $n$ = $mr$ 로² 쓸 수 있으며, $여기$ 서 $r$ 은 사각형이 없다. $k$ p, $\dots,$ $p$ 만₁ $r$ 의_k prime factorization에서 나타날 수 있기 때문에(지수 1) $r$ 에는 최대 2개의 $다른 k$ 가능성이 있다. 더욱이 $m$ 에는 최대 $mostx$ 의 가능한 값이 있다. 이것은 우리에게 높은 견적을 준다. $M_{x} \leq 2^{k}{\sqrt {x}\qquad (2)$
낮은 추정치: 설정 차이 ${1, 2, \dots,$ $x}$ \ $M$ 의_x 나머지 $x$ - $M x$ 번호는 모두 $p$ 보다_k 큰 프라이밍으로 구분된다. $N$ 은_i,x { $1, 2, \dots,$ $x}$ 에 $있는$ n의 집합을 나타내며, 이 n은 prime $p$ 로_i 구분된다. 그러면 $\{1,2,\ldots,x\}\smallsetminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\n_{i,x}}}$; 이후의 정수의 Ni,x에 대부분의.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output에 있다..sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}x/pi(실제로 제로 파이 값 을을 위해;))을 얻다. $x-M_{x} \leq \sum _{i=k+1}^{\inflit _{i=k+1}^{\inflit }{\frac {x}{p_{i}}}}}}}}}}$; (1)을 사용하여 이는 다음을 함축한다. ${\frac {x}{2}}< M_{x} \qquad (3)$

이것은 모순을 낳는다: $x$ ≥ $2일 2 k + 2$ 때, $x / 2$ ≥ $2 k$ $\sqrt x$ 때문에 추정치 (2)와 (3)은 둘 다 지탱할 수 없다.

시리즈에서 로그 로그 증가가 나타난다는 증거

여기 부분 합계에 대해 실제로 더 낮은 추정치를 제공하는 또 다른 증거가 있다; 특히, 그것은 이 합계가 $최소한$ $로그$ n만큼 빨리 증가한다는 것을 보여준다. 그 증거는 오일러의 제품 확장 아이디어를 개작한 이반 니븐 덕분이다.^[4] 다음에서 $p$ 를 인수하는 합계나 산출물은 항상 지정된 primes 집합을 인수하는 합계나 산출물을 나타낸다.

그 증거는 다음의 네 가지 불평등에 있다.

모든 양의 정수 $i$ 는 정사각형이 없는 정수의 산물로, 산술의 근본적인 정리의 결과로서 정사각형의 산물로 독특하게 표현될 수 있다. 시작: $i=q_{1}^{2{\alpha }_{1}+{\beta }_{1}}\cdot q_{2}^{2{\alpha }_{2}+{\beta }_{2}}\cdot \ldots \cdot q_{r}^{2{\alpha }_{r}+{\beta }_{r}},$ 여기서 βs는 0(prime $q$ 의 해당 검정력은 짝수) 또는 1(prime $q$ 의 해당 검정력은 홀수)이다. β가 1인 모든 프라임의 복사본 하나를 빼내 프라임의 생산물은 그 자체로 정사각형이다. 다시 샘플링: $i=(p_{1}p_{2}\ldots p_{s}\cdot b^{2},$ 첫 번째 요소, 즉 첫 번째 세기의 산물이 사각형이 없는 경우. $모든$ 것을 뒤집으면 불평등이 생긴다. $\sum \sum _{i=1}^{n}{n}{n}}}{p\leq n}\leq \left(1+{p\1}{p}\right)\cdotleft(\sum _{k=1}^{n}{1}={1}}}}}}}오른쪽}}}.A\cdot B.$

이를 보려면 다음을 참고하십시오.

{\frac {1}{i}={\frac {1}{1}p_{2}\ldots p_{s}}\cdot {\frac {1}{b^{2}}},

어디에

{\begin{aligned}\left(1+{\frac {1}{p}}_{1}\right)\left(1+{\frac {1}{p}}_{2}\right)\ldots \left(1+{\frac {1}{p}}_{s}\right)&=\left({\frac {1}{p}}_{1}\right)\left({\frac {1}{p}}_{2}\right)\ldots \left({\frac {1}{p}}_{s}\right)+\ldots \\&={\frac {1}{p_{1}p_{2}\ldots p_{s}}}+\ldots .\end{aligned}}

즉,

1/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})

/

1/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})

( p

1/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})

1/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})

1/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})

…

1/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})

1/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})

)

{\displaystyle

1

/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})

는

1/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})

확장 제품

A

의 합계 중 하나이다. 그리고

1/b^{2}

/

1/b^{2}

1/b^{2}

{\

1

/b^{2}}

은

1/b^{2}

B의 합계 중 하나이므로,

모든

i는 곱할 때

AB

의 한 항으로 표현된다. 불평등이 뒤따른다.

자연 로그의 상한 추정치 ${\begin{aligned}\log(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\underbrace {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i}}}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}$
지수함수에 대한 하한 $추정치$ $1$ + x < $exp(x)$ 는 모든 $x$ > $0$ 에 대해 유지된다.
$2번$ 으로 합시다 $.$ 부분 합계에 대한 상한(망원화 합계를 사용하는 것) (결합을 하는 것이 우리에게 정말 필요한 전부) ${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n}\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2}}}}\right)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4}}}}\,>\,{\frac {1}{k^{2}}}}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3}}\end{aligned}}$

이 모든 불평등을 종합하면, 우리는 그것을 본다.

{\begin{aligned}\log(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}\exp \left({\frac {1}{p}}\right)\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}\오른쪽)\end{aigned}}}}

5/3으로 나누어서 양쪽의 자연 로그가 주어진다.

\log(n+1)-\log {\frac {5}{3}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}}}

원하는 대로 Q.E.D.

사용.

\sum \{k=1}^{\inflat }{1}{1}{k^{2}}={\frac {\pi^{2}}:{6}}}}}

(바젤 문제 참조), 위의 상수 $로그$ $5 / 3 = 0.51082\dots$ $log 2 / 6$ = $0.4977$ …로 개선할 수 있다 $.$ 사실,

\lim_{n\to \inflt }\왼쪽(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}-\log \log n\right)=M

여기서 $M = 0.261497\dots$ 은 Meissel-Mertens 상수(일부는 훨씬 더 유명한 오일러-마스케로니 상수와 유사함)이다.

뒤사르트의 부등식에서 나온 증거

두사르트의 불평등에서 우리는

p_{n}<n\log n+n\log \log n\databox {\mbox{}}{}n\geq 6

그러면

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\log n+n\log \log n}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\log n}}=\infty \end{aligned}}

정합성 시험으로. 이것은 왼쪽의 시리즈가 갈라지는 것을 보여준다.

기하학적 및 고조파 직렬 증명

모순을 위해 합치된 합을 가정해보자. $그런$ 다음 $,$ $\sum _{i\geq n+1}{\frac {1}{p_{i}}}<1$ i $\sum _{i\geq n+1}{\frac {1}{p_{i}}}<1$ n + $\sum _{i\geq n+1}{\frac {1}{p_{i}}}<1$ p $\sum _{i\geq n+1}{\frac {1}{p_{i}}}<1$ < $\sum _{i\geq n+1}{\frac {1}{p_{i}}}<1$ 1 {\ $displaystyle \sum _{i\geq n+$ 1}{\ $frac {1$ }{ $p_{i}}<1$ }. $\sum _{i\geq n+1}{\frac {1}{p_{i}}}<1$ 이 $x$ 을 x ${\displaystyle$ $x$ $}$ 라고 $n$ 부른다 $x$

이제 수렴 기하 급수 $x+x^{2}+x^{3}+\cdots$ + $x+x^{2}+x^{3}+\cdots$ $x+x^{2}+x^{3}+\cdots$ + $x+x^{2}+x^{3}+\cdots$ $x+x^{2}+x^{3}+\cdots$ + ⋯ $x+x^{2}+x^{3}+\cdots$ 을(를) 고려하십시오 $x+x^{2}+x^{3}+\cdots$

이 기하 급수적인 시리즈는 기본 인자화가 프리임만을 포함하는 모든 숫자의 왕복 합계를 $\{p_{n+1},p_{n+2},\cdots \}$ + $\{p_{n+1},p_{n+2},\cdots \}$ , $\{p_{n+1},p_{n+2},\cdots \}$ $\{p_{n+1},p_{n+2},\cdots \}$ + $\{p_{n+1},p_{n+2},\cdots \}$ $\{p_{n+1},p_{n+2},\cdots \}$ } $\{p_{n+1},p_{n+2},\cdots \}}}$ 에 포함한다 $\{p_{n+1},p_{n+2},\cdots \}$

Consider the subseries $\sum _{i\geq 1}{\frac {1}{1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}}$ . This is a subseries because $1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})$ is not divisible by any ${\displaystyle p_{j},j\leq n$ $}$ .

그러나 Limit 비교 테스트에 의해 이 하위 시리즈는 고조파 시리즈와 비교함으로써 분산된다. 실제로 ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ → ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ + ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ( ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ 1 p ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ p ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ) i ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ = ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ 1 ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\$ 1}{1 $}p_{2$ }\ $cdots p_{n}}}}}{i}=p_$ {1 $}p_{$ 1}p_{n}\ $cdots p_{$ n}p_{n ${\textstyle \lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ p_{n}.

따라서 우리는 원래의 수렴성 시리즈 중 상이한 하위 시리즈를 찾았고, 모든 용어가 긍정적이기 때문에 이것은 모순을 준다. ${\textstyle \sum _{i\geq 1}{\frac {1}{p_{i}}}}$ ${\textstyle \sum _{i\geq 1}{\frac {1}{p_{i}}}}$ 1 p ${\textstyle \sum _{i\geq 1}{\frac {1}{p_{i}}}}$ i {\ $textstyle \sum _{i\geq 1}{\frac {$ 1}{ $p_{$ i}}}의 ${\textstyle \sum _{i\geq 1}{\frac {1}{p_{i}}}}$ 분리를 결론을 내릴 수 있다. Q.E.D.

부분합

소수 왕복선의 부분 합계가 결국 어떤 정수 값을 초과하지만, 그것들은 결코 정수와 같지 않다.

한 가지 증거는^[5] 유도에 의한 것이다. 첫 번째 부분 합은 1/2로, 홀수/짝수 형태를 가진다. n번째 부분 합계( $n$ ≥ $1$ 의 경우)가 홀수/짝수 형식인 경우 $,$ ( $n$ + 1)번째 합은 다음과 같다.

{\frac {\text{odd}}{\text{even}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}\cdot p_{n+1}+{\text{even}}}{{\text{even}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}+{\text{even}}}{\text{even}}}={\frac {\text{odd}}{\text{even}}}

$(n$ + 1 $)$ prime $p$ 는_{n + 1} 홀수이므로, 이 합은 홀수/ 짝수 형태를 가지므로, 이 부분 합은 정수일 수 없으며(2는 분모를 나누지만 분자는 나누지 않기 때문에), 유도는 계속된다.

또 다른 증거는 이 모든 프라임의 산물인 최소 공통분모 측면에서 프라임의 첫 $번째$ n개의 왕복선(또는 실제로 프라임의 집합의 왕복선 합)에 대한 표현을 다시 쓴다. 그리고 나서 각각의 소수들은 한 개의 분자 항을 제외한 모든 것을 나누기 때문에 분자 자체를 나누지 않는다; 그러나 각각의 소수들은 분모를 나눈다. 따라서 그 표현은 다시 해석할 수 없고 정수가 아니다.

참고 항목

프리임이 무한히 많다는 유클리드 정리
소형 집합(복합체)
브룬의 정리, 쌍둥이 프리임의 왕복 합계에 관한 것.
왕복 총액 목록

참조

^ Euler, Leonhard (1737). "Variae observationes circa series infinitas" [Various observations concerning infinite series]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. 9: 160–188.
^ Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum. Tomus Primus [Introduction to Infinite Analysis. Volume I]. Lausanne: Bousquet. p. 228, ex. 1.
^ Mertens, F. (1874). "Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie". J. Reine Angew. Math. 78: 46–62.
^ 니븐, 이반, "A Proof of the difference of the difference of ∑ 1/ $p$ ", The American Matheical Monthly, Vol. 78, No. 3 (1971년 3월), 페이지 272-273. 이 반쪽짜리 증거는 오일러에 있는 윌리엄 던햄에 의해 확장되었다. 우리 모두의 마스터 74-76페이지. 76.
^ Lord, Nick (2015). "Quick proofs that certain sums of fractions are not integers". The Mathematical Gazette. 99: 128–130. doi:10.1017/mag.2014.16.

원천

Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. MAA. pp. 61–79. ISBN 0-88385-328-0.

외부 링크

Caldwell, Chris K. "There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?".

[1] Euler, Leonhard (1737). "Variae observationes circa series infinitas" [Various observations concerning infinite series]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. 9: 160–188.

[2] Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum. Tomus Primus [Introduction to Infinite Analysis. Volume I]. Lausanne: Bousquet. p. 228, ex. 1.

[3] Mertens, F. (1874). "Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie". J. Reine Angew. Math. 78: 46–62.

[4] 니븐, 이반, "A Proof of the difference of the difference of ∑ 1/ $p$ ", The American Matheical Monthly, Vol. 78, No. 3 (1971년 3월), 페이지 272-273. 이 반쪽짜리 증거는 오일러에 있는 윌리엄 던햄에 의해 확장되었다. 우리 모두의 마스터 74-76페이지. 76.

[5] Lord, Nick (2015). "Quick proofs that certain sums of fractions are not integers". The Mathematical Gazette. 99: 128–130. doi:10.1017/mag.2014.16.

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