육각수

육각수는 비유적인 수이다.n번째 육각수 h는_n 점의 패턴에 있는 구별되는 점의 수로, 한 개의 꼭지점을 공유하도록 육각형을 겹쳐 놓을 때 옆면이 n개의 점까지 있는 일반 육각형의 윤곽으로 구성된다.

n번째 육각수 공식

${\displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={\frac {2n(2n-1)}{2}.}$

처음 몇 개의 육각형 숫자(OEIS에서 순서 A000384)는 다음과 같다.

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946...

육각형수마다 삼각형수지만 다른 삼각형수(1차, 3차, 5차, 7차 등)만 육각형수다.삼각형 숫자와 마찬가지로 육각형 숫자의 베이스 10에 있는 디지털 루트는 1, 3, 6, 9밖에 되지 않는다.9항마다 반복되는 디지털 루트 패턴은 "16 6 1 9 3 1 3 9"이다.

모든 짝수 완벽한 숫자는 공식에 의해 주어지는 육각형이다.

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}{\frac {M_{p}+1}{2}}}}=h_{(M_{p}+1)/2}}=h_{2^{p-1}}$

여기서_p M은 메르센의 전성기다.홀수 퍼펙트 숫자를 알 수 없으므로, 알려진 퍼펙트 숫자는 모두 육각형이다.

예를 들어, 2번째 육각수는 2×3 = 6이고, 4번째는 4×7 = 28이고, 16번째는 16×31 = 496이고, 64번째는 64×127 = 8128이다.

최대 4개의 육각형 숫자를 합하여 쓸 수 없는 가장 큰 숫자는 130이다.아드리아-마리 레전드레는 1830년에 1791보다 큰 정수는 이런 식으로 표현할 수 있다는 것을 증명했다.

육각형 번호는 비엔나 소시지의 표준 포장을 모델링한 중심 육각형 번호와 혼동해서는 안 된다.모호성을 피하기 위해 육각형 숫자를 "코너형 육각형 숫자"라고 부르기도 한다.

육각수 검정

계산에 의해 양수 x가 육각수인지 여부를 효율적으로 시험할 수 있다.

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}+1}{4}}.}$

n이 정수인 경우 x는 n번째 육각수다.n이 정수가 아닌 경우 x는 육각형이 아니다.

기타 속성

시그마 표기법을 사용한 표현식

육각순서의 n번째 숫자도 다음과 같이 시그마 표기법을 사용하여 표현할 수 있다.

${\displaystyle h_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{(4k+1)}}}}}$

여기서 빈 합은 0으로 간주된다.

역수 육각수 합

역수 육각수의 합은 2ln(2)이며, 여기서 ln은 자연 로그(natural logarithm)를 나타낸다.

${\displaystyle {\classed}\sum _{k=1}^{\n1}{k=1}{k=1}{k=1}{k=1}}{n1}^{{2k-1}-{frac=1}{1}{k=1}{{k-1}}}}}}{{k={1}{{{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{frac{frac{nk}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{nk}}}}\\&=\lim _{n\to \inflt }2\sum _{k=1}^{n}\좌측값\frac {1}{2k-1}+{{1}{2k}-{1}{{1}{k}\frac{1}\right)\\\&=2\lim _{n\to \inflt }\왼쪽(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}-{k}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1}}\frac {1}\right)\\\&=2\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}dx\\&=2[\ln(1+x)]_{0}^{1}\>2\ln {2}\\\&\ 약 {1.168294}\end{arged}}}}$

인덱스 곱하기

재배열을 사용하여 다음 공식 집합이 제공됨:

${\displaystyle h_{2n}=4h_{n}+2n}$

${\displaystyle h_{3n}=9h_{n}+6n}$

$(\displaystyle...)}$

${\displaystyle h_{m*n}=m^{2}h_{n}+(m^{2}-m)n}$

비율관계

m과 n 에 대한 이전부터의 최종 공식을 사용하고, 그 다음 몇 가지를 줄이고 움직이면 다음과 같은 방정식에 도달할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {h_{m}+m}{h_{n}+n}=({\frac {m}{n}}})^{2}}$

육각형 정사각형

육각과 완벽한 정사각형인 숫자의 순서는 1,1225, 1413721,...OEIS: A046177.

참고 항목

• 중심 육각수

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Hexagonal Number". MathWorld.