분할자(알지브라질 기하학)

대수 기하학에서, 구분자는 대수 변종들의 코드인 1 하위 분리의 일반화다.두 개의 다른 일반화가 공통적으로 사용되고 있는데, Cartier divisors와 Weil divisors (David Mumford의 Pierre Cartier와 André Weil의 이름을 따서 이름 지었다)이다.둘 다 정수와 대수적 수 분야의 불분명한 개념에서 파생된 것이다.

세계적으로, 모든 코디멘션-1 투사 공간의 하위변수는 하나의 동종 다항식의 소멸에 의해 정의된다. 반대로, 코디멘션-r 하위변수는 r이 1보다 클 때 r 방정식으로만 정의할 필요는 없다. (즉, 투사 공간의 모든 하위변수가 완전한 교차로인 것은 아니다.)국소적으로, 매끄러운 다양성의 모든 코드리멘션-1 하위변수는 각 점의 근방에서 하나의 방정식으로 정의될 수 있다.다시 말하지만, 더 높은 코디멘션 하위분리에 대해서는 유사한 진술이 실패한다.이 특성의 결과, 대수 기하학의 많은 부분이 코드문장-1 하위분리와 해당 선다발을 분석하여 임의의 다양성을 연구한다.

단수 품종에서도 이 성질은 실패할 수 있기 때문에 한 방정식으로 국소적으로 정의할 수 있는 부차 1과 부차종을 구별해야 한다.전자는 Weil divisors이고 후자는 Cartier divisors이다.

토폴로지로는 Weil divisors가 homology class의 역할을 하는 반면, Cartier divisors는 cohomology class를 나타낸다.부드러운 다양성(또는 더 일반적으로 규칙적인 계획)에서 푸앵카레 이원성과 유사한 결과는 Weil과 Cartier divisors가 동일하다고 말한다.

"divisor"라는 이름은 데데킨드와 웨버의 작품으로 거슬러 올라간다. 그는 데데킨드 도메인의 대수 곡선 연구와 연관성을 보여주었다.^[1]커브 위의 디비저 그룹(모든 디비서가 생성하는 자유 아벨리아 그룹)은 디데킨드 도메인의 분수 이상 그룹과 밀접하게 관련되어 있다.

대수학 주기는 분기의 상위 코드인 일반화다. 정의상, Weil divisor는 분음기 1의 사이클이다.

리만 표면의 디비저

리만 표면은 1차원 복합 다지관이며, 따라서 코디멘션-1 서브매니폴드는 0차원이다.콤팩트한 리만 표면 X의 디비저 그룹은 X의 지점에 있는 자유 아벨리아 그룹이다.

동등하게, 콤팩트 리만 표면 X의 칸막이는 정수 계수가 있는 X의 점들의 유한 선형 결합이다.X에 대한 칸막이의 정도는 그 계수의 합이다.

X에서 0이 아닌 임의의 영점 함수 f의 경우, X의 p 지점, ord(f_p)에서 f의 소멸 순서를 정의할 수 있다.f에 p에 폴이 있으면 정수, 음수다.콤팩트한 Riemann 표면 X에서 0이 아닌 meromorphic 함수의 divisor는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle(f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,}$

유한한 금액이지형태(f)의 구분자를 주 구분자라고도 한다.(fg) = (f) + (g)이므로, 주격분할자 집합은 분할자 집합의 부분군이다.주된 구분자에 의해 다른 두 개의 구분자를 선형 등가라고 한다.

콤팩트한 리만 표면에서 주격분할기의 정도는 0이다. 즉, 용적함수의 0의 수는 다중성으로 계산된 극의 수와 같다.결과적으로, 그 정도는 디비저의 선형 등가 등급에 대해 잘 정의된다.

콤팩트한 리만 표면 X에 divisor D를 부여한⁰ 경우, H(X, O(D)라 불리는 D(최대 극) 또는 D와 연관된 선다발 부분의 공간과 함께 X에 있는 meromorphic 함수의 복잡한 벡터 공간을 연구하는 것이 중요하다.D의 정도는 이 벡터 공간의 차원에 대해 많은 것을 말해준다.예를 들어, D가 음의 도라면 이 벡터 공간은 0이 된다(Meromorphic 함수는 극보다 많은 0을 가질 수 없기 때문이다).D가 양의 정도를 가지면 충분히 큰 m에 대해 H⁰(X, O(mD)의 치수가 m에서 선형적으로 커진다.리만-로치 정리는 이 선들을 따라 더 정밀한 진술이다.한편, 저도의 디비저 D에 대한 H⁰(X, O(D)의 정확한 치수는 미묘하며, D의 정도에 의해 완전히 결정되는 것은 아니다.컴팩트한 리만 표면의 특색 있는 특징들이 이 치수들에 반영되어 있다.

컴팩트한 리만 표면의 한 가지 주요 구분자는 표준 구분점이다.그것을 정의하기 위해, 먼저 위의 선을 따라 0이 아닌 공형 1-형식의 구분자를 정의한다.meromorphic 1-forms의 공간은 meromorphic 함수 영역에 걸친 1차원 벡터 공간이기 때문에, 0이 아닌 2개의 meromorphic 1-forms는 선형적으로 동등한 divisor를 산출한다.이 선형 등가 등급의 모든 구분자를 X, K의_X 정격 구분자라고 한다.X의 속 g는 정론적 구분자에서 읽을 수 있다. 즉, K는_X 2g - 2를 가지고 있다.콤팩트한 리만 표면 X의 핵심 삼분법은 정관 부분자가 음도(그래서 X는 속 0), 영도(genus 1), 양도(genus 최소 2)를 갖는지 여부다.예를 들어, 이것은 X가 양의 곡률, 0의 곡률 또는 음의 곡률로 Kahler 메트릭을 가지고 있는지 여부를 결정한다.정격점수는 X가 리만 구 CP에¹ 이형인 경우에만 음의 학위를 가진다.

웨일 디비저스

X를 지역 노메테리아식 계략으로 삼아라.X의 소수점 또는 불분명한 소수점은 X의 코드인 1의 일체형 닫힌 소수점 Z이다. X의 Weil divisor는 X의 소수점 Z의 공식 합계이다.

${\displaystyle \sum _{Z}n_{Z}Z,}$

여기에서${\displaystyle }$수집 {${\displaystyle Z}$: ${\displaystyle n_{}}$ Z${\displaystyle {}_{}0}$ 0${\displaystyle }$}$${\$displaystyle$\{$Z:n_{Z}\neq$ 0$\}}$은(는) 국소적으로 유한하다$$.X가 준준법률인 경우 국소 미세성은 유한한${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle n_{}}$ Z${\displaystyle {}_{}0}$ 0${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$\{$Z:n_{Z}\neq$ 0$\}}}$에 해당한다.모든 Weil divisors 그룹은 Div(X)로 표시된다.모든 계수가 음수가 아닌 경우 Weil divisor D가 효과적이다.D - D ′ 차이가 유효하면 D ≥ D writes라고 쓴다.

예를 들어, 한 필드 위에 있는 대수곡선의 점수는 상당히 많은 닫힌 점들의 공식 합이다.스펙 Z에 대한 구분자는 정수 계수를 갖는 소수 정수의 공식 합이므로 Q의 0이 아닌 분수 이상에 해당한다.K가 숫자 필드인 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$ O ${\displaystyle K_{}}$, ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal{O}_{K}}$의 구분자에 대해서도 유사한 특성이 적용된다.

Z ⊂ X가 소수점이라면 로컬 링 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$, ${\displaystyle Z_{}}$ ${\$에는 Krull 치수 1이 있다$$.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$, ${\displaystyle Z_{}}$ ${\$이(가) 0이 아닌 경우, ${\displaystyle Z_{}}$를_Z 따라 f가 소멸되는 순서는 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$, Z${\displaystyle {}_{}}$/ (${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\x,Z}/(f)$의 길이인 것이다.$}$ 이 길이는$$ 유한하며,^[2] 곱셈에 관해서, 즉 ord_Z(fg) = ord_Z(f) + ord_Z(g)를 첨가한다.^[3]k(X)가 X에 대한 합리적인 함수의 필드인 경우, 0이 아닌 f ( k(X)는 지수 g / h로 쓸 수 있다. 여기서 g와 ${\displaystyle h_{}}$는 O${\displaystyle X_{}}$, Z , ${\displaystyle {\O}_{$X,$Z}$에 있고 f의 소멸 순서는 서수_Z(g_Z) - 오더(h)로 정의된다.^[4]이 정의에서 소멸 순서는 함수 순서_Z : k(X)^× → Z이다.X가 정상인 경우 로컬 링 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ , ${\displaystyle Z_{}}$ ${\${\$mathcal{O}_{X,Z}$는 이산 평가 링이며 함수 서드는_Z 해당 평가다.X에서 0이 아닌 이성 함수 f의 경우 f와 관련된 주요 Weil 구분자는 Weil 구분자로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.}$

이 합계가 국소적으로 유한하다는 것을 보여줄 수 있고, 따라서 그것은 실제로 Weil divisor를 정의한다는 것을 보여줄 수 있다.f와 관련된 주요 Weil divisor도 공증 (f)이다.f가 정규 함수라면, 그 주체인 웨일 디비서가 효과적이지만, 일반적으로 이것은 사실이 아니다.소멸함수의 순서에 대한 부가성은 다음을 함축하고 있다.

${\displaystyle \divname {div} fg=\divname {div} f+\divname {div}g.}$

결과적으로 div는 동형상이며, 특히 그것의 이미지는 모든 Weil divisors 그룹의 한 부분군이다.

X를 노메테리아식 정상적인 계략이 되게 하라.모든 Weil divisor D는 X에서 일관성 있는 sheaf ${\displaystyle O_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$( $){\displaystyle {\mathcal{O}_{X}(D)}$을(를)구체적으로는 합리적인 기능의^[5] 피복의 하위 피복으로 정의될 수 있다.

${\displaystyle \Gammatcal {O}_{X}(D)=\{f\in k(X)):f=0{\text{또는 }}\operatorname {div}(f)+D\geq 0{\text{\text{}}}}}}}$

즉, 0이 아닌 합리함수 f는 U를 교차하는 소수점 Z의 경우에만 U에 대한$$ O ${\displaystyle X_{}}$(${\displaystyle D}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}_{X}(D)$의 섹션이다.

${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}}$

여기서 n은_Z D의 Z 계수다.D가 주체가 되어 D가 이성 함수 g의 점자라면, 그 다음에 이형성이 있다.

${\displaystyle {\begin{case}{\mathcal {O}(D)\to {\mathcal {O}_{X}\f\mapsto fg\end{case}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{div}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ g${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {div} (fg)}$은(는) 유효한 divisor이므로 ${\displaystyle f}$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle fg}$은(는) X의 정규성 덕분에 규칙적이기$$ 때문이다.반대로 $O{\displaystyle \mathcal{}(D}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(D)}$이(가) ${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\$$${$O}_{X}$ -module로$$$$ 이형성이면$$ D가 원형이 된다.$따라서{\displaystyle \mathcal{}}$ O${\displaystyle (D}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(D)}$을(를) 변환할 수 없는$$ 경우에만(즉, 선다발) D가 로컬 주체가 된다.

만약 D가 X의 하위 체계에 해당하는 효과적인 구분자라면(${\displaystyle 예}$: D는 감소된 구분자 또는 소수점일 수 있음), 하위 체임 D의 $이상적$인 격자는 O${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- D${\displaystyle }$)와 같다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}(-D$). 이것은 종종$$ 사용되는 짧은 정확한 시퀀스로 이어진다$.$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}_{X}\to 0.}$

이 시퀀스의 피복공호학은 H ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}X}$, O ${\displaystyle X}$(${\displaystyle }$- D )${\displaystyle$ H$^{1}(X,{\mathcal{O}_{X}(-D))}$에 D에 대한 정규함수가 X에 대한 정규함수의 제한인지에 대한 정보를 포함하고 있음을$$ 보여준다.

칼집도 포함되어 있다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{X}\to {\mathcal {O}_{X}(D).}$

이것은 표준 요소인${\displaystyle }\gamma$${\displaystyle (X_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}O}$X${\displaystyle }$( D$$)${\displaystyle }$, {\$displaystyle \Gamma($X,{\$mathcal{O}_{X}(D$))), 즉 글로벌 섹션 1의 이미지를 제공한다.이것을 표준 단면이라고 하며 s로_D 표기할 수도 있다.표준 섹션은 어디에서도 사라지지 않는 합리적인 함수의 이미지인 반면, 변환 함수는 D를 따라 사라지기 때문에 $O{\displaystyle \mathcal{}}$( $){\displaystyle {\mathcal{O}(D)}$의 이미지는 D를 따라 사라진다$$.D가 매끄러운 카티어 디비저인 경우, 위의 포함에 대한 코커넬을 식별할 수 있다. 아래 #카티어 디비저를 참조하십시오.

X는 한 분야에 걸쳐 유한한 유형의 정규 적분 구조라고 가정한다.D를 Weil divisor가 되게 하라.Then ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ is a rank one reflexive sheaf, and since ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ is defined as a subsheaf of ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X},}$ it is a fractional ideal sheaf (see below).반대로, 모든 순위 1 반사성 피복은 Weil divisor에 해당한다.칼집은 일반 로커스로 제한될 수 있으며, 여기서 자유로워져 카르티어 디비저(again, 이하 참조)에 해당하며, 단수 로커스는 적어도 2개의 코디멘션을 가지고 있기 때문에 카티어 디비저의 클로징은 웨일 디비저다.

디비저 클래스 그룹

Weil divisor cl(X)은 모든 주요 Weil divisors의 하위 그룹이 Div(X)의 몫이다.두 칸은 차이가 주체인 경우 선형적으로 등가라고 하여 칸막이 등급 그룹은 칸막이 모듈로 선형 등가성 그룹이다.한 필드에 걸쳐 차원 n의 다양한 X의 경우, 구분자 클래스 그룹은 차우 그룹이다. 즉, Cl(X)는 (n-1) 차원 사이클의 차우 그룹 CH_n−1(X)이다.

Z를 X의 닫힌 부분집합이 되게 하라.만약 Z가 코드인 1을 다시 해석할 수 없다면, Cl(X - Z)은 Z 등급에 의한 Cl(X)의 지수 그룹에 이형이다.만약 Z가 X에 최소한 2의 코디네이션을 가지고 있다면, 제한 Cl(X) → Cl(X - Z)은 이형성이다.^[6](이러한 사실들은 차우 그룹들의 현지화 순서의 특별한 경우들이다.)

On a normal integral Noetherian scheme X, two Weil divisors D, E are linearly equivalent if and only if ${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ are isomorphic as ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-modules.X에 있는 반사성 피복의 이형성 등급은 텐서 제품의 반사성 선체로 주어지는 제품으로 단노이드 형태를 형성한다.그 후 $D{\displaystyle o_{}}$ O X${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle D\mapsto${\$mathcal{O}_{X}(D)}$는 X의 Weil divisor class 그룹부터 X에 있는 1등급 반사 피복의 이형성 등급의 단형성 등급에 이르는$$ 단형 이형성을 정의한다.

예

• k를 필드로 하고 n을 양의 정수로 한다.다항 링 k[x₁, ..., x_n]는 고유한 인수 영역이기 때문에, 아핀 공간 Aⁿ over k의 디비저 클래스 그룹은 0과 같다.^[7]이후 k에 사영 공간 씨. 영하는 초평면 H안 교수에 동형이 있다면, 그것은 바로 씨.의 제수 수업 그룹 H.는 클래스에 의해 그곳에서 생성된 것, Cl(씨.)사실의 정수 Z, H.Concretely에서 발생할 뜻이 있는 동형은 체크하는데 씨. 모든 codimension-1 아변종은 va.에 의해 정의된다 간단하다nish단일 다항식의 입력

• X를 필드 k에 대한 대수적 곡선이 되게 하라.X의 모든 폐쇄 지점 p는 일부 유한 확장 필드 E의 규격 E 형식을 가지고 있으며, p의 정도는 E over k로 정의된다.이것을 선형성에 의해 확장하는 것은 X에 대한 디비저의 정도 개념을 제공한다.X가 k에 대한 투영 곡선인 경우, X에 대한 0이 아닌 이성 함수 f의 점수는 0도를 가진다.^[8]결과적으로 투영 곡선 X의 경우 학위는 동형성 deg: Cl(X) → Z를 나타낸다.

• 필드 k에 대한 투사선 P의¹ 경우, 학위는 이형성 Cl(P¹) ≅ Z를 준다.k-Rational 포인트가 있는 어떤 매끄러운 투영 곡선 X에 대해, 정도 동형성은 추월적이며, 커널은 X의 속과 동일한 차원의 아벨리안 품종인 X의 자코비안 품종에 있는 k-포인트 그룹에 이형성이다.예를 들어 복잡한 타원곡선의 구분계급 그룹이 헤아릴 수 없는 아벨계 그룹이라는 것을 따른다.

• Generalizing the previous example: for any smooth projective variety X over a field k such that X has a k-rational point, the divisor class group Cl(X) is an extension of a finitely generated abelian group, the Néron–Severi group, by the group of k-points of a connected group scheme ${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X$$/k}^{0}.}$ 특성 0의 k에 대해$$^[9] ${\displaystyle {Pic}_{}^{}}$ X${\displaystyle {}_{}^{}}$/ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 ${\$는 아벨리아 품종인 X의 피카르 품종이다.

• R의 경우, 숫자 필드의 정수 링의 경우, 구분자 클래스 그룹 Cl(R) :=Cl(Spec R)은 R의 이상적인 클래스 그룹이라고도 불린다.유한 아벨 그룹이다.이상적인 계급 집단을 이해하는 것이 대수적 수 이론의 중심 목표다.

• 

  아핀 4중 원뿔 xy² = z.
  X를 필드 위의 아핀 3-공간에서 xy = z² 방정식으로 정의되는 차원 2의 4중 원뿔이 되게 한다.그런 다음 x = z = 0으로 정의된 X의 D 선은 원점 근처에 있는 X의 주체가 아니다.참고로 Dcan은 X에 대한 하나의 방정식, 즉 x = 0에 의해 세트로 정의될 수 있지만 X에 대한 함수 x는 D에 따라 2로 사라지며, 따라서 우리는 X에 대한 2D가 (아래 정의에 따라) Cartier라는 것만 알게 된다.실제로 D등급에 의해 생성되는 주기 그룹 Z/2에 대해 D등급 그룹 Cl(X)은 이형성이다.^[10]

• X를 필드 위의 아핀 4-공간에서 xy = zw 방정식으로 정의되는 차원 3의 4중 원뿔이 되게 한다.그러면 x = z = 0으로 정의되는 X의 평면 D는 집합이라고 하더라도 원점 근처에 있는 하나의 방정식으로 X에 정의될 수 없다.그것은 X에서 D가 Q-Cartier가 아니라는 것을 따른다; 즉, D의 어떤 양의 배수도 Cartier가 아니다.사실, D 등급에서 생성된 정수 Z에 대해 D 등급 그룹 Cl(X)은 이형성이다.^[11]

정사.

완벽한 분야 위에 X를 평범한 품종으로 두자.X의 매끄러운 위치 U는 최소한 2의 코디네이션이 있는 열린 부분집합이다.Let j: U → X를 포함 맵으로 하고, 제한 동형성:

${\displaystyle j^{*}:\operatorname {Cl}(X)\to \operatorname {Cl}(U)=\operatorname {Pic}(U)}$

X - U는 X에서 적어도 2 in X의 코디네이션이 있기 때문에 이형성이다.For example, one can use this isomorphism to define the canonical divisor K_X of X: it is the Weil divisor (up to linear equivalence) corresponding to the line bundle of differential forms of top degree on U. Equivalently, the sheaf ${\displaystyle {\mathcal {O}}(K_{X})}$ on X is the direct image sheaf ${\displaystyle j_{\ast }{\mathrm{\Omega }}_U^n}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j_{*}\Oomega _{U}^{n}},$ 여기서$$ n은 X의 치수다.

예: X = P를ⁿ 동종 좌표 x₀, ..., x를_n 가진 투사 n-공간으로 한다. Let U = {x₀ ≠ 0}.그런 다음 U는 좌표_i y = x_i/x로₀ 아핀 n-공간과 이형화된다.내버려두다

${\displaystyle \omega ={dy_{1} \over y_{1}\cHB\cHB\cHB {dy_{n} \over y_{n}}}.}$

Then ω is a rational differential form on U; thus, it is a rational section of ${\displaystyle \Omega _{\mathbf {P} ^{n}}^{n}}$ which has simple poles along Z_i = {x_i = 0}, i = 1, ..., n. Switching to a different affine chart changes only the sign of ω and so we see ω has a simple pole along Z₀ as well.따라서 Ω의 디비저는

${\displaystyle \operatorname {div}(\omega )=-Z_{0}-\dots -Z_{n}}}$

그리고 그것의 divisor class이다.

${\displaystyle K_{\mathbf {P}^{n}=[\operatorname {div}(\omega )]=-(n+1)[H]}$

여기서 [H] = [Z_i], i = 0, ..., n. ( 오일러 시퀀스 참조)

까르띠에 칸막이

X를 노메테리아식 계략으로 삼아라.그러면 X는 합리적인 함수 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$. ${\displaystyle {\mathcal{M}_{X}}}}$모든$$ 규칙적인 함수는 합리적인 함수로서 짧은 정확한 순서가 된다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{X}^{\time}{\mathcal {M}^{\mathcal {M}}}^{\time }/{\mathcal {O}_{X}^{\time}\time }\time \to}.$

A Cartier divisor on X is a global section of ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.}$ An equivalent description is that a Cartier divisor is a collection ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\},}$ where ${\displaystyle \{U_{$$i}\}}$ is an open cover of ${\displaystyle X,f_{i}}$ is a section of ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\times }}$ on ${\displaystyle U_{i},}$ and ${\displaystyle f_{i}=f_{j}}$ on ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ up to multiplication by a sect$O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$. ${\displaystyle {\mathcal$ {$O}_{X}^{\time }}$의 이온

카르티에 디비저는 또한 피복적 묘사를 가지고 있다.A fractional ideal sheaf is a sub-${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-module of ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ A fractional ideal sheaf J is invertible if, for each x in X, there exists an open neighborhood U of x on which the restriction of J to U is equal to ${\displaystyle {\m$$athcal {O}}_{U}\cdot f,}$ where ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)}$ and the product is taken in ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}.}$ Each Cartier divisor defines an invertible fractional ideal sheaf using the description of the Cartier divisor as a collection ${\displaystyle \{(U_i,}$${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle \}}$ , ${\displaystyle \{{(U_{i},f_{i}}\}},$ 그리고$$ 반대로 되돌릴 수 없는 부분적 이상적 피복은 카르티어의 분점을 정의한다.Cartier divisor가 D로 표시된 경우 해당 부분 이상 피복은 O(D) 또는 L(D)로 표시된다.

위의 정확한 순서에 따라, 정확한 피복 코호몰로지 그룹 순서가 있다.

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).}$

A Cartier divisor is said to be principal if it is in the image of the homomorphism ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),}$ that is, if it is the divisor of a rational fX에 대한 삽입두 개의 카르티어 구분자는 차이가 주된 경우 선형적으로 동일하다.노메테리아식 계략의 X에 있는 모든 선다발 L은 어떤 카르티에 디비저의 등급이다.결과적으로, 위의 정확한 순서는 카르티에 디비저 모듈로 선형 등가성 그룹과 통합된 노메테리아식 체계 X에 있는 선다발들의 피카르 그룹을 식별한다.이것은 일반적으로 노메테리아의 축소된 계략이나 노메테리아의 고리에 대한 준프로젝트 계략을 더 많이 보유하지만,^[12] 일반적으로 (C에 대한 적절한 계략도) 실패할 수 있으며, 이는 카르티에 디비저의 완전한 일반적 이익을 감소시킨다.^[13]

D가 효과적인 카르티에 디비저라고 가정하자.그리고 나서 짧은 정확한 순서가 있다.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}_{X}\to {\mathcal {O}_{X}(D)\to 0.}$

이 순서는 X와 D의 구조 조각과 D의 이상적인 피부와 관련된 짧은 정확한 순서에서 도출된다.D는 카르티에 디비저(Cartier divisor)이기 때문에 O(D)는 국소적으로 자유롭기 때문에 그 시퀀스를 O(D)로 강렬하게 하면 위의 시퀀스인 또 다른 짧은 정확한 시퀀스가 나온다.D가 매끄러울 때, O_D(D)는 X에서 D의 일반적인 묶음이다.

Weil divisors와 Cartier divisors의 비교

Weil divisor D는 sheaf O(D)가 회전할 수 없는 경우에만 Cartier라고 한다.이 경우 O(D)는 Cartier divisor와 연결된 선다발(M에_X 내장됨)이다.좀 더 정확히 말하면, O(D)가 변환 불가능한 경우, O(D)가 각 오픈 세트의 사소한 번들로 제한하는 오픈 커버 {U_i}이(가) 존재한다.각 U에_i 대해 이소모르퍼시즘 O ${\displaystyle {U_{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{{}_{}}}$→ ${\displaystyle {}_{{}_{}}}$ (${\displaystyle D}$) ${\displaystyle {U_{}}_{}}$ .${\displaystyle {\mathcal{O}_{{I}}\$to {\$mathcal{O}}(D) _{U_{i}}}}}$을(를) 선택하십시오.O(D)의 우이에 1∈ Γ(U나는, OUi)의 이미지는 이 지도\Γ(U나는, OX){1\in \Gamma(U_{나는},{\mathcal{O}}_{U_{나는}})=\Gamma(U_{나는},{\mathcal{O}}_{X})\displaystyle}입니다.왜냐하면 O(D)합리적인 기능의 다발이 되는 것이 subsheaf 정의되면 1의 이미지 어떤 쥐를 가지고 확인될 수 있다.이온 함수 f_i.${\displaystyle \{({}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{})\}}$ ${\displaystyle \{{(U_{i},f_{i}\}}}}}$ 컬렉션은 그때$$ 카르티에 디비서가 된다.이것은 잘 정의되어 있는데, 왜냐하면 관련된 유일한 선택은 커버와 이소모르피즘뿐이었고, 그 둘 중 어느 것도 카르티에 디비저를 바꾸지 않았기 때문이다.이 카티어 디비저는 피복 제작에 사용될 수 있으며, 이는 우리가 구별하기 위해 L(D)을 표기할 것이다.오픈 커버 {U_i}에서 작업하여 L(D)을 정의한 O(D)의 이형성이 있다.여기서 확인해야 할 중요한 사실은 O(D)와 L(D)의 전이 기능이 호환된다는 것이며, 이는 이 기능들이 $모두{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{f}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{i}/f_{j}$의 형태를 가지고 있다는 사실에 해당한다.$}$

반대 방향으로 노메트리안 구성표 X에 있는$$ 카티어 구분자 {${\displaystyle }$(${\displaystyle U_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{})\}}$ ${\displaystyle \{i}\}}}}}$은(는) 개방 세트 U의_i f 기능에_i ${\displaystyle \mathrm{div}}$ ${\displaysty \operatorname$ {$div}$을(는$)$를 적용하여 자연스럽게 X에 대한 Weil 구분자를 결정한다.

X가 정상인 경우, 카티어 디비저는 관련 웨일 디비시에 의해 결정되며, 웨일 디비저는 지역적으로 주체가 되는 경우에만 카트리에가 된다.

노메테리아식 체계 X는 X의 모든 로컬 링이 고유한 요인화 도메인이라면 요인 설계라고 불린다.^[5] (일부 저자는 "로컬 요인 설계"라고 말한다.)특히 모든 규칙적인 체계는 요인이다.^[14]요인 설계 X에서 모든 Weil divisor D는 로컬 주체가 되므로 O(D)는 항상 선다발이다.^[7]그러나 일반적으로 정상적인 체계에 대한 Weil divisor가 지역적으로 주체가 될 필요는 없다. 위의 4중 원뿔의 예를 참조하라.

유효 카르티어 디비저

효과적인 까르띠에 대한 디비저는 이상적인 조각에 해당하는 디비져이다.사실, 효과적인 카르티에 디비저의 이론은 합리적인 기능들의 덩어리나 부분적인 이상적인 덩어리들에 대한 어떠한 언급도 없이 개발될 수 있다.

X를 계략으로 삼아라.X에 효과적인 카티어 디비저는 이상적인 피복 I이며, X의 모든 포인트 X에 대해 스토브 I이_x 주된 역할을 한다.그것은 각 x 주위에 개방된 부속서 U = Spec A = Spec A가 존재하도록 요구하는 것과 동등하다. 여기서 f는 A에서 0이 아닌 구분자.효과적인 두 카르티에 디비저의 합은 이상적인 피복의 곱셈에 해당한다.

효과적인 카르티에 디비저의 가족에 대한 좋은 이론이 있다.φ : X → S를 형태주의로 한다.X over S에 대한 상대적인 유효 Cartier divisor는 X 에서의 효과적인 Cartier divisor로, S 위에 평평하다.평탄도 가정 때문에, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ S${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ S$'\to$ S${\displaystyle ,\}}$에 대해 $D$에서${\displaystyle {}_{}}$X ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ $′,$ {\$displaystyle$X\$time _{S$}S$,}$의 풀백이 있으며$$, 이$$ 풀백은 효과적인 카트리지 디비서가 된다.특히 φ의 섬유에 대해서는 그렇다.

교감성

φ : X → Y는 국부적으로 통합된 노메테리아식 계획의 형태론이다.디비저 D를 한 계획에서 다른 계획으로 이전하기 위해 φ을 사용하는 것은 종종 가능하지만 항상은 아니다.이것이 가능한지는 디비저가 Weil인지 Cartier divisor인지 여부, 디비저를 X에서 Y로 이동할지 또는 그 반대로 이동할지 여부, 그리고 φ이 어떤 추가 속성을 가질지에 따라 달라진다.

만약 Z가 X의 주요 Weil divisor라면, $\varphi {\displaystyle \stackrel{}{(Z)}}$의${\$은 Y의 닫힌 무reduccessible subscheme이다$$.φ에 따라서는 프라임 웨일 디비저가 될 수도 있고 아닐 수도 있다.예를 들어 φ이 평면에서 한 점을 위로 날리는 것이고 Z가 예외적인 디비저라면 그 이미지는 웨일 디비저가 아니다.따라서 φZ는_* subscheme이 주요 구분자이고 그렇지 않으면 영점 구분자로 정의되는 경우$$${\displaystyle \stackrel{}{}}\varphi {\displaystyle \stackrel{}{(Z}}$)의 ${\${\$overline {\pi(Z)}}$로 정의된다.이를 선형성 의지에 의해 연장하는 것은, X가 준법률이라고 가정하고, 푸시포워드라고 하는 동형성 Div(X) → Div(Y)를 정의한다. (X가 준법률적이지 않다면, 푸시포워드는 국소적으로 유한한 합이 되지 않을 수 있다.)이것은 차우 그룹들에 대한 푸시포워드의 특별한 경우다.

Z가 까르띠에 분점이라면, 그렇다면 φ에 대한 가벼운 가설 아래에는 풀백 φZ가^* 있다.이론적으로 풀백 맵 φM⁻¹_Y → M이_X 있을 때, 이 풀백은 카르티에 디비저의 풀백을 정의하는 데 사용될 수 있다.In terms of local sections, the pullback of ${\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}}$ is defined to be ${\displaystyle \{(\phi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \phi )\}}$. Pullback is always defined if φ is dominant, but it cannot be defined in general.예를 들어, X = Z와 φ이 Y에 Z를 포함하는 경우, 해당 국부 섹션이 0 도처에 있으므로 φZ는^* 정의되지 않는다.(단, 해당 라인 번들의 풀백은 정의된다.)

만약 φ이 평평하다면, Weil divisors의 풀백(pullback of Weil divisors)이 정의된다.이 경우 Z의 풀백은 φZ^* = φ⁻¹(Z)이다.φ의 평탄도는 Z의 역영상이 코드인 1을 계속 갖는 것을 보장한다.이것은 예를 들어 작은 수축과 같이 평평하지 않은 형태에서 실패할 수 있다.

체르누스 제1교실

일체형 노메테리아식 계략 X에 대해서는 카르티에 디비저의 집단에서 웨일 디비저의 디비시에 이르는 자연적 동형성이 동형성을 부여한다.

${\displaystyle c_{1}:\operatorname {Pic}(X)\to \operatorname {Cl}(X),}$

체르누스 1급으로 알려져 있다.^[15]첫 번째 체르누스 계급은 X가 정상이면 주입식이고, X가 (위에서 정의한 바와 같이) 요인이라면 이형성이다.특히 까르띠에 디비저는 어떤 규칙적인 계략에 대해서도 웨일 디비저와 동일시될 수 있기 때문에, 제1 체르누스 계급은 X 레귤러에 대한 이소모르피즘이다.

분명히 최초의 체르누스 계급은 다음과 같이 정의될 수 있다.일체형 노메테리아식 체계 X의 선다발 L에 대해서는, L의 국소적 사소한 것에 의해 존재하는 L의 논제로 이성적인 부분(즉, L의 일부 비어 있지 않은 개방된 부분집합에 관한 부분)이 되도록 한다. 이성적인 기능의 디비저와 유추하여 X의 Weil divisor(s)를 정의한다.그러면 L의 첫 번째 체르누스 클래스는 디비저(s)로 정의할 수 있다.(fs) = (fs) = (f) + (s)는 (nonzero reational function f 및 L의 nonzero rational section s에 대해) 따라서 Cl(X)의 요소 c₁(L)는 잘 정의된다.

치수 n의 복잡한 다양성 X의 경우, 반드시 C에 대해 부드럽거나 적절하지 않은 경우, 구분자 등급 그룹에서 Borel-Moore 호몰로지까지 자연 동형성, 즉 사이클 맵이 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {Cl}(X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM}}}(X,\mathbf {Z}).}$

후자 그룹은 X의 복잡한 점의 공간 X(C)를 고전적(유클리드) 위상과 함께 사용하여 정의된다.마찬가지로 피카르 그룹도 위상학적으로 최초의 체르누스 계급에 의해 통합된 코호몰로지(chomology)에 매핑된다.

${\displaystyle \operatorname {Pic}(X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z}) .}$

두 개의 동형체는 서로 다른 도표에 의해 연관된다. 여기서 오른쪽 수직 지도는 Borel-Moore 동질학에서 X의 기본 등급을 가진 캡 제품이다.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}}$

X 매끄러운 C의 경우, 두 세로 지도 모두 이형상이다.

라인 번들 및 선형 시스템의 글로벌 섹션

카르티에 디비저는 그것의 국소_i 정의 함수 f가 규칙적일 때 효과적이다(합리적 함수만이 아니다).이 경우 카르티어 디비저는 X에서 코드 1의 폐쇄 하위 체임으로 식별할 수 있으며, 하위 체임계는 f_i = 0으로 로컬로 정의된다. 카르티어 디비저는 연관된 라인 번들 O(D)가 0이 아닌 전역 섹션 s를 갖는 경우에만 유효 디비저와 선형적으로 동일하다. 그 다음 D는 s의 제로 로커스와 선형적으로 동일하다.

X를 필드 k에 걸쳐 투영적인 다양성이 되게 하라.그런 다음 O(D)의 전역 부분에 0이 아닌 k의 스칼라를 곱해도 0의 위치를 변경하지 않는다.그 결과, 글로벌 섹션⁰ H(X, O(D))의 k-벡터 공간에 있는 선의 투영 공간은 D의 완전한 선형 시스템이라 불리는 D와 선형적으로 동등한 유효 디비저의 집합으로 식별할 수 있다.이 투영 공간의 투영 선형 하위 공간을 분할자의 선형 시스템이라고 한다.

선다발 글로벌 섹션의 공간을 연구해야 하는 한 가지 이유는 주어진 다양성에서 투사적 공간에 이르기까지 가능한 지도를 이해하기 위해서입니다.이것은 대수적 품종의 분류에 필수적이다.명시적으로 필드 k에 대한 다양한 X에서 투영 공간ⁿ P까지의 형태론은 X에 대한 선다발 L, P에ⁿ 대한 표준선다발 O(1)의 풀백을 결정한다.더욱이 L은 베이스 위치(그들의 0 세트의 교차점)가 비어 있는 n+1 구간과 함께 나온다.반대로 공통 베이스 위치가 비어 있는 n+1 글로벌 섹션이 있는 모든 라인 번들 L은 형태론 X → P를ⁿ 결정한다.^[16]이러한 관찰은 풍부한 디비저와 네프 디비저와 같은 카티에 디비저(또는 라인 번들)에 대한 몇 가지 긍정의 개념으로 이어진다.^[17]

필드 k에 대한 투영 버라이어티 X의 Divisor D의 경우, k-벡터 공간 H⁰(X, O(D)는 유한 치수를 가진다.리만-로치 정리는 X가 투영 곡선일 때 이 벡터 공간의 치수를 계산하기 위한 기본적인 도구다.연속적인 일반화, Hirzebruch-Remann-Roch 정리 및 Grotheendeck-Remann-Roch 정리는 한 분야에 걸쳐 모든 차원의 투영적 다양성 X에 대한 H⁰(X, O(D)의 차원에 대한 일부 정보를 제공한다.

정격분할기는 본질적으로 품종과 연관되어 있기 때문에, K가_X 부여한 투영공간과 그 양의 배수로의 품종분할에 있어서 핵심역할을 지도에 의해 행한다.X의 고다이라 치수는 m이 증가함에 따라 벡터 공간 H⁰(X, mK_X) (H⁰(X, O(mK_X)를 의미))의 성장을 측정하는 핵심 생식 불변성이다.고다이라 치수는 모든 n차원 품종을 n+2 등급으로 나누는데, (매우 대략) 양의 곡률에서 음의 곡률로 진행된다.

"Q"-divisors

X를 일반 품종으로 하자.A (Weil) Q-divisor는 합리적인 계수를 가진 X의 부분산 X의 무reducible codimension-1의 유한 형식 선형 결합이다. (R-divisor는 유사하게 정의된다.)계수가 음수가 아닌 경우 Q-divisor가 효과적이다.Q-divisor D는 일부 양의 정수 m에 대한 Cartier divisor인 경우 Q-Cartier이다.X가 부드러우면 모든 Q-divisor는 Q-Cartier이다.

만약

${\displaystyle D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}}}}$

Q-divisor, 그 다음 라운드다운이 divisor이다.

${\displaystyle \lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j}}}$

여기서 ${\displaystyle \lfloor }$ ${\displaystyle \lfloor }$은$($는) a보다 작거나 같은 최대 정수다$$.그런 다음 Sheaf $O{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(D)}$을(를) O${\displaystyle }$( ${\displaystyle \lfloor }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \rfloor }$ )로 정의한다$$.${\displaystyle {\mathcal {O}(\lllloor D\rfloor).$$}$

그로텐디크-렙체츠 하이퍼플레인 정리

렙체츠 하이퍼플레인 정리는 최소 4차원 투영 다양성 X와 X의 부드러운 넉넉한 디비저 Y에 대해 제한 Pic(X) → Pic(Y)가 이형상임을 암시한다.예를 들어, Y가 복잡한 투사 공간에서 적어도 3차원 다양성의 부드러운 전체 교차점이라면, Y의 피카르 그룹은 투사 공간에 대한 선다발 O(1)의 제한에 의해 생성되는 Z에 이형화된다.

그로텐디크는 렙체츠의 정리를 여러 방향으로 일반화했는데, 여기에는 임의의 염기장, 단수품종, 투사품종보다는 국소고리에 대한 결과 등이 포함된다.특히, R이 최대 3에서 코디네이션의 요인인 완전한 교차 로컬 링이라면(예를 들어, R의 비정규 위치의 코드화가 4 이상인 경우), R은 고유한 요인화 영역이다(따라서 Spec(R)의 모든 Weil divisor는 Cartier).^[18]여기에 묶인 치수는 위의 3차원 4중 원뿔의 예에서 보듯이 최적이다.

메모들

참조

• Dieudonné, Jean (1985), History of Algebraic Geometry, Wadsworth Mathematics Series, translated by Judith D. Sally, Belmont, CA: Wadsworth International Group, ISBN 0-534-03723-2, MR 0780183
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2005) [1968], Laszlo, Yves (ed.), Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2), Documents Mathématiques, vol. 4, Paris: Société Mathématique de France, arXiv:math/0511279, Bibcode:2005math.....11279G, ISBN 978-2-85629-169-6, MR 2171939
• 제2.6절
• Kleiman, Steven (2005), "The Picard scheme", Fundamental Algebraic Geometry, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 235–321, arXiv:math/0504020, Bibcode:2005math......4020K, MR 2223410
• Kollár, János (2013), Singularities of the Minimal Model Program, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-03534-8, MR 3057950
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positivity in Algebraic Geometry, vol. 1, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-22533-1, MR 2095471

외부 링크

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project