에너지 공간

수학에서, 보다 정확하게 기능적 분석에서, 에너지 넘치는 공간은 직관적으로 새로운 "에너제틱" 내적 제품을 장착한 주어진 실제 힐버트 공간의 하위 공간이다.그 이름의 동기는 물리학에 기인한다. 많은 물리적인 문제에서 시스템의 에너지는 정력적인 내적 생산의 관점에서 표현될 수 있다.이것의 예는 이 글의 뒷부분에서 제시될 것이다.

에너지 공간

Formally, consider a real Hilbert space ${\displaystyle X}$ with the inner product ${\displaystyle (\cdot \cdot )}$ and the norm ${\displaystyle \ \cdot \ }$. Let ${\displaystyle Y}$ be a linear subspace of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle B:$$Y\to X}$은(는) 강력한 단일 대칭 선형 연산자, 즉 만족스러운 선형 연산자임$$

• ${\displaystyle (B}$ ${\displaystyle u}$ v${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle u}$ b${\displaystyle }$) ${\$ $모든$ $u$에 대해${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u$$,v$$}$
• ${\displaystyle (B}$${\displaystyle }$${\displaystyle u}$) $일부{\displaystyle }$ 상수 ${\displaystyle c}$ >${\displaystyle c>0}$ 및 Y . ${\displaystyle Y.}의 모든$$u{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $u}$에 대한$$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ‖ 2 ${\$ $u$} ${\$displaystystyte u$}$

에너지 넘치는 내부 제품은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle ({}_{}u}$ v )${\displaystyle {}_{}{E}_{}}$= ( B ${\displaystyle u}$v ) ${\$v)$_{E}=(Bu$ v$)\,}$ 모든$$${\displaystyle }u$에 대해$$, $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle u$$,v$$}$

그리고 정력적인 규범은

$displaystyle$$$$E{\displaystyle }$$}^{\frac {1}{1$}:{2$}}\,},$ Y${\displaystyle }$. ${\displaystyle Y.}$의 모든 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 대해

에너지 넘치는 이너 제품과 함께$$ $세트{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle Y}$가 힐버트 전 공간이다.에너지 공간 X ${\displaystyle E_{}}$ ${\$는 에너지 표준에서$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 완성으로 정의된다$$.${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$은(는) $에너지{\displaystyle }$ 표준의 모든 Cauchy 시퀀스도 X ${\displaystyle X}$의 표준에서 Cauchy이기 때문에$$ 원래 힐버트 공간 $X{\displaystyle }$ ,${\displaystyle$ X$}$의 하위 집합으로 간주할$$ 수 있다($$$이$는 B ${\displaystyty B}).$

에너지 넘치는 내부 제품은 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$에서 ${\displaystyle X_{}}$ $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\$까지 확장되며

${\displaystyle (u v)_{E}=\lim_{n\to \infit }(u_{n} v_{n})_{E}}}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle u_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (u_{n}}$ 및${\displaystyle }$(${\displaystyle v_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (v_{n})$은 에너지 표준에서 $X$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$의 점으로 수렴되는 Y의 시퀀스다$$.

에너지 확장

운영자 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 에너지 확장자 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$을(를) 승인한다.

${\displaystyle B_{E}\X_{E}\to X_{E}^{*}}}}$

공식으로 주어진$$ 이중 공간 X ${\displaystyle E_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 값을 가진$$ ${\displaystyle X_{}}$ E ${\$ X_{E$}^*}$에 정의됨

${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ E${\displaystyle {}_{}}$= (${\displaystyle {}_u}$ ${\displaystyle v}$ ) E ${\$ $_$${E$} u$}=(u$ v$)_{E}}$ $u$, v, ${\displaystyle \mathrm{in}}$ X $E{\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystysty X_{E}.$$}$

Here, ${\displaystyle \langle \cdot \cdot \rangle _{E}}$ denotes the duality bracket between ${\displaystyle X_{E}^{*}}$ and ${\displaystyle X_{E},}$ so ${\displaystyle \langle B_{E}u v\rangle _{E}}$ actually denotes ${\displaystyl$$e (B_{E}u)(v).$$}$

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 및$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) 원래 하위 공간 $Y{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ Y$,}$의 요소인$$ 경우$$

${\displaystyle \langle B_{E}u v\rangle _{E}={E}=(Bu v)=\langle u v\rangle }$

정력적인 내면의 생산물의 정의에 의해.If one views ${\displaystyle Bu,}$ which is an element in ${\displaystyle X,}$ as an element in the dual ${\displaystyle X^{*}}$ via the Riesz representation theorem, then ${\displaystyle Bu}$ will also be in the dual ${\displaystyle X_{E}^{*}}$ (by the strong monotonicity property o$F{\displaystyle }$ B ${\displaystyle B}$ $$.이러한 식별을 통해 B ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle u}$. ${\displaystyle B_{E}u=Bu$라는 공식을 따른다$.$$}}$ 다른 말로$$, 원래 연산자 $B{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B:$$Y$$\to X}$ 연산자 $B{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle E_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle B:$$Y\to X_{E}^{*},}$ and then ${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$ is simply the function extension of ${\displaystyle B}$ from ${\displaystyle Y}$ to ${\displaystyle X_{E}.$$}$

물리학의 예

선(여기서는 수평 선으로 $표시됨)$의 두 점에서 끝점이 고정된 문자열을 고려하십시오$.$Let the vertical outer force density at each point ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a\leq x\leq b)}$ on the string be ${\displaystyle f(x)\mathbf {e} }$, where ${\displaystyle \mathbf {e} }$ is a unit vector pointing vertically and ${\displaystyle f:[a,b]\to \m$$attb {R} .}$ $u{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle u(x)}$을(를) 힘의 영향을 받아$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 지점에서 문자열의 편향이 되도록$$ 한다$$.처짐이 작다고 가정하면 끈의 탄성 에너지는

${\displaystyle {\frac {1}{1}2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx}$

그리고 줄의 총 전위 에너지는

${\displaystyle F(u)={\frac {1}{1}:{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^{b}\!u(x)f(x)\,dx.}$

잠재적 에너지를 최소화하는$$ 편향 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle u(x)}$이(가) 미분 방정식을 만족시킬 것이다.

$(\displaystyle -u]=f\,}$

경계조건으로.

${\displaystyle u(a)=u(b)=0.\,}$

이 방정식을 연구하려면 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle X=L^{2}(a,b$),$$즉$$, Lebegue 측도와 ${\displaystyle 관련}$하여 모든 사각 통합 함수의 Lp 공간${\displaystyle u}$ :${\displaystyle [,}$ ${\displaystyle b}$ $]$→ R ${\$ {$R}}을$고려하십시오.이 공간은 내부 제품에 대한 힐버트 입니다.

${\displaystyle (u v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\,dx,}$

에 의해 규정된 규범에 따라.

${\displaystyle \ u\ ={\sqrt {(u u)}}.}$

Y ${\displaystyle Y}$을(를) 두 번 ${\displaystyle 연속적}$으로 서로 다른 함수 $u{\displaystyle :}$ [ a , ${\displaystyle b]}$→ R ${\$${\displaystyle b}$$]\to \mathb {R}$을(를) 경계${\displaystyle }$조건 ${\displaystyle u=}$ ${\displaystyle 0\mathrm{.}}$ ${\displaystystyle u(a)=u(b)=0$)=0$)$로 설정하십시오.$}$ 그러면$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 선형 하위 공간임$$

연산자 $B{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle X}$ ${\디스플레이 스타일$ B$:$공식으로 주어진$$ $Y\to$ X$}$

$[\displaystyle Bu=-u'],\,}$

따라서 편향은 $방정식{\displaystyle }$ ${\displaystyle Bu}$= f$$. {\$displaystyle$ Bu$=f$를 만족한다$.$$}}$ 부품별, 경계조건별 통합을 통해$$ 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle(Bu v)=-\int _{a}^{b}\!u"(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b'(x)v'=(u Bv)}$

$Y{\displaystyle }$. ${\displaystyle Y}$의 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $u$$}$ 및$$ v ${\displaystyle$ v$}$에 대해, $따라서$ B ${\displaystyle B}$은(는) 대칭 선형 연산자다.

${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ 또한 프리드리히 일족의 불평등에 의해 강하게 단조되어$$ 있다.

${\displaystyle \ \u\{2}=\int_{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int_{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,(Bu u)}}$

C> ${\displaystyle C>0.$$}$

연산자 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$에 대한 에너지 넘치는 공간은 소볼레프 공간 H $0{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}^{}}$ ,${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b$)이다$.$${}$ 이 연구의$$ 동기를 부여한 끈의 탄성 에너지는

${\displaystyle {\frac {1}{1}2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx={\frac {1}{1}{1}(u u)_{E}}}}}$

그래서 그것은 그 자체로$$ ${\displaystyle u}$의 활기찬 내면의 절반이다.

문자열의$$ 총 잠재적 에너지 $F{\displaystyle (u}$) ${\displaystyle F(u)}$을(를) 최소화하는$$ 편향 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$을(를) 계산하려면 이 문제를 양식에 기록하십시오.

${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}u}$ v )${\displaystyle {}_{}{E}_{}}$= (${\displaystyle }$f ) ${\$v)$_{E}=(f$ v$)\,},$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$의 모든 v ${\displaystyle v}$에 대해$.$

다음으로, 실제 솔루션 공간의 유한 차원 하위 공간에 있는 함수인$$$u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$에 의해 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$과(와) 근사하게 된다.예를 들어 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$를 에너지 공간에서의 연속적인 조각 형태의 선형 함수로 할 수 있으며, 이 함수는 유한 요소 방법을 제공한다.근사 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$는 선형 방정식의 시스템을 풀어서 계산할 수 있다$$.

에너지 넘치는 규범은 u ${\displaystyle u}$과 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\$ 사이의 오차를 측정하기 위한 자연스러운 규범인 것으로 판명되었다.

참고 항목

• 내부 제품 공간
• 양확정 커널

참조

• Zeidler, Eberhard (1995). Applied functional analysis: applications to mathematical physics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94442-7.

• Johnson, Claes (1987). Numerical solution of partial differential equations by the finite element method. Cambridge University Press. ISBN 0-521-34514-6.