철분 원시성 검정

Fermat primality test는 숫자가 가능한 prime인지 여부를 결정하기 위한 확률론적 시험이다.

개념

페르마의 작은 정리에는 p가 원시이고 a가 p에 의해 분할되지 않으면, 그 다음이라고 되어 있다.

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$

만약 p가 프라임인지 테스트하고 싶다면, 우리는 p로 나눌 수 없는 무작위 정수를 고르고 평등이 유지되는지 볼 수 있다. 동일성이 a 값에 대해 유지되지 않으면 p는 복합적이다. 만약 p가 복합적인 경우 이 조합은 무작위 a를 지탱할 것 같지 않다.^[1] 따라서, 만약 평등이 a의 하나 이상의 가치를 유지한다면, 우리는 p가 아마도 프라임이라고 말한다.

단, ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 1(\mathrm{mod}}$ $){\$의 경우 위의 합치는 사소한 것으로 유지된다는 점에 유의하십시오. p가 이상하고 $and{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1(\mathrm{모드}}$ ${\displaystyle p}$) ${\${p$}}}}$이(가$)$ 있는 경우에도 사소한 것으로도 보관된다이 때문에 보통 <- 1$>$에서 a를 선택한다

그런 것은 없다.

${\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod{n}}}$

n이 합성되었을 때 Fermat 거짓말쟁이로 알려져 있다. 이 경우 n은 base a를 위해 Fermat philoprime이라고 불린다.

만약 우리가 그런 것을 선택한다면.

${\displaystyle a^{n-1}\not \equiv 1{\pmod{n}}}$

그 다음에 a는 n의 복합성에 대해 페르마 증인으로 알려져 있다.

예

n = 221이 프라임인지 여부를 확인하려고 한다고 가정합시다. 임의로 1 < a < 220, say a = 38. 우리는 위의 동등성을 확인하고 그것이 다음을 지탱한다는 것을 발견한다.

${\displaystyle a^{n-1}=38^{220}\equiv 1{\pmod {pmod}}.}$

221은 프라임이거나 38은 페르마트 거짓말쟁이다. 그래서 24:

$\displaystyle a^{n-1}=24^{220}\equiv 81\not \equiv 1{\pmod {fmod}}.}$

그래서 221은 복합적이고 38은 정말로 페르마의 거짓말쟁이였습니다. 게다가 24는 221의 구성성을 가진 페르마의 증인이다.

알고리즘.

알고리즘은 다음과 같이 작성할 수 있다.

입력: n: primality에 대해 테스트할 값, n>3; k: primality에 대해 테스트할 횟수를 결정하는 매개 변수

출력: n이 복합적인 경우 복합적인 경우, 그렇지 않으면 원시적인 경우

k회 반복:

[2, n - 2] 범위에서 랜덤하게 선택

${\displaystyle \mathrm{n}{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 1${\displaystyle }$( ${\displaystyle mod}$ n${\displaystyle }$) ${\$ a$^{n-1}\not \equiv$ 1${\pmod{n}}}$인 경우 합성물을 반환하십시오$.$

합성물이 반환되지 않는 경우: 반환될 경우 primary

a 값 1과 n-1은 모든 n과 모든 홀수 n에 대해 각각 동등하게 유지되는 것으로 사용되지 않으므로 시험에는 아무런 값도 추가되지 않는다.

복잡성

모듈형 지수와 다중 호출 곱셈에 대한 빠른 알고리즘을 사용하여 이 알고리즘의 실행 시간은 O(k logn² log n) = õ(k logn) = õ(k logn²)이며 여기서 k는 무작위 a를 테스트하는 횟수, n은 원시성을 테스트하고자 하는 값이다. 자세한 내용은 Miller-Rabin primality 테스트를 참조한다.

흠

주어진 기준 a>1에는 무한히 많은 Fermat 가성비가 있다.^{[1]: Theorem 1} 더 나쁜 것은 카마이클 숫자가 무한히 많다는 것이다.^[2] 이 $값$은 n {\$displaystyle$ $n$$}$이며, ${\displaystyle \gcd }$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ,n}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \operatorname {gcd}(a,n)=1$}을$($를) 가진 ${\displaystystyle$}의$$ 모든 값이 Fermat liars이다. 이러한 숫자에 대해 Fermat 원시성 시험을 반복적으로 적용하면 요인에 대한 단순한 무작위 검색과 동일하게 수행된다. 카마이클 수치가 프라임 숫자보다 실질적으로 더 희귀하지만(카마이클 숫자에^[3] 대한 에르데스의 상한은 프라임 숫자 함수 n/log(n)보다 낮다)^{[citation needed]} 페르마의 원시성 테스트가 위 형식에서 자주 사용되지 않을 정도로 충분히 있다. 대신에, Baillie-와 같은 페르마트 테스트의 다른 더 강력한 확장.PSW, 밀러-라빈, 솔로바이-스트라센이 더 많이 사용된다.

일반적으로 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 카마이클 번호가 아닌 복합 번호일$$ 경우, 적어도 절반 이상이어야 한다.

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle (Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{예}}$: ${\displaystyle \gcd }$ ${\displaystyle }$(,${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \operatorname {gcd}(a,n)=1$

페르마 증인이야 ${\displaystyle {이}_{}}$를 증명하려면 ${\displaystyle$ a}을$($를) $페르마트{\displaystyle {}_{}}$ 증인이 되고$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$2 ${\$ ..., ${\displaystyle s_{}}$ ${\$을 페르마트 거짓말쟁이가 되게$$ 한다. 그러면

${\displaystyle(a\cdot a_{i}}^{n-1}\equiv a^{n-1}\cdot a_{i}^{n-1}\equiv a^{n-1}\equiv \equiv 1{\pmod{n}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{그리고}}$ i${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. .${\displaystyle }$. s ${\displaystyle i=1,2,...s}$에 대한 $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle a_{i}$는 페르마트 증인이 된다.

적용들

위에서 언급한 바와 같이 대부분의 애플리케이션은 Miller-Rabin 또는 Baillie-를 사용한다.PSW 검사에서 원시성 검사. 때로는 성능을 향상시키기 위해 페르마트 테스트(소규모 프리타임에 의한 일부 시험 분할과 함께)가 먼저 수행된다. 3.0 버전 이후 GMP는 시험 분할 후 밀러-라빈 테스트를 실행하기 전에 베이스-210 페르마 테스트를 사용한다. Libgcrypt는 Fermat 테스트를 위해 베이스 2와 유사한 프로세스를 사용하지만 OpenSSL은 그렇지 않다.

실제로 GMP와 같은 대부분의 큰 수의 라이브러리에서 페르마트 테스트는 밀러-라빈 테스트보다 눈에 띄게 빠르지 않으며, 많은 입력에서 속도가 느려질 수 있다.^[4]

예외적으로 OpenPFGW는 가능한 프라임 테스트에 페르마 테스트만 사용한다. 이 프로그램은 일반적으로 매우 큰 입력을 가진 최대 속도를 목표로 하는 수천 자리 입력과 함께 사용된다. Fermat 테스트에만 의존하는 잘 알려진 또 다른 프로그램은 PGP이다. PGP는 자체 생성된 큰 랜덤 값의 테스트에만 사용된다(개방 소스 상대인 GNU 개인 정보 보호대는 Miller-Rabin 테스트에 이은 Fermat 사전 테스트를 사용한다).

참조

• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein (2001). "Section 31.8: Primality testing". Introduction to Algorithms (Second ed.). MIT Press; McGraw-Hill. p. 889–890. ISBN 0-262-03293-7.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)