샨크의 사각형 형태 인자화

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샨크의 사각형 형태 인자화는 페르마의 인자화 방법의 개선으로 다니엘 샨크가 고안한 정수 인자화 방법이다.

Fermat의 방법의 성공 여부는 ${\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle x}$과 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ $y$$}$을(를) 찾느냐에 따라 결정되며$,$ ${\displaystyle {여기}^{}}$서 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$$^{2}-y^{2}=N$$}$은 인수할 정수다$$.An improvement (noticed by Kraitchik) is to look for integers ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ such that ${\displaystyle x^{2}\equiv y^{2}{\pmod {N}}}$. Finding a suitable pair ${\displaystyle (x,y)}$ does not guarantee a factorization of ${\displaystyle N}$,but it implies that ${\displaystyle N}$ is a factor of ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)}$, and there is a good chance that the prime divisors of ${\displaystyle N}$ are distributed between these two factors, so that calculation of the greatest common divisor of ${\displaysty$$le N}$ 및$$ ${\displaystyle x}$- y ${\displaystyle x-y}$은(는) $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 비독점 인자를 제공한다$.$

$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{모드}}$ $){\$ x$^{2}\exiv y^{2}{\pmod{N}}$을(를) 만족하는$$ 쌍$({\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ )$${\$displaystyle (x,y)}$을(를) 찾기 위한 실용적인 알고리즘이 샨크스에 의해 개발되었으며$$, 이 알고리즘은 Square Factorization 또는 SUFOF.알고리즘은 연속 분율 또는 이차적 형태로 표현될 수 있다.지금은 훨씬 더 효율적인 인자화 방법이 있지만, SUTFOF는 프로그램 가능한 계산기에서 구현될 수 있을 만큼 작다는 장점을 가지고 있다.

In 1858, the Czech mathematician Václav Šimerka used a method similar to SQUFOF to factor ${\displaystyle (10^{17}-1)/9}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 11111111111111111}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2071723\cdot 5363222357}$.^[1]

알고리즘.

입력: $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N$ 인수할 정수(Prime number 또는 완벽한 사각형) 및 작은 $승수{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k$

$출력{\displaystyle }$: N ${\displaystyle N$의 비교 계수.

알고리즘:

초기화 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \lfloor k\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{N}}$ ${\displaystyle \rfloor }$, Q ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ = k ${\displaystyle N}$- ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{\mathrm{}}^{}}$ . ${\displaystyle P_{0}=\\lfloor {\sqrt{kN}}\rfloor,Q_{0}=1,Q_{1}=kN-P_{0}^{0$}{2$}.$$}$

반복하다

${\displaystyle b_{i}=\left\lfloor {P_{0}+P_{i-1}{Q_}}\right\rfloor ,P_{i}=b_{i}}}}Q_{i}-P_{i-1},Q_{i+1}=Q_{i-1}+b_{i}(P_{i-1}-P_{i})}$

${\displaystyle {Qi}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$가 $어떤{\displaystyle }$ i + ${\displaystyle i+1}$에서도 $완벽$한 사각형이 될 때까지$.$

Initialize ${\displaystyle b_{0}=\left\lfloor {\frac {P_{0}-P_{i}}{\sqrt {Q_{i+1}}}}\right\rfloor ,P_{0}=b_{0}{\sqrt {Q_{i+1}}}+$$P_{i},Q_{0}={\sqrt {Q_{i+1}},$$Q_{1}={\frac {kN-P_{0}^{2}}:{Q_{0}}}}}}}}}}$

반복하다

${\displaystyle b_{i}=\left\lfloor {P_{0}+P_{i-1}{Q_}}\right\rfloor ,P_{i}=b_{i}}}}Q_{i}-P_{i-1},Q_{i+1}=Q_{i-1}+b_{i}(P_{i-1}-P_{i})}$

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$. ${\displaystyle P_{i}=P_{i-1}$까지.$}$

Then if ${\displaystyle f=\gcd(N,P_{i})}$ is not equal to ${\displaystyle 1}$ and not equal to ${\displaystyle N}$, then ${\displaystyle f}$ is a non-trivial factor of ${\displaystyle N}$. Otherwise try another value of ${\displaystyle k}$.

Shanks의 방법은 시간 $복잡성{\displaystyle }$ O${\displaystyle }$(${\displaystyle N\text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ $){\displaystyle$O$({\sqrt[{4}]{$$N$

Stephen S. McMath는 그 정확성에 대한 증거와 함께 샨크스 방법의 수학에 대한 보다 자세한 토론을 썼다.^[2]

예

Let $N{\displaystyle }$= ${\displaystyle 11111}$,${\displaystyle k}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle N=11111,k=1$}

사이클 포워드
$(\displaystyle i}$	${\displaystyle P_{i}}$	${\displaystyle Q_{i}}$	${\displaystyle b_{i}}$
${\displaystyle 0}$	$105번 화면표시$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle 67)$	$(\displaystyle 86)$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 87}$	$77번 전시실.$	${\displaystyle 2}$
$(\displaystyle 3}$	$97년식 디스플레이$	$(\displaystyle 46)$	$(\displaystyle 4}$
$(\displaystyle 4}$	$(\displaystyle 88)$	$(\displaystyle 37)$	$(\displaystyle 5)$
$(\displaystyle 5)$	$(\displaystyle 94}$	$(\displaystyle 91}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 6}$		$(\displaystyle 25)$

여기서 $Q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle Q_{6}=25}$는 완벽한 사각형이다.

역주기
$(\displaystyle i}$	${\displaystyle P_{i}}$	${\displaystyle Q_{i}}$	${\displaystyle b_{i}}$
${\displaystyle 0}$	$104번 화면표시$	$(\displaystyle 5)$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle 73)$	$(\displaystyle 59)$	$(\displaystyle 3}$
${\displaystyle 2}$	$(\displaystyle 25)$	$98년식 디스플레이$	${\displaystyle 1}$
$(\displaystyle 3}$	$(\displaystyle 82}$	${\displaystyle 107}$	${\displaystyle 1}$
$(\displaystyle 4}$	$(\displaystyle 82}$	$(\displaystyle 41}$	$(\displaystyle 4}$

여기 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 82}$ ${\displaystyle P_{3}=P_{4}=82}$.

${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$(${\displaystyle 11111,}$ ${\displaystyle 82}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 41}$ ${\displaystyle gcd (11111,82)=41$ ${\displaystyle 11111}$ ${\displaystyle 11111}$의 인수$.$

$따라서{\displaystyle }$ N${\displaystyle }$= ${\displaystyle 11111}$= ${\displaystyle 41}$⋅ ${\displaystyle 271}$ ${\displaystyle N=11111=41\cdot 271}$

구현 예

다음은 과도 연산의 오버플로 없이 64비트 이하의 부호 없는 정수에 대해 SUFOF 인자화를 수행하는 C 함수의 예다.^{[citation needed]}

#include <내형.h> #new nelems(x) (sizeof(x) / sizeof(x)[0]))  경솔하게 굴다 인트로 곱셈을 하다[] = {1, 3, 5, 7, 11, 3*5, 3*7, 3*11, 5*7, 5*11, 7*11, 3*5*7, 3*5*11, 3*7*11, 5*7*11, 3*5*7*11};  uint64_t 스쿼포프( uint64_t N ) {     uint64_t D, 포, P, 프프레프, Q, 큐프레프, q, b, r, s;     uint32_t L, B, i;     s = (uint64_t)(sqrtl(N)+0.5);     만일 (s*s == N) 돌아오다 s;     을 위해 (인트로 k = 0; k < 네임즈(곱셈을 하다) && N <= UINT64_MAX/곱셈을 하다[k]; k++) {         D = 곱셈을 하다[k]*N;         포 = 프프레프 = P = sqrtl(D);         큐프레프 = 1;         Q = D - 포*포;         L = 2 * sqrtl( 2*s );         B = 3 * L;         을 위해 (i = 2 ; i < B ; i++) {             b = (uint64_t)((포 + P)/Q);             P = b*Q - P;             q = Q;             Q = 큐프레프 + b*(프프레프 - P);             r = (uint64_t)(sqrtl(Q)+0.5);             만일 (!(i & 1) && r*r == Q) 부숴뜨리다;             큐프레프 = q;             프프레프 = P;         };         만일 (i >= B) 계속하다;         b = (uint64_t)((포 - P)/r);         프프레프 = P = b*r + P;         큐프레프 = r;         Q = (D - 프프레프*프프레프)/큐프레프;         i = 0;         하다 {             b = (uint64_t)((포 + P)/Q);             프프레프 = P;             P = b*Q - P;             q = Q;             Q = 큐프레프 + b*(프프레프 - P);             큐프레프 = q;             i++;         } 하는 동안에 (P != 프프레프);         r = gcd(N, 큐프레프);         만일 (r != 1 && r != N) 돌아오다 r;     }     돌아오다 0; } 

참조

• D. A. Buell (1989). Binary Quadratic Forms. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97037-1.
• D. M. Bressoud (1989). Factorisation and Primality Testing. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97040-1.
• Riesel, Hans (1994). Prime numbers and computer methods for factorization (2nd ed.). Birkhauser. ISBN 0-8176-3743-5.
• Samuel S. Wagstaff, Jr. (2013). The Joy of Factoring. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 163–168. ISBN 978-1-4704-1048-3.

외부 링크

• Daniel Shanks: 인자화 지속분수법의 분석과 개선 (S에 의해 번역됨)McMath 2004)
• Daniel Shanks: SUFOF Notes, (S에 의해 번역됨)McMath 2004)
• Stephen S. McMath: 2차 형태를 사용한 병렬 정수 인자화, 2005
• S. 맥매트, F. 크랩베, D.Joyner: 연속 분수 및 병렬 SUTFOF, 2005
• Jason Gower, Samuel Wagstaff: 스퀘어 폼 팩터화(발표)
• Shanks의 SQFOF 인수 알고리즘
• 자바 수학적 분석