쇤하게-스트라센 알고리즘

쇤하게-스트라센 알고리즘은 큰 정수에 대한 점근적으로 빠른 곱셈 알고리즘으로, 아놀드 쇤하게와 볼커 스트라센이 1971년에 ^[1]발표했습니다.정수 모듈로ⁿ 2+1 위에 고속 푸리에 변환(FFT)을 재귀적으로 적용하여 작동합니다.알고리즘을 사용하여 두 개의 n자리 숫자를 곱하는 런타임 비트 복잡도는 큰 O 표기법에서 O${\displaystyle (n}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ ⋅ log ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \log }$ ⁡${\displaystyle n}$) \$displaystyle$ O$(n\cdot \log$ n\log $\log$ n$)$입니다.

쇤하게-스트라센 알고리즘은 1971년부터 2007년까지 알려진 점근적으로 가장 빠른 곱셈 방법이었습니다.Karatsuba 및 Toom-Cook 곱셈과 같은 오래된 방법보다 점근적으로 더 빠르며, 약 10,000 ~ 100,000개의 ^[2]소수 자릿수를 초과하는 숫자에 대해 실제로 그것들을 능가하기 시작합니다.2007년, 마틴 퓌러는 더 빠른 점근 ^[3]복잡성을 가진 알고리즘을 발표했습니다.2019년에 데이비드 하비와 조리스 반 데어 호븐은 다자리 곱셈이 $이론적$으로${\displaystyle }$O(${\displaystyle \mathrm{nlog}}$ n$){displaystyle$ O$(n\log$ n$)}$ 복잡성을$$ 가지고 있음을 증명했지만, 그들의 알고리듬은 상상할 수 있는 실제 문제에 대해 불가능하게 느리게 만드는 일정한 요인을 가지고 있습니다(은하 ^[4]알고리듬 참조).

쇤하게-스트라센 알고리즘의 응용은 대인터넷 메르센 프라임 검색 및 π의 근사와 같은 자체를 위해 수행된 대규모 계산뿐만 아니라 다항식 곱셈을 정수 곱셈으로 줄이는 크로네커 치환을 통한 렌스트라 타원 곡선 인수분해와 같은 실용적인 응용을 포함한다.[5][5][6]

묘사

기저 B의 모든 숫자는 다항식으로 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle X=\sum _{i=0}^{N}{x_{i}B^{i}}}$

또한, 두 숫자의 곱은 두 다항식의 곱으로 생각할 수 있습니다.

${\displaystyle XY=\left(\sum _{i=0}^{N}{x_{i}B^{i}}\right)\left(\sum _{j=0}^{N}{y_{i}B^{j}}\right)}$

왜냐하면, ${\displaystyle {Bk}^{}}${\$displaystyle$ B$^{k$ ${\displaystyle {ck}_{}\underset{}{=}\underset{}{\overset{}{}}}$ ($i$ )${\displaystyle \underset{}{}}$:${\displaystyle \underset{}{i}}$ + ${\displaystyle \underset{}{j}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{ka}}}}$ ${\displaystyle b_{}}$ j $=$ ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_k}$ -$$ { \ $displaystyle c_${k}=\$sum _(i,$j):i$+j=k}{a_{i}^{k}=\sum$_{$i_{i_${b$}k$i_i}$i}$i-i_i-i-i-i의 경우,

NTT가 ^[7]아닌 원래 버전에서 사용되는 FFT(Fast Fourier Transform)를 컨볼루션 규칙과 함께 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

$a$$={f}}(a)\hat{f}(b)}$을$($를) 반환합니다.

$즉{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {Ck}_{}}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {bk}_{}}${\$displaystyle C_{k$}=$a_{k}\bullet b_{k$ $여기$서 ${\displaystyle {Ck}_{}}$ ${{$는 푸리에 공간의 해당 계수입니다.이는 fft(a * b) = fft(a) ● fft(b)로도 쓸 수 있습니다.

푸리에 변환에서 선형성으로 인해 계수가 동일하며, 이러한 다항식은 계수당 하나의 고유 항으로만 구성되기 때문입니다.

$=$$^{n}\colon ^{(n$$)}}$ 및

$표시(\style{hat {f})(a\,X(\xi)+b\,Y(\xi)=a\,{\hat {X}(\xi)+b\,{\hat {Y}(\xi)}$

컨볼루션 규칙: $f{\displaystyle \stackrel{}{}^}$ (${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ast }$Y )$=$ ${\displaystyle f\stackrel{}{}\stackrel{}{}^}$ (${\displaystyle X)\stackrel{}{}^}$ ($)$ {\$displaystyle {{hat$ {$f}}(X*Y)=\{hat {f}(X)\bullet {hat {f}(Y)}$

우리는 FFT를 통해 컨볼루션 문제를 제품 문제로 낮췄습니다.

ifft(다항 보간)를 찾아 각 $({$에 대해 원하는 계수를 얻습니다.

알고리즘은 분할 및 정복 전략을 사용하여 문제를 하위 문제로 분할합니다.

모드 N에서의 콘볼루션

${\displaystyle {ck}_{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sum _{}}$ (${\displaystyle \underset{}{i}}$,${\displaystyle \underset{}{j}}$) :${\displaystyle \underset{}{i}}$ + ${\displaystyle \underset{}{j}}$ $≡$ ( ${\displaystyle \underset{}{mod}}$N (${\displaystyle \underset{}{n}}$) ${\displaystyle \underset{}{a}{}_{}}$ $i b$ j$$j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j$\{\backslash$ $display{n$$$$$( n ) }{$a$_ {$i}b$ $}{$$a$ + $1$$$} $여기$서${\displaystyle }$$N{\displaystyle }$(${\displaystyle }$n ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 2^{}}$ + ${\displaystyle 1}$ ( n ( $n$ ) N$=$ 2 + 1$$($N$} N – N = 1 ( ${\displaystyle N^{}}$ $nh$ ) N { 2 ( ) N$2$ $2$$)$

다음을 허용:

${\displaystyle a_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle =}$ $θ$ ii $ai$ i$({${i$}'=\$theta $^{i}a_{$i$$}} ${\displaystyle {및}_{}^{}}$ b${\displaystyle {}_{}^{}}$j' $=$ $\theta {\displaystyle {}^{}}$ jbj$($ b_${j$}'=\$theta$$^{j$$}b_$${$$j$ 여기서 ${\displaystyle {\theta }^{}}$ N$$ $-1$은 n번째$$ 루트입니다.

하나는 ^[8]다음과 같습니다.

${\displaystyle C_{k}=\sum _{(i,j):i+j=k\equiv {N(n)}}{a_{i}b_{j}}=\theta^{-k}\sum {(i,j):i+j\equiv kpmod {N(n)}}{a_{i}_{i}_b_{j}=\left}_j(i}_j(i}_j(i){j(i){i}{j(i}{i){j(i}=}$

◦ - k ( ∑ ( i, j ) : i + j = ka b j k + ∑ ( i, j ) : i + j = ka b j + θ n ( i ) : i + j + = ka b j + ∑ ( i , j ) : i + j + = k + ∑ i b \ display \ the ta ^ - k \ left ( \ sum _ j _ j _ j _ j _ j _ j _ j _ j _ j _ j _ i _ i _ j _ j _ j _ i } ) : i θ ) : i _ j _ j _ j _$i,j):i+j=k+n}{a_{i}b_{j$

즉, 가중치 $\theta {\displaystyle {}^{}}$ i$({$를 사용한 다음${\displaystyle {}^{}}$θ - $($를 곱할 수 있습니다.

가중치를 사용하는 대신, 재귀의 첫 단계($=$ {{$displaystyle$$$n $=$$N$ $$= N }인 ${\displaystyle {경우}^{}}$)에서 θ ${\displaystyle \mathrm{N}}$ - 1 {displaystyle \$theta ^{N$}--$1$로 인해 다음을 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle C_{k}=\sum _{(i,j):i+j\equiv k{n(N)}}}=\sum _{(i,j):i+j=k}{a_{i}b_{j}-\sum _{i,j}:i+n}{a_{i}b_{j}}}$

복소수에서 작동하는 일반 FFT에서는 다음을 사용합니다.

$${\displaystyle \exp \lefts\frac {2k\pi}{n}\right)=\cos \frac {2k\pi}{n}+i\sin {frac {2k\pi},\qqquad k=0,1,\dispi,n-1}$$

$\"표시 스타일 C_{k}=\theta ^{-k}\left(\sum _{(i,j):i+j=k}{a_{i}b+n}{a_{i}b_{j}\theta ^{n+k\right)=e^{i\pi\n}\left(i}k/i){i}{i}{i}k_{i}(i}k/i}(i){i}k}{i}k}k}k/i)={i}(i}(i}k$

그러나 FFT는 Schönhage-Strassen에서 NTT(숫자 이론 변환)로도 사용할 수 있습니다.이는 유한한 필드에서 숫자를 생성하는 π를 사용해야 한다는 것을 의미합니다(${\displaystyle \mathrm{예}}$: GF ${\displaystyle (2^{}}$n +${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ \$mathrm {GF}$ ($2^{n}$ + $1)).$

유한 필드 GF(r) 아래의 단일성의 근은${\displaystyle {}^{}}$$\theta {\displaystyle {}^{}}$ - 1$$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1}$ {\$displaystyle$ \$theta$^{$r-1}\equiv$ 1$}$ 또는$$ ${\displaystyle \theta }${\$displaystyle \theta ^{r}\equiv \theta$와 같은 요소입니다. 예를 들어, p는 ${\displaystyle \mathrm{소수}}$이며$,$ {$1$ ${\displaystyle .,}$ 2, ..., p${\displaystyle \}}$입니다$.$

${\displaystyle \mathrm{GF}(2^{}}$n +$)의$$$${\displaystyle 2^{}}$ n ${\displaystyle \equiv }$ -$$ {\ $displaystyle 2$$^{n}\$$equiv$ -$$1$$ }과${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$$($${\displaystyle 2^{}}$n${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 2}$ + 1 )의 2${\displaystyle }$≡$$- ${\displaystyle 1}$ \ $displaystyle$ \$mathrt$ {2$}\equiv$- 1 ($2$$n$+ 2 + 1 )의$2$style - 1은 스타일 \$mathrt {GF}(2$+ 1$)$을 표시합니다.이러한 후보들의 경우, ${\displaystyle {\theta }^{}}$ N${\displaystyle {}^{}\equiv }$ -$$은 유한 필드 아래에서 $\theta ^{N}\equiv$-1을$$ $표시$하므로 우리가 원하는 대로 행동합니다.

그러나 π가 유한 필드의 단일성 루트인 한 동일한 FFT 알고리즘을 사용할 수 있습니다.

FFT/NTT 변환을 찾기 위해 다음을 수행합니다.

${\displaystyle C_{k}'={f}(k)={f}(k)}={f}}\left(\theta ^{-k}\left(\sum _{i}b_{j}\theta ^{k}}+\sum_{(i,j):i+n}:i+\theta ^{n}{n}\right)\right)\right)$

${\displaystyle C_{k+k}'={f}(k+k)={f}}\left(\sum _{(i,j):i+j=2k}{a_{i}b_{j}\theta ^{k}+\sum_{(i,j):i+2k}{a_{i}\theta =n+k}\right)$

${\displaystyle = sysm {f}\left(\sum _{(i,j):i+j=2k}{a_{i}b_{k}}\sum _{(i,j):i+j=2k+n}{a_{i}b_{j}\theta ^{n+k}}}\right)=hat {f}}\left(A_{k\leftarrow k}\right)\left{hat {f}(B_{k\leftarrow k+n})+{\hat {f}(A_{k\leftarrow k+n})\hat {f}(B_{k\leftarrow k+n})$

첫 번째 제품은 각 k에 대해 ${$에 기여합니다.둘째는 (${\displaystyle i}$+${\displaystyle j}$ ) ${\$ $displaystyle (i+j)}$ $mod$ N (${\displaystyle n}$)$${\ $displaystyle$ N$(n))$으로${\displaystyle }$인해 ${\displaystyle {ck}_{}}$ ${\$ $displaystyle c_{k$에 기여합니다$.$

반대로 하는 방법:

${\displaystyle {}_{}}$$Ck{\displaystyle {}_{}}$ $=$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{-}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{1^{}}^}$ (${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle k^{}{\mathrm{Ck}}_{}^{}}$ + k${\displaystyle \text{'}}$) {{\$displaystyle C_{k}=2$$^{-m}{\$hat {f$^{-1$}}}(\$theta ^{-$${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$$}C_${k+${\displaystyle k\stackrel{}{{}^{\})}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{\mathrm{또는}}^{}}}$ Ck =${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$f - 1 ${\displaystyle ^}$ ($σ$ ${\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle K_{}^{}}$+$'$ ) {$styledisplaystyle$ C_${k$ + k $^{1}(\ta ^{k$}(\$ta$ ^{k$})$^{k})}({k}({$k}$

fftone이 정규화 데이터를 사용하는지 여부에 따라 달라집니다.

1에 2${\displaystyle {}^{}}$-$m$를 곱하여 fft 데이터를 특정 범위로 정규화합니다. $여기$서 ${\displaystyle \frac{1}{}}$ n ${\displaystyle \equiv {}^{\mathrm{}}}$ -$$ \ $displaystyle {frac {1}{$n$}\$$equiv$ $2^{-m}$ $mod{\displaystyle }$N (${\displaystyle n}$) {\ $displaystyle$ N$(n$ 여기서 m은 모듈식 곱셈 역수를 사용하여 발견됩니다.

구현내역

모드 N에서 N^M = 2 + 1인 이유

쇤하게-스트라센 알고리즘에서, $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$M + ${\displaystyle 1}$ ${{displaystyle$ N=$2^{M}+1$0${\displaystyle }$≤ ${\displaystyle \text{인덱스}}$≤ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle M^{}}$ $=$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^i}$ +$$ {\$displaystyle$ 0$\leq {text{index}\leq$ 2$^{M$}= $2^{i+j$의 값을 갖는 이진 트리라고 생각해야 합니다.K ${\displaystyle \in }$ [ ${\displaystyle 0,M}$] {{$displaystyle$ K$\in$ [$0, M$을(를)$$$허용$하면 각 K에 대해 모든${\displaystyle i}$+ ${\displaystyle j}$${\displaystyle }$$=$ {\$displaystyle i+j=$$K$ 쌍을 M개의 다른 그룹으로 그룹화할 수 있습니다.i${\displaystyle }$+ $=$ \ $displaystyle$i + j =$k$ 를 사용하여$$ ($,$ ) \ $displaystyle (i, j)$ 쌍을$$ 컨볼루션을 통해${\displaystyle }$그룹화하는 $것$은 ^[9]알고리즘에서 고전적인 문제입니다.예를 들어, 총소득과 나는 소득과 j여성 소득이라고 가정합니다. 컨볼루션을 사용하면 원하는 총소득을 기준으로 ($,$ j$displaystyle (i,j)}$을(를) K 그룹으로 그룹화할 수 있습니다.

이를 염두에 $두고{\displaystyle }$ N${\displaystyle }$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}{M}^{}}$ + ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ N = $2^{$$M}+$$1$은$$깊이$$ k의 각 하위 작업 그룹에 대해 ($i,$ $)$ {\$displaystyle (i,$j)}을(를) M ${\displaystyle \frac{2^{}}{}}$ k$($$N =$ 2 ${\displaystyle {\frac{{\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{2^{}}{}}^{}}$+ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ {$M}})$ 그룹으로${\displaystyle }$그룹화하는 데 도움이 됩니다.

일부 L의 경우 N $=$ ${\displaystyle 2^{}}$M + ${\displaystyle 1}$ = ${\displaystyle {{22}^{}}^{}}$L +$$ {{$displaystyle$ N =$2^{M}$ + 1 = $2^{2^{L}}$ + $1$에 주목합니다.이건 페르마 번호야$모드{\displaystyle }$ N $=$ ${\displaystyle {}^{}{M}^{}}$ + ${\displaystyle 1}$ = ${\displaystyle {{22}^{}}^{}}$L +$$ {{$displaystyle$ N =$2^{M}$ + 1 = $2^{2^{L}}+1$을 수행할 때, 우리는 페르마 고리라고 불리는 것을 가지고 있습니다.

일부 페르마 수는 페르마 소수이기 때문에 경우에 따라 계산을 피할 수 있습니다.

물론 동일한 소수 이점으로 사용할 수 있는 다른 N이 있습니다.N $=$ ${\displaystyle {}^{}{k}^{}}$ -$$ {\$displaystyle N$$$= $2^{k}-1$을${\displaystyle \mathrm{허용}}$하면$$k + 1 {\$displaystyle$ k$$+$1}$의 이진수로 최대 수를 갖게 됩니다.${\displaystyle N}$ $=$ ${\displaystyle {}^{}{k}^{}}$ -$$ {{$displaystyle$ N = $2^{k}-1}$은 메르센 수이며, 어떤 경우에는 메르센 소수입니다.페르마 $수{\displaystyle }$ N $=$ ${\displaystyle {{22}^{}}^{}}$L +$$ {$displaystyle$ N = $2^{2^{L}}+1}$에 대한 자연 후보입니다.

다른 N을 찾아서

다른 N에 대해 여러 가지 모드 계산을 수행하면 정수 곱을 해결하는 데 도움이 될 수 있습니다.중국의 나머지 정리를 사용하여, M을 더 작은 다른 유형의 N으로 나눈 후, 곱셈 xy의 답을 찾을 수 있습니다.

페르마 수와 메르센 수는 일반화된 페르마 메르센 수(GSM)라고 불리는 두 가지 유형의 수에 불과합니다.^[11]

${\displaystyle G_{q,p,n}=\sum _{i=1}^{p}q^{(p-i)n}={qfrac {q^{pn}-1}}}$

${\displaystyle M_{p,n}=G_{2,p,n}}$

이 $공식$에서, ${\displaystyle {M2\mathrm{},}_{}}$ $({$ M_{2,$2^{k}})$는 페르마 수이고, ${\displaystyle {Mp,}_{}}$ $({$$}})$은 메르센 수이다.

이 공식은 CRT(중국어 정지 정리)^[12]에서 사용할 수 있는 방정식 집합을 생성하는 데 사용할 수 있습니다.

${\displaystyle g^{\frac{}{}}}$(${\displaystyle {\frac{{Mp,}_{}{n}_{}}{}}^{}}$ -${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ) $≡$ -${\displaystyle }$1 (${\displaystyle mod{}_{}}$ ${\displaystyle {Mp,}_{}{n}_{}}$) {\$displaystyle$ g$^{\$$frac$$${($M_{p,n}-1)}{2$}\$equiv$ $-1 {\pmod$$${$M_{$$p,$n$\}\},$ 여기서 ${\displaystyle g^{}}$는 x 2$µg$ ${\displaystyle {\mathrm{Mp}}_{}}$ n$)$이 존재하는 수이 ${{N}, n$$= 2$$\}$라고 $가정$합니다.

$또한{\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {g2{\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{(p}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{-1}^{}}^{}}$)${\displaystyle {{}^{}}^{}}$n - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2{\mathrm{}}^{}{n}^{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle mod{}_{}}$ ${\displaystyle {Mp,}_{}{n}_{}}$) \$displaystyle$ g$^{2^{(p-1)n}-1}\equiv$ a$^{2$$^{$$n}-1}{\pmod {M_{p,n$ 여기서 a는 ${1,$ $,$.$}$에서 ${\displaystyle {원소}^{}}$를${\displaystyle }$생성하는 $원소입니다.$

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$t {{$displaystyle$ N = $2^{t$이고, $여기$서 1${\displaystyle \le }$ {\$displaystyle$ 1$\leq$t\$leq$ n$\}$이면 ${\displaystyle {}^{}}$ $=$a (${\displaystyle {2^{}}^{}}$n -${\displaystyle 1^{}}$ ) ${\displaystyle {2^{}}^{}}$n - ${\displaystyle {t^{}}^{}}${\$displaystyle g_{t$}=$a^{(2^{n}-1)2^{n-t}}}}}}$입니다$.$

특정 N에 대해 K를 선택하는 방법

다음 공식은 ^[13]효율성을 계산하여 주어진 비트 크기 N에서 적절한 K(N비트를 분할할 그룹 수)를 찾는 데 도움이 됩니다.

${\displaystyle E}$ $=$ ${\displaystyle \frac{\frac{2}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\frac{}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{+}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$$displaystyle$ E=$displayfrac {{\frac {2N}{K}+k}{n}}$ $N$은 최외곽 수준에서 비트 크기(${\displaystyle 2^{}}$N +$$ ${{N}+1$에 사용되는 $크기{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$)입니다.K는 ${\displaystyle \frac{\mathrm{NK}}{}}$에$${\$displaystyle${{$N}{K}}$개의$$ 비트 그룹을 $제공$하며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$서 K =$2k({$k$\})$입니다.

n은 2${\displaystyle N}$/${\displaystyle K}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$ $=$ ${\displaystyle {K2}^{}}$x {{$N/K+k\leq$ n=$K2^{x}}$와 같이 가장 작은 x를 찾아 N, K, k를 통해 발견됩니다.

만약 효율이 $50{\displaystyle \frac{}{}}$% 이상이라고 가정한다면, ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$≤ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{NK},}$ $≤$ n {\$displaystyle {frac {n}{2}}\leq,$ K$\leq$n은$$ 나머지 공식에 비해 매우 작습니다.

${\displaystyle K\leq 2{\sqrt {N}}}$

이는 다음을 의미합니다.어떤 것이 매우 효과적일 때; K는 $($ 2${\sqrt {N}})$ 또는$$ 점근적으로 N$($스타일 {\$sqrt {N}})$에 $의해{\displaystyle \sqrt{}}$ 결합됩니다.

의사코드

알고리즘에 따라 표준 모듈러 쇤하게-스트라센 곱셈 알고리즘(일부 최적화 포함)은 다음을 통해 확인할 수 있습니다.

• T3MUL = Tom-Cook 곱셈
• SMUL = 쇤하게-스트라센 곱셈
• = FFT/IFFT 평가

추가 연구

구현에 대한 자세한 내용은 소수: 컴퓨터 ^[15]관점이라는 책을 읽을 수 있습니다.이 변형은 이산 가중 변환을 활용하여 네거티브 순환 컨볼루션을 더 효율적으로 수행한다는 점에서 Schönhage의 원래 방법과 다소 다릅니다.자세한 정보를 제공하는 또 다른 출처는 Knuth의 컴퓨터 프로그래밍 ^[16]기술입니다.

최적화

이 섹션에서는 Schönhage-Strassen을 구현할 때 여러 가지 중요한 실제 최적화에 대해 설명합니다.

다른 곱셈 알고리즘의 사용, 내부 알고리즘

특정 컷오프 지점 아래에서는 Tom-Cook ^[17]곱셈과 같은 다른 곱셈 알고리즘을 사용하는 것이 더 효율적입니다.

2 트릭의 제곱근

이 개념은 유한 필드 GF(2n + 2 + 1)에서 2차 n + 2차 2^{n + 2}(2^{n + 2})의 일치의 루트로 2{\displaystyle \mathrm {GF}(2^{n + 2} + 1)를 사용하는 것이다. (이것은 2 n + 2 + 2 + 1) (2 + 2 + 2 + 2 + 1) 디스플레이 스타일의 해법이다,NTT(숫자 이론 변환)의 가중치 값이 평가될 때.정수 곱셈 ^[18]시간을 10% 절약하는 것으로 나타났습니다.

그랜런드의 속임수

$m{\displaystyle }$ $=$ + $({displaystyle$ m=$N+h$ ${\displaystyle uvmod{\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}{N}^{}}$ +$$({$displaystyle$uv${\$$bmod {2^{N}+1}})$${\displaystyle }$및$$ (${\displaystyle {umod\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}{}^{}}$h$)$ {\$displaystyle (uvmod {2^{h}})}($vmod 2$).$ CRT(${\displaystyle \mathrm{중국}}$ 잔류 $정리)$와 $조합$하여 정확한 자외선 곱셈 값을^[19] 구할 수 있습니다.

레퍼런스