골든 스파이럴

황금나선은 자기와 비슷하다.확대하면 모양이 무한히 반복됩니다.

기하학에서 황금나선은 성장인자가 황금비인 ^[1] $θ$ 인 로그나선이다.즉, 황금나선은 1/4바퀴를 돌 때마다 $θ$ 의 배수로 넓어진다(또는 원점에서 멀리 떨어져 있다).

금나선의 근사치

근사하고 참된 금나선은: 녹색 나선은 각 사각형 내부에 접하는 4분의 1 원으로 만들어진 반면, 빨간색 나선은 특수 유형의 로그 나선은 금나선입니다.겹치는 부분은 노란색으로 표시됩니다.큰 정사각형의 변과 작은 정사각형의 다음 변의 길이는 황금비율이다.변 길이가 1인 정사각형의 경우 다음 작은 정사각형의 너비는 1/µ입니다.다음 폭은 1/µ², 그 다음 1/µ² 등입니다.

금나선에 ^[2]가깝지만 정확히 동일하지는 않은 유사한 나선은선이 몇 개 있습니다.

예를 들어 길이와 폭의 비율이 황금비인 직사각형부터 시작하여 황금나선을 근사할 수 있다.그런 다음 이 직사각형을 정사각형과 유사한 직사각형으로 분할하고 이 직사각형을 동일한 방식으로 분할할 수 있습니다.이 프로세스를 임의의 수의 스텝으로 계속하면 직사각형을 정사각형으로 거의 완전히 분할할 수 있습니다.이 정사각형의 모서리는 4분의 1 원으로 연결될 수 있습니다.그 결과는 실제 로그 나선은 아니지만 황금나선에 ^[2]근접합니다.

또 다른 근사치는 약간 다르게 구성된 피보나치 나선형입니다.피보나치 완화곡선은 정사각형 두 개로 분할된 직사각형으로 시작합니다.각 단계에서 직사각형의 가장 긴 변의 길이의 정사각형이 직사각형에 추가됩니다.피보나치 수가 무한대에 가까워질수록 연속되는 피보나치 수 간의 비율이 황금 비율에 가까워지기 때문에, 이 나선형도 이미지에 나타나듯이 더 많은 제곱이 추가될수록 이전의 근사치와 더 비슷해집니다.

자연의 나선형

대략적인 로그 나선은하는 자연에서 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 금나선은하는 이러한^[3] 로그 나선은하의 특별한 경우 중 하나이지만, 이러한 경우에 대한 일반적인 경향이 있다는 증거는 없습니다.엽록성은 연속된 잎이나 꽃잎이 황금 각도로 분리되는 것을 포함하기 때문에 황금 비율과 관련이 있습니다. 또한 나선형의 출현을 초래하지만, 그 중 어느 것도 (필요한) 금나선은 아닙니다.때때로 나선은하와 노틸러스 껍데기는 황금나선의 패턴으로 더 넓어지며, 따라서 $θ$ 와 피보나치 ^[4]계열과 관련이 있다고 언급된다.사실, 노틸러스 껍질을 포함한 많은 연체동물 껍데기는 로그 나선 성장을 보이지만, 다양한 각도에서 보통 황금 나선과는 ^[5]^[6]^[7]확연히 다릅니다.이 패턴은 유기체가 ^{[citation needed]}모양을 바꾸지 않고 자랄 수 있게 해준다.나선은하는 종종 로그 나선은하, 아르키메데스 나선은하 또는 쌍곡선 나선은하로 모형화되었지만, 그 피치각은 (이 각도가 변하지 않는) 로그 나선은하와 달리 은하 중심으로부터의 거리에 따라 변화하며,^[8] 그것들을 모형화하는 데 사용되는 다른 수학적 나선은하와도 상충됩니다.

수학

피보나치 나선은 피보나치 수열에서 파생된 정사각형에 새겨진 1/4 원호를 사용하여 황금나선에 근사합니다.

초기 반지름이 1인 황금나선은 다음을 만족하는 $(r,\theta )$ 극좌표 $(r,\theta )$ 의 $(r,\theta )$ 궤적(r , $θ )입니다.$

r=\varphi ^{2\theta /\pi }

금나선의 극방정식은 다른 로그나선의 극방정식과 동일하지만 $성장인자$ ^[9]b의 특별한 값이 있습니다.

r=ae^{b\theta}

또는

\theta = specfrac {1}{b}}\ln(r/a),

e

는 자연 로그의

기초

이고 a는 나선형의 초기

반지름

이며, b는 θ가 직각일 때(양쪽 방향으로 1/4 회전) 다음과 같다:

e^{b\theta_{\mathrm {right}}}=\varphi .

$따라서$ b는 다음과 같이 지정됩니다.

{\displaystyle b=\varphi} \over \theta _{\mathrm {right} } } 。

루카스 나선은 항이 클 때는 황금나선에 가깝지만 작을 때는 그렇지 않습니다. 2에서 76까지 10개의 항이 포함됩니다.

b의 $수치$ 는 직각이 90도인지 $(\$ $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ 에 $\textstyle\frac{\pi}{2}$ 따라 달라지며, 각도는 어느 방향으로도 가능하기 때문에b(\ $displaystyle$ b $)$ 의 절대값 공식을 쓰는 것이 가장 쉽다.e) :

\displaystyle b = displayln \ varphi \ over 90 \ doteq 0 . 0053468 }

θ

에 대해 도 또는

\displaystyle b = \over \pi /2} \doteq 0.3063489

라디안 ^[10]

in

의 경우.

로그 및 금나선의 대체 공식은 다음과 같습니다.^[11]

r=ac^{\theta}

여기

서 상수 c는 다음과 같이 지정됩니다.

c=e^{b}

금나선의 경우 c 값은

다음

과 같습니다.

c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611

θ

가 도 단위로 측정되는 경우

c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}}\doteq 1.358456

δ

가 라디안 ^[12]단위로 측정되는 경우.

대수나선은 인수에 속하는 4개의 $공선나선형점$ A, $B$ $,$ C, D에 대해 A, D, ie에 대한 B의 투영 고조파 공역(DC, D $)$ 이라는 구별 특성을 가진다.황금 완화곡선은 (A,D;B,C) = (A,D;C,B)인 유일한 로그 완화곡선입니다.

극지 경사

경사각 및 섹터의 정의

로그 나선형의 극방정식에서:

r=ae^{b\theta}

매개

변수 b는 극지

(\displaystyle

\alpha

)

와 관련이 있습니다.

\displaystyle \tan \alpha = b.

b ${\display style$ b $}$ 상수이고 $b$ b $|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}$ $|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}$ $|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}$ / 2 $|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}$ {\ $display style$ b = $ln {varphi }$ \ $over \pi /2$ } $|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}$ 인 $경우$ (위에서 정의한 라디안 $θ$ 의 경우) $\alpha$ {\ $displaystyle \alpha }$ 는 $\alpha$ 다음과 같습니다.

\displaystyle \alpha = \arctan ( b ) = \arctan \leftfiln \ln \varphi } \over \pi /2} \right ) }

그 때문에, 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle \alpha \doteq 17.03239113

도 단위로 측정하면, 또는

\displaystyle \alpha \doteq 0.2972713047

라디안으로 ^[13]측정되는 경우.

그 보각

\displaystyle \pi / 2 - \alpha \doteq 1.273525022

라디안 또는

\displaystyle \doteq = 90-\alpha \doteq 73)

도 단위, 금색 나선팔이 나선 중심에서 선으로 만드는 각도입니다.

「」를 참조해 주세요.

소용돌이 모양의 리투아니아 동전

레퍼런스

^ 장유성, "웨이백 머신에 보관된 2019-07-28 골든 스파이럴", 울프람 시연 프로젝트.
^ ^a ^b Madden, Charles B. (2005) [1999]. Fib and Phi in Music: The Golden Proportion Musical Form. High Art Press. pp. 14–16. ISBN 978-0967172767.
^ Midhat Gazale (1999). Gnomon: From Pharaohs to Fractals. Princeton University Press. p. 3. ISBN 9780691005140.
^ 예를 들어, 이 책들:CABoeyens(2009년).제1원리에서 화학.스프링거. 우편 261.아이 에스비엔 9781402085451., PD프레이(2011년).Identity의 Borderlines:심리학자의 개인 연구 개발.Xlibris 공사다.아이 에스비엔 9781465355850.[자비 출판한 소스], 러셀 하웰과 제임스 브래들리(2011년).수학 눈으로 본 페이스를 통해서.HarperCollins. 페이지의 주 162.아이 에스비엔 978-0062024473., 찰스 Seife(2000년).제로:바이오 그라피는 위험한 아이디어의.펭귄입니다. p. 40.아이 에스비엔 978-0140296471., 산드라 Kynes(2008년).바다 매직:오션의 에너지로 연결하는 중.Llewellyn 전 세계적으로. 페이지의 주 100. 아이 에스비엔 9780738713533., 브루스 버거(1998년).Esoteric 해부학:바디 의식.북 대서양 북스. 144p..아이 에스비엔 9781556432248.
^ David Darling (2004). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. John Wiley & Sons. p. 188. ISBN 9780471270478.
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^ Peterson, Ivars (2005-04-01). "Sea Shell Spirals". Science News. Society for Science & the Public.
^ Savchenko, S. S.; Reshetnikov, V. P. (September 2013). "Pitch angle variations in spiral galaxies". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 436 (2): 1074–1083. doi:10.1093/mnras/stt1627.
^ Priya Hemenway (2005). Divine Proportion: $Φ$ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A212225". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Klaus Mainzer (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. pp. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A212224". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A335605". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[1] 장유성, "웨이백 머신에 보관된 2019-07-28 골든 스파이럴", 울프람 시연 프로젝트.

[madden-2] Madden, Charles B. (2005) [1999]. Fib and Phi in Music: The Golden Proportion Musical Form. High Art Press. pp. 14–16. ISBN 978-0967172767.

[3] Midhat Gazale (1999). Gnomon: From Pharaohs to Fractals. Princeton University Press. p. 3. ISBN 9780691005140.

[4] 예를 들어, 이 책들:CABoeyens(2009년).제1원리에서 화학.스프링거. 우편 261.아이 에스비엔 9781402085451., PD프레이(2011년).Identity의 Borderlines:심리학자의 개인 연구 개발.Xlibris 공사다.아이 에스비엔 9781465355850.[자비 출판한 소스], 러셀 하웰과 제임스 브래들리(2011년).수학 눈으로 본 페이스를 통해서.HarperCollins. 페이지의 주 162.아이 에스비엔 978-0062024473., 찰스 Seife(2000년).제로:바이오 그라피는 위험한 아이디어의.펭귄입니다. p. 40.아이 에스비엔 978-0140296471., 산드라 Kynes(2008년).바다 매직:오션의 에너지로 연결하는 중.Llewellyn 전 세계적으로. 페이지의 주 100. 아이 에스비엔 9780738713533., 브루스 버거(1998년).Esoteric 해부학:바디 의식.북 대서양 북스. 144p..아이 에스비엔 9781556432248.

[5] David Darling (2004). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. John Wiley & Sons. p. 188. ISBN 9780471270478.

[6] Devlin, Keith (May 2007). "The myth that will not go away".

[7] Peterson, Ivars (2005-04-01). "Sea Shell Spirals". Science News. Society for Science & the Public.

[8] Savchenko, S. S.; Reshetnikov, V. P. (September 2013). "Pitch angle variations in spiral galaxies". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 436 (2): 1074–1083. doi:10.1093/mnras/stt1627.

[9] Priya Hemenway (2005). Divine Proportion: $Φ$ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7.

[10] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A212225". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[11] Klaus Mainzer (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. pp. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6.

[12] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A212224". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[13] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A335605". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

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