LF-공간

수학에서 LF-공간(LF)-공간 역시 쓰여진 LF-공간은 프레셰트 공간의 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, i ${\displaystyle n_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (X_{n}i_{nm}}}}}}$의 국소적으로 볼록한 귀납 한계인 위상 벡터 공간(TV) X이다.^[1]즉, X는 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간의 범주에서$$ 직접 시스템$({\displaystyle {Xn}_{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{in}}_{}}$ m$){\displaystyle (X_{n},i_{nm}})$의 직접적인 한계이며, 각 ${\displaystyle {Xn}_{}}$ ${\$은 프리셰트 공간이다.

각각의 본딩 맵 ${\displaystyle {in}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$이 TVs가 내장된 경우$$ LF-공간은 엄격한 LF-공간이라고 불린다.이는_n X by X에_n+1 의해 유도된 아공간 위상이 X의_n 원래 위상과 동일하다는 것을 의미한다.^[1][2]일부 저자(예: 쉐퍼)는 "LF-space"라는 용어를 "엄격한 LF-space"라는 뜻으로 정의하고 있으므로 수학 문헌을 읽을 때는 항상 LF-space가 어떻게 정의되는지를 확인하는 것이 좋다.

정의

유도/최종/직접 한계 위상

전체적으로, 라고 가정한다.

• ${\displaystyle \mathcal{C}}$ ${\$은(는) 위상학적 공간의 범주 또는 위상학적 벡터 공간(TV) 범주의 일부 하위 범주임.
  • 범주의 모든 물체가 대수 구조를 가지고 있다면, 모든 형태는 그 대수 구조에 대한 동형체라고 가정한다.
• 나는 연출되지 않은 세트다.
• X_• = ( X _{i ∈ I})는_i $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 개체군이며, 여기서$$ (X_i, τ_Xi)는 모든 인덱스 i의 위상학적 공간이다.
  • 잠재적인 혼동을 피하기 위해 τ은_Xi "초기 위상"이라는 용어는 이미 잘 알려진 정의를 가지고 있기_i 때문에 X의 "초기 위상"이라고 불러서는 안 된다.위상 τ은_Xi X 또는_i X의_i 주어진 위상에 있는 원래의 위상이라고 불린다.
• X는 집합이다($C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal{C}$의 물체도 대수$$ 구조를 갖는 경우, X는 필요한 대수 구조를 갖는다고 자동으로 가정한다).
• f_• = ( f_{i i ∈ I})는 각 지수 i에 대해 지도에 프로토타입_i f : (X_i, τ_Xi) → X가 있는 지도 계열이다. 범주의 모든 물체가 대수 구조를 가지고 있다면, 이 지도들은 또한 그 대수 구조에 대한 동형성으로 가정된다.

존재한다면, $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 콜리밋 또는 귀납적 위상이라고도 하며$,$ C ${\$로 표시되며, X에서 τ_f• 또는 τ로_f 표시된 최종 위상은 다음과 같이 X에서 가장 우수한 위상이다.

1. (X, τ_f)는 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ and
2. 모든 지수 i에 대해 지도 f_i : (X_i, τ_Xi) → (X, τ_f)는 C ${\$의 연속형 형태론이다$.$

위상학적 공간의 범주에서 최종 위상은 항상 존재하며, 더욱이 모든 지수 i에 대해_i^{- 1} f (U)가 (X_i, τ_Xi)에서 (resp. closed)인 경우에만 (X, τ_f)에 부분집합 U x X가 개방(resp. closed)된다.

그러나 (X, τ_Xf)이 원래의 범주(즉, 하우스도르프 위상 공간의 범주에 속함)에 속한다는 요건 때문에 최종 위상은 하우스도르프 위상 공간의 범주에 존재하지 않을 수 있다.^[3]

다이렉트 시스템

(I, ≤)이 지시 집합이고 모든 지수 i ≤ j에 대해 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 (연속) 형태론이 있다고 가정하자.

i = j = f가_i^j X의_i ID 맵이고 i ≤ j ≤ k이면 다음과 같은 호환성 조건이 충족된다.

이 말은 이 작문이

위의 조건이 충족되면 이러한 객체, 형태 및 인덱싱 세트의 집합에 의해 형성된 삼중수소

범주 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 I가 지시(또는 색인)하는$$ 직접 시스템으로 알려져 있다.인덱싱 세트 I는 지시된 세트이므로 직접 시스템이 지시되었다고 한다.^[4]맵 f는_i^j 시스템의 본딩, 연결 또는 링크 맵이라고 한다.

색인 집합 I을 이해하면 위의 튜플(즉, 기록되지 않음)에서 누락되는 경우가 많다. 지도가 이해되면 본딩 맵도 마찬가지다.어디"X•"사실은 지도와 색인 세트도 다른 곳(예를 들어 자연 비교 자료 같은 정준 유대감 형성 지도,)또는 다른 결합 지도 단지 존재하지만 필요는 없어. 그들에게 기호를 부여하기(예를 들어 결합 지도 있다고 가정한다 정의한 1타점 3루타를 나타내는 결과적으로, 자주 쓰여진"X• 직접적인 시스템"을 본다. not는 정리를 진술할 필요가 있다.

직접 시스템의 직접 한계

일반 귀납 시스템의 직접 한계 구축에 대해서는 직계 한계: 항목을 참조하십시오.

주입 시스템의 직접 한계

각각의 본딩 맵 $f{\displaystyle {}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$이(^[4]가) 주입된 경우 시스템을 주입이라고 한다.

만약_i X가 대수적 구조를 가지고 있다면, 예를 들어, 덧셈이라고 하자면, x, y x_i X와 같은 지수 i를 선택한 다음_i X의 덧셈 연산자를 사용하여 합을 정의한다.그것은

여기서 +_i는 X의_i 추가 연산자다.이 합은 선택된 지수 i와 무관하다.

국소볼록 위상 벡터 공간의 범주에서 국소볼록스 공간의 주입유도한계 X의 직접 한계 X의 위상은 모든 지수 i에 대해_i U x_i X가 0의 절대볼록 인접인 경우에만 0의 인접이라고 명시함으로써 설명할 수 있다.^[4]

상단 직접 한계

지시된 직접 시스템의 직접적인 한계는 항상 세트, 위상학적 공간, 그룹 및 로컬 볼록한 TVS의 범주에 존재한다.위상학적 공간의 범주에서 모든 본딩 맵 f가_i^j 주입(resp. exjective, bivjective, homeomorphism, topological embedding, indexient map)이라면 모든_i f : X_i → X도 마찬가지다.^[3]

직접 한계 문제

위상학적 공간, 위상학적 벡터 공간(TVs), 하우스도르프 지역 볼록 TVS 범주의 직접적인 한계는 "잘못된 행동"이다.^[4]예를 들어, 국소적으로 볼록한 핵 프레셰 공간의 시퀀스(즉, 자연수에 의해 지수화됨)의 직접 한계는 하우스도르프(Hausdorff TVS의 범주에 직접 한계가 존재하지 않는 경우)가 되지 않을 수 있다.이러한 이유로 기능 분석에서는 대개 특정한 "잘 행동된" 직접 시스템만 연구된다.그러한 시스템에는 LF 스페이스가 포함된다.^[4]그러나 자연적인 분석 질문에서 국소적으로 볼록한 유도 한계가 발생한다.^[4]

엄격한 귀납 한계

각 본딩 맵 $f{\displaystyle {}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$이(가) 적절한 벡터 서브스페이스에 내장되어 있고$$ 시스템이 자연적인 순서와 함께$$ $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 의해 지시되는 경우, 결과 한계는 엄격한 (카운트 가능한) 직접 한계라고 불린다.그러한 상황에서 우리는 각 X가_i X의_i+1 벡터 서브공간이고 X에_i+1 의해 X에_i 의해 유도된 서브공간 위상이 X의_i 원래 위상과 동일하다고 일반성을 상실하지 않고 가정할 수 있다.^[1]

국소 볼록한 위상 벡터 공간의 범주에서, Frechet 공간 X의 엄격한 귀납 한계 위상은 U topology X가_n 매 n에 대해 0의 절대_n 볼록한 이웃인 경우에만 절대 볼록 부분 U가 0의 이웃임을 명시함으로써 설명할 수 있다.

특성.

선천적(resp. barrelted, 준-barrelted) 공간의 로컬 볼록 TVS 범주에 있는 귀납적 한계는 동일한 속성을 가진다.^[5]

LF-스페이스

모든 LF-공간은 그 자체의 미미한 부분집합이다.^[6]일련의 완전한 국소 볼록한 공간(예: 프레셰트 공간)의 엄격한 귀납적 한계는 반드시 완전하다.특히 모든 LF-공간이 완성된다.^[7]모든 LF-공간은 바레인이 있고 태생적인 공간이며, 완전성과 함께 모든 LF-공간은 초자연적인 공간이라는 것을 암시한다.분리 가능한 공간의 계수 가능한 시퀀스의 유도 한계인 LF 공간은 분리할 수 있다.^[8]LF 공간은 구별되며, 그 강한 이중은 탄생하고 바레인이 된다(Alexander Grotendieck로 인한 결과).

X가 증가하는 프리셰 공간 X의_n 순서에 대한 엄격한 귀납 한계인 경우, 만약 B가 X의_n 경계 부분 집합인 n이 존재하는 경우에만 X의 부분 집합 B가 X로 경계된다.^[7]

LF-공간에서 다른 TVS로의 선형 지도는 순차적으로 연속되는 경우에만 연속된다.^[9]LF-공간 X에서 프레셰트 공간 Y까지의 선형 지도는 그래프가 X × Y로 닫힌 경우에만 연속된다.^[10] LF-공간에서 다른 TVS로 향하는 모든 경계 선형 연산자는 연속적이다.^[11]

If X is an LF-space defined by a sequence ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ then the strong dual space ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ of X is a Fréchet space if and only if all X_i are normable.^[12]따라서 LF 공간의 강한 이중 공간은 LB 공간인 경우에만 프레셰트 공간이다.

예

부드럽게 지원되는 기능의 공간

LF-공간의 대표적인 예는 콤팩트한 지원을 받는$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$displaystyle $C_{c}^{\displaystyle$ C_{c}^{\$infit }(\mathb {R}$^{$n}),$Rn {\$displaystyle \mathb {R}$^{$n}}}}}}$이다.The LF-space structure is obtained by considering a sequence of compact sets ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{i}\subset \ldots \subset \mathbb {R} ^{n}}$ with ${\displaystyle \bigcup _{i}K_{i}=\mathbb {R} ^{n}}$ and for all i, ${\displaystyle K_{}}$${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {Ki}_{}}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$1}의$$내부 부분집합이다$.$그러한 순서는 원점을 중심으로 한 반경 I의 공일 수 있다.The space ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K_{i})}$ of infinitely differentiable functions on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ with compact support contained in ${\displaystyle K_{i}}$ has a natural Fréchet space structure and ${\displaystyle C_{c}^{\inft$$y }(\mathbb {R} ^{n})$은 위에서 설명한 대로 LF-공간 구조를 상속한다$$.LF-공간 토폴로지는 $콤팩트{\displaystyle {}_{}}$ 세트 K ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle$K_${i$}}의 특정 순서에 의존하지 않는다$.$

이 LF-공간 구조로 $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle C_{c}^{\nft }(\mathb {R} ^{n})$은 분포 이론에서 근본적인 중요성을 갖는 시험함수의 공간으로 알려져$$ 있다.

유한차원 공간의 직접 한계

모든_n 양의 정수 n, X := $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$과 m$$ⁿ < n에 대해 X : (x₁, ..., x_m) ↦ (x₁, ..., 0_m, 0)에 의해 정의된 표준 내장 X_m → X를_n 통해 X의_mn 벡터 서브공간으로 간주한다고 가정하자.결과 LF-공간을 X로 표시한다.The continuous dual space ${\displaystyle X^{\prime }}$ of X is equal to the algebraic dual space of X and the weak topology on ${\displaystyle X^{\prime }}$ is equal to the strong topology on ${\displaystyle X^{\prime }}$ (i.e. ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }=X_{b}^{\$$prime }$ $$^[13])더욱이 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma }_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ { ${\$의 연속적인 이중공간으로 들어가는 X의 표준지도는$$ 허탈하다.^[13]

참고 항목

• DF-공간
• 직접한도
• 최종 위상
• F-공간
• LB-공간

인용구

참고 문헌 목록

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