미세 구조

원자물리학에서 미세구조는 비상대론적 슈뢰딩거 방정식에 대한 전자 스핀과 상대론적 보정에 의한 원자의 스펙트럼선 분할을 설명한다.그것은 Albert A에 의해 수소 원자에 대해 정밀하게 측정되었다. 1887년 ^[1][2]Michelson과 Edward W. Morley는 Arnold Sommerfeld의 이론적인 치료의 기초를 마련하고 미세 구조 ^[3]상수를 도입했습니다.

배경

총구조

라인 스펙트럼의 총 구조는 스핀이 없는 비상대적 전자의 양자 역학에 의해 예측되는 라인 스펙트럼이다.수소 원자의 경우, 총 구조 에너지 수준은 주요 양자 수 n에만 의존합니다.그러나 보다 정확한 모델은 상대론적 효과와 스핀 효과를 고려하는데, 이는 에너지 수준의 퇴화를 깨뜨리고 스펙트럼 라인을 분할한다.총 구조 에너지에 대한 미세 구조 분할의 척도는 (Zα)²의 순서로, 여기서 Z는 원자 번호이고 α는 미세 구조 상수이며, 약 1/137에 해당하는 무차원 수치이다.

상대론적 수정

미세 구조 에너지 보정은 섭동 이론을 사용하여 얻을 수 있습니다.이 계산을 수행하기 위해서는 운동 에너지에 대한 선행 상대론적 보정, 스핀-오빗 결합에 의한 보정, 그리고 전자의 양자 변동 운동 또는 지터베궁에서 나오는 다윈 항이라는 세 가지 보정 항을 해밀턴에 추가해야 합니다.

디락의 이론은 자연스럽게 상대성과 스핀 상호작용을 포함하기 때문에 이러한 보정은 디락 방정식의 비상대론적 한계에서도 얻을 수 있다.

수소 원자

이 절에서는 수소 원자에 대한 분석적 해법에 대해 설명합니다. 이 문제는 분석적으로 해결 가능하며 보다 복잡한 원자의 에너지 수준 계산을 위한 기본 모델입니다.

운동 에너지 상대론적 보정

총 구조는 해밀턴의 운동 에너지 항이 고전 역학에서와 같은 형태를 취한다고 가정하며, 이것은 단일 전자에 대해 다음을 의미합니다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0}=p^{2}{2m_{e}}+V}$

여기서 V는 전위 에너지, $\displaystyle$p는$$ 운동량, ${\displaystyle m_{}}$ e$\$는 전자 정지 질량입니다.

하지만, 특수 상대성 이론을 통해 보다 정확한 자연 이론을 고려할 때, 우리는 상대론적 형태의 운동 에너지를 사용해야 한다.

$({displaystyle T=sqrt {p^2}c^{2}+m_{e}^{4}}-m_{e}c^{2}=m_{e}c^{2}\left[{\sqrt {1+{\frac {p^2}{m_{e}^{c2}^{1}-}-오른쪽}})$

여기서 첫 번째 항은 전체 상대론적 에너지이고 두 번째 항은 전자의 나머지 에너지입니다($\displaystyle$c는$$ 빛의 속도).c$\displaystyle$c의 $큰{\displaystyle }$ 값에 대한 제곱근을 확장하면

${{displaystyle T=p^{2}}{2m_{e}}-{\frac {p^{4}}{8m_{e}^{3}c^{2}}+\cdots}$

이 시리즈에는 무한한 수의 항이 있지만, 이후의 항은 이전 항보다 훨씬 작기 때문에 처음 두 개를 제외한 모든 항을 무시할 수 있습니다.위의 첫 번째 항은 이미 고전 해밀턴의 일부이기 때문에, 해밀턴의 첫 번째 차수 보정은

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {p^{4}}{8m_{e}^{3}c^{2}}}}$

이를 교란으로 사용하여 상대론적 효과로 인한 1차 에너지 보정을 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle E_{n}^{{0}=\left\langle ^{0}\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8m_{e}^{2}\left\langle ^0} pvert {0} pvert {0}$

여기서 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}^{}}$ 0$(\displaystyle$ \psi$^{0$})은 교란되지 않은 파동 함수입니다.동요되지 않은 해밀턴을 떠올리면, 우리는 본다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{{H\mathcal}}^{0}\left\vert\psi ^{0}\right\rangle&.=E_{n}\left\vert \psi, \\\left({\frac{{2}}{2m_{e}}}+V\right p^)\left\vert \psi ^{0}\right\rangle 및 ^{0}\right\rangle.=E_{n}\left\vert \psi, =2m_ᆭ(E_{n}-V)\left\vert\psi ^{0}\right\rangle \end{정렬}}}\\p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle 및 ^{0}\right\rangle.$

이 결과를 사용하여 상대론적 보정을 더 계산할 수 있습니다.

$디스플레이 스타일E_{n}^{ᆨ}&, =-{\frac{1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi, =-{\frac{1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}p^{2}p^{2}\left\vert\psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}& ^{0}\right\vert\left\langle \psi, =-{\frac{1}{2m_{e}c^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\(2m_{e})^ᆾ(E_{n}-V)^{2}\left\vert\psi ^{0}\right\rangle \\E_{n}^{(1)}& ^{0}\right\vert.left\langleV^{2}\right\rangle\right)\end{aligned}}$

수소 원자는

${\displaystyle V}$(${\displaystyle r}$ ) ${\displaystyle =\frac{}{}}$ - e ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ 0$$ { \$display style V$ ( r )$= pi$\ $varepsilon _$ { $0$$$} $r$ 、${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ r ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$\ $displaystyle$\$left$\ $r }$ \ $r = rightle frac$ { frac$$$}$$frac {$1} ${r^{2}}\right\rangle$=$flac {1}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^2}}},$

여기서 e$(\displaystyle$ e$)$는 기본 전하, ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$0(\$displaystyle \varepsilon$ _${0})$은 진공 유전율, 0$(\$은 Bohr 반지름,$n{\displaystyle }$(\$displaystyle$ n$)$은 주요 양자수,$l{\displaystyle }$(\$displaystyle$ l$)$은 방위 양자수 및 $r.$원자핵에서 전자의 거리입니다.따라서 수소 원자에 대한 1차 상대론적 보정은

$디스플레이 스타일E_{n}^{(1)&={\frac {1}{2m_{e}c^{2}\left(E_{n}^2}+2E_{n}{\frac {e^2}{4\pi \varepsilon _{0}{\frac {a}{0}}{{n}}}}}{\left(으)$

사용처:

$\displaystyle E_{n}=-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a_{0}n^{2}}$

최종적으로 지면 상태에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ 상대론적 보정의 크기는 -9${\displaystyle .056}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle 4^{}}$ $({$ - 9.$056\times$ 10$^{-4}\\text{e$})이다.${\displaystyle }$$V$

스핀-오빗 커플링

Z$(수소$의 경우$$ Z$$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}${$디스플레이$ $스타일$ Z$=$ 1) 양성자, 궤도 $각운동량{\displaystyle \stackrel{}{}}$ L$$${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle$ ${$$L{\displaystyle \stackrel{}{}}$}}$$및 전자 $스핀$ S = {\displaystyle {$S$를 가진 수소 유사 원자의 경우 스핀-벡 조건은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {SO}=\leftfac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\right}\leftfrac {g_{s}-1}{2m_{e}{2}{2}{\frac}{\l}}\right}{\frac}{\cc}}}{\c}}{\frac}}{\frac}{\c}{\c}}}}}}}}{\frac$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 g ${\$는 스핀 g 계수입니다.

스핀-궤도 보정은 표준 기준 프레임(전자가 핵 주위를 도는 위치)에서 전자가 정지해 있고 핵이 그 주위를 도는 위치로 이동함으로써 이해할 수 있다.이 경우 궤도를 도는 핵은 유효 전류 루프로 기능하며, 이는 다시 자기장을 생성합니다.그러나 전자 자체는 고유의 각운동량 때문에 자기모멘트를 갖는다.$B{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $→$ {\$displaystyle {B}}$ $및$ μ ${\displaystyle {\stackrel{}{\to }}_{}}$ {\$displaystyle {\$displaystyle ${\mu}}_{s}} 두$ 자기 벡터는 결합되어 상대적인 방향에 따라 일정한 에너지 비용이 발생합니다.이것은 형상의 에너지 보정을 일으킨다.

$\displaystyle \Delta E_{\mathrm {SO}}=\xi(r){\vec {L}}\cdot {S}}$

계산에는 2의 중요한 인자가 추가되어야 하는데, 이것은 원자핵 프레임에서 전자의 프레임으로 다시 바뀌는 상대론적 계산에서 비롯됩니다.

부터

${\displaystyle {displaystyle {frac {1} {r^{3}}\right\rangle &=frac {3}a_{0}{3}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{left}(l+1}}\frac {{2}}\frac {\left}\left}\frac {{{{}\left}\f}\left}\f}\frac{{{{{{{\f}\f}\f}\left}\f}\left}\fright}$

해밀턴의 기대값은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \left\mathcal {H}_{\mathrm {SO}\right\rangle = sm_{n}{2}{m_{e}c^{2}}~n~{\frac {j(j+1)-l}-{\frac {4}{l}{l}{l}$

따라서 스핀-궤도 커플링의 등급 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$는 Z 4${\displaystyle \frac{{}^{}{n\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$ (${\displaystyle \frac{\mathrm{j}}{}}$+ ${\displaystyle 1^{}\frac{}{}{\mathrm{}}^{}\frac{}{}}$/ 2${\displaystyle {)}^{}}$ ${\displaystyle {10}^{}}$ - ${\displaystyle \text{5}}$ eV$({displaystyle {Z^{4}}{n^{3}(j+1/$$2$)입니다.$}}10$^{-$5}{\text${eV$\}\}\}.$

약한 외부 자기장이 적용되면 스핀-오빗 결합이 제만 효과에 기여합니다.

다윈 용어

디락 방정식의 비상대론적 확장에는 마지막 항이 있다.찰스 갈튼 다윈이 처음 도출한 용어이기 때문에 다윈 용어라고 불리며, 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{{H\mathcal}}_{\mathrm{다윈}}&={\frac{\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac{Ze^{2}}{4\pi \varepsilon_{0}}}\right)\delta ^ᆱ\left({\vec{r}}\right)\\\langle{{H\mathcal}}_{\mathrm{다윈}}\rangle&={\frac{\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac{Ze^{2}}{4\pi \varepsilon_{0}}}\r.밤)\psi (0)^{2}\\psi (0)&=0\psi (0)&=0440frac {1}{\pi }},2\frac {Z}{na_{0}\right)^{\frac {2}{{\math}\math}{0}\l}의 경우$

다윈 항은 오직 s 궤도에만 영향을 미친다.이는 l>$0인$ 전자의 $파동함수$가 원점에서$사라지기$ 때문에 델타함수는 영향을 받지 않기 때문이다.예를 들어, 2s 상태를 9.057×10⁻⁵ eV 상승시킴으로써 2s 궤도에 2p 궤도와 동일한 에너지를 제공합니다.

다윈 항은 전자의 위치 에너지를 변화시킨다.이는 전자의 지터베궁, 즉 빠른 양자 진동에 의해 전자와 핵 사이의 정전적 상호작용이 벗겨지는 것으로 해석될 수 있다.이것은 간단한 ^[4]계산으로 증명할 수 있습니다.

양자 변동에 의해 불확도 원리 ${\displaystyle \delta }$ t${\displaystyle \delta }$ / ${\displaystyle \delta }$ E${\displaystyle }$δ${\displaystyle \delta }$ / ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$2 { \ $display$style \ $Delta t$ \ approx \ $hbar$/ \ $Delta$E \$approx$ \ $hbar$/$mc^{2$에 의해 추정된 수명을 가진 가상 전자-양자 쌍이 생성된다.이 시간 동안 입자가 이동할 수 있는 거리는 콤프턴 파장인 $\delta {\displaystyle }$c ${\displaystyle \delta }$ t${\displaystyle \delta }$ / ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ $=$ ${\displaystyle {\delta }_{}}$c \ $displaystyle \xi$\$approx$ c$\Delta$ t$\apprough$ \$hbar$/ mc=\$cda$ _${c$이다.원자의 전자는 이들 쌍과 상호작용한다.이로 인해 전자 $위치{\displaystyle \stackrel{}{}}$ r ${\displaystyle \to }$ + ${\displaystyle \delta \stackrel{}{}}$ $→$ {\$displaystyle {r}+{\vec {xi$가 변동합니다. Taylor 확장을 사용하면 $잠재적{\displaystyle }$U(\$displaystyle$ U$)$에 미치는 영향을 추정할 수 있습니다.

$\displaystyle U({\vec {r}}+{\vec {r}})+\xi \cdot \nabla U({\vec {r})+{\frac {1}{2}\sum _{i}\xi {j}_partial {j}_i}_j}_i}_partial {\vec}_vec {\vec}_i}_i}_xi}_partial 。$

변동에 $대한{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 평균 » $→$ ${\$style$\vec\xi }$

${\displaystyle {\vec } = 0, {xi _ {i} = {1} {3}} = {\vec {\xi } } {{2} } {ij}$

평균적인 잠재력 제공

${\displaystyle {U\left({\vec {r}}+{\vec {xi}}}\오른쪽)}=U\left({\vec {r}}\오른쪽)+{\frac {1}{6}}{\overline {\vec {xi}}^{2}U\left({\vec {r}}\오른쪽)}$

대략 ${\displaystyle \stackrel{}{{\xi }^{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{\stackrel{}{\to }}^{}}}$ 2 ${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}{\lambda }_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$2 {{$displaystyle {{\vec${\$vec {{xi}}^{2$}}\apprough $\cda$ _${c}^2$이므로 변동으로 인한 전위 교란이 발생한다.

$\displaystyle \delta U \frac {1} {6} \ lambda _ {c }^{2} \ nabla ^ { 2 }}U=gla frac {hbar ^{2}}{6m_{e}^{2}c^{2}}\gla ^{2}U}$

위의 식과 비교하려면 쿨롱 전위를 꽂습니다.

$\displaystyle \varepsilon {2}U=-\nabla ^{2}{\frac {Ze^{0}r}}=4\pi \pi \varepsilon _{0}}\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}\frac {{c}}\frace ^{{\f}}$

이것은 조금 다를 뿐이다.

s-상태에만 영향을 미치는 또 다른 메커니즘은 램 시프트인데, 이는 다윈 용어와 혼동해서는 안 되는 양자 전기역학에서 발생하는 더 깊고 작은 보정입니다.다윈 항은 s-상태와 p-상태에게 동일한 에너지를 주지만, 램 시프트는 s-상태를 p-상태보다 더 높은 에너지로 만든다.

토탈 이펙트

완전한 해밀턴식은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {Coulomb}}+{\mathrm {so}}+{\mathcal {H}_{\mathrm {SO}}+H_{\mathrm {Darwin}}}},\!}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 H ${\displaystyle {\mathrm{C}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{l}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ m$$b({$displaystyle {H}}_{\rm$ {Coulomb$}})$는 쿨롱 상호작용의 해밀턴입니다.

세 가지 성분을 합산하여 얻을 수 있는 총효과는 다음과 ^[5]같습니다.

${\displaystyle \Delta E=frac {E_{n}(Z\alpha)^{n}}{n}}\left\frac {1}{1}{2}}-{\frac {3}{4n}},},}$

$여기$서 j$(\displaystyle$ j$)$는 총 각운동량 양자 번호입니다($l$ ${\displaystyle =}$ {$displaystyle$ l$=0}$ $및$ j ${\displaystyle =l}$ ± ${\displaystyle 1}$/ $(\displaystyle$ j$=l\pm$1/$2$$}).$이 표현은 소머펠트에 의해 오래된 보어 이론에 기초해 처음 얻어진 것이다. 즉, 현대 양자역학의 공식화 이전에.

정확한 상대론적 에너지

총 효과는 디랙 방정식을 사용하여 얻을 수도 있습니다.이 경우 전자는 상대적이지 않은 것으로 취급됩니다.정확한 에너지는 에 의해 주어진다^[6].

$({displaystyle E_{j,n}=-m_{\text{e}}c^{2}\left[1+\left][{\dfrac {1}{2}}+{\dfracrt {\left(j+{1}{2}}\right}^2-right})}$

다른 계산에서 누락된 모든 고차 항을 포함하는 이 식은 1차까지 확장되어 섭동 이론에서 도출된 에너지 보정을 제공합니다.그러나 이 방정식은 핵 스핀과의 상호작용에 의한 초미세 구조 보정을 포함하지 않는다.램 시프트 및 전자의 이상 자기 쌍극자 모먼트와 같은 양자장 이론으로부터의 다른 보정은 포함되지 않는다.

「 」를 참조해 주세요.

• 각운동량 커플링
• 미세 전자 구조

레퍼런스

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.

외부 링크

• 하이퍼 물리:미세 구조
• 텍사스 대학교:수소의 미세한 구조