우수고복합수

수학에서, 높은 합성수 우위는 다른 숫자보다 그 자체의 어떤 긍정적인 힘 당 더 많은 차이를 갖는 자연적인 숫자다. 그것은 어떤 작은 양의 정수보다 더 많은 점을 갖는 것으로 정의되는 매우 복합적인 숫자의 그것보다 더 강한 제한이다.

상위 10개 상위 고복합수 및 그 인자화가 열거되어 있다.

# 프라임 요인들	SHCN n	전성기의 인자화	전성기의 지수	# 디비저 d(n)		태고의 인자화
1	2	2	1	2	2	2
2	6	2 ⋅ 3	1,1	22	4	6
3	12	22 ⋅ 3	2,1	3×2	6	2 ⋅ 6
4	60	22 ⋅ 3 ⋅ 5	2,1,1	3×22	12	2 ⋅ 30
5	120	23 ⋅ 3 ⋅ 5	3,1,1	4×22	16	22 ⋅ 30
6	360	23 ⋅ 32 ⋅ 5	3,2,1	4×3×2	24	2 ⋅ 6 ⋅ 30
7	2520	23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7	3,2,1,1	4×3×22	48	2 ⋅ 6 ⋅ 210
8	5040	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7	4,2,1,1	5×3×22	60	22 ⋅ 6 ⋅ 210
9	55440	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	4,2,1,1,1	5×3×23	120	22 ⋅ 6 ⋅ 2310
10	720720	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13	4,2,1,1,1,1	5×3×24	240	22 ⋅ 6 ⋅ 30030

상위 고복합수 n의 경우, n보다 작은 모든 자연수 k에 대해 양수 실수 ε이 존재한다.

${\displaystyle {\frac{d(n)}{n^{\barepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\barepsilon}}}}}}}}}}$

그리고 n보다 큰 모든 자연수 k에 대해 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac(n)}{n^{\barepsilon }}}{\frac {d(k)}{k^{\barepsilon }}}}}}}}$

여기서 d(n)는 d(n)의 divisor 수를 나타낸다. 이 용어는 라마누잔(1915년)에 의해 만들어졌다.^[1]

For example, the number with the most divisors per square root of the number itself is 12; this can be demonstrated using some highly composites near 12: ${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2}}}\approx 1.414,{\frac {3}{\sqrt {4$$}}}=1.5,{\frac {4}{\sqrt {6}}}\approx 1.633,{\frac {6}{\sqrt {12}}}\approx 1.732,{\frac {8}{\sqrt {24}}}\approx 1.633,{\frac {12}{\sqrt {60}}}\approx 1.549}$.

The first 15 superior highly composite numbers, 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (sequence A002201 in the OEIS) are also the first 15 colossally abundant numbers, which meet a similar condition based on the sum-of-divisors function rather than the number of divisors. 그러나 어느 세트도 다른 세트의 하위 집합이 아니다.

특성.

모든 우월한 고합성 수치는 고합성이다. 만약지만 n그 자체보다(즉 d(k))d(n){\displaystyle d(k)=d(n)}지만, k<>n{\displaystyle k<, n}), 그때(k)kε 을 삭제, d(n)nε{\displaystyle{\frac{d(k)}{k^{\varepsilon}}}>{\frac{d(n)}{n^{ 적다 n로 제수의 같은 번호를 가지몇가지 k은 이것을 증명하기 위해: 쉽다.\varepsilon모든 양성 all에 대해 positive$}}}}}$이므로 숫자 "n"이 고도로 합성되지 않으면 우월한 고복합성이 될 수 없다.

모든 우수 고복합수들의 집합의 효과적인 구성은 양의 실수로부터 다음과 같은 단조로운 매핑에 의해 주어진다.^[2] 내버려두다

${\displaystyle e_{p}(x)=\left\lfloor {1}{\sqrt[{x}]{p1}:{p1}-1}\right\floor \i1}}$

모든 소수 p와 양의 real x에 대해. 그러면

${\displaystyle s}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{p}{p_{}}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{p\mathbb{}}}$ p${\displaystyle {{}_{}e}^{}}$ p${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle {}^{}}$) {\$displaystyle \quad s(x)=\prod _{p\$in \$mathb$ {$P}{p^{$e_${p}($x)\$quad$}}}은$$(으)가 상위 합성수다.

> ${\$p > 2 x {\displaystyle p$>2^{x},$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}{}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle e_{p}(x)=0$ $따라서{\displaystyle }$ $s{\displaystyle }$( $){\displaystysty$s$(x)$를 계산할 제품은 p${\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 2^{}}$ x ${\\\\geq$ 2$^{x}$ 한 번 종료할 수 있으므로$$ 제품을 무한정 연산할 필요가 없다$.$

또한 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle e_{p}(x)}$의 정의에서$$$1{\displaystyle \mathrm{}}$/ x ${\displaystyle$1$/x}$은(는) 상위 합성수의 암묵적 정의에서$$ $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$과(으)와 유사하다는$$ 점에 유의하십시오.

${\displaystyle \mathrm{더욱이}}$, 각각의 상위 고복합성 $수{\displaystyle {}^{}}$ s${{\$$displaystyle$ s$^{\$에 대해,${\displaystyle }$$\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$: (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= $′{\$$for$ $for{\in I:s(x)=s^{\}}}}}}}}{+}}}}}$ 반 개방$$ 간격이 존재한다$$.$$

이 표현은${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {상위\mathrm{}}_{}}$ 고복합수 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ $\pi _{1},\pi _{2$},$ldots \in \mathb${$P}}$의 무한 시퀀스가 존재함을 의미한다${\displaystyle .}$

${\displaystyle s_{n}=\prod _{i=1}^{n}\pi _{i}}}$

첫 번째 ${\displaystyle {\pi }_{}}$ i ${\$는 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ...(OEIS의 순서 A000705). 즉, 연속적으로 우월한 두 개의 고합성 수치의 몫은 소수라는 것이다.

우수한 고복합 레이더

처음 몇 개의 우수한 고복합성 수치는 크기에 대한 높은 차이성 때문에 종종 라디스로 사용되어 왔다. 예를 들면 다음과 같다.

• 이진수(기준 2)
• 센나리 (베이스 6)
• 듀오데시멀(베이스 12)
• 성소수자(베이스 60)

더 큰 SHCN은 다른 방법으로 사용될 수 있다. 120은 긴 백으로 나타나고, 360은 원의 도수로 나타난다.

메모들

참조

• Ramanujan, S. (1915). "Highly composite numbers" (PDF). Proc. London Math. Soc. Series 2. 14: 347–409. doi:10.1112/plms/s2_14.1.347. JFM 45.1248.01. 수집된 논문(Ed. G. H. H. Hardy 등), 뉴욕: 첼시, 페이지 78–129, 1962
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. pp. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Superior highly composite number". MathWorld.