친족관계

Finitary relation

수학에서, X에1 대한 미세한 관계는 X, ..., X는n 카르테시안 제품 X1 × × × X의n 하위 집합이다. 즉, X에i 있는 원소 X로i 구성된 n-tuple(x1, ..., xn)의 집합이다.[1][2][3] 일반적으로 이 관계는 n-투플 요소 사이의 가능한 연결을 설명한다. 예를 들어 "x는 y와 z로 나눌 수 있다"는 관계는 각각 x, y, z로 대체될 때 문장을 참되게 하는 3-tuple 집합으로 구성된다.

관계에서 "장소"의 수를 주는 비음수 정수 n을 관계의 경건성, 경건성 또는 정도라고 한다. n "장소"와의 관계를 n-ari 관계, n-adic 관계 또는 n-di의 관계라고 다양하게 부른다. 한정된 수의 장소와의 관계를 미세한 관계(또는 문맥이 명확하면 단순한 관계)라고 한다. 무한정 시퀀스로 비위생적인 관계에 대한 개념을 일반화하는 것도 가능하다.[4]

집합 X에1 대한 n-ari 관계는 X, ..., X는n X1 × × X의n 동력 집합의 요소다.

0-ari관계는 오직 두 명의 구성원만을 헤아린다: 항상 가지고 있는 사람과 결코 보유하지 않는 사람이다. 0투플, 즉 빈투플()이 하나뿐이기 때문이다. 그것들은 때때로 유도 논거의 기본 사례를 구성하는 데 유용하다.

단교관계는 (노벨상 수상자의 수집 등) 어느 정도의 재산을 가진 구성원들의 집합체(예: 노벨상(Novel))로 볼 수 있다.

이항 관계는 가장 일반적으로 연구되는 형태의 미세한 관계다. X1 = X일2 때 이를 동종 관계라고 한다(예:

  • "5 < 12"와 같은 성명에서 =와 <와 같은 부호로 나타내는 평등과 불평등 또는
  • "13 143"과 같은 문장의 기호로 표시되는 불능성.

그렇지 않으면 다음과 같은 이질적인 관계가 된다.

예

다음에 의해 정의된 사람 P = {Alice, Bob, Charles, Denise}에 대한 3차 관계 R "x는 당신이 z를 좋아한다고 생각한다"고 간주한다.

R = {(앨리스, 밥, 데니스), (찰스, 앨리스, 밥), (찰스, 찰스, 앨리스), (데니스, 데니스)}.

R은 다음 표로 동등하게 나타낼 수 있다.

R 관계 "x는 당신이 z를 좋아한다고 생각한다"
P P P
앨리스야. 밥 데니스
찰스 앨리스야. 밥
찰스 찰스 앨리스야.
데니스 데니스 데니스

여기서 각 행은 R의 3배를 나타내며, 즉 "x는 당신이 z를 좋아한다고 생각한다"라는 형식의 문구를 만든다. 예를 들어, 첫 번째 줄에는 "앨리스는 밥이 데니스를 좋아한다고 생각한다"고 쓰여 있다. 모든 행은 구별된다. 행의 순서는 미미하지만 열의 순서는 유의하다.[1]

위의 표는 관계형 데이터베이스의 간단한 예로서, 관계형 대수학 및 데이터 관리에서의 응용에 뿌리를 둔 이론을 가진 분야도 있다.[5] 그러나 컴퓨터 과학자, 논리학자, 수학자들은 일반적인 관계가 무엇이고 그것이 무엇으로 구성되어 있는지에 대한 다른 개념을 갖는 경향이 있다. 예를 들어 데이터베이스는 정의상 유한한 경험적 데이터를 다루도록 설계되어 있는 반면 수학에서는 무한한 아성을 가진 관계(즉, 비군사적 관계)도 고려된다.

정의들

정신에 의해 함께 보는 두 가지 사물, 자질, 계급, 또는 속성이 어떤 연결고리에서 보일 때, 그 연결고리를 관계라고 부른다.

— Augustus De Morgan[6]

수학에서 접하는 관계의 첫 번째 정의는 다음과 같다.

정의 1
세트 X1, ⋯, X에n 대한 n-ary 관계 R은 데카르트 제품1 X × × X의n 하위 집합이다.[1]

관계의 두 번째 정의는 수학에서 흔히 볼 수 있는 관용어를 사용하며, 이러한 저런 수학적인 물체가 n 원소가 있는 수학적 물체의 사양에 의해 결정되도록 하기 위해 "이런 저런 수학적인 물체는 n-투플"이라고 규정한다. n 세트에 대한 관계 R의 경우, n + 1 세트의 지정 사항, 즉, n 세트와 그들의 카르테시안 제품의 하위 집합이 있다. 숙어에서는 R이 (n + 1)-투플이라고 표현한다.

정의 2
X, ⋯, X에 대한 n-ary R은 (n1 + 1)-투플n (X1, t, Xn, G)이며 G는 R의 그래프라고 불리는 데카르트 제품 X1 × ⋯ × X의n 하위 집합이다.

원칙으로서, 어떤 정의가 그 목적을 위해 가장 적합한지를 선택할 것이며, 만약 두 정의를 구별할 필요가 있다면, 두 번째 정의를 충족하는 기업을 내재적 또는 포함된 관계라고 할 수 있다.

(x1, ⋯, xn) ∈ R (첫 번째 정의에 따라)과 (x1, ⋯, xn) ∈ G (두 번째 정의에 따라)는 "x1, ⋯, x는n R 관련"이라고 읽으며, Rxxx에1n 의한 접두사 표기법과 xxxR에1n 의한 사후 표기법을 사용하여 표시된다. R이 이항 관계인 경우, 이러한 문장은 xRx에12 의한 infix 표기법을 사용하여 표시되기도 한다.

다음 고려사항은 두 가지 정의에 따라 적용된다.

  • 집합 X는i R의 ith 도메인이라고 불린다.[1] 첫 번째 정의에서 관계는 주어진 도메인 순서를 고유하게 결정하지 않는다. R이 2진수 관계인 경우 X를1 단순히 R의 도메인이나 출발의 집합이라고도 하며, X를2 R의 코도메인 또는 목적지 집합이라고도 한다.
  • X의i 요소가 관계일 때 X를i R의 비이행 영역이라고 한다.[1]
  • 존재하는i11 ⋯xi − 1ii + 1 xxx X의n 집합(xi, ⋯, x, xi − 1i + 1, x, ⋯, xn) ∈ X1 × Xi − 1 × Xi + 1 × X × X × X × X를n R의 정의 또는 활성 영역이라고 한다.[1] R이 2진수 관계인 경우, 그 정의의 첫 번째 영역은 단순히 R의 정의의 영역 또는 활성 영역이라고도 하며, 정의의 두 번째 영역은 R의 정의 또는 활성 코도메인이라고도 한다.
  • R의 정의의 ith 영역이 X와i 같을 때, R은 X에i 총체라고 한다. R이 이항 관계인 경우, R이 총 X일1 때는 좌합계 또는 직렬이라고 하고, 총합이 X일2 때는 우합계 또는 허탈적이라고도 한다.
  • ∀x ∀yi ∈ I ∈ X 및i ∀zi ∈ J ∈ X 여기서i {I, J}이(가) {1, },, n}의 파티션일 때 x와 z의 구성 요소가 R 관련이고 y와 z의 구성 요소가 R 관련인 경우 x = y, r은 {Xi}i ∈ I에서 고유하다고 하며 {Xi}i ∈ J은 R의 기본 키라고[1] 한다. R이 이항 관계인 경우, R이 {X1}에 고유할 때는 좌익 또는 주입이라고 하고, R이2 {X에 고유할 때는 우익 또는 기능적 관계라고도 한다.
  • 모든 X가i 동일한 집합 X인 경우, R을 X에 대한 n-ari 관계라고 하는 동종 관계라고 하는 것이 더 간단하다. 그렇지 않으면 R을 이질적인 관계라고 한다.
  • Xi 중 하나가 비어 있을 때 정의 데카르트 제품은 비어 있고, 그러한 일련의 도메인에 대한 유일한 관계는 비어 있는 관계 R = ∅. 따라서 일반적으로 모든 도메인은 비어 있지 않다고 규정되어 있다.

부울 도메인 B를 논리 값으로 해석할 수 있는 2요소 집합(예: B = {0, 1})으로 두 개의 요소 집합(일반적으로 0 = false, 1 = true)으로 한다. χ이R 나타내는 R의 특성 함수는 부울 값 함수 χR1: X × × X → B로n, Rxxx와1n χR(x11, ,, xnn) = 0이면 1로R 정의된다.

응용 수학, 컴퓨터 과학, 통계학에서는 부울 값 함수를 n-ary 술어로 지칭하는 것이 일반적이다. 형식논리와 모델론의 보다 추상적인 관점에서 관계 R은 논리적 모델이나 관계 구조를 구성하며, 이는 일부 n-ary 술어 기호에 대한 가능한 많은 해석 중 하나로 작용한다.

수학과 논리의 많은 분야뿐만 아니라 많은 과학 분야에서도 관계가 발생하기 때문에 용어에는 상당한 차이가 있다. 관계 개념이나 용어의 설정 이론적 확장과는 별도로, "관계"라는 용어는 관계 내 모든 요소들이 공유하는 억양의 총합성 또는 추상적 속성인 논리적 이해 또는 또는 이러한 요소와 억양을 나타내는 기호를 가리키는 데 사용될 수도 있다. 또한 후자 설득의 일부 작가들은 더 구체적인 함축적 의미를 지닌 용어들을 소개한다(예: 주어진 관계적 개념의 설정-이론적 확장을 위한 "관계적 구조"와 같은).

역사

참고 항목: 대수 논리 § 역사

1860년경에 출판된 논리학자 아우구스투스 드 모건은 현재와 같은 어떤 의미에서도 관계 개념을 가장 먼저 분명히 밝힌 사람이었다. 그는 또한 관계 이론(De Morgan과 관계, Merrill 1990 참조)에서 첫 번째 공식적인 결과를 발표했다.

찰스 피어스, 고틀롭 프레지, 게오르크 칸토르, 리처드 드데킨드 등이 관계 이론을 발전시켰다. 그들의 생각들, 특히 명령이라고 불리는 관계에 대한 많은 것들이 수학의 원리(1903)에 요약되어 버트란드 러셀이 이러한 결과를 자유롭게 이용하게 되었다.

1970년에 Edgar Codd는 데이터베이스에 대한 관계형 모델을 제안했고, 따라서 데이터 베이스 관리 시스템의 개발을 기대했다.[1]

참고 항목

참조

  1. ^ a b c d e f g h Codd, Edgar Frank (June 1970). "A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks" (PDF). Communications of the ACM. 13 (6): 377–387. doi:10.1145/362384.362685. S2CID 207549016. Retrieved 2020-04-29.
  2. ^ "Relation - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-12.
  3. ^ "Definition of n-ary Relation". cs.odu.edu. Retrieved 2019-12-12.
  4. ^ Nivat, Maurice (1981). Astesiano, Egidio; Böhm, Corrado (eds.). "Infinitary relations". Caap '81. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg. 112: 46–75. doi:10.1007/3-540-10828-9_54. ISBN 978-3-540-38716-9.
  5. ^ "Relations — CS441" (PDF). www.pitt.edu. Retrieved 2019-12-11.
  6. ^ 드 모건, A. (1858) 히스, P. 에드 (1966)의 "삼단논법에 대하여, 3부"에 대해. 루틀리지. P. 119,

참고 문헌 목록

  • Codd, Edgar Frank (1990). The Relational Model for Database Management: Version 2 (PDF). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0201141924.
  • 부르바키, N. (1994) 수학사의 요소, 존 멜드럼, 트랜스. 스프링거-베를라크.
  • 카르나프, 루돌프(1958) 응용이 있는 상징논리의 도입. 도버 퍼블리셔스.
  • 할모스, P.R. (1960) 순진한 집합론. 프린스턴 NJ: D. 밴 노스트랜드 컴퍼니
  • 법률가, F.W., R. 로즈브루그(2003) 케임브리지 유니브 수학 세트. 누르다
  • Lewis, C.I. (1918) 상징논리의 조사, 3장: 인터넷 아카이브를 통한 Boole-Schröder 대수학 적용
  • 루카스, J. R. (1999) 개념적인 수학의 뿌리. 루틀리지.
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