기하학적 매직 스퀘어

기하학적 마법의 사각형은 흔히 지리적 사각형으로 약칭되는 것으로, 2001년 리 살로스가 발명한 마법의 사각형을 일반화한 것이다.전통적인 마법의 사각형은 어떤 행, 어떤 열 또는 어느 한 대각선에서의 합이 동일한 목표 번호인 정수의 제곱 배열을 의미한다.반면 지층 사각형은 각 행, 기둥 또는 대각선에 나타나는 형상을 서로 연결하여 목표 형상이라고 하는 동일한 형상을 만들 수 있는 네모난 기하학적 형상이다.숫자형식과 마찬가지로, 지리적 사각형의 입력은 구별되어야 한다.마찬가지로, 회전 및/또는 반사에 따른 8개의 사소한 사각형 변형은 모두 동일한 사각형으로 계산된다.지리적 사각형의 치수는 그것이 사용하는 조각의 치수를 의미한다.지금까지 관심사는 평면 조각을 이용한 2D 사각형에 주로 초점을 맞췄지만, 어떤 차원의 조각도 허용된다.

예

위의 그림 1은 3 × 3 지리학적 정사각형을 보여준다.각 행과 기둥, 대각선을 차지하는 3개의 조각은 직사각형 모양의 표적을 좌우와 위아래로 포개어 놓았다.여기서 9개의 조각은 모두 분해되지만, 어떤 형태의 조각도 나타날 수 있으며, 같은 크기일 필요는 없다.예를 들어 그림 2에서 조각은 1 단위에서 9 단위까지의 연속적인 크기의 폴리오미노이다.대상은 내부 사각 구멍이 있는 4×4제곱이다.

놀랍게도, 컴퓨터 조사 결과, 그림 2는 이와 같은 크기와 같은 대상을 가진 조각들을 사용하는 4,370개의 뚜렷한 3×3의 지층 정사각형들 중 하나일 뿐이다.반대로 그림 1은 유사한 크기의 조각과 동일한 대상을 사용하는 두 가지 솔루션 중 하나이다.일반적으로 반복적인 조각 크기는 해결책이 적다는 것을 의미한다.그러나 현재 이러한 경험적 발견을 설명하기 위한 이론적 근거는 존재하지 않는다.^[1]

지층 광장의 조각들은 또한 그림 3에서 보는 바와 같이 분리되거나 분리된 섬들로 구성될 수 있다.서로 겹치도록 배치할 수 있기 때문에, 분리된 조각들은 종종 연결된 조각들이 할 수 없는 부분에 타일을 칠할 수 있다.이 추가 연골의 보상은 종종 숫자 표본에 거부된 대칭을 갖는 지질학에서 볼 수 있다.^[2]

평면 형태를 사용한 사각형 외에도, 3D 시료가 존재하며, 그 세포들은 결합하여 동일한 상수 고체 표적을 형성할 고체 조각들을 포함하고 있다.그림 5는 표적이 큐브인 예를 보여준다.

역사

수학자 에두아르 루카스 때문에 잘 알려진 공식은 숫자 3×3 매의 구조를 특징짓는다.^[3]이미 이 지역의 원작을 저술한 살로우는 오래 전부터 루카스 공식에 숨겨진 잠재력이 들어 있을지도 모른다고 추측해 왔다.^[4][5]이러한 추론은 그가 1997년 복잡한 숫자를 사용하여 사각형을 조사한 짧은 논문을 발표하면서 확인되었는데, 이는 3×3 매의 매 마법의 사각형마다 복잡한 평면의 독특한 평행사변형과 상관관계를 맺는 새로운 정리를 이끌어내는 계략이다.^[6]같은 맥락에서 계속되어, 결정적인 다음 단계는 루카스 공식의 변수를 기하학적 형태를 위한 서 있는 것으로 해석하는 것이었는데, 이것은 바로 지리학적 사각형의 개념으로 이어진 이국적인 발상이었다.^[7]전통적인 마법의 광장이 이제는 일차원적인 지리적 광장으로 드러나고 있다는 것은 이 발견의 뜻밖의 결과인 것으로 밝혀졌다.

다른 연구자들도 주목했다.찰스 Ashbacher 저널 휴양 수학의 공동 편집, 마법의 사각형"극적으로 확대"[8]피터 카메론은 런던 수학회의 화이트 헤드 상과 오일러 메달의 공동의 승자의 우승자, 요양 수학의non-ma을 기쁘게 할 수geomagic 정사각형" 멋진 새 조각이라 불리는 것의 필드를 말한다.월에마틱스, 수학자들에게 사상의 양식을 주도록 하라."^[1]수학 작가 알렉스 벨로스(Alex Bellos)는 "수천 년 동안 마법의 광장을 연구한 후에 이런 것을 생각해 낸다는 것은 꽤 놀라운 일"^[9]이라고 말했다.지리적 사각형이 퍼즐 연구 밖에서 응용될 수 있는지 여부를 물어볼 수 있다.캐머런은 이를 확신하며 "이것으로 하고 싶은 일이 많은 것을 즉시 볼 수 있다"^[9]고 말했다.

시공방법

사소한 예를 제외하면, 지리적 사각형을 만드는 쉬운 방법은 알려져 있지 않다.지금까지, 두 가지 접근법이 탐구되었다.^[10]사용할 조각이 폴리폼이거나 반복된 유닛에서 만들어진 형태일 경우, 컴퓨터에 의한 철저한 검색이 가능해진다.

예를 들어 그림 1의 경우 첫 번째 단계는 사용할 조각 크기(이 경우 모두 동일)와 원하는 대상의 모양을 결정하는 것이다.초기 프로그램은 3개의 뚜렷한 분해물(크기 10의 폴리오미노)에 의해 이 목표 형상의 가능한 모든 타일링에 해당하는 목록 L을 생성할 수 있을 것이다.각각의 디실리노는 고유한 정수로 표현되므로 L은 정수 3중창 목록으로 구성된다.그런 다음 후속 루틴은 세 가지 다른 트라이애드의 모든 조합을 차례로 실행하고 테스트할 수 있다.테스트는 후보 3인 3각형의 행 항목으로 처리한 다음, 이렇게 형성된 각 기둥과 대각선이 또한 L에 있는 3개의 정수(즉, 대상 3인칭)를 포함하는지 확인하는 것으로 구성된다.만일 그렇다면, 9개의 디시노와 선택된 표적을 이용한 3 × 3 지층 광장이 확인되었다.만약 이것이 실패한다면, 대체 목표 형상을 시도할 수 있다.더 큰 사각형을 검색하거나 다른 크기의 조각을 포함하는 정사각형을 검색하기 위해 동일한 방법의 정교한 버전을 사용할 수 있다.

건축의 다른 방법은 반복된 조각들을 보여주는 작은 지리학적 사각형으로 시작하는데, 그 모양은 각 조각들을 뚜렷하게 보이도록 변형되지만 광장의 마술적 속성을 방해하지는 않는다.이는 아래에 보이는 것과 같은 대수적 템플릿을 사용해 달성되며, 그 변수의 기호에 따라 초기 조각에 추가되거나 초기 조각에서 분리되는 다른 형상으로 해석된다.

그림 4는 k가 작은 사각형으로 해석되는 반면 a, b, c 및 d는 돌출부(+) 및/또는 들여짐(-)을 나타내는 템플릿의 기하학적 해석을 16개의 뚜렷한 조각이 나오도록 수정한다.

${\displaystyle {\begin{array}{ c c c c }\hline k+a+b&k-a+d&k-c-d&k-b+c\\\hline k+a-b&k-a-d&k-c+d&k+b+c\\\hline k-a-b&k+a-d&k+c+d&k+b-c\\\hline k-a+b&k+a+d&k+c-d&k-b-c\\\hline \end{array}}}$

전통적인 마법의 사각형과의 관계

첫눈에 비친 인상과는 달리 '지오마틱 스퀘어'라는 용어를 마법 스퀘어의 어떤 범주를 가리키는 것으로 보는 것은 오해다.사실 정반대되는 경우가 있다: 모든 (가법적) 마술 광장은 지리적 광장의 특정한 예지만, 그 반대의 경우는 결코 아니다.프랑스판 사이언티픽 아메리칸(Scientific American)의 푸르 라 사이언스(Pour la Science)에서 장폴 들라헤이의 지오매직 광장에 관한 광범위한 기사에 등장하는 아래의 예에 의해 요점이 명백해진다.^[11]이 경우 오른쪽의 지층 사각형의 목표 "모양"은 단순히 1차원 선분할 15단위 길이에 불과하며, 조각은 다시 직선분할에 지나지 않는다.이와 같이 후자는 분명히 왼쪽의 숫자 마술 사각형의 기하학적 용어로 직역한 것이다.

들라헤이의 말처럼, "이 예는 지리학적 사각형 개념이 마법의 사각형을 일반화한다는 것을 보여준다.여기서의 결과는 거의 장관이라고 할 수 없지만, 다행스럽게도 그런 번역의 결과가 아닌 다른 지층 광장도 있다."^[11][12]

모든 숫자 마술 사각형은 위와 같이 1차원 지자기 사각형으로 이해할 수 있다는 점이다.또는 솔로즈 자신이 말하는 대로 "그 후 숫자를 특징으로 하는 전통적인 마법의 사각형이 원소들이 모두 일차원적인 '지오매직' 사각형의 특별한 경우로서 드러난다."^[2]그러나 이것은 1D 케이스가 소진되지 않는데, 그 구성 요소가 분리 선 세그먼트이고 어떤 수치 마법 사각형에 해당되지 않는 1D 지자기 사각형이 존재하기 때문이다.그러므로 1차원에서 조차도 전통적인 형식은 모든 기하학적 마법 사각형의 아주 작은 부분집합에 해당된다.

특수유형

수치로 가능한 것보다 훨씬 더 많은 '마법'을 보이는 표본의 존재에 지리적 사각형의 풍부한 구조가 반영되어 있다.따라서 범마법 광장은 소위 깨진 대각선을 포함한 모든 대각선이 행과 기둥과 같은 마법의 속성을 공유하는 광장이 된다.그러나 3×3 크기의 범마법 사각형은 숫자로 구성하기가 불가능한 반면, 기하학적 예는 그림 3에서 볼 수 있다.연결된 피스를 사용한 비교 가능한 예는 아직 보고되지 않았다.^[2]

지형이 있을 뿐만 아니라, 보조적인 성질을 가진 사각형이 존재하여 더욱 특색 있다.예를 들어 그림 6에서, 행과 기둥에서만 마법이 되는 16개의 조각은 이른바 자기 타일 세트를 형성한다.그러한 집합은 n개의 구별되는 형상 집합으로 정의되며, 각각은 n개의 전체 형상 집합의 더 작은 복제본으로 타일링될 수 있다.^[13]

두 번째 예는 그림 4인데, 이것은 이른바 '자기간섭식' 지리학적 사각형이다.여기서 16개의 조각은 더 이상 분리된 세포 안에 들어 있지 않고 사각형 세포 모양 자체를 정의하여 서로 맞물려서 사각형 모양의 조각상을 완성한다.

대중문화의 지오매직 광장

2014년 10월 9일 마카오 우체국은 마법의 광장을 바탕으로 한 우표를 연달아 발행했다.^[14]아래 우표는 살로우가 만든 지층 정사각형 중 하나를 보여 주는 것으로, 이 수집품에 선택되었다.^[15]

참조

메모들

원천

• 2013년 4월, Sallows, Lee, 기하학적 매직 스퀘어: 숫자 대신 색상을 사용한 도전적인 새로운 트위스트, Dover 출판물, ISBN0486489094

외부 링크

• Geomagic Square 웹사이트
• 지오매직 스퀘어의 공식수학적 정의