프로지 건설

대수 기하학에서 프로즈는 투사적 공간과 투사적 다양성의 전형적인 성질을 가진 물체를 생산하는 아핀 계통의 스펙트럼 구성과 유사한 구조다.그 건축은 교구적이지는 않지만, 계획 이론의 기초적인 수단이다.

이 글에서, 모든 고리는 동일하고 정체성과 일치한다고 가정할 것이다.

등급반지의 프로지

세트로서의 프로지

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 등급이 지정된 링으로 두십시오.

그라데이션과 관련된 직접 합계 분해.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 관련없는 이상은 양의 원소 이상이다$$.우리는 이상형이 동질 원소에 의해 생성된다면 동질적이라고 말한다.그러면 세트로서.간결성을 위해 우리는 ${\displaystyle \mathrm{때때로}}$ ${\displaystyle \mathrm{Proj}}$ ${\displaystyle }$ S ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$에 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X}을$($를) 쓸 것이다$.$

위상학적 공간으로서의 프로지

닫힌 세트를 폼의 세트로 정의하여$$ ${\displaystyle \mathrm{Proj}}$ ${\displaystyle j}$S ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$에 Zariski 토폴로지로 불리는 위상을 정의할 수 있다.

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj}S\mid a\subseteq p\}}$

여기서 ${\displaystyle a}$은(는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 동질적 이상이다$.$ 연결 체계의 경우처럼 $V{\displaystyle ()}$ ${\displaystyle V(a)}$이(가$)$ X {\$displaystyle X}$의 토폴로지의 닫힌 집합을 형성하는지$$ 빠르게 검증된다$.$

실제로${\displaystyle }$(${\displaystyle i_{}{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ I$}}}$이(가) 이상 계열이라면$$ $\bigcap$ $V$($a$)$$= V ($i$) = V ($\sum$ $a_{}$) ${\$ V $(a_{i})$가 있다.$=V\left$$(\sum a_${i$}\right)$ 및 색인 집합 I가 유한하면$($ V($a$) = $V(a_{}$) = V$($ ) {\$textstyle \bigcup V(a_{$i}$=V\왼쪽(\prod a_{i}\오른쪽)}$.

마찬가지로, 우리는 오픈 세트를 출발점으로 삼고 정의할 수 있다.

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj}S\mid a\not \subseteq p\}}$

A common shorthand is to denote ${\displaystyle D(Sf)}$ by ${\displaystyle D(f)}$, where ${\displaystyle Sf}$ is the ideal generated by ${\displaystyle f}$. For any ideal ${\displaystyle a}$, the sets ${\displaystyle D(a)}$ and ${\displaystyle V(a)}$ are complementary, and hence the same proof as before shows that the sets ${\displaystyle D(a)}$ form a topology on ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$. The advantage of this approach is that the sets ${\displaystyle D(f)}$, where ${\displaystyle f}$ ranges over all homogeneous elements of the ring ${\displaystyle S}$$링$의 스펙트럼에 대한 유사 사실이 마찬가지로 필수불가결한 것처럼, 이$$위상의 기초를 형성하는 것은 ${\displaystyle \mathrm{Proj}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}${\$displaystyle \operatorname {Proj} S}$ 분석에 필수불가결한 도구다$.$

계획으로서의 프로지

우리는 또한 ${\displaystyle \mathrm{Proj}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$에 피사체 케이스에서처럼 "구조 피사체 피사체"라고 불리는$$피사체를 만들어 하나의 계략으로 만든다.스펙 구축의 경우와 마찬가지로 진행방법은 여러 가지가 있다. 고전 대수 기하학에서 투영적인 다양성에 대한 정기적인 기능 구성도 시사하는 가장 직접적인 것은 다음과 같다.For any open set ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$ (which is by definition a set of homogeneous prime ideals of ${\displaystyle S}$ not containing ${\displaystyle S_{+}}$) we define the ring ${\displaystyle O_{X}(U)}$ to be the set of all functions

${\displaystyle f\colon U\to \빅컵 _{p\in U}S_{(p)}}}$

(여기서 $S{\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle p_{}}$) ${\$${($$p)}}}$은(는) $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 각 주요 이상 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해 다음과 같이 동일한 수준의 동질 원소의 분수로 구성된$$ 분수 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${$의 링의 서브링을 나타낸다$$$.$

1. ${\displaystyle f}$( p${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(p)}$은(는) $S{\displaystyle {}_{}}$( p${\displaystyle {}_{}}$) ${\$의 요소다$.$
2. $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 각 주요 이상 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 대해 동일한 $수준$의 동일한$$ 요소 $및{\displaystyle }$ p ${\displaystyle s,t}$을(를) 포함하는$$ 열린 하위 집합 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle$V$\subset$ U$}$이(가) 있다$.$
   • ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$이(가) $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ $;$에 없음
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

It follows immediately from the definition that the ${\displaystyle O_{X}(U)}$ form a sheaf of rings ${\displaystyle O_{X}}$ on ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$, and it may be shown that the pair (${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$, ${\displaystyle O_{X}}$)실제로 하나의 체계(${\displaystyle \mathrm{이것}}$은 각 열린 하위 $집합{\displaystyle }$ D${\displaystyle }$( f${\displaystyle }$) ${\displaystyle D(f)}$이(가) 사실상 부속 체계임을$$ 보여줌으로써 달성된다.

등급이 매겨진 모듈에 연결된 피복

$위$의 구성에 대한 $S$ ${\displaystyle S}$의 필수 속성은 S ${\displaystyle$ S$}$의 각 주요 $이상{\displaystyle }$p {\$displaystyle$ $p$$}$에 대해 $로컬라이제이션{\displaystyle {}_{}}$ S $){\$S_${p$)}를 형성하는$$능력이었다. 이 속성은$S$에 대해$$ 등급이 $매겨진{\displaystyle }$ 모듈 M ${\$$displaysty$$.$$yle S}$, and therefore with the appropriate minor modifications the preceding section constructs for any such ${\displaystyle M}$ a sheaf, denoted ${\displaystyle {\tilde {M}}}$, of ${\displaystyle O_{X}}$-modules on ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$. This sheaf is quasicoherent by construection. 만일 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 도 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle$ $1}$의 여러 요소$($예: 다항식 링 또는 그것의 동질적 지수)$$에 의해 생성되는$$ 경우, $quasico$ 정합성 $피복$은 이 구조에 의해 등급이 매겨진 $모듈$에서 발생한다$$.^[1]해당 등급의 모듈은 고유하지 않다.

세레의 꼬불꼬불한 껍질

등급이 다른 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S}$ 그$$ 자체로 $등급$이$$다른 M {\$displaystyle$ M$}$을(를) 취할 때 특별한 경우: 즉, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$${\displaystyle \}}$의 도 d ${\$$displaystyle$ $d}$ 요소를$$ S ${\\displaystyle$$(d+1$)의 도$({\displaystyle }$d+1$)$ 요소로 한다$$.$e S}$ $,$ 그래서

and denote ${\displaystyle M=S(1)}$. We then obtain ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ as a quasicoherent sheaf on ${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$, denoted ${\displaystyle O_{X}(1)}$ or simply ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$, called the twisting sheaf of 세레.$O{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle {\mathcal{O}(1)}$이(가) 사실 반전성 피복임을 확인할 수 있다.

$O{\displaystyle \mathcal{}}$( $){\displaystyle {\mathcal{O}(1)$가 효용되는 한 가지 이유는 ${\displaystyle {OX}_{}}$ {\$displaystyle$ O_${X}$의$$시공에서 우리가 0도의 분수로 통과할 때 손실되었던$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 대수 정보를 복구하기 때문이다$$.링 A에 대한 Spec A의 경우, 구조물의 전체 섹션은 A자체를 형성하는 반면, 여기서$$ ${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\${\$mathcal{O}_{X}$의 전역 섹션은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S$}의 도 영도 요소만 형성한다$.$ 정의하면

${\displaystyle {\mathcal {O}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}(1)}$

그런 다음 $각{\displaystyle \mathcal{}}$ O${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$)$${\$displaystyle${\$mathcal$${O$$}(n)}$에는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 ${\displaystyle }$ ${\$ 정보가$$ 포함되며$,$ $함께{\displaystyle {}_{}}$ 계산하면 ${\displaystyle {손실}_{}}$된 모든 등급 정보가 포함된다.마찬가지로, 등급이 매겨진 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\${\$mathcal {O}_{$X} $-modules$ N {\$displaystyle$ N$}$에 대해 정의한다$$.

$[\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}(n)}$

특히 N ${\displaystyle$ $N}$에 대한 등급 정보를 $포함$할 $것$으로$$예상한다. N {\$displaystyle$ N$}$이(가) $등급$이 $지정$된 S {\displaystyle $S}$ -module$$ $M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle M}$에 대한 손실된 등급 정보를 포함할 것으로$$ 예상한다$.$ $이$는 제안한다.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$은(는) 잘못되었지만, 사실상 이러한 조각으로부터 재구성될 수 있다$$.

그러나 이는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 아래 다항식 링인 경우 해당된다.이 상황은 스펙 펑커가 국소적으로 링된 공간의 범주에서 글로벌 섹션 펑터(functor)와 대조된다.

투사형 n-공간

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 링인$$ 경우, $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$ 위에 투영된 n-공간을 스키마로 정의함$$

${\displaystyle \mathb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj}A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$

다항식 $링{\displaystyle }$S =${\displaystyle A}$ [ ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$]$${\$displaystyle$S=$A[x_{0},\ldots, x_{n}}}}$의 $등급$은 각 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$$${\$displaystyle$ $x_{i$$}}$의 각 요소가 도 1을 갖도록$$ 하여 정의된다$.$이것을 $위$의 O${\displaystyle }$( $){\displaystyle${\$mathcal{O}(1)$의$$정의와 비교해 보면, $O{\displaystyle \mathcal{}}$ ($){\displaystyle {\mathcal{O}(1$)의$$섹션은 사실상$$ x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 의해$$ 생성된 선형 동종 다항식임을 알 수 있다.$이$는 x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 문자 그대로 투영 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ - $space$에 대한$$ 좌표인 $O{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle 1}$)$$${\displaystyle {\mathcal$${O$$}($$1)$의 또 다른 해석을 시사한다$.$

Proj의 예

아핀 라인 위로 프로지

베이스 링을 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle C\mathbb{}}$ [${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle A=\mathb {C} [\lambda$ $]\},$

aff${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \$$mathb {A}$ $\_{\displaystyle }$${\$$lambda$$}^{1}$의$$점들을 제외하고 섬유는 타원 곡선이며 곡선이 노달 곡선으로 전락하는 지점들은$$ $예외$로 한다.그래서 진동이 있다.그것은 또한 계획의 부드러운 형태론이다. (Jacobian 기준을 사용하여 확인할 수 있다.)

투사형 과급기 및 품종

The projective hypersurface ${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4$$}^{5}\right)}}$은(는) 페르마트 5중주(Fermat 5중주)의 예로서, 역시 칼라비–이다.야우 다지관.투사성 하이퍼퍼페이스 외에도, 동종 다항식 시스템에 의해 차단되는 모든 투사성 다양성

$({\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}$)에서 ${\displaystyle (n+1)}$ -csv는$$ 등급화된 대수법에 대한 proj 구성을 사용하여 투영 체계로 변환할 수 있다.투영적 계획에 투영적 다양성을 포함시키는 것.

가중 투영 공간

가중 투영 공간은 변수가 비표준도를 갖는 다항 링을 사용하여 구성할 수 있다.For example, the weighted projective space ${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$ corresponds to taking ${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ of the ring ${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$ where ${\displaystyle X_{0},X_{1}}$ have weight ${\displaystyle 1}$${\displaystyle X_{}}$$$2 {\$displaystyle X_{1}:{$2}}: 무게 2가 있다$$.

비그레이드 반지

프루즈 구조는 큰 고리와 여러 겹 고리로 확장된다.기하학적으로 이것은 투영적인 계획의 산물을 가져가는 것에 해당한다.예를 들어, 등급이 매겨진 링을 볼 때

각 발전기 $1$의 정도와 $함께$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 위에 있는 이 알헤브라의 텐서 곱은 빅레이드 대수학(bigraded 대수학)을 제공한다$$.여기서 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 중량$({\displaystyle 1}$ ,${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle(1,0)$이고 ${\displaystyle {Yi}_{}}$ ${\$는 중량$({\displaystyle 0}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (0,1$)을 가짐$$$.$ 그러면 프로지 구조는 다음을 제공한다.그건 계획적인 계획의 산물이야그러한 계획들이 총 등급의 대수학을 취함으로써 투영적인 공간에 내재되어 있다.여기서 도${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle(a,b$)} 요소는$$ 도${\displaystyle (+b}$) ${\displaystyle(a+b)}$ 요소로$$ 간주된다.$즉{\displaystyle {}_{}}$, $S{\displaystyle }$${\displaystyle {\bullet }_{}}$의 k {\$displaystyle$ k$}$ -th$$ gradded part of S ∙ ${\$이(가) 모듈임을$$ 의미한다.In addition, the scheme ${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$ now comes with bigraded sheaves ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$ which are the tensor product of the sheaves ${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otime$$s \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}(b)}$여기서$$그리고표준적인 투영법은 공통 알헤브라의 텐서 제품 다이어그램에서 이러한 알헤브라를 주입하는 것으로부터 오는 것이다.

글로벌 프로지

프로즈 건설의 일반화는 링 S를 알제브라 한 조각으로 대체하고, 결과적으로 프로즈의 링을 교정한 것으로 생각될 수 있는 계획을 생산한다.예를 들어, 이 구조는 기본 계획 위에 투영적인 공간 번들을 건설하는 데 종종 사용된다.

가정

형식적으로는 X를 어떤 계략이라도 되게 하고 S는 등급이 매겨진 ${\$ -algebras$$ (의 정의는 ${\displaystyle {OX}_{}}${\$displaysty O_{X}}$ -modules의 정의와 유사하다) 즉, 직접 합을 분해한 sheaf이다.

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}}}$

여기서 각 ${\displaystyle {Si}_{}}$ ${\$은(는) X의 모든 열린 부분 집합 U에 대해 ${\displaystyle O_{}}$ X${\displaystyle {}_{}U)}$ ${\displaystyle O_{X}$-algebra$$ 및 그에 따른 직접 합 분해인 ${\displaystyle {OX}_{}}$ ${\$

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

반지로써 이 대수학을 채점하는 것이다.여기서 $우리$는 ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$0 = ${\displaystyle {}_{}}$ X$${\$디스플레이$ 스타일 $S_{0}=O_{X$을(를) 가정한다. 우리는 S가 준 일관성 있는 피복이라고 추가 가정한다. 이는 공사의 진행에 필요한 서로 다른 오픈 세트에 대한 섹션에 대한 "일관성" 가정이다.

건설

이 설정에서 우리는 X의 모든 개방된 부속서 U에 대해 X에 대한 체계 P ${\displaystyle \mathbf{r}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} S}$와 "projection" map p를 구성할 수 있다.

${\displaystyle(\operatorname {\mathbf {Proj} }S) _{p^{-1}(U)=\operatorname {Proj}(S(U)})}$

이 정의는 우리가 먼저 각 오픈 어핀 U에 $대해$ Y ${\displaystyle U_{}}$ ${\$$$\operatorname ${\mathbf {Proj}{{U$$}}$을(를) 정의함으로써$$ P ${\displaystyle \mathbf{r}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ ${\displaystyle o}$ j ${\displaystyle$ $Y_{U$}을$($를) 구성함을 제안한다.

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj}S(U),}$

${\displaystyle 및}$ 지도 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$: ${\displaystyle Y_{}}$ U${\displaystyle {}_{}}$→ U ${\디스플레이$ 스타일 $p_{$$U}\colon Y_{U}\to U}$, and then showing that these data can be glued together “over” each intersection of two open affines U and V to form a scheme Y which we define to be ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$. It is not hard to show that defining each ${\displaystyle p_{$$U$${\displaystyle \}\}}$ 도 영도 원소가 $P{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle O_{X}(U)$를 S(U)에$$ 포함함에 따라 필요한 ${\displaystyle P_{}}$ ${\$의 일관성을 산출하는 $지도임{\displaystyle {}_{}}$$U$ Y ${\displaystyle U_{}}$ ${\$ 그$$ 자체의 일관성은 S에 대한 준 일관성 가정으로부터 따른다.

꼬불꼬불한 칼집

If S has the additional property that ${\displaystyle S_{1}}$ is a coherent sheaf and locally generates S over ${\displaystyle S_{0}}$ (that is, when we pass to the stalk of the sheaf S at a point x of X, which is a graded algebra whose degree-zero elements form the ring ${\displaystyle O_{X,x}}$ then the led-one 요소가 ${\displaystyle {OX}_{}}$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\$에 걸쳐 정밀하게 생성된 모듈을 형성하고$$, 또한 그 위에 줄기를 대수로서 생성) 그러면 우리는 더 많은 공사를 할 수 있을 것이다.Over each open affine U, Proj S(U) bears an invertible sheaf O(1), and the assumption we have just made ensures that these sheaves may be glued just like the ${\displaystyle Y_{U}}$ above; the resulting sheaf on ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$ is also denoted O(1) and serves much the same pu링의 Proj에 있는 비틀림 피복이 그러하듯이$$ $P{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{r}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ j${\displaystyle \mathbf{j}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj}$}$S}$에 대해 rpose.

준정합성 피복의 프로지

$E{\displaystyle }$ ${\$을(를) 체계 X ${\displaystyle X}$에 대한 준 일관성 있는 피복으로$$ 두십시오$.$대칭 알헤지브라 $S{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ y ${\displaystyle {\mathbf{m}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{O}}_{}}$ ${\displaystyle {X_{}}_{}}$(${\displaystyle E}$) ${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}({\mathcal{E})}}$의 피복은 당연히$$ $등급$이 매겨진 O ${\displaystyle X_{}}$ ${\$ -modules의$$ 준 일관성 피복이다.The resulting scheme is denoted by ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$. If ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ is of finite type, then its canonical morphism ${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$ is a projective morphism.^[2]

For any ${\displaystyle x\in X}$, the fiber of the above morphism over ${\displaystyle x}$ is the projective space ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$ associated to the dual of the vector space ${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):$$={\mathcal{E}\otimes _{O_{X}k(x)}$ over$$${\displaystyle k}$ ($){\displaystyle k(x)}$.

If ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ is a quasi-coherent sheaf of graded ${\displaystyle O_{X}}$-modules, generated by ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ and such that ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ is of finite type, then ${\displaystyle \mathbf {Proj} {\math$$cal {S}}}$ is a closed subscheme of ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$ and is then projective over ${\displaystyle X}$. In fact, every closed subscheme of a projective ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ is of this form.^[3]

투영 공간 번들

As a special case, when ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ is locally free of rank ${\displaystyle n+1}$, we get a projective bundle ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$ over ${\displaystyle X}$ of relative dimension ${\displaystyle n}$. Indeed, if we take an open cover of X by open은 ${\displaystyle \mathrm{사양}}$ ${\displaystyle }$( $){\displaystyle$ U$=\operatorname {Spec} (A)}$을(를) 붙여서, 이들 각각에 제한되었을 때, $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) A에 대해 무료가 되도록$$ 한다.

${\displaystyle \mathb {P}({\mathcal {E}) _{p^-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj}A[x_{0},\dots,x_{n}]=\mathb {P} _{A}}}}{U}^{n}}}}}}}}}}}:{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

따라서 $P{\displaystyle \mathbb{}(E}$) ${\displaystyle \mathb {P}({\mathcal {E})$은 투영 공간 번들이다.많은 품종 집단은 타원곡선의 Weierstrass 계열과 같이 이러한 투영적인 다발의 하위집합으로 건설될 수 있다.자세한 내용은 기본 문서를 참조하십시오.

Global Proj의 예

글로벌 프로즈는 렙쉐츠 연필을 만드는 데 사용될 수 있다.예를 들어 $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ s${\displaystyle {}_{}^{}}$, t ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}:{$1}:{$1}을$$(를) 두고 동종 다항식 $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0\mathbb{}{}_{}}$,${\displaystyle }$, , , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$]$${\$displaysty f,g\in \mathb {C}[x_{0},ldots_{n$}}}}}}}]를$$ k$]$로 한다.We can consider the ideal sheaf ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(sf+tg)}$ of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ and construct global proj of this quotient sheaf of algebras ${\displaystyle {\mathcal {O}$$}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}}$. This can be described explicitly as the projective morphism ${\displaystyle \operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))$$\to \mathb {P} _{s,t}^{1}:{$1$\}.$

참고 항목

• 투영 공간
• 투영공간의 대수적 기하학적 기하학
• 투영화

참조

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157