지시함수

정사각형 2차원 영역(

세트

X) 위에 표시된 지표 함수의 3차원 그림: "증가" 부분은 "표시" 부분 집합(

A

)의 멤버인 2차원 점들을 오버레이한다.

수학에서 집합의 부분 집합의 지표 함수 또는 특성 함수는 부분 집합의 요소를 1에 매핑하고, 집합의 다른 모든 요소를 0에 매핑하는 함수다. The indicator function of a subset $A$ of a set $X$ maps $X$ to the two-element set $\{0,1\}\,;$ $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ if an element $x$ in $X$ belongs to $A$ , and $\mathbf {1} _{A}(x)=0$ if ${\displaystyle$ $x}$ 이 $x$ (가) $A$ 에 속하지 않음 $I_{A},$ $I_{A},$ ${\displaystyle I_{A},$ $\mathbf {1} _{A},$ $\chi _{A}.$ $\chi _{A}.$ ${\$ displaystyle $\$ $chi _{A$ }, $\mathbf {1} _{A},$ A. ${\$ $displaystyle$ \chi _{A $}$ 로 $\mathbf {1} _{A},$ $I_{A},$ 나타낼 수 있다. $}$

디리클레 함수는, 실수의 서브셋으로서 합리적인 숫자의 지표함수로서, 지표함수의 예다.

정의

집합 $X$ 의 부분 집합 $A$ 의 표시기 함수는 함수다.

\mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}

로 정의되어 있는.

\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{case}1~&{\text{{}}}{}}}}}*~x\in A~,\0~{\text{{}}}.\end{case}}

Iverson 브래킷은 $\mathbf {1} _{A}(x)\,.$ A ( $\mathbf {1} _{A}(x)\,.$ ) 대신 $[x\in A]$ [ x $in$ A $[x\in A]$ {\ $displaystyle [x\in$ A]} 또는 $[x\in A]$ ⧙ $x$ ϵ $A$ $⧘$ 과 동등한 표기법을 제공하며 $\mathbf {1} _{A}(x)\,.$ $\display$ style $\mathbf {$ 1 $} _{A}(x)\,}$

함수 $\mathbf {1} _{A}$ $\mathbf {1} _{A}$ ${\$ 는 때때로 $I A$ , $χ A$ , $K A$ 또는 심지어 $A$ 로 표기되기도 $\mathbf {1} _{A}$ 한다.^[a]^[b]

표기 및 용어

표기법 ${\$ 는 볼록 분석에서 특성 함수를 나타내는 데에도 사용되는데 $\chi _{A}$ , 이는 지시함수의 표준 정의의 역수를 사용하는 것처럼 정의된다.

통계에서 관련된 개념은 더미 변수의 개념이다. (이용어는보통 수학에서 사용되며, 바운드 변수라고도 불리기 때문에"더미 변수"와 혼동해서는 안 된다.)

고전적 확률론에서 '성격함수'라는 용어는 관계없는 의미를 갖는다. 이러한 이유로 전통적인 확률론자들은 여기서 정의한 함수에 대해 거의 독점적으로 지표함수라는 용어를 사용하는 반면, 다른 분야의 수학자들은 집합의 멤버십을 나타내는 함수를 설명하기 위해^[a] 특성함수라는 용어를 더 많이 사용할 가능성이 있다.

퍼지 논리학 및 현대 다값 논리학에서 술어는 확률 분포의 특성 함수다. 즉, 술어의 엄격한 참/거짓 가치평가는 진리의 정도라고 해석되는 양으로 대체된다.

기본 속성

일부 설정 $X$ 의 부분 집합 $A$ 의 지표 또는 특성 함수는 $X$ 의 요소를 [ $0, 1]$ 범위에 매핑한다 $.$

이 매핑은 $A$ 가 비어 있지 않은 $X$ 의 적절한 부분 집합일 때만 허탈하다. If $A\equiv X,$ then $\mathbf {1} _{A}=1.$ By a similar argument, if $A\equiv \emptyset$ then ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0.$ $}$

다음에서 점은 곱하기, $1\cdot 1=1,$ $1\cdot 1=1,$ = $1\cdot 1=1,$ , ${\displaystyle$ 1 $\cdot 1=1,}$ $1\cdot 1=1,$ $1\cdot 0=0,$ $1\cdot 0=0,$ $1\cdot 0=0,$ = $1\cdot 0=0,$ 등을 $1\cdot 0=0,$ 나타낸다. "+"와 "-"는 덧셈과 뺄셈을 나타낸다. " $\cap$ ${\displaystyle \cap$ $\cap$ 및 " $\cup$ { $\cup$ {\ $displaystyle \cup$ 은 각각 교차로와 조합이다.

$A$ $A$ 및 $A$ $B$ ${\displaystyle$ $B$ $}$ 이 $B$ (가) $X$ , ${\displaystyle$ X $,}$ 의 두 하위 집합인 경우 $X,$

{\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}

$A$ $A$ 의 $A$ 보완 기능에 대한 표시기 기능. $A^{C}$ ${\$ A $^{C}$ 는 다음과 $A^{C}$ 같다.

\mathbf {1} _{A^{\completion }}=1-\mathbf {1} _{A}.

보다 일반적으로 $A_{1},\dotsc ,A_{n}$ $A_{1},\dotsc ,A_{n}$ , $A_{1},\dotsc ,A_{n}$ … , a $A_{1},\dotsc ,A_{n}$ ${\$ 은 $A_{1},\dotsc ,A_{n}$ (는) $X$ 의 하위 집합 모음입니다. $x\in X:$ 의 x $x\in X:$ X $x\in X:$ : {\ $displaystyle$ x\ $in$ X $:}$

\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))

$0s$ 와 $1s$ 의 제품임이 분명하다. 이 제품은 정확히 A $A_{k}$ ${\$ 세트에 속하지 않고 $x\in X$ $A_{k}$ 0인 $x\in X$ $x\in X$ $x\in X$ $x\in X$ 의 값을 가지고 있다. 그것은

\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.

왼쪽에서 제품을 확장하고,

\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}(-1)^{F }}\mathbf {1}{\bigcap_{F}A_{k}}=\sum _{\empt \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\(1)^{F +1}\mathbf {1}{\bigcap_{F}A_{k}}

여기서 $|F|$ $displaystyle$ F $}$ 은 $|F|$ (는) $F$ 의 카디널리티다. 이것은 포함-배제 원칙의 한 형태다.

앞의 예에서 제시한 바와 같이, 표시기 함수는 조합학에서 유용한 공칭 장치다. 이 표기법은 다른 장소에서도 사용되는데, 예를 들어 확률론에서 $X$ 가 확률측정 $\operatorname {P}$ ${\displaystyle\operatorname {P}}을($ 를) 가진 확률공간이고 $\operatorname {P}$ $A$ 가 측정 가능한 집합이라면, $\mathbf {1} _{A}$ A ${\$ } $_{A}$ 는 기대값이 $A$ 의 확률과 동일한 랜덤 변수가 된다 $\mathbf {1} _{A}$ .

{\d\operatorname {E}(\mathbf {1} _{A}=\int_{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} = _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P}(A)})(A)}

이 정체성은 마르코프의 불평등을 보여주는 간단한 증거에 사용된다.

순서 이론과 같은 많은 경우에서 지시함수의 역수를 정의할 수 있다. 이것은 보통 뫼비우스 함수라고 하는데, 이는 초등수 이론에서 지표함수의 역행성을 일반화한 것으로서 뫼비우스 함수라고 한다. (고전적 재귀 이론에서 역의 사용에 대한 내용은 아래 단락을 참조하십시오.)

평균, 분산 및 공분산

Given a probability space $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ with $A\in {\mathcal {F}},$ the indicator random variable $\mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ is defined by $\mathbf {1} _{A}(\omega )=1$ $\mathbf {1} _{A}(\omega )=1$ $\mathbf {1} _{A}(\omega )=1$ ${\displaystyle \mathbf {$ 1} $\omega \in A,$ $\omega \in A,$ _ ${A}(\omega$ )=1 $},$ ${\displaystyle \omega \in A},$ 다른 $\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$ $\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$ $\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$ ) $\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$ = $\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$ ${\displaysty \mathbf {1} _{A}(\omega )=0).$ $}$

평균: $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ ( $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ ( $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ ) $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ = $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ ( A $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ ) ${\displaystyle \operatorname {E}(\mathbf {$ 1 $} _{A}(\omega )=\operatorname {P}(A)}("$ 기본 브리지"라고도 함)

분산: $\operatorname {Var}(\mathbf {1} _{A}(\omega )=\operatorname {P}(A)(1-\operatorname {P}(A))$

공분산: $\operatorname {Cov}(\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega )=\operatorname {P}(A\cap B)-\operatorname {P}(B)}(B)$

재귀이론의 특성함수, 괴델과 클레네의 대표함수

커트 괴델은 1934년 논문 "정식 수학 시스템의 불해명 제안들에 대하여"에서 대표 기능을 설명했다("수학"은 논리적 역전을 나타낸다(즉,^[1]^{: 42} "NOT").

There shall correspond to each class or relation $R$ a representing function $\phi (x_{1},\ldots x_{n})=0$ if $R(x_{1},\ldots x_{n})$ and $\phi (x_{1},\ldots x_{n})=1$ if $\neg R(x_{1},\ldots x_{n}).$ ${\displaystyle \neg R(x_{1},\ldots x_{n}).$ $}$

클렌은 원시 재귀함수의 맥락에서 동일한 정의를 제시하며, $술어$ 가 참이면 $0$ , 술어가 거짓이면 $1$ 을 함수로 한다.^[2]

For example, because the product of characteristic functions $\phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0$ whenever any one of the functions equals $0$ , it plays the role of logical OR: IF $\phi _{1}=0$ OR $\phi _{2}=0$ OR ... OR $\phi _{n}=0$ = $\phi _{n}=0$ $\phi _{n}=0$ 그러면 $\phi _{n}=0$ 제품이 $0$ 이 된다. 무엇이 현대 독자들에게.을 나타내는 함수의 논리 역전, 즉을 나타내는 기능은 0이 기능 R은"진정한"또는 satisfied", 하는 유용한 역할을에서 클레이니의 정의의 논리적 기능 OR, AND, 그리고 IMPLY,[2]:228은 bounded-[2]:228과 unbounded-[2]:279페이지와 그 다음 인도에서 기원한 운영자 및 컴퓨터 이용 소프트웨어 공정 기능이다.[2]:229

퍼지 집합 이론의 특성 함수

고전 수학에서 집합의 특성 함수는 값 $1$ (구성원) 또는 $0$ (비구성원)만 취한다. 퍼지 집합 이론에서 특성 함수는 실제 단위 간격 $[0, 1]$ 에서 값을 취하도록 일반화된다. 일부 대수 또는 구조(보통 적어도 양수 또는 격자여야 함). 이와 같이 일반화된 특성 함수를 더 일반적으로 멤버십 함수라고 하며, 이에 대응하는 "세트"를 퍼지 집합이라고 한다. 퍼지는 "키가 큰" , "따뜻한" 등과 같은 많은 실제 술어들에서 보이는 멤버십 수준의 점진적인 변화를 모델화한다.

지표함수의 파생상품

특정 지표 함수는 Hubiside step 함수다. Hwubiside $step$ $함수$ H $($ x)는 1차원 양의 하프라인 즉, 도메인 $[0, \infty]$ 의 지표 함수다. 헤비사이드 스텝 함수의 분포 파생형은 디락 델타 함수와 동일하다.

\delta(x)={\tfrac {dH(x)}{dx}}

다음과 같은 속성으로:

{\dx=f(0)={-\ft \}^{\f(x)\,\dx=f(0)}

Hubiside 스텝 함수의 파생은 양의 하프라인에 의해 주어진 영역의 경계에서 내부 정규 파생으로 볼 수 있다. 더 높은 차원에서는 파생상품이 내부 정상파생상품으로 자연스럽게 일반화되는 반면, Hubiside 단계 기능은 일부 영역 $D$ 의 지표함수로 자연스럽게 일반화된다. $D$ 의 표면은 $S$ 로 표시된다. 계속하면 지표의 내부 정상 파생상품이 '표면 델타 함수'를 발생시키는 것으로 유도할 수 있는데, 이는 $\delta _{S}(\mathbf {x} ):$ S $\delta _{S}(\mathbf {x} ):$ ( $\delta _{S}(\mathbf {x} ):$ ) $\delta _{S}(\mathbf {x} ):$ : $\delta _{S}(\mathbf {x}):$

\delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1}{\mathbf {x} \in D}}

여기서 $n$ 은 표면 $S$ 의 바깥쪽 정상이다. 이 '표면 델타 함수'는 다음과 같은 특성을 가지고 있다.^[3]

-\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .

함수 $f$ 를 1과 같게 설정함으로써 지표의 내부 정규파생물이 지표면 면적 $S$ 의 수치값과 통합되는 것을 따른다.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b 그리스어 $문자$ appears은 그리스어 αααατρρρ의 초문자이기 때문에 나타나는데, 이는 그리스어 특징의 궁극적 기원이다.
^ $X$ 의 모든 표시기 기능 세트는 $X$ 의 전원 ${\mathcal {P}}(X),$ 세트인 ${\mathcal {P}}(X),$ P ${\mathcal {P}}(X),$ ( ${\mathcal {P}}(X),$ ) ${\mathcal {P}}(X),$ , ${\displaystyle {\mathcal {P}(X$ )로 식별할 수 있다. Consequently, both sets are sometimes denoted by $2^{X}.$ This is a special case ( $Y=\{0,1\}=2$ ) of the notation $Y^{X}$ for the set of all functions $f:X\to Y.$

참조

^ Davis, Martin, ed. (1965). The Undecidable. New York, NY: Raven Press Books. pp. 41–74.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introduction to Metamathematics (Sixth reprint, with corrections ed.). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. p. 227.
^ Lange, Rutger-Jan (2012). "Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator". Journal of High Energy Physics. 2012 (11): 29–30. arXiv:1302.0864. Bibcode:2012JHEP...11..032L. doi:10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID 56188533.

원천

Folland, G.B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001). "Section 5.2: Indicator random variables". Introduction to Algorithms (Second ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 94–99. ISBN 978-0-262-03293-3.
Davis, Martin, ed. (1965). The Undecidable. New York, NY: Raven Press Books.
Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introduction to Metamathematics (Sixth reprint, with corrections ed.). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company.
Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). Computability and Logic. Cambridge UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0.
Zadeh, L.A. (June 1965). "Fuzzy sets". Information and Control. San Diego. 8 (3): 338–353. doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X. ISSN 0019-9958. Wikidata Q25938993.
Goguen, Joseph (1967). "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 18 (1): 145–174. doi:10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl:10338.dmlcz/103980.

[χαρακτήρ-1] 그리스어 $문자$ appears은 그리스어 αααατρρρ의 초문자이기 때문에 나타나는데, 이는 그리스어 특징의 궁극적 기원이다.

[2] $X$ 의 모든 표시기 기능 세트는 $X$ 의 전원 ${\mathcal {P}}(X),$ 세트인 ${\mathcal {P}}(X),$ P ${\mathcal {P}}(X),$ ( ${\mathcal {P}}(X),$ ) ${\mathcal {P}}(X),$ , ${\displaystyle {\mathcal {P}(X$ )로 식별할 수 있다. Consequently, both sets are sometimes denoted by $2^{X}.$ This is a special case ( $Y=\{0,1\}=2$ ) of the notation $Y^{X}$ for the set of all functions $f:X\to Y.$

[Martin-1965-3] Davis, Martin, ed. (1965). The Undecidable. New York, NY: Raven Press Books. pp. 41–74.

[Kleene1952-4] Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introduction to Metamathematics (Sixth reprint, with corrections ed.). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. p. 227.

[5] Lange, Rutger-Jan (2012). "Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator". Journal of High Energy Physics. 2012 (11): 29–30. arXiv:1302.0864. Bibcode:2012JHEP...11..032L. doi:10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID 56188533.

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