셀버그급

수학에서 셀버그 클래스는 L-기능 클래스의 자명적인 정의다.클래스의 구성원은 일반적으로 L-기능 또는 제타함수라고 불리는 대부분의 기능에 의해 충족되는 본질적인 속성을 포착하는 듯한 네 가지 공리를 따르는 디리클레 시리즈다.클래스의 정확한 성질은 추측이지만, 클래스의 정의가 자동 형태와의 관계에 대한 통찰과 리만 가설 등 클래스의 내용 분류와 속성 설명으로 이어질 것이라는 희망이다.클래스는 (셀버그 1992년)의 Atle Selberg에 의해 정의되었는데, 그는 후기 작가들이 채용한 "axiom"이라는 단어를 사용하지 않는 것을 선호했다.^[1]

정의

S등급의 공식적 정의는 모든 디리클레 시리즈의 집합이다.

F(s)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac{a_{n}}{n^{s}}}}}}}}}

네 가지 공리(또는 셀버그가 말하는 가정)를 만족시키는 리 > 1에 절대 수렴:

분석성: $F(s)$ ( $F(s)$ ) $F(s)$ 은 s가 1일 때 가능한 유일한 극(있는 경우)으로 전체 복잡한 평면에 대한 용적 연속성을 가진다 $F(s)$ .
라마누잔 추측: ε $a_{n}\ll _{\epsilon }n^{\epsilon }$ > 0에₁ 대한 a = 1과 $a_{n}\ll _{\epsilon }n^{\epsilon }$ $a_{n}\ll _{\epsilon }n^{\epsilon }$ $a_{n}\ll _{\epsilon }n^{\epsilon }$ $a_{n}\ll _{\epsilon }n^{\epsilon }$ ${\$ a_ ${n$ }\ $ll _$ {\ $epsilon$ }{n $^{\ipsilon };$
함수 방정식: 형태의 감마 계수가 있음
$[\displaystyle \cHB(s)=Q^{s}\prod _{i=1}^{k}\감마(\omega _{i}s+\mu _{i}}})$

여기서 Q는 실수와 양수, γ 감마함수, Ω_i 실·양수, μ_i 콤플렉스는 음이 아닌 실수와 함께 이른바 루트 번호.

$\alpha \in \mathbb {C} ,\;|\alpha |=1$ $\alpha \in \mathbb {C} ,\;|\alpha |=1$ $\alpha \in \mathbb {C} ,\;|\alpha |=1$ , $\alpha \in \mathbb {C} ,\;|\alpha |=1$ = $\alpha \in \mathbb {C} ,\;|\alpha |=1$ ${\displaystyle \alpha \in \mathb {C} ,\; \alpha =1$

그 기능이 있는.

$\Phi(s)=\gamma(s)F\,$

만족시키다

$\Phi(s)=\alpha \,{\overline{s}}}};$
오일러 제품:R(s) > 1의 경우 F(s)는 premime에 걸쳐 상품으로 쓸 수 있다.
$F(s)=\prod _{p}F_{p}s$

와 함께

$F_{p}=\exp (}\sum _{n=1}^{\inflt }{b_{p^{n}}}{p^{ns}}{p^}{\Big )}}}}}}}}}}}}$

그리고, 어떤 θ < 1/2>에 대해서는,

$b_{p^{n}}=O(p^{n\theta }).\,$

정의에 대한 의견

μ의_i 실제 부분이 음성이라는 조건은 μ가_i 음성이었을 때 리만 가설을 충족시키지 못하는 알려진 L-기능이 있기 때문이다.특히, 특별한 고유값과 관련된 마스 형태들이 있는데, 이 형태들을 위해 라마누잔-피터슨 추측은 기능 방정식을 가지고 있지만 리만 가설을 만족시키지는 못한다.

θ = 1/2 케이스에는 리만 가설을 위반하는 디리클레 eta 기능이 포함되어 있기 때문에 < < 1/2이 중요하다는 조건이 있다.^[2]

4의_n 결과로서, a는 승법이고, a는 승법이다.

F_{p}=\sum _{n=0}^{\inflat }{\frac {a_{p^{n}}{p^}}}{p^}}{{ns}}}{\text{{{re}}}}}}{}s)0.

예

S에서 원소의 원형적인 예는 리만 제타함수다.^[3]또 다른 예로는 모듈 판별 Δ의 L-기능이 있다.

L(s,\Delta )=\sum _{n=1}^{n=1}{n^{n}{\frac{a_}}{n^{s}}}}}}}}}}

여기서 $a_{n}=\tau (n)/n^{11/2}$ = $a_{n}=\tau (n)/n^{11/2}$ ( $a_{n}=\tau (n)/n^{11/2}$ ) $a_{n}=\tau (n)/n^{11/2}$ / n $a_{n}=\tau (n)/n^{11/2}$ / 2 ${\$ 및 $a_{n}=\tau (n)/n^{11/2}$ τ(n)은 라마누잔 타우 함수다.^[4]

알려진 모든 예는 자동형 L 기능이며, F_p(s)의 왕복선은 경계가 있는 p의^−s 다항식이다.^[5]

셀베르크 등급의 구조에서 가장 좋은 결과는 카초로프스키와 페렐리 덕분인데, 이들은 디리클레 L 기능(리만 제타 기능 포함)이 2도 이하인 유일한 예라는 것을 보여준다.^[6]

기본 속성

리만 제타 함수와 마찬가지로 S의 원소 F는 감마인자 γ(s)의 극에서 발생하는 사소한 영을 가지고 있다.다른 영점들은 F의 비종교 영점이라고 불린다.이것들은 모두 1번 스트립에 위치할 것이다 - A s Re(s) in A. 0 ( Im(s) ≤ T_F(N(T)로 F의 비종교 0의 수를 나타내는 것으로 ^[7]셀버그는 보여주었다.

N_{F}(T)=d_{F}{\frac {T\log(T+C)}{2\pi }}}+O(\log T).

여기서 d는_F F의 정도(또는 치수)라고 한다.그것은 에 의해^[8] 주어진다.

{\displaystyle d_{F}=2\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}.

}

S에서

d_{F}=2\sum _{{i=1}}^{k}\omega _{i}.

도수가 1 미만인 유일한 함수 F = 1임을 알 수 있다.

만약 F와 G가 Selberg 반이라면, 그들의 제품도 그렇다.

d_{FG}=d_{F}+d_{G}.

S에서 F 1 1 함수는 F = FF로₁₂ 표기될 때마다 S에서 F로_i 표기되면 F = F₁ 또는 F = F로₂ 표기되고, d_F = 1이면 F가 원시적이라고 한다.S의 모든 함수 F ≠ 1은 원시 함수의 산물로 쓸 수 있다.아래에 기술된 셀버그의 추측들은 원시적 함수로의 요소화가 독특하다는 것을 암시한다.

원시 함수의 예로는 원시 디리클레 문자의 리만 제타 함수와 디리클레 L-기능이 있다.아래 1과 2의 추측을 가정하면, 라마누잔 추측을 만족시키는 불가해한 압류성 자동 형상의 L-기능은 원시적이다.^[9]

셀베르크의 추측

(셀버그 1992년)에서 셀버그는 S:의 기능에 대해 추측했다.

추측 1: S의 모든 F에 대해, 다음과 같은 정수 n이_F 있다.

\sum _{p\leq x}{\frac { a_{p}^{2}}:{p}=n_{{p}}{{p}}}}}F}\log \log x+O(1)

및_F n = 1 F가 원시일 때마다

추측 2: 뚜렷한 원시 F, F′ ∈ S에 대해,

\sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}a_{p}^{p}}}{p}}}{p}}=O(1)

추측 3: 만약 F가 원시적 요인화와 함께 S에 있다면

F=\prod _{i=1}^{m}{F_{i}}

χ은 원시 디리클레 문자, 함수

F^{\chi }}=\sum _{n=1}^{n=1}{n=1}{n^{n}}{\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}}}}}}}}}

또한 S에 있고, 그 다음 함수_i^χ F는 S의 원시적 요소다(그리고 결과적으로^χ F의 원시적 요소화를 형성한다).

S에 대한 리만 가설: S의 모든 F에 대해 F의 비종교 0은 모두 Re(s) = 1/2 선에 놓여 있다.

추측의 결과

추측 1과 2는 F가 s = 1에서 순서 m의 극을 가지고 있다면 F가 전체임을 의미한다.^m특히 디데킨드의 추측을 암시한다.^[10]

M. Ram Murty는 (Murty 1994)에서 추측 1과 2는 아르틴의 추측을 암시한다는 것을 보여주었다.사실, Murty는 이성의 해결 가능한 확장의 갈루아 집단의 돌이킬 수 없는 표현에 해당하는 Artin L 기능들이 랭글랜드 추측에 의해 예측된 대로 자동화된다는 것을 보여주었다.^[11]

S의 함수는 소수 정리 아날로그도 만족시킨다:F(s)는 Re(s) = 1. 라인에 0이 없다. 위에서 언급한 바와 같이 추측 1과 2는 S의 함수를 원시 함수로의 고유한 인자화를 의미한다.또 다른 결과는 F의 소수성이 n_F = 1과 같다는 것이다.^[12]

참고 항목

제타 함수 목록

메모들

^ 셀버그 논문의 제목은 (대략) (일부) 오래되고 새로운 문제와 결과에 대한 많은 논문을 가지고 있던 폴 에르드스에 대한 다소 패러디한 것이다."." 실제로 1989년 아말피 회의는 셀베르그와 에르디스가 참석한다는 것을 셀베르그가 몰랐다는 이야기와 함께 셀베르그와 에르디스가 모두 참석했다는 점에서 상당히 놀라웠다.
^ 콘레이 & 고시 1993, §1
^ 머티 2008
^ 머티 2008
^ 머티 1994
^ Jerzy Kaczorowski & Alberto Perelli (2011). "On the structure of the Selberg class, VII" (PDF). Annals of Mathematics. 173: 1397–1441. doi:10.4007/annals.2011.173.3.4.
^ 경계의 0은 반배수로 계산된다.
^ Ω이_i F에 의해 고유하게 정의되는 것은 아니지만, 셀버그의 결과는 이들의 합이 잘 정의되어 있음을 보여준다.
^ 머티 1994, 레마 4.2
^ A celebrated conjecture of Dedekind asserts that for any finite algebraic extension $F$ of $\mathbb {Q}$ , the zeta function $\zeta _{F}(s)$ is divisible by the Riemann zeta function $\zeta (s)$ . That is, the quotient $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ / $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ ( $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ ) $\zeta _{F}/\zeta}$ 은 $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ (는) 전체다.보다 일반적으로, 디데킨드는 $K$ ${\displaystyle$ K}이 $K$ (가) F{\ $displaystyle$ F $F$ 의 유한 확장이라면, $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ K $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ ( $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ ) $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ / $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ F $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ ) ${\displaysty \zeta _{K}/\zeta _{F}s}$ s}가 전체여야 한다고 $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ 추측한다.이 추측은 아직 미정이다.
^ 머티 1994, 정리 4.3
^ Conrey & Ghosh 1993, § 4

참조

Selberg, Atle (1992), "Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series", Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Salerno: Univ. Salerno, pp. 367–385, MR 1220477, Zbl 0787.11037 베를린 스프링거-베를라크, 제2권 수집지에 재인쇄(1991)
Conrey, J. Brian; Ghosh, Amit (1993), "On the Selberg class of Dirichlet series: small degrees", Duke Mathematical Journal, 72 (3): 673–693, arXiv:math.NT/9204217, doi:10.1215/s0012-7094-93-07225-0, MR 1253620, Zbl 0796.11037

Murty, M. Ram (1994), "Selberg's conjectures and Artin L-functions", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 31 (1): 1–14, arXiv:math/9407219, doi:10.1090/s0273-0979-1994-00479-3, MR 1242382, S2CID 265909, Zbl 0805.11062

Murty, M. Ram (2008), Problems in analytic number theory, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, vol. 206 (Second ed.), Springer-Verlag, Chapter 8, doi:10.1007/978-0-387-72350-1, ISBN 978-0-387-72349-5, MR 2376618, Zbl 1190.11001

[1] 셀버그 논문의 제목은 (대략) (일부) 오래되고 새로운 문제와 결과에 대한 많은 논문을 가지고 있던 폴 에르드스에 대한 다소 패러디한 것이다."." 실제로 1989년 아말피 회의는 셀베르그와 에르디스가 참석한다는 것을 셀베르그가 몰랐다는 이야기와 함께 셀베르그와 에르디스가 모두 참석했다는 점에서 상당히 놀라웠다.

[2] 콘레이 & 고시 1993, §1

[3] 머티 2008

[4] 머티 2008

[5] 머티 1994

[6] Jerzy Kaczorowski & Alberto Perelli (2011). "On the structure of the Selberg class, VII" (PDF). Annals of Mathematics. 173: 1397–1441. doi:10.4007/annals.2011.173.3.4.

[7] 경계의 0은 반배수로 계산된다.

[8] Ω이_i F에 의해 고유하게 정의되는 것은 아니지만, 셀버그의 결과는 이들의 합이 잘 정의되어 있음을 보여준다.

[9] 머티 1994, 레마 4.2

[10] A celebrated conjecture of Dedekind asserts that for any finite algebraic extension $F$ of $\mathbb {Q}$ , the zeta function $\zeta _{F}(s)$ is divisible by the Riemann zeta function $\zeta (s)$ . That is, the quotient $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ / $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ ( $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ ) $\zeta _{F}/\zeta}$ 은 $\zeta _{F}(s)/\zeta (s)$ (는) 전체다.보다 일반적으로, 디데킨드는 $K$ ${\displaystyle$ K}이 $K$ (가) F{\ $displaystyle$ F $F$ 의 유한 확장이라면, $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ K $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ ( $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ ) $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ / $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ F $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ ) ${\displaysty \zeta _{K}/\zeta _{F}s}$ s}가 전체여야 한다고 $\zeta _{K}(s)/\zeta _{F}(s)$ 추측한다.이 추측은 아직 미정이다.

[11] 머티 1994, 정리 4.3

[12] Conrey & Ghosh 1993, § 4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

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분석적 예	리만 제타 함수 디리클레 L 기능 헤케 캐릭터의 L-기능 자동형 L 기능 셀버그급
대수적 예	디데킨드 제타 함수 아르틴 L 기능 Hasse-Weil L-기능 동기 L 기능
정리	분석등급번호식 리만-본 망골트 공식 웨일 추측
분석적 추측	리만 가설 일반화 리만 가설 린델뢰프 가설 라마누잔-피터슨 추측 아르틴 추측
대수적 추측	버치·스위너튼-다이어 추측 델리뉴의 추측 베이린슨 추측 블로흐-카토 추측 랭글랜드 추측
p-adic L 기능	이와사와 이론의 주요 추측 셀머 그룹 오일러 시스템

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