리치 격자

수학에서 리치 격자는 24차원 유클리드 공간에 있는 짝수 단수 격자 Ⅱ로₂₄ 키스 번호 문제의 가장 좋은 모델 중 하나이다.그것은 존 리치(1967년)에 의해 발견되었다.1940년 에른스트 위트에 의해 발견되었을지도 모른다(그러나 발표되지는 않았다).

특성화

리치 격자 Ⅱ는₂₄ 24차원 유클리드 공간 E의²⁴ 고유한 격자로, 다음과 같은 특성 리스트가 있다.

단변형이다. 즉, 결정성 1이 있는 특정 24×24 행렬의 열에 의해 생성될 수 있다.
짝수다. 즉, λ에서₂₄ 각 벡터 길이의 제곱은 짝수 정수다.
λ에서₂₄ 모든 0이 아닌 벡터의 길이는 최소 2이다.

마지막 조건은 λ₂₄ 지점 중앙에 있는 유닛볼이 겹치지 않는 조건과 같다.각각 196,560개의 이웃에 접하고 있으며, 이는 단일 유닛볼을 동시에 만질 수 있는 24차원 유닛볼이 가장 많은 것으로 알려져 있다.다른 유닛볼을 중심으로 한 196,560개의 유닛볼 배열은 매우 효율적이어서 볼들을 움직일 공간이 없다; 이 구성은 미러 이미지와 함께 196,560 유닛볼이 동시에 다른 유닛볼을 만지는 유일한 24차원 배열이다.이 성질은 1, 2, 8 차원에서도 각각 정수 격자, 육각 타일링, E₈ 격자 등을 기준으로 각각 2, 6 및 240 단위 공으로 한다.

뿌리 체계도 없고, 사실 뿌리가 없는 최초의 단변형 격자(규범 4 이하의 벡터)이므로 중심 밀도가 1이다. ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}$ 값을 24차원 단위 공의 부피에 곱하여 $!{\$ ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}$ 절대 밀도를 도출할 수 있다.

콘웨이(1983)는 26차원 짝수 로렌츠 단변형 격자 II의_25,1 반사 그룹의 단순한 뿌리 집합(또는 Dynkin 도표)에 리치 격자 등축이 있음을 보여주었다.이에 비해 Ⅱ와_9,1 Ⅱ의_17,1 Dynkin 도표는 유한하다.

적용들

1949년에 독자적으로 개발된 바이너리 골레이 코드는 코딩 이론에 응용된 것이다.구체적으로는 24비트 워드당 최대 3개의 오류를 수정하고 4번째 오류를 검출할 수 있는 오류 수정 코드다.기존에 사용하던 하다마드 코드보다 훨씬 컴팩트하기 때문에 보이저 프로브와의 통신에 이용되었다.

정량기 또는 아날로그-디지털 변환기는 평균 루트-평균 제곱 오차를 최소화하기 위해 격자를 사용할 수 있다.대부분의 정량기는 1차원 정수 격자를 기반으로 하지만, 다차원 격자를 사용하면 RMS 오차를 줄일 수 있다.보로노이 세포는 두 번째 모멘트가 낮기 때문에 리치 격자는 이 문제에 대한 좋은 해결책이다.

보소닉 스트링 이론을 기술하는 2차원 등각장 이론의 정점대수는 24차원 등각도 R²⁴/TH에₂₄ 의해 압축되고 2요소 반사 그룹에 의해 궤도를 돌린 2차원 등각장 이론의 정점대수는 몬스터 그룹을 오토모피즘 그룹으로 하는 그리이스 대수학의 명시적인 구조를 제공한다.이 괴물 정점대수는 또한 괴물 같은 밀주 추측을 증명하기 위해 사용되었다.

시공

리치 격자는 다양한 방법으로 건설될 수 있다.모든 격자와 마찬가지로, 결정인자 1이 있는 24×24 행렬인 발전기 행렬의 열 통합 스팬을 취하여 구성할 수 있다.

리치 발전기 매트릭스

Lich Lattice에 대한 24x24 생성기(행 형식)는 다음 매트릭스를 ${\sqrt {8}}$ ${\$ {\ $sqrt{8}$ 로 나눈 값으로 제공된다 ${\sqrt {8}}$

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  2 2 22 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  2 0 2 0 2 0 20 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0  2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0  4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0  2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0  2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0  2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0  0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 2 20 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 −3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

^[1]

이진 골레이 코드 사용

Leech 격자는 형식^−3/2 2(a₁, a₂, ..., a₂₄)의 벡터 집합으로 명시적으로 구성될 수 있으며, 이 경우_i 는 다음과 같은 정수다.

a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}}}

그리고 각 고정 잔여물 등급 모듈로 4에 대해, 1s가 이_i 잔여물 등급에 속하는 좌표 i에 해당하는 24비트 단어는 이진 골레이 코드의 단어다.골레이 코드는 관련 Witt 설계와 함께 Leech 격자 내 196560 최소 벡터 시공에 사용된다.

리치 격자(L mod 8)는 다음 세트의 조합으로 직접 시공할 수 있다.

$L~=~~(4B+C)\otimes {1_{2^{12}}}~~+~~~{1_{2^{24}}}\otimes 2G~~~$ , ( ${1_{n}}$ is a ones vector of size n),

G - 24비트 골레이 코드
B - 이진 정수 시퀀스
C - Thue-Morse 시퀀스 또는 정수 비트 패리티 합(격자의 처마도를 제공하는)

24-물다 골레이  [2^12 암호]      24-물다 정수의[2^24 암호]      패리티      거머리 격자 [2^36 암호] G =                             B =                             C =         L = (4B + C) ⊕ 2G 00000000 00000000 00000000      00000000 00000000 00000000      0           00000000 00000000 00000000 11111111 00000000 00000000      10000000 00000000 00000000      1           22222222 00000000 00000000 11110000 11110000 00000000      01000000 00000000 00000000      1           22220000 22220000 00000000 00001111 11110000 00000000      11000000 00000000 00000000      0           ... 11001100 11001100 00000000      00100000 00000000 00000000      1           51111111 11111111 11111111 00110011 11001100 00000000      10100000 00000000 00000000      0           73333333 11111111 11111111 00111100 00111100 00000000      01100000 00000000 00000000      0           ... 11000011 00111100 00000000      11100000 00000000 00000000      1           15111111 11111111 11111111 10101010 10101010 00000000      00010000 00000000 00000000      1           37333333 11111111 11111111 01010101 10101010 00000000      10010000 00000000 00000000      0           ... 01011010 01011010 00000000      01010000 00000000 00000000      0           44000000 00000000 00000000 10100101 01011010 00000000      11010000 00000000 00000000      1           66222222 00000000 00000000 ...                             ...                             ...         ... 11111111 11111111 11111111      11111111 11111111 11111111      0           66666666 66666666 66666666

로렌츠 격자 II_25,1 사용

리치 격자는 w $w^{\perp }/w$ / $w^{\perp }/w$ ${\displaystyle$ w $^{\perp }/w}($ 으)로 구성할 수도 있으며, 여기서 $w^{\perp }/w$ w는 Weyl 벡터:

{\displaystyle(0,1,2,3,\filename ,22,23,24;70)}

26차원에서도 로렌츠 단변형 격자 II_25,1.로렌츠 규범 제로의 그러한 적분 벡터의 존재는 1² + 2 + ...라는² 사실에 의존한다.+ 24는² 완벽한 제곱(사실 70²)이며, 숫자 24는 이 속성을 가진 1보다 큰 유일한 정수다.이것은 에두아르 루카스에 의해 추측되었지만, 그 증거는 타원 함수에 근거하여 훨씬 나중에 나왔다.

이 구조에서 $(0,1,2,3,\dots ,22,23,24)$ 벡터 $(0,1,2,3,\dots ,22,23,24)$ $(0,1,2,3,\dots ,22,23,24)$ , $(0,1,2,3,\dots ,22,23,24)$ , $(0,1,2,3,\dots ,22,23,24)$ , $(0,1,2,3,\dots ,22,23,24)$ … $(0,1,2,3,\dots ,22,23,24)$ $(0,1,2,3,\dots ,22,23,24)$ $(0,1,2,3,\dots ,22,23,24)$ ) ${\displaystyle (0,1$ , 2, $3,\dots,22,23,$ 24 $)$ 은 정말로 홀수 일변도 격자 I의²⁵ 짝수하위 D의₂₄ Weyl 벡터다.보다 일반적으로 L이 최소 4개의 벡터가 있는 차원 25의 확실한 단변형 격자라면, 그 규범 2 뿌리의 Weyl 벡터는 적분 길이를 가지며, L과 이 Weyl 벡터를 이용한 Leech 격자 구조도 유사하다.

기타 격자 기준

Conway & Sloane(1982)은 각각 니메이어 격자에 기초한 리치 격자용 또 다른 23개의 건축물을 묘사했다.또한 확장 해밍 코드 H의₈ 3부를 사용하여 바이너리 골라이 코드를 구성할 수 있는 것과 같은 방법으로 E8 격자 3부를 사용하여 구성할 수도 있다.이 건축은 리치 격자의 튜린 건축으로 알려져 있다.

라미네이트 격자처럼

단일 지점인 λ을₀ 시작으로 격자 λ의_n 사본을 쌓아서 점 사이의 최소 거리를 줄이지 않고 (n + 1)차원 격자 λ을_n+1 형성할 수 있다.λ은₁ 정수 격자에 해당하고, λ은₂ 육각 격자에 해당하며, λ은₃ 얼굴 중심의 입방 패킹이다.Conway & Sloane(1982b)은 리치 격자가 24차원 고유의 적층 격자임을 보여주었다.

복합 격자형

리히 격자 역시 아이젠슈타인 정수를 넘는 12차원 격자.이것은 복합 리치 격자로 알려져 있으며, 24차원 리얼 리치 격자와는 이형성이 있다.리치 격자 복합구축에서는 바이너리 골라이 코드가 3차 골라이 코드로 대체되고, 마티외 그룹 M이₂₄ 마티외 그룹 M으로₁₂ 대체된다.E₆ 격자, E 격자₈ 및 Coxeter–또한 토드 격자는 아이젠슈타인 또는 가우스 정수에 걸쳐 복잡한 격자로 구성된다.

아이코시안 링 사용

리치 격자는 또한 아이코시안의 고리를 사용하여 만들 수 있다.이코시안 링은 E8 격자와 추상적으로 이형성이며, 이 중 3부는 투린 공법을 사용하여 리치 격자를 시공하는 데 사용할 수 있다.

위트 건설

1972년 위트는 1940년에 발견했다고 말한 다음과 같은 건축물을 1월 28일에 주었다.H가 n by n Hadamard 행렬(여기서 n=4ab)이라고 가정하자.그런 다음 매트릭스 ${\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}$ / ${\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}$ H / ${\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}$ I b ) ${\$ {\ $begin{pmatrix}Aia&H/2\H/2&Ib\end{pmatrix}}}}}$ 는 이선 형태를 2n 차원으로 정의하며 ${\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}$ , 커널의 치수는 n이다.이 커널에 의한 몫은 (1/2)Z의 값을 갖는 비구어 이선형이다.그것은 3개의 지수 2 하위 요소들을 통합 이선형 형태로 가지고 있다.Witt obtained the Leech lattice as one of these three sublattices by taking a=2, b=3, and taking H to be the 24 by 24 matrix (indexed by Z/23Z ∪ ∞) with entries Χ(m+n) where Χ(∞)=1, Χ(0)=−1, Χ(n)=is the quadratic residue symbol mod 23 for nonzero n.이 행렬 H는 몇몇 대수롭지 않은 부호 변화를 가진 창백한 행렬이다.

창백한 행렬 사용

채프먼(2001)은 팰리 타입의 스큐 하다마드 매트릭스를 이용한 공사를 기술했다.The Niemeier lattice with root system $D_{24}$ can be made into a module for the ring of integers of the field $\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})$ . Multiplying this Niemeier lattice by a non-principal ideal of the ring of integers gives the Leech lattice.

8진법 사용

L이 E $E_{8}$ ${\$ 격자에 $E_{8}$ 좌표가 있는 옥토니언 집합인 경우 Leech 격자는 다음과 같은 $(x,y,z)$ 트리플릿 $(x,y,z)$ , $(x,y,z)$ , $(x,y,z)$ ) ${\displaystyle(x,y,z)$ 집합이다.

L}에서 x,y,z\displaystyle x,y,z\in

x+y,y+z,x+z\in L{\bar {s}

x+y+z\in Ls

여기서 $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ = $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ ( $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ - $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ + e $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ + $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ 3 $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ + e $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ + e $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ + e $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ + e $s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})$ ) ${\displaystyle s={\frac {1}{1}{1}+e_{2}}+e_{3}+e_{5}+e_{5}+e_{6}+e_{7$ 이 공사는 (Wilson 2009년)에 기인한다.

대칭

리치 격자는 매우 대칭적이다.그것의 오토모피즘 그룹은 콘웨이 그룹 Co인데₀, 순서는 8 315 553 613 086 720 000이다.co의₀ 중심에는 두 가지 요소가 있는데, 이 중심에서 co의₀ 지분은 유한단순집단인 conway그룹 co이다₁.나머지 콘웨이 그룹과 마티외 그룹과 같은 다른 많은 산발적인 그룹은 리치 격자 내 다양한 벡터 구성의 안정제로 구성될 수 있다.

이렇게 높은 회전 대칭 집단을 가지고 있음에도 불구하고 리치 격자는 반사 대칭의 하이퍼플레인은 가지고 있지 않다.즉 리치 격자는 치랄이다.또한 24차원 하이퍼큐브와 심플렉스보다 대칭이 훨씬 적다.

오토모프리즘 그룹은 존 콘웨이에 의해 처음 설명되었다.노르말 8의 398034000 벡터는 48 벡터의 8292375 '크로스'로 떨어진다.각 십자가에는 24개의 상호직교 벡터와 그 음이 들어 있으며, 따라서 24차원 직교체의 정점을 묘사한다.이들 십자가는 각각 격자의 좌표계로 취할 수 있으며 골레이 코드 즉 2 × M의¹²₂₄ 대칭이 같다. 따라서 리치 격자의 완전 자동형 집단은 8292375 × 4096 × 244823040 또는 8 315 553 613 086 720 000의 순서가 있다.

기하학

Conway, Parker & Sloane(1982)은 Leech 격자의 덮개 ${\sqrt {2}}$ 이 2 ${\$ {\ $sqrt{$ 2 ${\sqrt {2}}$ 다시 말하면, 이 반경의 닫힌 볼을 각 격자점 주위에 두면, 이것들은 단지 유클리드 공간을 덮는다는 것을 보여주었다.모든 격자점에서 최소 ${\sqrt {2}}$ ${\$ 의 거리에 있는 점을 Leech 격자의 깊은 구멍이라고 한다.리치 격자의 자동형성 그룹 아래에는 23개의 궤도가 있으며, 이들 궤도는 리치 격자 이외의 23개의 니미어 격자에 해당한다: 깊은 구멍의 정점 집합은 해당 니미어 격자의 아핀 다이닝킨 도표와 같은 것이다.

리치 격자는 밀도가 ! ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930\ldots$ ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930\ldots$ 0 ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930\ldots$ 001930 … ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930\ldots$ {\ $displaystyle {\tfrac {\$ pi ^{ $12}}{12!$ $}}}\약 0.001930\ldots$ ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930\ldots$ 콘&쿠마르(2009)는 24차원 공간에서 가장 밀도가 높은 격자 패킹을 제공한다는 것을 보여줬다.헨리 콘, 아비나브 쿠마르, 그리고 스티븐 D.밀러 외 연구진(2016년)은 이를 개선해, 비 격자 포장 중에서도 가장 밀도가 높은 구(區) 패킹임을 보여줬다.

196560년 최소 벡터는 모양이라고 알려진 세 가지 다른 품종이다.

$1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}$ = $1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}$ ( $1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}$ 2 $1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}$ ) $1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}$ $1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}$ ${\$ 모양 벡터 $1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}$ (4,0²²²) 모든 순열 및 수화 선택용
$97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}$ = $97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}$ $97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}$ $97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}$ $97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}$ $97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}$ 1 $97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}$ ${\$ 8}\cdot {\ $frac{1}{$ 2}} $개$ 의 형상 벡터 $97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}$ (2,0⁸¹⁶ $)$ 는 골레이 코드의 옥타드에 해당하며, 짝수의 마이너스 부호가 있다.
$98304=2^{12}\cdot 24$ = 2 $98304=2^{12}\cdot 24$ $98304=2^{12}\cdot 24$ $98304=2^{12}\cdot 24$ $98304=2^{12}\cdot 24$ 모양의 벡터 $98304=2^{12}\cdot 24$ (∓3,±1²³) 여기서 하단 부호는 골레이 코드의 어떤 코드 워드의 '1'에 사용되며, '∓3'은 어느 위치에나 나타날 수 있다.

3차원의 골라이코드, 2차원의 골라이코드, 리치 격자는 각각 729, 4096, 196560점으로 매우 효율적인 24차원 구형코드를 제공한다.구형 코드는 꽃가루 알갱이에 모공 분포를 설명하려는 시도로 발생한 탐메스 문제의 고차원적 유사점이다.이것들은 그들 사이의 최소 각도를 최대화하기 위해 분배된다.2차원에서는 문제가 사소한 것이지만 3차원 이상에서는 그렇지 않다.3차원의 구면 코드의 예로는 정규 이코사면체의 12 정점 세트가 있다.

세타 시리즈

어떤 (긍정적-확정적) 격자 Ⅱ에 의해 주어지는 세타 함수에 연관시킬 수 있다.

\Tau _{\Lambda }}(\tau )=\sum _{x\in \lambda }e^{i\pi \tau \x\{2}}\qquad \operatorname {Im}\tau >0.

격자의 세타 함수는 상부 하프 평면에서 홀로모르픽 함수가 된다.더욱이, 순위 n의 짝수 단변형 격자의 세타 함수는 실제로 전체 모듈형 그룹 PSL(2,Z)에 대한 모듈형 무게 n/2이다.통합 격자의ⁿ 세타 함수는 종종 q = e 2 i gives $q=e^{2i\pi \tau }$ {\ $displaystyle q=e^{2i\pi \tau }}}}$ 에 파워 시리즈로 기록되므로 q의 계수는 제곱규격 2n의 격자 벡터 수를 제공한다.리치 격자에는 196560 벡터 표준 4, 16773120 벡터 표준 6, 398034000 벡터 표준 8 등이 있다.리치 격자의 세타 시리즈는

디스플레이 스타일 {\displaystyle}\Theta _{\Lambda _{24}}(\tau )&=E_{12}(\tau )-{\frac {65520}{691}}\Delta (\tau )\\[5pt]&=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right)q^{m}\\[5pt]&=1+196560q^{2}+16773120q^{3}+398034000q^{4}+\cdots ,\end{aligned}}}

where $E_{12}(\tau )$ is the normalized Eisenstein series of weight 12, $\Delta (\tau )$ is the modular discriminant, $\sigma _{11}(n)$ is the divisor function for exponent 11, and $\tau (n)$ is the Ramanujan tau function. m³1의 경우, 표준 2m 제곱 벡터 수는 다음과 같다.

{\frac {65520}{6911}\좌측(\flma _{11}(m)-\tau(m)\우측)

역사

콕시터-을 포함한 리치 격자판의 많은 횡단면12, 16차원의 토드 격자와 반스-월 격자는 리치 격자보다 훨씬 일찍 발견되었다.오코너 & 팰(1944)은 24차원에서 관련된 이상한 단변형 격자를 발견했는데, 지금은 홀수 리치 격자로 불리며, 이 격자 중 짝수 이웃 두 곳 중 한 곳이 리치 격자다.리치 격자는 1965년 존 리치(1967년, 2.31년, 페이지 262년)에 의해 발견되었는데, 그가 발견한 초기 구체 포장(Leech 1964년)을 개선하였다.

콘웨이(1968)는 리치 격자의 오토모피즘 그룹의 순서를 계산하고, 존 G와 함께 작업했다. 톰슨 씨는 부산물로써 세 개의 새로운 산발적인 그룹을 발견했다: 콘웨이 그룹, Co₁, Co₂, Co, Co₃.그들은 또 다른 4개(당시)가 최근에 산발적으로 발표한 그룹, 즉 히그만심스, 스즈키, 맥러플린, 얀코 그룹 J가₂ 리치 격자의 기하학을 이용하여 콘웨이 그룹 안에서 발견될 수 있다는 것을 보여주었다. (로난, 페이지 155)

Bei dem Versuch, eine Form ainer solchen Klasse Wirkich Anzugeben, 팬드 Ich mehr als 10 verschedene Klasen in II₂₄.

Witt (1941, p. 324)

비트(1941, 페이지 324)는 24차원에서 10개 이상의 비정형 격자를 발견했다고 언급하면서 더 이상 자세한 내용을 밝히지 않은 채 단 한 문장이다.비트(1998년, 페이지 328–329년)는 1938년 초에 이러한 격자 중 9개를 발견했고, 1940년에 A근계를²⁴
₁ 가진 니에미에 격자(Niemier 격자)와 리치 격자(그리고 이상한 리치 격자) 두 개를 더 발견했다고 진술했다.

참고 항목

참조

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외부 링크

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