타원 함수

복소해석 수학 분야에서 타원함수는 두 가지 주기성 조건을 만족시키는 특수한 종류의 자형함수이다.이러한 함수는 타원 적분으로부터 유래하기 때문에 타원 함수라고 불립니다.원래 이러한 적분은 타원의 원호 길이를 계산할 때 발생했습니다.

중요한 타원 함수는 Jacobi 타원 함수와 Weierstrass $℘$ \ $displaystyle \wp$ } - 함수입니다 $\wp$ .

이 이론의 추가적인 발전은 초박막 함수와 모듈러 형태로 이어졌다.

정의.

두 개의 $\mathbb {R}$ R(\ $displaystyle \mathbb {R})-$ 선형 $\mathbb {R}$ 독립 복소수 $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ 1, $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ 2 $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ C(\ $displaystyle \obe$ _ ${1},\obe$ _ ${2$ }\ $in \mathbb {C})$ 가 $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ 있는 경우, meromape 함수를 타원 함수라고 한다.

f(z+\omega _{1})=f(z)

(

f(z+\omega _{1})=f(z)

+

f(z+\omega _{1})=f(z)

1 )

f(z+\omega _{1})=f(z)

(

f(z+\omega _{1})=f(z)

) \

displaystyle

f (

z

+ \

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

f(z+\omega _{1})=f(z)

_ {1}

=

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

(

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

)

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

、

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

∀ z

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

\

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

f (

z

+ \

opega

_ {2}

= f

(

z

) , \

f

( \

displaystyle

z \

in

\

mathbbb {

C }

f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}

} }

}

그래서 타원함수는 두 개의 주기를 가지며 따라서 이중 주기라고도 불립니다.

기간 격자와 기본 영역

반대쪽이 식별되는 평행사변형

f{\ $displaystyle$ f $}$ 가 $f$ $\omega _{1},\omega _{2}$ 마침표 $\omega _{1},\omega _{2}$ 1, $\omega _{1},\omega _{2}$ 2 { $displaystyle$ \ $omega$ _ { $1},$ \ $omega$ _ { $2}}$ 인 타원함수인 $경우$ 다음과 같이 유지됩니다.

\displaystyle f(z+\display)=f(z)}

모든 선형 $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ 에 대해 m $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ 1 + $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ ${\$ 2 { $displaystyle$ \ displaystyle = $m$ \ $omega$ _ { $1}$ + $n\ omega$ _ ${2$ }}, $m,n\in \mathbb {Z}$ n $m,n\in \mathbb {Z}$ Z { $displaystyle$ m $, n\in$ \ $mathbb {Z}$ 입니다 $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ .

아벨 군

\displaystyle \Lambda : = \displayle \obe _{1},\obe _{2}\rangle _{\mathbb {Z}:=\mathbb {1}+\mathbb {Z} \obe _{2}\mid, \mathbbbb {Z}

를 주기 격자라고 합니다.

$\omega _{1}$ 1 $\omega _{1}$ \ $display style$ \ $obega _$ { $\omega _{2}$ } 및 $\omega _{1}$ $\omega _{2}$ 2 \ $displaystyle$ \ $obega$ _ {2}에 의해 생성되는 평행사변형

\displaystyle \{\mu \mu \mega _{1}+\nu \mega _{2}\mid 0\leq \mu,\nu \leq 1\}

를 기본 도메인이라고 합니다.

기하학적으로 복소평면은 평행사변형으로 타일링됩니다.기본 영역에서 일어나는 모든 일은 다른 모든 영역에서 반복됩니다.따라서 타원함수는 $\mathbb {C} /\Lambda$ C / ${\$ \ $displaystyle \mathbb {C}$ /\ $Lambda }$ 를 $\mathbb {C} /\Lambda$ 영역으로 하는 함수로 볼 수 있습니다.타원곡선이라고 불리는 이 몫군은 반대쪽이 식별되는 평행사변형(위상적으로는 토러스)^[1]으로 시각화할 수 있다.

리우빌의 정리

다음의 세 가지 정리는 리우빌의 정리로 알려져 있다.

제1정리

정칙 타원 함수는 ^[2]상수이다.

이것은 리우빌의 정리의 원형이므로 ^[3]그것으로부터 도출할 수 있다.완전 타원함수는 콤팩트한 기본영역상의 모든 값을 차지하기 때문에 유계된다.그래서 그것은 Liouville의 정리에 의해 상수이다.

제2정리

모든 타원 함수는 C $\mathbb {C} /\Lambda$ / $\mathbb {C} /\Lambda$ \ $displaystyle \mathbb {C}$ /\ $Lambda}$ 에 $\mathbb {C} /\Lambda$ 극이 매우 많으며, 그 잔류물의 합은 ^[4]0이다.

이 정리는 기본 영역에서 정확히 하나의 차수 1의 극 또는 정확히 하나의 차수 0을 가진 0과 같지 않은 타원 함수는 없다는 것을 암시한다.

제3정리

부정수 타원함수는 ^[5]다수로 카운트된 C $\mathbb {C} /\Lambda$ / $\mathbb {C} /\Lambda$ \ $displaystyle \mathbb {C}$ /\ $Lambda }$ 의 $\mathbb {C} /\Lambda$ 모든 값을 동일한 횟수로 취합니다.

Weierstrass --함수

가장 중요한 타원 함수 중 하나는 Weierstrass ${\$ \ $displaystyle$ \wp $\wp$ } - 함수입니다 $\wp$ .특정 기간 격자 $\Lambda$ (\ $displaystyle\Lambda)$ 는 $\Lambda$ 다음과 같이 정의됩니다.

(\displaystyle \wp (z)=paramfrac {1}{z^{2}}+\sum _{\sum \{\lambda \setminus \{0\}}\left\frac {1}{{{{2}}-{\frac {1}-{\frac {1}{\sambda ^{2}} }\right} 。}

이것은 모든 격자점에 2차 극이 있는 방식으로 구성되어 있습니다.용어 $-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ - $-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ $-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ 2 (\ $displaystyle -{\frac {1}{\lambda$ ^{ $2}}})$ 는 $-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ 시리즈를 수렴시키기 위해 사용됩니다.

${\$ { $displaystyle$ \ wp $\wp$ }는 $\wp$ 짝수 타원 함수입니다 $\wp$ $\wp (-z)=\wp (z)$ , $\wp (-z)=\wp (z)$ ( $\wp (-z)=\wp (z)$ - z $\wp (-z)=\wp (z)$ ) $\wp (-z)=\wp (z)$ $\wp (-z)=\wp (z)$ ( $z$ ) \ $displaystyle$ \ $wp =$ \ $wp$ ( z $\wp (-z)=\wp (z)$ ^[6]) $。$

그 파생어

\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\frac {1}{(z-\fracda)^{3}}}

는 홀수 함수입니다. 즉, $\wp '(-z)=-\wp '(z).$ $\wp '(-z)=-\wp '(z).$ - $\wp '(-z)=-\wp '(z).$ ） $=$ - $\wp '(-z)=-\wp '(z).$ ( （ $\wp '(-z)=-\wp '(z).$ ） $\wp '(-z)=-\wp '(z).$ . { $displaystyle \wp '(-z$ )=-\ $wp '(z)'$ 입니다. $}$ ^[6]

타원함수 이론의 주요 결과 중 하나는 다음과 같다.주어진 주기 격자 $δ$ 에 $\Lambda$ 대한 모든 타원 함수는 ${\$ {\ $displaystyle \$ $wp$ } 및 $\wp$ $℘$ {\ $displaystyle \wp$ ^[7]로 $\wp$ 표현될 수 있다.

$§$ \ $displaystyle \wp }$ - 함수는 $\wp$ 미분방정식을 만족합니다.

\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}

$({$ $g_{3}$ $({$ 는 $g_{3}$ $\Lambda$ (\ $displaystyle \Lambda$ 에 의존하는 상수입니다. 보다 $g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})$ 는 $g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})$ $g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})$ 1, $g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60G_{4}(\omega _{1},\omega _{2})$ 2) $= 60$ $(\displaystyle g_{2$ }(\ $displaystyle$ { $1}, ）$ 입니다. $g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})$ = $g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})$ 6 ( $ω$ 1, $g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})$ 2) ({ $displaystyle g_{3$ } (\ $displaystyle _{1},\obega$ _{2 $140 G_{6}(\$ displaystyle $G_{$ 4 $G_{4}$ }) $G_{6}$ 6 (\ $displaystyle G_{$ 6 $G_{6}$ })을 ^[8]ESteinisen 시리즈라고 합니다 $g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140G_{6}(\omega _{1},\omega _{2})$

대수적 언어:타원 함수의 필드는 필드와 동일하다.

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

(

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

) [

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

/ (

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

- 4

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

3 +

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

X +

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

3 )

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

{

display

style \

mathbb {C}

(

X

) [ Y

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

] / ( Y

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

^ { 2

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

} -

4X^

{

3

}

+ g

_

{

2

} X

+

g

_ {3}

\mathbb {C} (X)[Y]/(Y^{2}-4X^{3}+g_{2}X+g_{3})

,

여기서 동형사상은 $\wp$ X $({$ $displaystyle$ $\$ $wp$ $X$ $})$ 에, X $({$ X})에 $\wp '$ Y $\wp '$ $displaystyle$ Y $Y$ 에 매핑됩니다.

Weierstrass ${\$ {\ $displaystyle \wp }$ - 주기 $\wp$ $\Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}$ $\Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}$ + $\Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}$ 2 $\Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}$ i / $\Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}$ {\ $displaystyle \Lambda$ = \ $mathbb {Z}$ + $e^{2\pi$ i $/6}\mathbb {Z}$ 의 함수
$§$ {\ $displaystyle \wp}$ - 함수의 $\wp$ 파생 모델

타원 적분과의 관계

타원 적분과의 관계는 주로 역사적 배경을 가지고 있다.타원 적분은 닐스 헨리크 아벨과 칼 구스타프 자코비가 맡은 레전드르가 연구했다.

아벨은 타원적분함수의 역함수 $\varphi$ (\ $displaystyle \varphi)$ 를 $\varphi$ 취함으로써 타원함수를 발견했다.

\displaystyle \alpha (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\frac {(1-c^{2}t^{2}(1+e^{2}t^{2}}}}}}

(x $=$ ) { $style$ x=\ $varphi(\alpha$ ^[9]로 지정합니다.

추가적으로 그는 함수를^[10] 정의했다.

f(\alpha)=sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha)}

그리고.

F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}

(

F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}

F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}

F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}

+

F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}

2

F(\alpha )={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}

2 (

α

) \

displaystyle

F ( \

alpha

) =

varphi ^ { 2 }

。

복소평면으로 계속된 후, 그것들은 이중 주기적인 것으로 밝혀졌고 아벨 타원함수로 알려져 있다.

야코비 타원 함수는 타원 적분의 역함수로도 비슷하게 구해진다.

야코비는 적분함수를 고려했다.

(\displaystyle \xi (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\frac {(1-t^{2}(1-k^{2}t^{2}}}}})

$x=\operatorname {sn} (\xi )$ $x=\operatorname {sn} (\xi )$ $x=\operatorname {sn} (\xi )$ $x=\operatorname {sn} (\xi )$ ( ( $x=\operatorname {sn} (\xi )$ \ $displaystyle$ x = \ $operatorname { sn$ } ( \ $xi )$ . $\operatorname {sn}$ { $displaystyle \operatorname$ { $sn }$ 은 $\operatorname {sn}$ 사인파 증폭을 의미하며 새로운 ^[11]기능의 이름입니다.그런 다음 다음과 같이 정의된 cosinus amplidinis 및 delta amplidinis 함수를 도입했습니다.

\operatorname {cn}(\xi): = paramrt {1-x^{2}}

\operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}

(

\operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}

{\ ) :

\operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}

1

\operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}

-

\operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}

\operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}

2 ( \

displaystyle \operatorname {dn }

( \

xi

) : =

scaprt

{

\operatorname {dn} (\xi ):={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}

1 -

^

{

2 }x^

{

2}}

} 。

오직 이 단계를 밟음으로써, 야코비는 1827년에 ^[12]타원 적분의 그의 일반적인 변환 공식을 증명할 수 있었다.

역사

미적분학의 개발 직후, 이탈리아 수학자 Giulio di Fagnano와 스위스 수학자 Leonhard Oiler에 의해 타원함수 이론이 시작되었다.그들이 렘니스테이트의 호 길이를 계산하려고 했을 때, 그들은 3차 및 4차 ^[13]다항식의 제곱근을 포함하는 적분들과 관련된 문제에 직면했다.소위 타원 적분이라 불리는 것들은 기본 함수를 사용하여 풀 수 없다는 것이 분명했다.파그나노는 ^[13]1750년에 그가 발표한 타원 적분 사이의 대수적 관계를 관찰했다.오일러는 즉시 파그나노의 결과를 일반화했고 타원 ^[13]적분에 대한 그의 대수적 덧셈 정리를 제시했다.

란덴의^[14] 언급을 제외하고, 그의 생각은 1786년 레전드르가 그의 논문 Mémoires sur les integrations parcs d'^[15]ellips를 출판할 때까지 추구되지 않았다.Legendre는 이어서 타원 적분을 연구했고 그것들을 타원 함수라고 불렀다.Legendre는 세 가지 분류 - 세 가지 -를 도입했는데, 이것은 그 당시 다소 복잡한 이론의 결정적 단순화였다.Legendre의 다른 중요한 작품들은 Mémoire sur les transcendantes elliptiques (1792년),^[16] Exchiques de calcules intégral (1811년–^[17]^[18]1817년), Attribute des fonctions elliptiques (1825–1832년)이다.Legendre의 작품은 1826년까지 수학자들에 의해 대부분 손대지 않은 채 남겨졌다.

그 후, 닐스 헨리크 아벨과 칼 구스타프 자코비는 조사를 재개했고, 곧 새로운 결과를 발견했다.처음에 그들은 타원 적분 함수를 반전시켰다.1829년 야코비의 제안에 따라 이러한 역함수는 이제 타원함수라고 불린다.야코비의 가장 중요한 작품 중 하나는 1829년에 ^[19]출판된 Fundama nova gonomiae functionum ellipticarum이다.오일러가 발견한 덧셈 정리는 1829년 아벨에 의해 일반적인 형태로 제시되고 증명되었다.그 당시에는 타원함수 이론과 이중 주기함수 이론이 다른 이론으로 여겨졌었다.그들은 1856년 ^[20]브리오트와 부케에 의해 함께 모였다.가우스는 30년 전에 타원함수의 많은 특성들을 발견했지만 그 주제에 ^[21]관한 어떤 것도 발표하지 않았다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

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[12] Gray, Jeremy (14 October 2015), Real and the complex : a history of analysis in the 19th century (in German), Cham, p. 81, ISBN 978-3-319-23715-2

[:1-13] Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. pp. 23f. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.

[14] 존 랜든:두 개의 타원 호를 이용하여 원추형 쌍곡선의 호 길이를 구하는 일반정리와 그것으로부터 추론된 다른 새롭고 유용한 이론의 고찰.인: 런던 왕립학회 철학거래65(1775), Nr. XXVI, S. 283~289, JSTOR 106197.

[15] Adrien-Marie Legendre:Mémoire sur les integrations par arcs d'ellips.인: 아카데미 로얄 드 과학사 파리 (1788), S. 616–643.– 데르:제2의 메모아르 서레 인테그레이션 파트 아크 데일리시, et sur la comparaison de ces arcs.인: 아카데미 로얄 드 과학사 파리 (1788), S. 644~683.

[16] Adrien-Marie Legendre:Mémoire sur les les transcendantes 타원형, o' l'on donne des methodes faciles pour comparr et evaluer les arcs d'ellipse, et qui se rencontent fréquemment dans d'd d'e applications du inter intégral.1792년 파리 Du Pont & Firmin-Didot.잉글리쉬 위베르제중 타원 초월체에 관한 메모.수신인: Thomas Leybourn:수학 저장소의 새 시리즈입니다.밴드 2글렌디닝, 런던 1809, 테일 3, S. 1-34

[17] Adrien-Marie Legendre: 연습은 적분 다이버 오더 드 트랜스란테스와 레스 쿼드러처를 계산합니다.3번데 (밴드 1, 밴드 2, 밴드 3)파리 1811–1817.

[18] Adrien-Marie Legendre:Faciliter Le calculation numérique에 Avec des tables et des intégrales ulérienes. 3 Bde. (밴드 1, 밴드 2, 밴드 3/1, 밴드 3/2, 밴드 3/3).후자르 쿠르시에, 파리 1825–1832.

[19] 칼 구스타프 자코비:노바 이론의 근간함수 타원형.쾨니히스베르크 1829년

[20] Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. p. 122. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.

[21] Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. p. 96. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.

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