마티외 그룹

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

추상대수의 주제인 집단 이론에서 마티외 그룹은 마티외(1861, 1873년)가 도입한 산발적인 5개의 단순 집단 M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M이다₂₄.그것들은 11, 12, 22, 23 또는 24개의 물체에 곱한 전이 순열 그룹이다.그들은 처음으로 발견된 산발적인 집단이었다.

때로는₉ M, M₁₀, M₂₀, M이라는₂₁ 표기법이 관련 그룹(각각 9점, 10점, 20점, 21점 세트에 작용함)에 사용되기도 한다. 즉, 더 큰 그룹에서 점의 안정제.이것들은 산발적으로 단순한 집단은 아니지만, 더 큰 집단의 하위 집단이므로 더 큰 집단을 구성하는 데 사용될 수 있다.존 콘웨이는 이 순서를 연장할 수 있다는 것을 보여주었고, 마티외 그룹노이드₁₃ M이 13점에 대해 연기를 하도록 했다.M은₂₁ 단순하지만, PSL(3,4)과 이형인 산발적인 집단은 아니다.

역사

마티외(1861, 페이지.271)는 다중 전이성 순열 집단에 대한 조사의 일환으로 그룹₁₂ M을 소개하고(274페이지) M그룹을₂₄ 간략히 언급하면서 지시를 내렸다.마티외(1873년)에서 그는 자신의 그룹을 위해 명시적인 생성 세트를 포함한 더 자세한 내용을 제시했지만, 그의 주장을 통해 생성된 그룹이 단지 교대 그룹이 아니라는 것을 쉽게 알 수 없었고, 몇 년 동안 그의 집단의 존재는 논쟁의 대상이 되었다.밀러(1898)는 M이₂₄ 존재하지 않는다는 것을 증명한다고 잘못 주장하는 논문까지 발표했지만, 얼마 지나지 않아 (밀러 1900년) 그는 자신의 증거가 틀렸다고 지적하고, 마티외 집단이 단순하다는 증거를 제시했다.위트(1938a, 1938b)는 마침내 이들 집단의 존재에 대한 의구심을 제거하여, 그들을 슈타이너 계의 자동형 집단뿐만 아니라 순열 집단의 연속적인 전이적 확장으로 구성했다.

마티외 그룹 이후 J 그룹이₁ 발견된 1965년까지 새로운 산발적인 그룹은 발견되지 않았다.

전이성 그룹 곱하기

마티외는 이제 정의될 다중 전이 순열 집단을 찾는 데 관심이 있었다.자연수 k의 경우, 모든 a가_i 구별되고 모든 b가_i 구별되는 특성을 가진 두 세트의 a₁, ... a_k, b₁, ...를_k 주어진 경우, G에 1과 k 사이의 각 i에 대해_i a~b를_i 매핑하는 그룹 요소 g가 있다면 n 지점에 작용하는 순열 그룹 G는 k-transitive이다.이러한 집단을 요소 g가 고유하면(즉, k-tuble에 대한 작용은 단순히 전이적인 것이 아니라 규칙적인 것이다) 날카롭게 k-transitive라고 부른다.

M은₂₄ 5역전, M은₁₂ 5역전, M은 날카롭게 5역전이며, 다른 마티외 그룹(단순하든 그렇지 않든)은 m 지점의 안정기에 해당하는 부분군이며 그에 따라 낮은 역전성(M은₂₃ 4역전성 등)이 된다.대칭 그룹도 교대 그룹도 아닌 5개 변환 그룹 두 개뿐이다.^[1]

유일한 4-변환성 그룹은 최소 4 k의 대칭 그룹 S_k, k의 경우 교류 그룹 A_k24, 6 k의 경우, M, M₂₃₁₂ 및 M₁₁. (Cameron 1999, 페이지 110) 전체 증명에는 유한 단순 그룹의 분류가 필요하지만, 일부 특별한 경우는 훨씬 더 오래 전부터 알려져 있다.

대칭과 교대군(각각 k와 k + 2), M과₁₂ M이₁₁ 최소 4 k에 대해 유일하게 날카로운 k-변환 순열군이라는 것은 요르단의 고전적 결과다.

곱하기 전이 그룹의 중요한 예로는 2개의 전이 그룹과 자센하우스 그룹이 있다.Zassenhaus 그룹은 특히 ${\displaystyle \mathrm{q}}$+ 1 ${\displaystyle q+1}$ 요소에$$ 대해 3-변환성(교차비_q 참조)인 유한장면에 걸친 투영 라인의 투영 일반 선형 그룹을 포함한다.

순서표 및 전이표

그룹	주문	주문(제품)	인자순서	트란시즘	심플	산발적인
M24	244823040	3·16·20·21·22·23·24	210·33·5·7·11·23	5역사	네	산발적인
M23	10200960	3·16·20·21·22·23	27·32·5·7·11·23	4역사의	네	산발적인
M22	443520	3·16·20·21·22	27·32·5·7·11	3역사의	네	산발적인
M21	20160	3·16·20·21	26·32·5·7	2역사의	네	∘PSL3(4)
M20	960	3·16·20	26·3·5	1-변환적	아니요.	≈24:A5
M12	95040	8·9·10·11·12	26·33·5·11	날카롭게 5변환하는	네	산발적인
M11	7920	8·9·10·11	24·32·5·11	날카롭게 4역할하는	네	산발적인
M10	720	8·9·10	24·32·5	날카롭게 세 번 번역하는	거의	M10' ≈ 알트6
M9	72	8·9	23·32	극명하게 2변환하는.	아니요.	∘PSU3(2)
M8	8	8	23	날카롭게 1번 변환(정규)	아니요.	≈ Q

마티외 그룹 구성

마티외 그룹은 다양한 방법으로 구성될 수 있다.

순열 그룹

M은₁₂ 순서가 660인 단순 부분군, 즉 최대 부분군을 가지고 있다.이 부분군은 11개 원소의 영역에 걸쳐 투영 특수 선형 그룹 PSL₂(F₁₁)에 이형성이 있다.-1을 a로, 무한을 b로 하여 2개의 표준 발전기는 (0123456789a)와 (0b)(1a)(25)(37)(48)(69)이다.M을₁₂ 제공하는 세 번째 발전기는 (26a7)(3945)의 순열로⁷ F의₁₁ 원소 x를 4x² - 3x로 보낸다.

이 집단은 유한단순집단의 무한가족의 어느 구성원에게도 이형성이 없는 것으로 판명되어 산발적으로 불린다.M은₁₁ M에서₁₂ 한 점의 안정제로서, 산발적으로 단순한 집단으로 판명되기도 한다.두 점의 스태빌라이저인 M은₁₀ 산발적이지 않지만, 교번 그룹인₆ 정류자 하위 그룹이 A인 거의 단순한 그룹이다.따라서 A의₆ 예외적인 외형적 자동화와 관련이 있다.3점의 스태빌라이저는 투영 특수 유니터리 그룹 PSU(3,2²)로, 해결 가능하다.4포인트의 스태빌라이저는 쿼터니온 그룹이다.

마찬가지로, M은₂₄ PSL₂(F₂₃)에 대해 6072순서의 최대 단순 부분군을 가지고 있다.하나의 발전기가 필드의 각 요소에 1을 더한다(무한 고정에서 점 N을 뺀다), 예: (0123456789).ABCDEFGHIJKLM)(N), 그리고 또 다른 것이 순서를 후진하는 조합(0N)(1M)(퀄리티)(3F)( 사 에이치)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(북)다. 세번째 발생기 M24을 주는 4륜 구동에 − 3x15(어떤 x4{\displaystyle x^{4}}과non-perfect 사각형을 통해 7x4{\displaystyle 7x^{4}을 통해 완벽한 사각형을 보내});계산을 보여 주F23의 요소 x를 보내t.모자 대신순열 이것은 (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF)이다.

1과 2점, M과₂₃ M의₂₂ 안정제 역시 산발적으로 단순한 집단으로 판명되었다.3개 지점의 스태빌라이저는 투영 특수 선형 그룹 PSL₃(4)에 대해 단순하고 이형적이다.

이 건축물은 카마이클(1956, 페이지 151, 164, 263)이 인용했다.딕슨 & 모티머(1996년, 페이지 209년)는 이 순열들을 마티외에 귀속시켰다.

Steiner 시스템의 자동형성 그룹

고유 S(5,8,24) Steiner 시스템 W₂₄(Witt 설계)까지 동등성이 존재한다.그룹₂₄ M은 이 Steiner 시스템의 자동화 그룹, 즉 모든 블록을 다른 블록으로 매핑하는 순열 집합이다.부분군 M과₂₃ M은₂₂ 각각 단일 지점과 두 지점의 안정기로 정의된다.

마찬가지로, 고유 S(5,6,12) Steiner 시스템 W까지₁₂ 동등하게 존재하며, 그룹 M은₁₂ 그 자동성 그룹이다.부분군 M은₁₁ 점의 스태빌라이저이다.

W는₁₂ S(2,3,9) 시스템인 벡터 공간 F₃×F의₃ 아핀 기하학에서 구성할 수 있다.

W의₁₂ 대체구조는 커티스(1984년)의 '키튼'이다.

R. T. 커티스의 미라클 옥타드 제너레이터를 통한 W의₂₄ 시공과 미니 MOG인 W의₁₂ 콘웨이 아날로그를 통한 W의 구축에 대한 소개는 콘웨이와 슬로운의 저서에서 찾을 수 있다.

골레이 코드의 자동형성 그룹

그룹₂₄ M은 확장 바이너리 골레이 코드 W의 순열 자동형 그룹, 즉 W를 스스로 매핑하는 24개의 좌표에 순열형 그룹이다.모든 마티외 그룹은 이진 골레이 코드의 순열 그룹으로 구성할 수 있다.

M은₁₂ 그것의 자동모형 그룹에 지수 2를 가지고 있고₁₂, M:2는 우연히₂₄ M의 하위그룹에 이형성이 된다. M₁₂:2는 12 1의 암호어인 도데카드의 스태빌라이저이다. M₁₂:2는 파티션을 2개의 보완적인 도데카드로 안정화시킨다.

마티외 그룹과 더 큰 콘웨이 그룹 사이에는 자연스러운 연결이 있는데, 리치 격자는 이진 골레이 코드로 구성되었고 사실 둘 다 차원 24의 공간에 놓여 있기 때문이다.콘웨이 그룹은 몬스터 그룹에서 차례로 발견된다.로버트 그리스는 몬스터에서 발견된 20개의 산발적인 집단을 해피 패밀리라고 하고, 마티외 집단을 1세대라고 부른다.

데신 딘팬츠

마티외 그룹은 드신 딘팬츠를 통해 구성될 수 있으며, M과₁₂ 연관된 데신은 르 브루윈(2007)의 "Monsieur Mathieu"라고 암시적으로 불린다.

참조

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외부 링크

• ATLAS: 마티외 그룹₁₀ M
• ATLAS: 마티외 그룹₁₁ M
• ATLAS: 마티외 그룹₁₂ M
• ATLAS: 마티외 그룹₂₀ M
• ATLAS: 마티외 그룹₂₁ M
• ATLAS: 마티외 그룹₂₂ M
• ATLAS: 마티외 그룹₂₃ M
• ATLAS: 마티외 그룹₂₄ M
• le Bruyn, Lieven (2007), Monsieur Mathieu, archived from the original on 2010-05-01
• Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M₂₄, retrieved 2010-04-15
• GroupNames의 Mathieu₉ 그룹 M
• Scientific American A는 마티외 집단의 수학을 바탕으로 한 퍼즐 세트
• 산발적인 M12 M을₁₂ 기반으로 퍼즐을 구현하는 아이폰 앱으로, 하나의 "spin" 순열과 선택 가능한 "swap" 순열로 제시된다.