아벨 품종 산술

수학에서 아벨 품종의 산수는 아벨 품종의 수 이론, 즉 아벨 품종의 가문을 연구하는 학문이다.그것은 현재 타원곡선으로 인식되고 있는 것에 대한 피에르 드 페르마의 연구로 거슬러 올라간다; 그리고 결과와 추측 면에서 산술 기하학의 매우 실질적인 영역이 되었다.이 중 대부분은 숫자 필드 K에 걸쳐 아벨리안 버라이어티 A에 포즈할 수 있으며, 또는 더 일반적으로(글로벌 필드 또는 더 일반 정밀하게 생성된 링 또는 필드의 경우)에 포즈할 수 있다.

아벨 품종의 정수점

여기서 개념들 사이에는 약간의 긴장이 있다: 정수점은 기하학을 붙이는 의미에 속하는 반면, 아벨의 다양성은 본질적으로 투영적인 기하학에서 정의된다.적분점에 대한 시겔의 정리 등 기본적인 결과는 디오판틴 근사설에서 나온다.

아벨 품종에 대한 합리적 점

디오판틴 기하학의 모르델-와일 정리라는 기본 결과는, K보다 A에 대한 점들의 그룹인 A(K)가 미세하게 생성된 아벨리아 그룹이라고 말한다.적어도 A가 타원 곡선일 때는 가능한 비틀림 부분군에 대한 많은 정보가 알려져 있다.등급 문제는 L 기능(아래 참조)과 결부되어 있다고 생각된다.

여기서 토르소 이론은 셀머 그룹과 테이트-샤파레비치 그룹으로 이어지고, 후자(개념적으로 유한한)는 연구하기 어렵게 된다.

높이

높이 이론은 아벨 품종의 산수에 현저한 역할을 한다.예를 들어, 표준 네론-테이트 높이는 버치족과 스윈너튼-다이어의 추측에 나오는 놀라운 성질을 가진 2차적 형태다.

환원모드 p

아벨 품종 감소 A모듈로는 한정된 분야에 걸쳐 아벨 품종 A를_p 얻기 위한 (예를 들어) K의 (정수 p)의 주요 이상으로서 거의 모든 p에 대해 가능하다.단수점을 획득해 감점이 퇴보하는 '나쁜' 소수점은 매우 흥미로운 정보를 드러내는 것으로 알려져 있다.숫자 이론에서 흔히 일어나는 것처럼, '나쁜' 프리마임이 이론에서 다소 적극적인 역할을 한다.

여기서 축소모드 p에 대한 (실제적으로) 조정권에 대한 정제된 이론(Néron 모델)은 항상 피할 수 없다.타원곡선의 경우 그것을 설명하는 존 테이트의 알고리즘이 있다.

L 기능

A와_p 같은 아벨 품종의 경우 국소 제타 기능에 대한 정의가 있다.A 자체에 대한 L 기능을 얻기 위해서는 그러한 국소적 기능의 적절한 오일러 제품을 취한다; '나쁜' 프리타임에 대한 한정된 수의 요인을 이해하기 위해서는 A의 테이트 모듈, 즉 에탈 코호몰로지 그룹 H¹(A)에 대한 (이중)과 그것에 대한 갈루아 그룹 작용을 참조해야 한다.이러한 방식으로 A의 Hasse-Weil L-function에 대한 존경할 만한 정의를 얻는다.일반적으로 기능 방정식과 같은 그것의 성질은 여전히 추측이다 – 타니야마-시무라 추측(2001년 증명된)은 특별한 경우일 뿐이니 별로 놀랄 일도 아니다.

버치·스위너튼-다이어의 추측이 제기되는 것은 이 L기능의 측면이다.그것은 s의 정수 값에서 L-기능 L의 값에 관한 일반적인 이론의 특히 흥미로운 한 측면일 뿐이며, 그것을 뒷받침하는 많은 경험적 증거가 있다.

복합 곱하기

칼 프리드리히 가우스(레미니스케이트 함수 사건을 알고 있던 사람) 시대부터 특별한 역할은 여분의 자동화, 그리고 $A$ 보다 일반적으로 내형성을 가진 아벨리안 $품종$ A $A$ 에 대해 알려져 왔다.링 ${\rm {End}}(A)$ ${\rm {End}}(A)$ ( ${\rm {End}}(A)$ ) ${\displaystyle {\rm {End}(A$ 에 가장 부유한 계층을 골라내는 아벨리안 CM 타입의 정의가 있다.이것들은 그들의 산수에 있어서 특별하다.이는 L-기능에서 다소 유리한 측면에서 볼 수 있다. 즉, 필요한 고조파 분석은 보다 일반적인 자동 형태 표현이 필요하기 보다는 폰트랴긴 이중성 유형의 모든 것이다.그것은 갈루아 모듈로서 그들의 테이트 모듈을 잘 이해하고 있음을 반영한다.또한 추측 대수 기하학(호지 추측과 테이트 추측)의 측면에서도 그들을 다루기 어렵게 만든다.그러한 문제들에서는 특수 상황이 일반보다 더 까다롭다.

타원곡선의 경우, 크로네커 주겐트라움은 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)가 제안한 프로그램으로, CM형의 타원곡선을 사용하여 가상의 이차장 이론을 명시적으로 수행할 수 있다. 즉, 통합의 뿌리가 합리적인 수의 분야를 위해 이것을 할 수 있도록 하는 방식이다.이는 일반적이지만 어떤 의미에서는 명시적 정보의 상실을 일반화한다(여러 복잡한 변수의 전형과 같다).

마닌-음포드 추측

유리 마닌과 데이비드 멈퍼드의 Manin–Mumford 추측 미셸 Raynaud,[1][2]국가지 않는 한 C-J. 그 statemen generalizes은 Bogomolov 추측과 같은 다른 더 많은 일반 버전들이 있어 커브 C는 야코비 대수 다양체에서 J만 점의 유한하기 위해(토션 지점)의 J에 있는 유한한 번호를 부착할 수 있음을 입증했다.t에 n내전 포인트

참조

^ Raynaud, Michel (1983). "Sous-variétés d'une variété abélienne et points de torsion". In Artin, Michael; Tate, John (eds.). Arithmetic and geometry. Papers dedicated to I. R. Shafarevich on the occasion of his sixtieth birthday. Vol. I: Arithmetic. Progress in Mathematics (in French). Vol. 35. Birkhäuser-Boston. pp. 327–352. MR 0717600. Zbl 0581.14031.
^ Roessler, Damian (2005). "A note on the Manin-Mumford conjecture". In van der Geer, Gerard; Moonen, Ben; Schoof, René (eds.). Number fields and function fields — two parallel worlds. Progress in Mathematics. Vol. 239. Birkhäuser. pp. 311–318. ISBN 0-8176-4397-4. MR 2176757. Zbl 1098.14030.

[1] Raynaud, Michel (1983). "Sous-variétés d'une variété abélienne et points de torsion". In Artin, Michael; Tate, John (eds.). Arithmetic and geometry. Papers dedicated to I. R. Shafarevich on the occasion of his sixtieth birthday. Vol. I: Arithmetic. Progress in Mathematics (in French). Vol. 35. Birkhäuser-Boston. pp. 327–352. MR 0717600. Zbl 0581.14031.

[2] Roessler, Damian (2005). "A note on the Manin-Mumford conjecture". In van der Geer, Gerard; Moonen, Ben; Schoof, René (eds.). Number fields and function fields — two parallel worlds. Progress in Mathematics. Vol. 239. Birkhäuser. pp. 311–318. ISBN 0-8176-4397-4. MR 2176757. Zbl 1098.14030.

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