양자특성법

양자 특성은 표준 좌표와 모멘텀a의 하이젠베르크 연산자의 위그너 변환을 통해 양자역학의 위상공간 형성에서 발생하는 위상공간 궤적이다.이러한 궤도는 해밀턴 방정식을 양자 형태로 준수하며 양자 연산자의 시간에 의존하는 웨일의 상징이 표현될 수 있는 측면에서 특성의 역할을 한다.고전적 한계에서 양자 특성은 고전적 궤도로 감소한다.양자특성의 지식은 양자역학의 지식과 맞먹는다.

웨일-위그너 협회

해밀턴 역학에서 자유도가$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$인 고전적 시스템은 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$의 표준$$ 좌표와 순간으로 설명된다.

${\displaystyle \xi ^{i}=(x^{1},\ldots, p_{n},\dots,p_{n}}\mathb {R} ^{2n}}})$

위상 공간에서 좌표계를 형성하는 것.이 변수들은 포아송 계급 관계를 만족시킨다.

${\displaystyle \{\xi ^{k},\xi ^{l}\}=-I^{kl}.}$

스큐 대칭 행렬 $I{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle l^{}}$ ${\$ I$^{kl$

${\displaystyle \left\ I\right\ ={\begin{Vmatrix}0&-E_{n}\E_{n}&0\end{Vmatrix},}$

여기서 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는${\displaystyle )}$ n $×$ n {\$displaystyle$n$\times$ n$}$ ID$$ 매트릭스로, 위상 공간에서 비삭제 2-폼을 정의한다.위상 공간은 그에 따라 복합 다지관의 구조를 획득한다.위상공간은 미터법 공간이 아니므로 두 점 사이의 거리는 정의되지 않는다.두 함수의 포아송 브래킷은 인접한 면이 이 함수의 구배인 평행그램의 방향 영역으로 해석할 수 있다.유클리드 공간의 회전은 두 점 사이의 거리를 불변하게 한다.공통 다지관의 표준적 변환은 그 영역을 불변하게 한다.

양자역학에서 표준 변수 $variables{\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$은(는) 표준 좌표 및 순간 연산자와 연관된다.

${\displaystyle {\hat {\x}^{i}=({\hat {x}^{1}, {\hat {x}^{n}}, {\hat {p}_{1},\ldots, {\hat {p}_{n})\in \operatorname {Op}(L^{2}).}$

이 운영자들은 힐버트 공간에서 활동하며 통신 관계를 준수한다.

${\displaystyle [{\hat{\xi }^{k},{\hat {\xi }^{l}]=-i\hbar I^{kl}.}$

Weyl의 연결 규칙은^[1] 통신 ${\displaystyle {\xi }^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\xi }^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ^ i ${\$ \$xi$^{i$}\오른쪽$ 화살표 ${\hat{\xi }}}{i}}}}}}$을(를) 임의 위상 공간 함수와 연산자로$$ 확장한다.

테일러 팽창

단측 연관 규칙 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle \xi }$ )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle f\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ f$(\xi )\to {\hat {f}}$은(는) 테일러가 표준 변수 연산자의 기능을 확장하여 초기에 Weyl에 의해 공식화되었다$$.

${\displaystyle {\f}=ff\hat {\xi }}\equiv \sum _{s=0}^{\inflat }{\frac {1}{s!}}{{\frac {\s}f(0)}{\cHB \xi ^{i_{1}}}{\xi ^{i_{s}}}}{\hat{\i_}}}{\hat{\xi }}}}.}$

$연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ $^$ {\$displaystyle${\$hat${\xi$$}}은(는) 통근하지 않으므로$$ 테일러 확장이 고유하게 정의되지 않는다.위의 처방전은 운영자의 대칭 제품을 사용한다.실제 기능은 은둔자 운영자에 해당된다.$함수{\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle f(\xi )}$는 연산자 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$}의 $Weyl$의 기호라고 불린다$$$.$

${\displaystyle \mathrm{역방향}}$ 연결 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle \leftarrow }$ ${\displaystyle f\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ 화살표 ${\hat {f}}$ 아래에서 밀도 행렬은 위그너 함수로 돌아간다$.$^[2]위그너 함수는 양자 다체 물리학, 운동 이론, 충돌 이론, 양자 화학에 수많은 응용을 가지고 있다.

Weyl-Wigner 협회 규칙의 정제된 버전은 Groenewold와^[3] Stratonovich에 의해 제안되었다.^[4]

운영자기준

힐버트 공간에서 활동하는 연산자 집합은 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ -numer와$$ 합계에 의한 연산자의 곱셈에 따라 닫힌다.이러한 집합은 벡터 공간 $V{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 구성한다$.$ 테일러 확장을 사용하여 공식화된 연결 규칙은 운영자에 대한 작업을 보존한다.서신은 다음 도표로 설명할 수 있다.

$왼쪽.{\c}{c}{\c}{c}{c}\왼쪽.{\begin{배열}(\xi)&, \longleftrightarrow&{\hat{f}}\\g(\xi)&, \longleftrightarrow&{\hat{g}}\\c\times f(\xi)&, \longleftrightarrow&c\times}\\f(\xi)+g(\xi)&{\hat{f}, \longleftrightarrow&\와 같이{\hat{f}}+{\hat{g}}\end{배열}}\right\};{\text{벡터 공간}}년^;\mathbb{V}\end{배열}}\\{\begin{배열}{ccc}{f(\xi)\s.타르 g(\xi)}&,{\longleftrightarrow }&\;\;{{\hat {f}}{\hat {g}}}\end{array}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}}\right\}{\text{algebra}}}$

여기서 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle \xi }$ $){\displaystyle f(\xi )}$와${\displaystyle }$g ($){\displaystyle$ g$(\xi )}$는 함수고$$ $f{\displaystyle \hat{}}$ ${\$ $g$^ ${\$은(으)가$$ 연관 연산자다.

$V{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 기초 요소는 표준 변수 $\xi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle \xi ^{i}\in (-\infty,+\infty )}$에 의해 라벨로 표시된다$.$흔히 쓰이는 그로네월드-스트라토노비치 바탕은 마치

${\displaystyle {\b}(\xi )=\int {\frac {d^{2n}\eta}{n}}}^{n}}}\exp(-{\pi \hbar }}}}}{\xi -{\xi }^{v})\mathb.$

함수 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle f(\xi )}$ 및$$ $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ f${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 대한 Weyl-Wigner 양면 연결 규칙의 형식이 있음$$

${\displaystyle f(\xi )=\operatorname {Tr}[{\hat {B}(\xi ){\hat {f},}$

${\displaystyle {\f}=\int {\frac {d^{2n}\xi}{{n}^{n}f(\xi ){\hat {B}(\xi).}$

$f{\displaystyle }$ (${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle f(\$$xi$ $)}$ 함수는 기본 $B{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ($$ ${\displaystyle$ ${\f}$에서 연산자 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ ${\b}$의 좌표를 제공한다$.$기초가 완전하고 직교:

${\dfrac \int{\d^{2n}\xi }{{n}}{{n}}}{\hat{B}(\xi )\operatorname {Tr}[{\hat {B}(\xi ){\f}={\f},}}}$

${\displaystyle \operatorname {T}[{\hat {B}(\xi ^{\prime }){B}=(2\pi \hbar )^{n}\delta ^{2n}(\xi -xi ^{\premy}).}$

대체 운용자 기반도 논의된다.^[5] 운영자 기준 선택의 자유는 운영자 주문 문제로 더 잘 알려져 있다.위상 공간의 입자 궤적 좌표는 운영자 기준에 따라 달라진다.

별제품

연산자 Op(L²(Rⁿ))의 집합은 연산자의 곱셈에 따라 닫힌다.벡터 공간 $V{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 연관 대수 구조와 함께 부여된다$$.두 가지 기능 부여

${\displaystyle f(\xi )=\mathrm {Tr}[{\hat {B}(\xi ){f}]~~\mathrm {and} ~~g(\xi )=\mathrm {Tr}[{\hat {B}(\xi ){g}}},}}}}},}}}}$

제3의 함수를 구성할 수 있고,

${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=\mathrm {Tr}[{\hat {B}(\xi ){\f}{\hat{g}}}}}$

$\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }$ -product라고$$ 함.^[3]그것은 명백하게 에 의해 주어진다.

${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=f(\xi )\exp({\frac {i\hbar }}{2}}:{\mathcal {P}g(\xi ),}$

어디에

${\displaystyle {\mathcal{P}=-{I}^{kl}{\overleftarrow {\frac {\partial ^{k}}}{\partial \partial \l}}}}}}}}$

포아송 연산자 입니다.$\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star}$ - 제품은$$ 대칭 부분과 스큐 대칭 부분으로 분할되며,

${\displaystyle f\star g=f\f\put g+{\frac {i\hbar }{2}}f\put g.}$

고전적 한계에서는 $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circle }$ -제품이$$ 도트 제품이 된다.스큐 대칭 부분 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \wedge }$ g ${\displaystyle f\wedge g}$은(는) 모얄 브래킷으로 알려져 있다.^[6]이것은 정류자의 Weyl 상징이다.고전적 한계에서 모얄 브래킷은 포아송 브래킷이 된다.모얄 브래킷은 포아송 브래킷의 양자 변형이다.$\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }$ -product는$$ 연관성이 있는 반면, $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ -product와$$ Moyal 브래킷은 연관성이 없다.

양자 특성

통신문 ${\displaystyle \xi \stackrel{}{}}$^ ^ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}${\$displaystyle$ \xi $\xi }$에 따르면 위상 공간의 좌표 변환은 표준 좌표계의 연산자 변환과 함께 수행되며 그 반대가 된다.$U{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$을(를) 진화 연산자로 두십시오$$.

${\displaystyle {\hat {{U}=\exp {\bigl (}-{\frac {i}{\hbar }}}}{\hat {H}}}}}}{\hat {H}\tau {\Bigr )},}$

그리고 $H{\displaystyle \hat{}}$ ${\$ {$H}}$은(는) 해밀턴 사람이다.다음 계획을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\,\xi {\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,{\acute {\xi }}\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\updownarrow \\&{}\,{\hat {\xi }}{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}{\acute {\hat {\xi }}}\end{aligned}}}$

양자 진화는 힐버트 공간에서 벡터를 변환하고 위그너 연합 지도 아래에서 위상 공간의 좌표를 변환한다.하이젠베르크 표현에서 표준변수의 연산자는 다음과 같이 변한다.

${\displaystyle {{\hat{\i}}\오른쪽 화살표 {\acute {{\hat{\xi }}}={\hat {U}^{\daughter }{\hat {U}}}}}$

$기존{\displaystyle \stackrel{}{{\stackrel{}{}}^{}}}$ $B{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle ^}$ ( ^){\$}{\displaystyle${\$xi }}{\$$displaystyle{\$${\displaystyle \mathrm{xi}}$$^{i}}}}$에 해당하는$$ 위상 공간 좌표 $^{\$$displaysty}{\data}}{b}}}$는 다음을 통해 제공된다$$.

${\displaystyle \xi ^{i}\오른쪽 화살표 {\acut{\xi}=q^{i}(\xi,\tau )=\mathrm {Tr}[{\hat {B}}}{\hat{U}^{\xi}}}},}}}},}}}},}$

초기의 조건으로

${\displaystyle q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}.}$

${\displaystyle q^{}}$ i (${\displaystyle {}^{}\xi }$ ,${\displaystyle }$, )${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$ 함수는 양자 위상 흐름을 지정한다$$.일반적인 경우는 τ에서 초순을 하는 것이 정설이다.^[7]

별 기능

표준변수의 연산자 집합은 $모든{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 연산자를 연산자의 함수로 나타낼 수 있다는 의미에서 완전하다$$$^{\$ 변환

${\displaystyle {\hat{f}\오른쪽 화살표 {\acute {f}={\hat {f}^{\dager{\f}{\hat {U}}}}}$

위그너 연결 규칙에 따라 위상 공간 함수의 변환을 유도한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}&,{}(\xi){\stackrel{q}{\longrightarrow}}{\acute{f}}(\xi)=\mathrm{Tr}[{\hat{B}}()\xi{\hat{U}}^{\dagger}{{f}\hat}{\hat{U}}]\\&.\와 같이{}\updownarrow.\;\;\;\;\;\;\;\와 같이^;\,\updownarrow \\&,{}{\hat{f}}\;\;\와 같이^;{\stackrel{\hat{U}}{\longrightarrow}}\,{\acute{\hat{f}}}\;\;\;\와 같이^;={\hat{U}}^{\dagger}{\ha.t{f}}{\hat{U}\end{정렬}}$

테일러 확장을 이용하면 진화 중인 함수$$ $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle f(\xi )}$의 변환을 확인할 수 있다.

${\displaystyle f(\xi )\rightarrow {\acute {f}}(\xi )\equiv \mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U^{\dagger }}}f({\hat {\xi }}){\hat {U}}]=\sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}q^{i_{1}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{s}}(\xi ,\tau )\equiv f(\star q(\xi ,\tau )).}$

이러한 방식으로 정의된 복합 함수를 $\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }$ -function이라고$$ 한다.

작문법은 고전과 다르다.그러나 $($${\displaystyle }$($$${\displaystyle \xi }$ ,${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle )}$를 중심으로$$ 한 $p{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$⋆,${\displaystyle \tau }$ $){\displaystyle$ f$(\xi ,\tau$ $)}}$의 반전파적 팽창은 공식적으로 잘 정의되어$$ 있으며$,$$${\$displaystyle$ \$hbar }$의 고른 $힘$을 수반한다.이 방정식은 양자 특성을 구성하는 방법을 고려할 때 해밀턴인에 대한 추가 참조 없이 물리적 관측 가능 여부를 확인할 수 있음을 보여준다.$q{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\xi }$ ,${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$ 함수는 고전적인 류빌 방정식을 푸는 데 사용되는 고전적 특성과 유사하게 ^[8]특성의 역할을 한다$$.

양자 리우빌 방정식

슈뢰딩거 표현에서 밀도 행렬에 대한 진화 방정식의 위그너 변환은 위그너 함수에 대한 양자 리우빌 방정식으로 이어진다.하이젠베르크 표현에서 연산자를 위한 진화 방정식의 위그너 변환,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\f}=-{\frac {i}{\hbar }}}}[{\hat {f},{\hat {H}}],}}$

우측에 반대(플러스) 기호가 있는 동일한 방정식으로 이어진다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}f(\xi ,\tau )=f(\xi ,\tau )\wedge H(\xi).}$

${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$ -함수가$$ 양자 특성 측면에서 이 방정식을 해결함:

${\displaystyle f(\xi ,\tau )=f(\star q)(\xi ,\tau ),0).}$

마찬가지로 슈뢰딩거 표현에서 위그너 함수의 진화는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle W(\xi ,\tau )=W(\star q)(\xi ,-\tau )0).}$

고전 역학의 리우빌 정리는 국소적으로 위상 공간량이 시간 내에 보존되지 않을 정도로 실패한다.실제로 양자상 흐름은 $\Omega {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2s}}^{}}$의 외부 힘으로 정의된$$ 모든 차동 형태 $\Omega {\displaystyle {}^{}}$ 2s ${\$$2s$$}$를 보존하지 않는다${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$ 2 = I ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ d ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\$$I^{kl}d\xi _{k}\curlywedge d\xi _{l$

위그너 함수는 파동함수보다 더 일반적인 형태의 양자체계를 나타낸다.웨이브 함수는 순수한 상태를 설명하는 반면 위그너 함수는 양자 상태의 앙상블을 특징짓는다.모든 에르미트 연산자는 대각선으로 표시할 수 있다.

${\displaystyle \stackrel{}{}\underset{}{f}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ =${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle s{}_{}}$ ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle s}$ $displaystyle {\hat {f}=\sum _{s}\langle s$

고유값 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$이 음수가 아닌 연산자이며 유한한 숫자에 대한 합은 밀도 행렬, 즉 일부 물리적 상태에 매핑될 수 있다.위그너 함수는 밀도 매트릭스의 영상이기 때문에 위그너 함수는 유사한 분해를 인정한다.

${\displaystyle W(\xi )=\sum _{s}\lambda _{s}W_{s}(\xi ),}$

$\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \lambda _{s}\geq$ 0$$$}$ 및

${\displaystyle W_{s}(\xi )\star W_{r}(\xi )=\delta _{sr}$$W_{s}(\xi )}$.

양자 해밀턴 방정식

Quantum Hamilton의 방정식은 표준 좌표와 모멘텀의 하이젠베르크 연산자에 대한 진화 방정식에 위그너 변환을 적용하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau \q^{i}(\xi ,\tau )=\\\\\zeta ^{i}}}\\\\\\\zeta =\star q(\xi ,\tau )}.}$

오른쪽은 고전 역학에서처럼 계산된다.그러나 복합 함수는 $\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }$ - function이다$$.$\star {\displaystyle }$ ${\displaystyle \star }$ - 제품은$$ $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$의 첫 번째 순서를 초과하는 위상 흐름의 카노니티를 위반함.

모얄 브라켓의 보존

표준 변수의 연산자 수가 짝수인 비대칭 생산물은 정류 관계의 결과로 c-number이다.이 제품들은 단일 변형에 의해 불변하게 되어, 특히, 관계를 이끈다.

${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\wedge q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\xi \wedge \xi ^{j}=-I^{ij}.}$

일반적으로 비대칭 제품

${\displaystyle q^{{i_{1}(\xi ,\tau )\star q^{2}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{2s}}}}}(\xi ,\tau )}$

또한 불변, 즉 시간에 따라 달라지지 않으며, 더욱이 좌표에 따라 달라지지 않는다.

진화 작업자가 유도한 위상 공간 변환은 모얄 브래킷을 보존하고 포아송 브래킷을 보존하지 않으므로 진화 맵

${\displaystyle \xi \rightarrow {\xi }=q(\xi ,\tau ),}$

O(오)를 넘어서 표준적이지 않다.^[8]τ의 첫 번째 순서는 변환 그룹의 대수학을 정의한다.앞에서 지적한 바와 같이 고전역학의 표준변환 대수학은 양자역학의 단일변환 대수학과 일치한다.그러나 이 두 집단은 고전 역학과 양자 역학의 곱셈 연산이 다르기 때문에 다르다.

힐버트 공간의 단일 변환에 따른 표준 변수와 위상 공간 함수의 변환 특성은 위상 공간의 표준 변환의 경우와는 중요한 구분을 가진다.

구성법

양자 특성은 물리적 입자가 움직이는 궤도로 시각적으로 다루기 힘들다.그 이유는 항성편성법에 있다.

${\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2}),}$

지역적이지 않고 고전 역학의 점-점-점-점-점-점-점-점-점-점-점-점-점 법칙과 구별

에너지 절약

에너지 절약은 내포하고 있다.

${\displaystyle H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau )),}$

어디에

${\displaystyle H(\xi )=\mathrm {Tr}[{\hat {B}(\xi ){\hat {H}}}}$

해밀턴의 기능이지일반적인 기하학적 의미에서는 $H{\displaystyle }$ (${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle H(\xi )}$이(가) 양자 특성을 따라 보존되지 않는다$$.

요약

특성 방법의 기원은 하이젠베르크의 매트릭스 역학으로 거슬러 올라갈 수 있다.우리가 매트릭스 역학에서 하이젠베르크 표현에서 표준 좌표와 순간의 연산자에 대한 진화 방정식을 풀었다고 가정하자.이들 연산자는 다음과 같이 진화한다.

${\displaystyle {\hat{\xi}}\오른쪽 화살표 {\hat {\xi }}(\tau )={\hat {U}^{\daughter }{\hat {U}}}}$

연산자 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$$hat$${f}}$에 $대해$ f $^$ {\$displaystyle {\f$}이($가$) f (${\displaystyle \xi \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$) ${\displaystyf({\hat {\xi }})}$ 형식으로 표시되는 함수 f(f)를 찾을 수 있는 것으로 알려져 있다$.$동일한 연산자 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$이(가) ▼ 시간에 동일함

${\displaystyle {\hat {f}}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}={\hat {U}}^{\dagger }f({\hat {\xi }}){\hat {U}}=f({\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}{\hat {U}})=f({\hat {\xi }}(\tau )).}$

이 방정식은 ${\displaystyle \xi \stackrel{}{}^}$ ( ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle${\$hat${\$xi }}}}(\tau$)이 Op(L(Rⁿ)의² 모든 연산자의 진화를 결정하는 특성임을$$ 보여준다.이 특성은 변형 정량화 시 위상공간으로 완전히 이전되며, ħ → 0의 한도에서 고전역학으로 이전된다.

고전역학 vs.양자역학

리우빌 방정식
1차 PDE	무한정 PDE
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}}}\rho(\xi ,\tau )=-\\\\\rho(\xi ,\tau ),{\mathcal {H}(\xi )\}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}W(\xi ,\tau )=-W(\xi ,\tau )\wedge H(\xi )}$
해밀턴 방정식
유한 순서 ODE	무한정 PDE
${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau \c^{i}(\xi ,\tau )=\\\\\zeta ^{i}}{\mathcal {H}(\zeta )\{\\zeta =c(\xi ,\tau )}}}}}}}}}}}}}}}).$	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau \q^{i}(\xi ,\tau )=\\\\\zeta ^{i}}\\\\\\\\zeta =\star q(\xi ,\tau )}}}}}$
초기조건	초기조건
${\displaystyle c^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}}$	${\displaystyle q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}}$
구성법
도트 구성	${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star$$}$ - -
${\displaystyle c(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2}=c(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2}}$	${\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2}),}$
인비언스
포아송 괄호	모얄 브라켓
${\displaystyle \{c^{i}(\xi ,\tau ),c^{j}(\xi ,\tau )\}=\\xi ^{i},\xi ^{j}\}}}}$	${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\chi q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\xi ^{j}}}$
에너지 절약
도트 구성	${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star$$}$ - -
${\displaystyle H(\xi )=H(\xi ,\tau )}$	${\displaystyle H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau )),}$
Louville 방정식
도트 구성	${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star$$}$ - -
${\displaystyle \rho (\xi ,\tau )=\rho (c(\xi ,-\tau ),0)}$	${\displaystyle W(\xi ,\tau )=W(\star q(\xi ,-\tau ),0)}$

표는 고전 역학과 양자 역학의 특성들을 비교한다.PDE와 ODE는 각각 부분 미분방정식과 일반 미분방정식을 나타낸다.양자 리우빌 방정식은 슈뢰딩거 표현에서 밀도 행렬에 대한 폰 노이만 진화 방정식의 Weyl-Wigner 변환이다.양자 해밀턴 방정식은 하이젠베르크 표현에서 표준 좌표와 모멘텀a 연산자를 위한 진화 방정식의 Weyl-Wigner 변환이다.

고전주의 시스템에서 특징 $c{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle \xi ,}$ $){\displaystyle$ c$^{i}(\xi,\tau )}$는 보통$$ 1차 순서 ODE, 예를 들어 고전주의 해밀턴 방정식을 만족시키고, 1차 순서 PDE, 예를 들어 고전주의 Louvil 방정식을 해결한다.$함수{\displaystyle {}^{}}$ $q{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\xi }$ ,${\displaystyle }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle }$) ${\displaystyle q^{i$${\displaystyle \}(\backslash }$$xi$ ${\displaystyle ,\backslash }$$tau )}$ ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\$${\displaystyle \mathrm{tau}}$ $)}$와 $(\displaysty f,\tau )}$는 모두 무한 순서 PDEs에$$ 순응하는 특성이다$$.

양자 위상 흐름은 양자 진화에 대한 모든 정보를 포함한다.ħ의 파워 시리즈에서 양자 특성의 반전파적 확대와 양자 특성의 ${{\displaystyle \star }$ -기능은$$ 위상 공간 궤적과 자코비장에 대한 유한 순서 결합 시스템을 풀어서 시간에 의존하는 물리적 관측 가능성의 평균값을 계산할 수 있다.^[9][10]ODE 시스템의 순서는 전력 시리즈의 잘림에 따라 달라진다.터널링 효과는 ħ에서 비동작적이며 팽창에 의해 포착되지 않는다.양자 확률 유체의 밀도는 양자 유체가 확산됨에 따라 위상 공간에서 보존되지 않는다.^[6] 따라서 양자 특성은 드 브로글리의 궤적과 구별되어야 한다.빔^[12] 이론과^[11] 위그너 ^[13][14]함수에 대한 위상 공간에서의 경로 통합 방법의 궤적지금까지 양자특성의 방법을 사용하여 명시적으로 해결된 양자체계는 몇 개에 불과하다.^[15][16]

참고 항목

• 특성방법
• 위그너-와일 변환
• 변형 이론
• 위그너 분포 함수
• 수정된 위그너 분포 함수
• 위그너 퀘이프로브성 분포
• 부확률

참조

교과서

• H. Weyl, Theory of Groups and Quantum Mechanics, (Dover Publishments, New York Inc., 1931).
• V. I. 아놀드, 고전역학의 수학적 방법들, (2차 개정)Springer-Verlag, New York Inc., 1989).
• M. V. 카라세프와 V. P. 마슬로프, 비선형 포아송 괄호. 지오메트리 및 정량화.수리 모노그래프의 번역, 119. (미국 수리학회, 프로비던스, RI, 1993).