최소 커플링

해석 역학과 양자장 이론에서 최소 결합은 전하 분포의 높은 멀티폴 모멘트가 아닌 전하 분포만을 포함하는 필드 사이의 결합을 의미한다.이 최소 결합은 예를 들어 라그랑지아에서 직접 전자의 자기 모멘트를 포함하는 파울리 결합과는 대조적이다.null

전기역학

전기역학에서는 모든 전자기 상호작용을 설명하기에 최소한의 결합이 적절하다.입자의 모멘트가 높을수록 최소 커플링과 0이 아닌 스핀의 결과가 나타난다.null

전자기장의 비상대적 전하입자

데카르트 좌표에서 전자기장 내 비상대적 고전 입자의 라그랑지안은 (SI 단위):null

${\displaystyle {\mathcal{{L}=\sum _{i}{1}{1}{{1}:{2}}m{\dot{x}}}^{2}+\sum _{i}q{\x}}}}{i}}}}}A_{i}-q\varphi }$

여기서 q는 입자의 전기 전하, φ은 전기 스칼라 전위, A는_i 모두 x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 및 $t$ ${\displaystyle t}$에 명시적으로 의존할 수 있는 자기 벡터 전위 구성 요소다$.$

이 라그랑지안은 오일러-라그랑주 방정식과 결합하여 로렌츠 힘 법칙을 만들어 낸다.

${\displaystyle m{\ddot{\mathbf {x}}}}}}}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x}}}}}}}\time \mathbf {B}\}\}}}$

그리고 최소 결합이라고 불린다.null

스칼라 전위 및 벡터 전위의 값은 게이지 변환 중에 변경되며,^[1] 라그랑지안 자체도 추가 항을 얻을 수 있다. 그러나 라그랑지안의 추가 항은 스칼라 함수의 총 시간 파생에 해당하며, 따라서 여전히 동일한 오일러-라그랑주 방정식을 생성한다.null

표준 모멘텀a는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal{L}}{\partial {\dot{x}_{i}}=m{\dot{x}_{i}+qA_{i}}}}}}}}}}}}}$

표준 모멘텀a는 게이지 불변성이 아니며 물리적으로 측정할 수 없다는 점에 유의하십시오.그러나 운동운동동력은

${\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot{x}_{i}=p_{i}-qA_{i}}}}}}$

게이지가 불변하고 물리적으로 측정할 수 있다.null

따라서 해밀턴인은 라그랑지아의 레전드르 변혁으로서 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {H}=\좌측\{\sum _{i}{x}p_{i}\우측\}-{\mathcal {L}=\sum _{i}{\frac {\}{{i}-qA_{i}\우측)^{2m+qvarphi}}}$

이 방정식은 양자역학에서 자주 사용된다.null

게이지 변환 시:

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot{f}\f}}$

여기서 f(r,t)는 공간과 시간의 스칼라 함수로서 앞에서 언급한 라그랑지안, 표준 모멘텀a, 해밀턴의 변형은 다음과 같다.

${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$

해밀턴의 방정식은 여전히 동일하다.

$왼쪽.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\오른쪽 _{p'_{i}&=\왼쪽.{\frac {\partial }{x_{i}}}}{\p_{i}}}\오른쪽 _{p'}{p}}({\dot {x}_{i}p'_{i}-L')=-\왼쪽.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\오른쪽 _{p_{i}\&=-\왼쪽.{\frac {\partial L}{x_{i}}}}\오른쪽 _{p'_{i}-q\왼쪽.{\frac{\frac{\frac}{x_{i}}\오른쪽 _{p_{i}}{p_{df}\\\=-{\frac{d}}}\왼쪽(\왼쪽){\frac {\partial L}{\partial {{\dot{x}_{i}}}}\오른쪽 _{p_{i}}+q\왼쪽.{\frac{\frac{\f}{x_{i}}}\오른쪽 _{p'_{i}\오른쪽)\\&={\dot{p}'_{i}\end{aigned}}}}}}$

양자역학에서 파동함수는 게이지 변환 중에 국부 U(1) 그룹 변환도^[2] 거치게 되는데, 이는 국부 U(1) 변환 하에서 모든 물리적 결과가 불변해야 함을 의미한다.null

전자기장의 상대론적 전하입자

입자에 대한 상대론적 라그랑지안(정지 질량 m과 전하 q)은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

따라서 입자의 표준 운동량은

${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

즉, 운동 운동 운동량과 잠재적 운동량의 합이다.null

속도에 맞춰 해결하면

${\dot {\mathbf {x}}}}}={\frac {p} -q\mathbf {A}{}{\sqrt {m^{2}+{1}{c^{1}{1}}}{{{1}}}}}{\mathbf {p} -qmathbf {A} \오른쪽)}^{2}}}}}$

그래서 해밀턴인은

${\displaystyle {\mathbf {H}(t)={\dot {\mathbf {x}}}\cdot \mathbf {p}-{{{\m^{2}c^{2}+{{\mathbf {A} \오른쪽)}}^{2}}:}+q\varphi }$

이로 인해 힘 방정식이 발생한다( 오일러-래그랑주 방정식과 동일).

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

거기서부터 얻을 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\left({\frac{m{\dot{\mathbf{x}}}}{\sqrt{1-{\frac{{\dot{\mathbf{x}}}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&, ={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}(\mathbf{p}-q\mathbf{A})={\dot{\mathbf{p}}}-q{\frac{A\partial}{\partial지}}{A}\\& -q({\dot{\mathbf{x}}}\cdot \nabla)\mathbf.;=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

위의 파생은 벡터 미적분학 정체성을 이용한다.

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

상대론적(키네틱) 운동량의 함수로서 해밀턴인에 대한 등가식 P = γm³(t) = p - qA는 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

이것은 운동운동량 P는 실험적으로 측정할 수 있는 반면 표준운동량 p는 측정할 수 없다는 장점을 가지고 있다.해밀턴(총 에너지)은 상대론적 에너지(키네틱+휴식), E = mcmc², 그리고 잠재적 에너지인 V = eφ의 합으로 볼 수 있다는 점에 유의한다.null

인플레이션

우주 인플레이션에 관한 연구에서 스칼라 장의 최소 결합은 보통 중력에 대한 최소 결합을 의미한다.즉, 팽창장 $field{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 대한 동작이 스칼라 곡률에 결합되지$$ 않음을 의미한다.중력에 대한 유일한 결합은 미터법(Planck 단위)에서 생성된$$ 로렌츠 불변량 $g{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 4{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\sqrt{g}\,d^{4$}x$}$에 대한 연결이다.null

${\displaystyle S=\intd^{4}x\,{\sqrt{g}\,\좌(-{\frac{1}{2}}R+{1}{1}}\nabla _{\mu }\varphi \v(\varphi )\right}$

여기서 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle det}$ g ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$ 게이지 공변량 파생 모델을 활용한다.null

참조