상대론적 라그랑기 역학

다음에 대한 시리즈 일부
스페이스타임
특수상대성 일반상대성
스페이스 타임 개념 스팩타임 다지관 등가원리 로렌츠 변환 민코스키 공간
일반상대성 일반 상대성 소개 일반 상대성 수학 아인슈타인 장 방정식
고전중력 중력 소개 뉴턴의 만유인력의 법칙
관련수학 4벡터 상대성 유도 스페이스타임 도표 미분 기하학 곡선 스페이스타임 일반 상대성 수학 스페이스타임 위상
물리포털 카테고리
v t

이론물리학에서 상대론적 라그랑의 역학은 특수상대성이론과 일반상대성이론의 맥락에서 적용되는 라그랑의 역학이다.

특수상대성이론에서의 라그랑어 공식화

라그랑기 역학은 다음과 같이 특수상대성이론에서 공식화될 수 있다.하나의 입자를 고려한다(N입자는 나중에 고려한다).

좌표식

시스템이 라그랑지안 L에 의해 설명되는 경우, 오일러-라그랑지 방정식

${\displaystyle {\frac {d}{dt}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r}}}}}}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

라그랑기안이 특수 상대성 이론과 일치하는 운동 방정식을 생성하는 경우, 특수 상대성 이론에서 그들의 형태를 유지한다.여기서 r = (x, y, z)는 단순성을 위해 데카르트 좌표가 사용되는 일부 실험실 프레임에서 측정한 입자의 위치 벡터다.

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r}}}}}={dt}}}{dt}=\frac {dy}{dt},{\frac {dz}{dt}\right}}}}$

좌표 속도(좌표 속도)는 좌표 시간 t에 관한 위치 r의 파생물이다(이 기사를 통해 초과도는 적절한 시간이 아니라 시간을 조정하는 것에 관한 것이다).위치 좌표를 비상대적 역학, r = r(q, t)에서와 정확히 같이 일반화된 좌표로 변환할 수 있다.r의 총 차분을 취하면 속도 v가 일반화된 좌표, 일반화된 속도 및 좌표 시간으로 변환된다.

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,,\quad {\dot {q}}_{j}={\frac {dq_{j}}{dt}}}$

여전히 똑같아그러나 움직이는 입자의 에너지는 비 역학 역학과는 다르다.자유 시험 입자의 총 상대론적 에너지를 보는 것은 유익하다.실험실 프레임의 관찰자는 r과 좌표 시간 t를 좌표로 이벤트를 정의하고, 좌표 속도 v = dr/dt를 가지도록 입자를 측정한다.이와는 대조적으로, 입자와 함께 움직이는 관찰자는 다른 시간을 기록할 것이다. 이때는 적절한 시간이다. 파워 시리즈로 확장하면, 첫 번째 용어는 입자의 휴식 에너지와 더불어 입자의 비-상대적 운동 에너지와 그 보다 높은 순서의 상대론적 보정이 뒤따른다.

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}=m_{0}c^{2}+{1 \over 2}m_{0}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)+{3 \over 8}m_{0}{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{4}(t)}{c^{2}}}+\cdots \,.}$

여기서 c는 진공에서 빛의 속도다.t와 τ의 차이는 로렌츠 인자 γ에 의해 관련된다.^{[nb 1]}

${\displaystyle dt=\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})d\tau \,,\quad \gamma ({\dot {\mathbf {r} }})={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\,,\quad {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad {\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)={\dot {\mathbf {r} }}(t)\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)\,.}$

·는 도트 제품이다.정지 질량 m의₀ 무충전 입자에 대한 상대론적 운동에너지는 다음과 같다.

${\displaystyle T=({\dot {\mathbf {r}}}}}}}-1)m_{0}c^{2}}:$

그리고 우리는 한 입자가 이 상대론적 운동 에너지에서 잠재적 에너지를 뺀 상대론적 라그랑지안을 순진하게 추측할 수 있다.그러나 V = 0인 자유 입자에 대해서도 이것은 잘못된 것이다.비-상대론적 접근법에 따라, 우리는 속도에 관한 이 겉보기에는 정확해 보이는 라그랑지안의 파생물이 상대론적 모멘텀이 될 것으로 예상하지만, 그렇지 않다.

일반화된 운동량의 정의는 유지될 수 있으며, 주기 좌표와 보존 수량 사이의 유리한 연결은 계속 적용될 것이다.모멘텀a는 라그랑지아의 "역엔지니어링"에 사용될 수 있다.자유 질량 입자의 경우, 카르테스 좌표에서 상대론적 운동량의 x 요소는

${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\x}}}=\gamma({\dot {\mathbf{r}}}}}}{0}{\x}}}\quad }}$

y 및 z 성분과 유사하게.dx/dt에 대해 이 방정식을 통합하는 것은

${\daptyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}:{\gamma({\dot {\mathbf{r}}}}}}}}}})+X({\dot {y},{\dot {z}})\}}$

여기서 X는 통합에서 dy/dt와 dz/dt의 임의 함수다.p와_y p를_z 통합하면 유사하게 얻는다.

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+Y({\dot {x}},{\dot {z}})\,,\quad L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+Z({\dot {x}},{\dot {y}})\,,}$

여기서 Y와 Z는 표시된 변수의 임의 함수다.X, Y, Z 함수는 임의적이므로 일반성의 손실 없이 이러한 통합에 대한 공통적인 해결책을 결론 내릴 수 있으며, 상대론적 모멘텀의 모든 구성요소를 정확하게 생성할 수 있는 라그랑지아(Lagrangian)는 다음과 같다.

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}:{\gamma({\dot {\mathbf{r}}}}}}}}}})}$

여기서 X = Y = Z = 0.

또는 상대론적으로 불변량으로부터 라그랑지안을 구축하고 싶으므로 적절한 시간 τ과₁ τ₂ 사이의 입자의 세계선 길이인 스팩타임에 로렌츠 불변선 원소의 적분에 비례하는 작용을 취한다.^{[nb 1]}

${\displaystyle S=\varepsilon \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d\tau =\varepsilon \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dt}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}\,,\quad L={\frac {\varepsilon }{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}=\varepsilon {\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}}}\,,}$

여기서 ε은 찾아야 할 상수로서, 실험실 틀에서 측정한 대로 입자의 적정 시간을 좌표 시간으로 변환한 후, 적분자는 정의상 라그랑지안이다.모멘텀은 상대론적 모멘텀이겠죠,

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=\left({\frac {-\varepsilon }{c^{2}}}\right)\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }}=m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }}\,,}$

이전에 획득한 라그랑지안과 일치하여 ε = -mc가₀² 필요하다.

어느 쪽이든, 위치 벡터 r은 라그랑지아에서 부재하고 따라서 순환하므로 오일러-라그랑지 방정식은 상대론적 운동량의 항상성과 일치한다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}(m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }})=0\,,}$

자유 입자의 경우 반드시 그렇겠지또한 상대론적 자유 입자 라그랑지안을 파워 시리즈로 확장하여 (v/c)의 첫 번째 순서로,²

${\displaystyle L=-m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}\right)+\cdots \right]\approx -m_{0}c^{2}+{\frac {m_{0}}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}\,,}$

v가 작을 때 비-상대적 한계에서, 보이지 않는 상위 순서의 용어는 무시할 수 있으며, 라그랑지안은 비-상대적 운동에너지가 되어야 하는 것이다.남은 항은 입자의 휴식 에너지의 음으로, 라그랑기안에서는 무시할 수 있는 상수 항이다.

잠재적 V에 의거하여 상호작용하는 입자의 경우, 비보수가 될 수 있는 경우, 많은 흥미로운 사례들이 자유 입자 라그랑지안으로부터 단순히 이 잠재력을 빼는 것이 가능하다.

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}:{\gamma({\dot {\mathbf{r}}}}}}}}}})}-V(\mathbf {r}}}, t)\,}$

오일러-라그랑주 방정식은 뉴턴의 두 번째 법칙의 상대론적 버전을 유도하며 상대론적 운동량의 좌표 시간 파생물은 입자에 작용하는 힘이다.

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} }}={\frac {d}{dt}}(m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }})\,.}$

잠재적 V가 이러한 방식으로 상응하는 힘 F를 발생시킬 수 있다고 가정한다.전위가 표시된 것처럼 힘을 얻을 수 없는 경우, 라그랑지안은 정확한 운동 방정식을 얻기 위해 수정이 필요할 것이다.

또한 라그랑지안이 시간과 속도에 관계 없이 잠재 V(r)가 명백하게 독립되어 있다면, 총 상대론적 에너지는 다음과 같은 것이 사실이다.

${\daptyle E={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r}}}}}}}}}\cdot {\mathbf {r}}}}}}}}}\cdot {\mathbf {}}}}}\gma(\mathb {r}}}})}}}}}}}}}}}}}}}}})$

첫 번째 용어는 단지 상대론적 운동에너지가 아니라 입자의 나머지 질량을 포함하는 입자의 상대론적 에너지이기 때문에 식별이 덜 명백하지만 보존된다.또한, 동질 함수에 대한 주장은 상대론적 라그랑비아인에게는 적용되지 않는다.

N 입자에 대한 확장은 간단하며 상대론적 라그랑지안은 단지 "자유 입자" 용어의 합에 불과하며 이들의 상호작용의 잠재적 에너지를 뺀 것이다.

${\displaystyle L=-c^{2}\sum _{k=1}^{N}{\frac {m_{0k}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}_{k})}}-V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)\,,}$

시간을 포함하여 모든 위치와 속도를 동일한 실험실 프레임에서 측정한다.

이 좌표식식의 장점은 다중문자 체계를 포함한 다양한 시스템에 적용할 수 있다는 것이다.단점은 일부 실험실 프레임이 선호 프레임으로 선정되었고, 어느 방정식도 명백한 공변량이 없다는 점이다(즉, 모든 기준 프레임에서 동일한 형태를 취하지는 않는다).실험실 프레임에 상대적으로 움직이는 관찰자의 경우, 위치 r, 운동 p, 총 에너지 E, 잠재적 에너지 등 모든 것을 다시 계산해야 한다.특히 이 다른 관찰자가 일정한 상대 속도로 움직인다면 로렌츠 변환을 사용해야 한다.그러나 이 작용은 건설에 의해 로렌츠 불변성이기 때문에 그대로 유지될 것이다.

아래와 같이 쉽게 일반 상대성까지 확장될 자유 질량 입자에 대한 외관상 다르지만 완전히 동등한 형태의 라그랑지안(Lagrangian)을 삽입하면^{[nb 1]} 얻을 수 있다.

${\dplaystyle d\tau ={\frac {1}{\c}{\sqrt {\eta _{\not \\dx^{\lot }{dt}{dx^{\dt}}}{dt}}}}{dx^}}}}}}}}$

로런츠 불변 작용으로 해서

${\displaystyle S=\varepsilon \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}dt\quad \Rightarrow \quad L={\frac {\varepsilon }{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}}$

여기서 ε = -mc는₀² 단순성을 위해 유지된다.선 요소와 작용이 로렌츠 불변성이지만, 라그랑지안은 실험실 좌표 시간에 명시적으로 의존하기 때문에 그렇지 않다.여전히 운동 방정식은 해밀턴의 원리에서 따온 것이다.

$\delta S=0\,.}$

작용은 입자의 월드 라인의 길이에 비례하기 때문에(즉, 이 경로는 정지 작용의 발견이 가장 짧은 시간 또는 가장 큰 시간의 궤적을 찾는 것과 유사하다는 것을 보여준다.이에 상응하여, 입자의 운동 방정식은 스페이스타임, 지오디컬에서 최단 또는 최대 길이의 궤적을 설명하는 방정식과 유사하다.

잠재적 V에서 상호작용하는 입자의 경우, 라그랑지안은 여전히 존재한다.

${\dplaystyle L={\frac {\barepsilon }{c}{\sqrt {\eta_{\\alpha \beta }{dx^{\dt}}{\frac {dx^{dt}}}}}{dt}-V}}$

위와 같이 많은 입자로도 확장될 수 있는, 각 입자는 위치를 정의하기 위한 고유의 위치 좌표 세트를 가지고 있다.

공변량 공식

공변량 공식에서 시간은 공간과 동등한 지위에 놓이기 때문에, 일부 프레임에서 측정한 좌표 시간은 공간 좌표(및 기타 일반화된 좌표)를 따라 구성 공간의 일부분이다.^[1]질량이 없거나 질량이 큰 입자의 경우 로렌츠 불변 작용은 (표기법 사용)^[2]

${\displaystyle S=\int _{\sigma _{1}^{{1}^{\sigma _{2}}\lambda(x^{\nu })(\sigma }), u^{\nu }(\sigma )d\sigma }}}}}}}}$

벡터의 공분산 및 편차에 따라 낮은 지수와 높은 지수를 사용하는 경우, σ은 아핀 매개변수, u^μ = dx^μ/dσ는 입자의 4velocity이다.

거대한 입자의 경우, σ은 입자의 세계선을 따라 호 길이 s 또는 적절한 시간 τ이 될 수 있다.

${\dx^{2}=c^{2}d\tau ^{2}=g_{\not \dx^{}dx^{\dx^{\dx^, }\,}$

질량이 없는 입자의 경우 질량이 없는 입자의 적절한 시간이 항상 0이기 때문에 질량이 없는 입자의 경우 그럴 수 없다.

${\displaystyle g_{\put \dx^{}dx^{}dx^{}\put }=0\,.}$

자유 입자를 위해 라그랑지안은 그 형태를^[3][4] 가지고 있다.

${\displaystyle \Lambda =g_{\\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\sigma }{{dx^{\beta }}}}}}$

여기서 1/2이라는 관련 없는 요인은 라그랑비아인의 스케일링 속성에 의해 스케일링될 수 있다.질량 포함은 질량이 없는 입자에도 적용되므로 필요하지 않다.스페이스타임 좌표의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial \Lambda }{\partial u^{\alpha }}}-{\frac {\partial \Lambda }{\partial x^{\alpha }}}={\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\sigma ^{2}}}+\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\sigma }}=0\,,}$

즉, 스페이스타임의 부호화된 지오디스트에 대한 지오디컬 방정식이다.즉, 자유 입자는 지질학을 따른다.질량이 없는 입자를 위한 지오데틱스는 스페이스타임의 '라이트콘(light con)' 또는 'null con(null con)'에 놓여 있기 때문에(측정을 통한 내제품이 0과 같기 때문에 null), 거대한 입자는 '타임라이크 지오데틱(timelike geodics)'을 따르고, 타키온(Tachyons)이라고 알려진 빛보다 빠르게 이동하는 가상의 입자는 '우주 지오데틱스'을 따른다.sics".

이 명백한 공변량 공식은 N 입자 시스템으로 확장되지 않는다. 그 이후, 한 입자의 아핀 매개변수를 다른 모든 입자에 대한 공통 매개변수로 정의할 수 없기 때문이다.

특수 상대성 사례

특수상대론적 1d 자유입자

1d 상대론적 자유 입자에 대해^[5] 라그랑지안은

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt{1-{\frac {{\dot{x}^{2}(t){c^{2}}}\,}$

이로 인해 다음과 같은 운동 방정식이 발생한다.

${\displaystyle {\frac{1}{{-{\frac {{\dot{x}^{2}}:}^{c^{2}}:}^{\frac{3}{2}}m{\dddot{x}=0\,.}$

파생

${\displaystyle {\frac {d}{dt}{\frac {\partial L}{\partial L}{x}}-{\partial L}{\partial x}=0}$ ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\partial {x}}}{\mc^{2}}}{\sqrt{1-{\frac {{x}}}}{c^{2}}}}}}}=0}}$ ${\displaystyle \Rightarrow -mc^{2}{\frac {d}{d}{dot{x^{2}}:{\frac {1}{1-{\frac {{\x}}}}{{c^{2}}}}=0}$ ${\displaystyle \Rightarrow m{\frac {d}{dt}}{\frac {x}{1-{\sqrt{{x}}^{c^{2}}:}}}}}}{dot{x}}}}{c^}}}}}}}}}}}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow m({\frac {\ddot {x}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}{\frac {\ddot {x}}{(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}})=0}$ ${\displaystyle \Rightarrow ({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}{(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}})m{\ddot {x}}=0}$ ${\displaystyle \Rightarrow ({\frac {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}}{(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}{(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}})m{\ddot {x}}=0}$ ${\displaystyle \frac {1}{{\frac {{\dot{x}^{2}}:{c^{2}}}^{3}{2}}:00m{\frac{x}=0}}$

특수상대론적 1d 고조파 오실레이터

1d 상대론적 단순 고조파 오실레이터의 경우 라그랑지안은^[6][7]

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt{1-{\frac {{\x}{x}}}{c^{2}}:}-{\frac {k}{2}}:x^{2}\,\,}$

여기서 k는 스프링 상수다.

특수상대론적 상수력

일정한^[8] 힘 아래 있는 입자에 대해 라그랑지안은

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt{1-{\frac {{\x}^{2}(t){c^{2}}-mgx\,}$

여기서 g는 단위 질량 당 힘이다.

이로 인해 다음과 같은 운동 방정식이 발생한다.

${\displaystyle {{\frac{1}{{{\frac {{\dot{x}^{2}}}^{c^{2}}:}^{\frac{3}{2}}:{\ddot{x}}}=-g\,}$

이 경우, 초기 조건의 경우

${\displaystyle {\pregated}x(t=0)&=x_{0}\\\\dot {x}(t=0)&=v_{0}\end}}}}}$

시간의 함수로서 입자의 위치를 초래하다.

${\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {c^{2}}{g}}[{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}-{\sqrt {{\frac {1}{1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}+{\frac {g^{2}t^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2v_{0}gt}{c^{2}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}}}]\,.}$

운동 방정식의 도출

${\displaystyle {\frac {d}{dt}{\frac {\partial L}{\partial L}{x}}-{\partial L}{\partial x}=0}$ ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}(-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}}})-{\frac {\partial }{\partial x}}(-mgx)=0}$ ${\displaystyle \Rightarrow -mc^{2}{\frac {d}{d}{dot{x^{2}}:{\frac {1}{1-{\frac {{\x}}}}{{c^{2}}}}=-mg}$ ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\x}{1-{\frac {{\x}^{c^{2}}:}}}{c^{2}}=-g}}$ ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {\ddot {x}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}{\frac {\ddot {x}}{(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}=-g}$ ${\displaystyle \Rightarrow ({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}{(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}){\ddot {x}}=-g}$ ${\displaystyle \Rightarrow ({\frac {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}}{(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}{(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}){\ddot {x}}=-g}$ ${\displaystyle \frac {1}{{\frac {{\dot{x}^{2}}:{c^{2}}:}^{3}{2}}:{\frac}{x}}}{\ddot{x}}}}}{\dddot {x}=-g}$

용액의 유래

오일러-라그랑주 방정식을 보면 ${\displaystyle {\frac {d}{dt}{\frac {\dot}{x}}{1-{\frac {{\frac}^{2}}:{c^{2}}:}}}=-g}$ 시간에 대한 통합: ${\displaystyle \frack {\frac {\x}{1-{\frac {{\x}^{2}}:{c^{2}}=-gt+A}$ 여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 결정되지 않은 상수입니다. $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$에 대한 이 방정식 해결$:$ ${\dot{\dot{x}(t)={\frac {A-gt}{\sqrt{1+{\frac{(A-gt)^{2}}:}}$ 그런 다음 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \dot{}(\mathrm{t}}$= 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {\frac {A}{\sqrt {1+{\frac{A^{2}}:{c^{2}}:}=v_{0}}}}}$ 라는 뜻을 내포하고 있다. ${\displaystyle A={\frac {v_{0}}{1-{\frac {v_{0}^{2}}:{c^{2}}:}\등가 \gamma _{0}v_{0}}}}}}}}}}}$ 그러므로 ${\displaystyle {\dot{x}(t)={\frac {\frac _{0}-gt}{\sqrt {1+{{0}-gt}{{0}-gt)^{2}}:}}}$ NOT은 g에선{\displaystyle gt}의 큰 값에 1<>,<>(γ 0v0− gt)2⇒ 1+(γ 0v0− gt)2c2≈ γ 0v0− gtc{1<,<>\displaystyle,(\gamma_{0}일 경우 v_{0}일 경우 -gt)^{2}\Rightarrow{\sqrt{1+{\frac{{2(\gamma_{0}일 경우 v_{0}일 경우 -gt)^}}{c^{2}}}}}\approx{\frac{\gamma_{0}.v_{0}-gt}{c}$}}}}$을(를${\displaystyle )}$ 보고 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \dot{}(t}$ → ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$)${\displaystyle }$= c ${\dot스타일${\$x}(t\오른쪽$화살표 $\infit )=$c$\}$을(를) 참조하십시오. 그렇다면, 그런 것을 감안한다면. ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}={\frac {\frac _{0}-gt}{\sqrt {1+{{0}-{0}-gt}{0}}}{0}-g)^{2}}:}}$ 우리는 가지고 있다. ${\displaystyle x(t)=\int {\frac {\frac_{0}-gt}{\sqrt {1+{\frac{{0}-gt}(\reason _{0}-gt)^{2}}:{c^{2}}dt}$ Picking ${\displaystyle u\equiv 1+{\frac {(\gamma _{0}v_{0}-gt)^{2}}{c^{2}}}\Rightarrow du=-{\frac {2g}{c^{2}}}(\gamma _{0}v_{0}-gt)dt}$, we have ${\displaystyle x(u)=-{\frac {c^{2}}:{2g}\int {\frac {1}{\sqrt {u}du}$ ${\displaystyle {그런\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ 다음${\displaystyle {}^{}}$und ${\displaystyle {}^{}}$ - 1 2 d$$$u$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\frac{\mathrm{u}}{}}^{}}$ 1 2${\displaystyle {}^{}}$+ C ${\displaystyle \int$ \int $u^{\frac {1}{1$}:{2$}}:du=2u^{$1}{$1}{2}}+C}$가 결정되지 않은 일부 $상수{\displaystyle }$ C {\$displaystystyle C}$에 대해$$ 주의하십시오. ${\displaystyle x(u)=-{\frac {c^{2}}:{g}{\sqrt{u}+B}$ $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$+ (${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$ v ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{g}{}}$ ${\displaystyle \frac{t{}^{}}{}}$) 2 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$}}$$: ${\displaystyle x(t)=-{\frac{c^{2}}{g}{\sqrt{1+{\frac {1+{{0}-gt)^{2}}:{c^{2}}+B}$ $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$= ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$: ${\displaystyle B-{\frac{c^{2}}{g}{\sqrt{1+{\frac{{(\gamma _{0}v_{0}})^{2}}:{c^{2}}=x_{0}}}}}}{0}}}}}}}}}$ Since ${\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}$, we have ${\displaystyle 1+{\frac {(\gamma _{0}v_{0})^{2}}{c^{2}}}=\gamma _{0}^{2}}$ and come to ${\displaystyle B=x_{0}+{\frac {c^{2}}:{g}\감마_{0}}}$ 그러므로 ${\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac{c^{2}}:[\0}-{0}-{0}-{0}-{0}-{0}-{0}-{0}-}}}^{c^{2}}}}}}}}}}}}$ Plugging in the definition of ${\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}$ and using ${\displaystyle \gamma _{0}^{2}=1+{\frac {(\gamma _{0}v_{0})^{2}}{c^{2}}}}$ brings the solution to ${\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {c^{2}}{g}}[{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}-{\sqrt {{\frac {1}{1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}+{\frac {g^{2}t^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2v_{0}gt}{c^{2}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}}}]}$ 이 용액의 뉴턴 한계치는 다음과 같은 근사치를 만들어 얻을 수 있는데, 는 x ( ) ${\displaystyle {\x}(t$$c} :$ ${\displaystyle {\regated}\regated _{0}={0}{{0}}{1-{\sqrt{1-{\frac{v_{0}^{2}}:}}}{{c^{0}-gt}{c&<1\\end}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 이렇게 하면 솔루션을 간소화할 수 있으며 ${\displaystyle x(t)\c^{0}+{\frac{c^{2}}:[1-{\sqrt{1+{\g^{2}t^{2}}:{c^{2}}:}-{\frac {2v_{0}gt}{c^{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 그런 다음 + + 2 {\$displaystyle \alpha <<$1\$Rightarrow${\$sqrt{$1+\$alpha$}}}}}}}에 해당하는 근사치를 사용하여 $다음$과 같이 1$+{\frac {\alpha }:{2$ ${\displaystyle x(t)\c^{0}+{\frac {c^{2}}:[1-1-{\frac {g^{2}^{2}}:{2c^{2}}}+{\frac {v_{0}gt}{c^{2}}]}}}}}}}$ 로 단순화된다. ${\displaystyle x(t)\대략 -{{\frac {1}{2}}:^{2}+v_{0}t+x_{0}{0}x_{0}}$ 이것은 일정한 힘을 받는 뉴턴 입자에 대한 운동 방정식에 대한 해결책이 기대된다: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \stackrel{}{¨}}$=${\displaystyle }$- g ${\ddtyle {\ddot}=-g}$

전자기장의 특수상대론적 시험입자

특수상대성이론에서 전자기장 내 대규모 충전 시험 입자의 라그랑지안은 다음과^[9][10] 같이 수정된다.

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt{1-{\frac{v^{2}}:}}q\phi +q{\mathbf{r}}}}}\cdot \mathbf {A}\cdot \mathbf {A}\,.}$

r의 라그랑기 방정식은 상대론적 운동량 측면에서 로렌츠 힘 법칙을 이끈다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \,.}$

4개의 벡터와 텐서 지수 표기법에서 라그랑지안은 형태를 취한다.

${\displaystyle L(\tau )={\frac {1}{2}}mu^{\mu }}(\tau )u_{\mu }(\tau )+qu^{\mu }(\tau )A_{\mu }(x)}$

여기서 u^μ = dx^μ/d³은 시험 입자의 4-속도이며, A는^μ 전자기 4 전위.

오일러-라그랑주 방정식은 (좌표 시간 대신 적절한 시간에 대한 총 파생 모델 참조)

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x^{\nu }-{\frac {d}{d\tau }}}{\partial L}{\partial u^{\nu}=0}$

획득하다

${\displaystyle qu^{\mu }{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {d}{d\tau }}}}}}}}}.}$

적절한 시간에 관한 총 파생상품에서 첫 번째 조건은 상대론적 모멘텀이고, 두 번째 조건은

${\displaystyle {\frac {dA_{\nu }}{d\tau }}={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}u^{\mu }\,,}$

그런 다음 비대칭 전자기 텐서의 정의를 사용하여 로렌츠 힘 법칙의 공변형 형식을 보다 친숙한 형태로 제공한다.

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(mu_{\nu })=qu^{\mu }F_{\nu \mu }\,,\quad F_{\nu \mu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\,.}$

일반상대성이론에서의 라그랑고 공식화

Lagrangian은 단일 입자와 상호작용 용어 L의_I 그것이다.

${\displaystyle L=-mc^{2}{\frac {d\tau }{dt}+L_{I}\,}$

t가 제공하는 시간의 함수로써 입자 r의^α 위치에 관해서 이것을 변화시킨다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\delta L&=m{\frac {dt}{2d\tau }}}\delta \left(g_{\mu \nu \dx^{\mu }}{dt}}}{dx^{}}}}}}}}}}}}{{{{dx}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{dla}}}}}}}}}}}I}\\&=m{\frac {dt}{2d\tau }}\left(g_{\mu \nu ,\alpha }\delta x^{\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}+2g_{\alpha \nu }{\frac {d\delta x^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}\right)+{\frac {\partial L_{I}{\partial x^{\alpha }}\delta x^{\alpha }+{\frac {\partial L_{I}}{\partial {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}}}{\frac {d\delta x^{\alpha }}{dt}}\\&={\frac {1}{2}}mg_{\mu \nu ,\alpha }\delta x^{\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}-{\frac {d}{dt}}\left(mg_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\delta x^{\alpha }+{\frac {\partial L_{I}{{\partial x^{\alpha }}\delta x^{\delta }-{\frac {d}}}\왼쪽({\frac {\partial L_})I}{{\partial{\frac{dx^{}}{dt}}\alpha }}\delta x^{\alpha }+{\frac {d(\cdots )}{dt}\,\end{정렬}}}$

이것은 움직임의 방정식을 제공한다.

${\displaystyle 0={\frac {1}{2}}mg_{\mu \nu ,\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}-{\frac {d}{dt}}\left(mg_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)+f_{\alpha }}$

어디에

${\displaystyle f_{\alpha }={\frac {\partial L_{}I}{{\partial x^{\alpha }-{\frac {d}{dt}}\왼쪽({\frac {\partial L_{\partial L_})I}{{\partial {\frac {dx^{\\alpha }}{dt}}\오른쪽)}$

입자에 대한 비중력적인 힘이다.(m이 시간으로부터 독립적이 되려면 f ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle {}_{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha d}}{}}$ t${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f_{\alpha }{\tfrac$ {$dx^{\dt}=0}$이 있어야 한다.)$$

재배열은 힘의 방정식을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)=-m\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}+g^{\nu \alpha }f_{\alpha }}$

여기서 γ은 중력장인 Christoffel 기호다.

허락한다면

${\dplaystyle p^{\nu }=m{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}$

질량이 있는 입자의 선형 운동량이다.

${\displaystyle {\frac{dp^{\nu }{dt}=-\\Gamma _{\mu \p^{}{\nu \p^{dx^{\sigma }{dt}}}}}{dt}+g^{\nu \f_{{\alpha}}}}}}}}}}}}}}}}}}dma}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\dma.$

그리고

${\dplaystyle {\frac {dx^{\nu}}{dt}={\frac {p^{\nu}}{p^{0}}}}}}}}$

질량이 없는 입자도 잡아먹다

일반 상대성 사례

전자기장의 일반 상대론적 시험 입자

일반상대성이론에서 첫 번째 용어는 고전적인 운동 에너지와 중력장과의 상호작용을 모두 일반화(포함)한다.전자기장에서 충전된 입자의 경우

${\displaystyle L(t)=-mc^{2}{\sqrt {-c^{-2}g_{\mu \nu }(x(t)){\frac {dx^{\mu }(t)}{dt}}{\frac {dx^{\nu }(t)}{dt}}}}+q{\frac {dx^{\mu }(t)}{dt}}A_{\mu }(x(t)\,}$

4개의 스페이스타임 좌표 x가^µ 임의 단위(즉, 단위 없음)로 주어지는 경우, m의_µν² g는 중력 전위인 2 대칭 미터 텐서이다.또한 V/s에서 A는_µ 전자기 4벡터 전위다.

참고 항목

• 상대론적 역학
• 변동 미적분학의 기본 보조정리
• 표준 좌표
• 기능파생상품
• 일반화 좌표
• 해밀턴 역학
• 해밀턴 광학
• 라그랑지안 분석(라그랑지안 역학의 적용)
• 라그랑지안 포인트
• 라그랑고 제도
• 비자율역학
• 제한된 3차체 문제
• 고원의 문제

각주

메모들

참조

• Penrose, Roger (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (15 January 1976). Mechanics (3rd ed.). Butterworth Heinemann. p. 134. ISBN 9780750628969.
• Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (1975). The Classical Theory of Fields. Elsevier Ltd. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• Hand, L. N.; Finch, J. D. (13 November 1998). Analytical Mechanics (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 23. ISBN 9780521575720.
• Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Analytical mechanics. Cambridge University Press. pp. 140–141. ISBN 0-521-57572-9.
• Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. pp. 352–353. ISBN 0201029189.
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles P., Jr.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. pp. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
• Lanczos, Cornelius (1986). "II §5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method". The variational principles of mechanics (Reprint of University of Toronto 1970 4th ed.). Courier Dover. p. 43. ISBN 0-486-65067-7.
• Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1977) [1964]. The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2. Addison Wesley. ISBN 0-201-02117-X.
• Foster, J; Nightingale, J.D. (1995). A Short Course in General Relativity (2nd ed.). Springer. ISBN 0-03-063366-4.
• M. P. Hobson; G. P. Efstathiou; A. N. Lasenby (2006). General Relativity: An Introduction for Physicists. Cambridge University Press. pp. 79–80. ISBN 9780521829519.